清单01 空间向量与立体几何（考点清单，知识导图+14个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

清单01 空间向量与立体几何 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【清单02】向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【清单03】空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【清单04】利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【清单05】空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【清单06】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【清单07】空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【清单08】空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【清单09】 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【清单10】平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【清单11】用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【清单12】用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【清单13】用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【清单14】用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【考点题型一】利用向量研究位置问题 技巧：（1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． （4）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （5）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （6）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【例1】若空间中三条不同直线满足，且，则直线与直线必定（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【答案】C 【分析】设直线的方向向量分别为，由条件证明，由此判断结论. 【详解】设直线的方向向量分别为，则都不是零向量， 因为，且， 所以，， 所以. 所以直线与直线必定垂直. 故选：C. 【变式1-1】设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得集合中所有向量共起点时，终点在球面上，再利用数量积的运算律求出的最大值，进而求出值. 【详解】令集合的各向量起点为，对应终点依次为， 由向量为单位向量，则点在以为球心，1为半径的球面上， 由，得点中任意三点不共线， 由，得，则， 由，同理得，而点不共线， 于是点不共面，点为球内接正四面体的4个顶点， 若，不妨取，同理得，平面， 又，由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，得点平面， 与点不共面矛盾，因此，设正四面体的棱长为， 则正的外接圆半径为，正四面体的高为， 球心到平面的距离为，因此，解得， 所以. 故选：C 【变式1-2】如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到面面垂直，再依据线面角的定义找出线面角，最后通过相关线段长度计算线面角的正切值. （2）根据重心性质得到关于、、的表达式，再对其平方，结合已知的角度和垂直关系计算数量积，进而求出的模长. 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故，而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故，而，故， 而平面，平面，故，故. （2） 因为为的重心，连接并延长交与，连接，则， 故，故， 故， 而，，又平面，平面，故， 故，故. 【变式1-3】如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线线平行可证线面平行； （2）利用向量的数量积的运算律可求得，可证结论. 【详解】（1）连接与交点为，在连接， 则为中点，为中点， 所以平面平面， 所以平面； （2）， ， 底面是菱形，且， ， ，即， . 【考点题型一】利用空间向量的数量积求值 技巧：1、利用空间向量的数量积求两向量的夹角 本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 2、利用空间向量的数量积求线段的长度 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 3、利用空间向量的数量积证垂直 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【例2】正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得点在以为球心，以1为半径的球面上，且，从而可得线段长度的取值范围. 【详解】取底面正方形中心，中点，连结， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，得， 所以点在以为球心，以1为半径的球面上， 且， 则，即线段长度的取值范围为. 故选：C    【变式2-1】记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 【变式2-2】已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 【变式2-3】如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 【考点题型三】空间向量及其运算的坐标表示 技巧：空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【例3】在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 【变式3-1】已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积和投影向量公式计算即可. 【详解】已知，，可得： 且，那么。 根据向量投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为。 将，，代入可得：. 故选：C. 【变式3-2】已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用坐标法求点 的轨迹方程，再利用公式法，即可求解. 【详解】以点为原点，以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以， 即，此方程表示以为球心，以为半径的球， 球心到每个面的距离都是1，每个平面与球的截面圆的半径为， 所以点的轨迹是以每一个正方形的中点为圆心的圆，所以轨迹长度为. 故选：D 【变式3-3】已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 【考点题型四】空间平面的共线与共面 技巧;（1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【例4】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式4-1】已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 【变式4-2】如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 【变式4-3】已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 【考点题型五】异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 【例5】在平行六面体，则直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理易得，，进而结合空间向量夹角公式求解即可. 【详解】以为基底，则，， 则， ， ， 所以， 则直线所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式5-1】正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角余弦值即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.    故选：C. 【变式5-2】在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，求得直线方向向量，代入夹角公式求解即可. 【详解】 由条件可如图建系，设， 则, 则, 设直线与所成角为， 所以， 所以， 故选：C 【变式5-3】在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】 【分析】设异面面直线与所成角为,将用，表示,代入公式计算得出答案. 【详解】设棱长均为1, 因为，所以 ，所以，所以. 又. 设异面直线与所成角为, 则. 故答案为: . 【考点题型六】利用空间向量解决二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【例6】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面平面，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面，                                                    因为四边形是梯形， ，又平面 ，平面， 所以平面，                                                 又，平面，故平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）因为，所两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有，，，，                             所以 ，， ， . 设平面的一个法向量，则有： ， 令，则，所以. 设平面的一个法向量，则有： ，令，则，所以，      设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，                       所以平面与平面的夹角的大小为. 【变式6-1】如图，在梯形中，，，，，，点E满足，将沿翻折至，连接，，使得． (1)证明：； (2)设，中点分别为M，N，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理得平面，结合勾股定理利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理求解即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角夹角的余弦值，进而利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，又，， 所以， 所以， 所以，故，， 又，平面，故平面，     又平面，所以， 因为，， 所以，即，     又，平面，所以平面， 而平面，所以． （2）根据（1）中位置关系，以为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．     由已知，可知，，，，， 所以，，，．     设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以为平面的一个法向量；     设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以为平面的一个法向量．     因此，， 所以平面与平面夹角的正弦值即为． 【变式6-2】如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的判定推理得证. （3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）由，得，又，则是正三角形， ，在中，，， 即，于是，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2）连接，连接，由，得, 由，得，于是，而平面，平面， 所以平面. （3）由（1）知，，而，四边形是梯形，即相交， 因此平面，在平面内作，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式6-3】如图，三棱锥中，和所在平面互相垂直，且， ，，，分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． (3)求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理得，进而得出，由面面垂直的性质得平面，再由面面垂直的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可； （3）由点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】（1）证明：由，，， 则， ∴，则， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面， 故平面平面． （2）由，点为中点，得， 因为，得，则， 所以。则， 以点为原点，以平面内垂直于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 由得，， 取，得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，则， 因此，则二面角的正弦值为． （3）由（2）知，，平面的法向量， 则点C到平面的距离． 【考点题型七】利用空间向量解决距离问题 技巧：1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【例7】如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面与面面平行的判定定理可证得平面平面，根据线面平行的性质可得平面，确定平面到平面的距离为到平面的距离，结合空间向量法求解点到平面的距离即可. 【详解】由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面.又平面， 所以平面， 则到平面的距离即为平面到平面的距离. 建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，则点到平面的距离为， 即平面到平面的距离为. 故选：B 【变式7-1】在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 【变式7-2】如图，平面平面，四边形为矩形，且M为线段的中点，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1) 取中点为，连接，即可证四边形为正方形，进而得证，又平面平面，四边形ADEF为矩形，即可证，进而证平面，即即证； (2)建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量法即可求解； (3)求平面的法向量为，利用向量法求点D到平面的距离即可. 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，，，， 所以，, 所以四边形为正方形， 所以,所以， 所以,即，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，即平面； （2）由（1）有， 以点为原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系， 由，则， ， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角为； （3）由（2）有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点D到平面的距离为， 所以点D到平面的距离为. 【变式7-3】如图，五面体中，平面，，，. (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明； （2）根据几何关系，以点为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量法求，再代入点到平面的距离的向量公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为，所以A，C，D，E四点共面. 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，，两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，. 设为平面的法向量，则得，令，得， 取平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为， 所以，解得，即的长为3. 所以，又， 所以到平面的距离. 【考点题型八】利用空间向量解决线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 【例8】如图，在三棱柱中，四边形为正方形，，.点满足，，. (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由、，根据线面垂直和面面垂直判定定理可得结论； （2）取上一点满足，由平面几何知识可证得，由面面垂直性质和线面垂直判定可知以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据可构造方程求得，利用可求得结果； （3）根据线面角的向量求法直接求解即可. 【详解】（1）四边形是正方形，， 又，，平面，平面， 平面，平面平面. （2）取上一点满足，连接， ，，且， 四边形为平行四边形，，， 又，， 平面平面，平面平面，平面，平面. ，，平面，， 平面. 则以为坐标原点，的方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，， 由可知：，解得：，， （3）由（2）得：，，， 记平面的法向量为， 则，令，解得：，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【变式8-1】如图，在三棱锥中，，，平面平面，． (1)证明：； (2)若为的垂心，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，易得，再由线面垂直的判定和性质即可证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注相关点的坐标，求出平面的法向量及，再应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）取中点，连接，由， 所以，都在平面内，则平面， 由平面，故； （2）由（1），易知两两垂直，如下图，构建空间直角坐标系， 而，则，且， 设平面的一个法向量为，取的中点，又， 所以，为的垂心，则在上， 设，则，故，而， 所以，可得，故， 所以与平面所成角的正弦值. 【变式8-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）根据面面垂直的性质得到底面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接，，    因为是的中点，所以是三角形的中点，所以，且， 因为底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面是正三角形，是的中点，所以， 又因为侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面， 取的中点，连接，则，所以， 以为坐标原点，ED所在直线为x轴，取BC中点H，EH所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量，则，取， 又， 设直线CF与平面所成角为，故； 所以直线CF与平面所成角的正弦值为. 【变式8-3】如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）通过线线垂直证明平面，即可完成证明； （2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度； （ⅱ）由（ⅰ）可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【详解】（1） 由，可知， 三角形为等腰直角三角形，，， 又因为，由余弦定理得：， 即得，， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）依题意，建立如图坐标系， 设的坐标为，， 由， 化简得：，即， 则动点的轨迹是以线段的中点为圆心，以1为半径的圆弧， 由于线段的中点，所以该圆弧经过点， 故动点的轨迹是四分之一圆弧，所以其长度为. （ⅱ）由（ⅰ）可设，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则， 则 因为，所以，所以， 所以，所以， 综上所述，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 空间向量与立体几何 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【清单02】向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【清单03】空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【清单04】利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【清单05】空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【清单06】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【清单07】空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【清单08】空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【清单09】 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【清单10】平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【清单11】用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【清单12】用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【清单13】用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【清单14】用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【考点题型一】利用向量研究位置问题 技巧：（1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． （4）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （5）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （6）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【例1】若空间中三条不同直线满足，且，则直线与直线必定（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【变式1-1】设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（   ）． A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【变式1-3】如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证： (1)平面； (2). 【考点题型一】利用空间向量的数量积求值 技巧：1、利用空间向量的数量积求两向量的夹角 本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 2、利用空间向量的数量积求线段的长度 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 3、利用空间向量的数量积证垂直 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【例2】正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【考点题型三】空间向量及其运算的坐标表示 技巧：空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【例3】在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式3-1】已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知正方体的棱长为分别是棱和上的中点，点是正方体表面上一点且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【考点题型四】空间平面的共线与共面 技巧;（1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【例4】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4-1】已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【变式4-2】如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【变式4-3】已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 【例5】在平行六面体，则直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在直三棱柱中，，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 【考点题型六】利用空间向量解决二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【例6】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的夹角的大小． 【变式6-1】如图，在梯形中，，，，，，点E满足，将沿翻折至，连接，，使得． (1)证明：； (2)设，中点分别为M，N，求平面与平面夹角的正弦值． 【变式6-2】如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式6-3】如图，三棱锥中，和所在平面互相垂直，且， ，，，分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． (3)求点C到平面的距离． 【考点题型七】利用空间向量解决距离问题 技巧：1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【例7】如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，平面平面，四边形为矩形，且M为线段的中点，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点D到平面的距离． 【变式7-3】如图，五面体中，平面，，，. (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求A到平面的距离. 【考点题型八】利用空间向量解决线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 【例8】如图，在三棱柱中，四边形为正方形，，.点满足，，. (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式8-1】如图，在三棱锥中，，，平面平面，． (1)证明：； (2)若为的垂心，求与平面所成角的正弦值． 【变式8-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式8-3】如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$