专题03 概率（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

高二苏教版（24-25学年）数学选择性必修2期末考点大串讲 串讲03 概率（3考点&7题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 七大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　条件概率 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　全概率公式 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　贝叶斯公式 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　离散型随机变量的分布列 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五 正态曲线的图象的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　利用正态分布的对称性求概率 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　正态分布的实际应用 题型剖析 题型七　正态分布的实际应用 技巧点拨 举一反三 举一反三 03易错易混 易错点1　混淆超几何分布和二项分布的概念致错 03易错易混 易错点2　对条件概率概念理解不透致错 03易错易混 易错点3　求离散型随机变量分布列时忽视所有事件概率和为1致错 针对训练 04押题预测 C C D C A 谢谢观看！ 例1、 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“三个人去的景点各不相同”， B=“甲去了第一个景点”，如果甲、乙、丙互不相识，求． 【解析】甲去了第一个景点，则有1个景点可选，乙丙能在三个景点中选择，可能性为种， 所以甲去了第一个景点的可能性为种， 因为三个人去的景点不同的可能性为种， 所以 . 规律方法　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【变式】已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场 占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，． (1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； (2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？ 【解析】(1)记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，， 则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则 ． 故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是． (2)记事件B为购买的电器合格， 记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，， ，，，，，， ． 故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为． 例2、 今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校 回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是. 若各学校回答这道题是否正确是互不影响的. (1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率； (2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 【解析】(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件 由题意可知，，，解得，.所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为. 1、 乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误， 即 则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为； (2) 若规定三所学校需要抢答这道题，则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，， 则，，，，，， 则 这个问题回答正确的概率为. 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时， 我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【变式】某工厂有两个车间生产同型号家用电器，已知第1车间生产产品的合格品率为0.85，第2车间生 产产品的合格品率为0.88，两个车间生产的产品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1，2车间生 产的产品的数量之比为2：3.今有一客户从仓库中随机提一台产品，求该产品是合格品的概率. 【解析】设表示从仓库中随机提出的一台产品是合格品，表示从仓库中随机提出的一台产品是 第车间生产的，，则. 由题意，知，，， 由全概率公式，得. 例3、 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，． 现从这三个地区任抽取一个人，假设每个人来自三个地区的可能性相同． （1）求此人感染此病的概率； （2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率． 【解析】（1）由题意，所抽取的人感染此病的概率. （2）若分别表示来自甲、乙、丙的事件，表示感染此病的事件， ∴此人感染此病且来自乙地区的概率. 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 【变式】设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比 依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件． (1)求取到次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01） 【解析】(1)设事件，，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品. 易知，，两两互斥，根据全概率公式， 可得． 故取到次品的概率为0.0345． (2)． 故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36． 例4、 某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中 种子选手人数，求X的分布列． 【解析】解：可取， ，，， 故分布列如下： 0 1 2 规律方法　求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 【变式】将10个质地、大小一样的球装入袋中，其中6个白球，4个红球．现从袋中任取一个球， 用X表示“取到白球”，即求随机变量X的概率分布． 【解析】解：由题意可知， ， ， 故分布列如下： 0 1 例5、设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（       ） A．， B．， C．， D．， 【解析】由正态分布密度函数表达式知，. 故选：D. 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点： 一是对称轴为x＝μ， 二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 【变式】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式， 求出随机变量总体的均值和方差． 【解析】解：由图可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20， 由，解得σ＝， 所以该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝，， 随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 例6、已知随机变量，且，， 则为（       ） A．0.1358 B．0.2716 C．0.1359 D．0.2718 【解析】由题设可得， ， 故选：C. 规律方法　利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【变式】已知某年的FRM（金融风险管理）一级测试成绩X服从正态分布，则54分以上的成绩所占 的百分比约为（       ）（附：，） A．2.38% B．1.35% C．0.26% D．0.15% 【解析】因为X服从正态分布，所以， 即，所以. 故选：D． 例7、 为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量 教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育 部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）． “双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年 的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表． 消费金额（千元） 人数 30 50 60 20 30 10 (1) 该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人 员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额 为的人数的分布列和数学期望； (2) 以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员 消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）． （ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）； （ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差． 参考数据：；若随机变量服从正态分布，则， ，． 【解析】(1)由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，消费金额为的人数为， 设消费金额为的人数为，则，所以，，， 的分布列 1 2 3 则； (2)（ⅰ）由题意得， 所以， 所以； （ⅱ）由题意及（ⅰ）得，所以，，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 4 ． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值， 这在统计学中称为3σ原则. 【变式】2024年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午 9;20-10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段 9;20-10:40记作[20，40），9;40-10:00记作[40，60），10：00-10:20记作[60，80），10;20-10:40记作[80，100）， 例如：9；46，记作时刻46. (1)估计这600辆车在9;20-10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替） (2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9;20-10:00之间通过的车辆数为， 求的分布列； (3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9;20-10:40之间通过该收费站点的时刻的平 均值近似代替，用样本的方差近似代替（经计算样本方差为324）.假如4日上午9;20-10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9;46-10:40之间通 过的车辆数（结果保留到整数） 附：；若随机变量服从正态分布，则，，. 【解析】(1)这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为： ． (2)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中， 在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数， 即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4． 所以，，，，． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 (3)由（1）得，由已知，所以， 估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数， 由，得：， 所以估计在在之间通过的车辆数为． 1．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y， ，1，2，3．则下列判断正确的是（    ） A．随机变量X服从超几何分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． ． 【错解】AD，对于A，B选项，由超几何分布的概念可知A正确； 对于D选项，该批产品有M件，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ，因此D正确； 对于C选项，假若C正确可得 ，则D错误，矛盾！故C错误． 【错因】由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故A错，B对。 【正解】由超几何分布的概念可知B正确；对于D选项，该批产品有M件，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ，因此D正确； 对于C选项，假若C正确可得 ，则D错误，矛盾！故C错误 2．第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为(　 ) A.eq \f(1,7) B.eq \f(2,7) C.eq \f(4,7) D.eq \f(1,2) 【错解】选D，若从第一个袋中取的的是白球，则 ，若从第一个袋中取的的是黑球，则 ，则两次均取到白球的概率为 . 【错因】对条件概率概念理解不透致错。 【正解】选B　记Ai表示第i次取到白球(i＝1,2)，则P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2|A1)＝eq \f(4,7).由乘法公式，得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(1,2)×eq \f(4,7)＝eq \f(2,7). 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有四次参加考试的机会，一旦某次考试通过， 便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过 的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年内李明参加驾照考试的次数X的分布列。 【错解】随机变量 可取1，2，3，4，则 ， ， ， ， ∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为 1 2 3 4 p 0.6 0.28 0.096 0.0216 【错因】因为 ，主要是对事件“X=4” 不理解，“X=4”表示李明前3次均没通过，而第四次可能通过也有可能不通过。 【正解】随机变量 可取1，2，3，4，则 ， ， ， ， ∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为 1 2 3 4 p 0.6 0.28 0.096 0.024 1、甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是eq \f(2,3)和eq \f(1,2)，假设两人击中目标与否相互之间没有影响，每人各次击中目标与否相互之间也没有影响，若两人各射击4次，则甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为________． 【错解】设事件A表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”，事件B表示“4次射击中乙恰好 有3次击中目标”，由题意知事件A与B相互独立， 所以P(AB)＝P(A)P(B)＝,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1()) 2×,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1()) 3＝ . 【错因】独立重复试验与相互独立事件混淆 【正解】设事件A表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”，事件B表示“4次射击中乙恰好 有3次击中目标”，由题意知事件A与B相互独立， 所以P(AB)＝P(A)P(B)＝Ceq \o\al(2,4)×,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1()) 2×,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1()) 2×Ceq \o\al(3,4)×,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1()) 3×eq \f(1,2)＝eq \f(2,27). 1．（2025·江苏高邮·高三开学考试）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（       ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽亳州·高二期末）某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（       ） A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02 3．（2025·全国·高二课时练习）抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（       ） A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z 4．（2025·浙江·高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（       ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）己知随机变量服从正态分布，且，则（       ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 $$