专题04 统计（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

高二苏教版（24-25学年）数学选择性必修2期末考点大串讲 串讲03 统计（3考点&6题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 两大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　用2×2列联表分析两分类变量间的关系 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二 用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　有关“相关的检验” 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　有关“无关的检验” 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　独立性检验的综合应用 题型剖析 题型五　独立性检验的综合应用 技巧点拨 举一反三 举一反三 题型剖析 题型六　求回归直线方程 技巧点拨 举一反三 举一反三 03易错易混 易错点1　独立性检验问题中对的值理解不准确致错 03易错易混 易错点2　求回归直线方程计算错误 针对训练 04押题预测 C A A C C 谢谢观看！ 例1、下面是2×2列联表: y1 y1 总计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 总计 b 46 120 则表中a,b的值分别为(　　) A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52 【解析】∵a+21=73,∴a=52,又a+22=b, ∴b=74. 规律方法　(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． (2) 利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表， 然后根据频率特征，即将与 的值相比，直观地反映出两个分类变量间是 否相互影响，但方法较粗劣 【变式】假设有两个分类变量与的列联表如下表： 对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（       ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【解析】对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大， 对于A选项，，对于B选项，， 对于C选项，，对于D选项，， 显然D中最大，故选：D. 例2、下面的等高条形图可以说明的问题是（       ） A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握 【解析】由等高条形图可知“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的频率不同， 所以“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握， 所以选项D正确，故选：D. 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示 列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 【变式】第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况， 随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下列联表： 关注冰雪运动 不关注冰雪运动 合计 男 45 10 55 女 25 20 45 合计 70 30 100 下列说法正确的是（       ）参考公式：，其中． 附表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关” 【解析】依题意，的观测值为， 所以有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B不正确； 而犯错误的概率不超过1%，不能确定犯错误的概率不超过0.1%的情况，C，D不正确.故选：A 例3、 微信和是中国最受欢迎的两个即时通讯软件，作为具有同样功能的软件，二者的业务不可避免地重叠，但是从大众分析调查 来看，二者的受众人群有着一些小区别.某机构用简单随机抽样方法调查了100位社区网络员手机即时通讯软件的使用情况，结果如下表， 35岁以上 35岁以下 总计 微信 45 20 65 QQ 13 22 35 总计 58 42 100 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则下列结论正确的是（       ） A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“使用即时通讯工具与年龄有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“使用即时通讯工具与年龄无关” C．有99%以上的把握认为“使用即时通讯工具与年龄有关” D．有99%以上的把握认为“使用即时通讯工具与年龄无关” 【解析】因为，所以有99%以上的把握认为“使用即时通讯工具与年龄有关”，故选：C. 规律方法　独立性检验的具体做法 ①根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值xα. ②利用公式χ2＝计算χ2. ③如果χ2＞xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提 下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． 【变式】针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女 生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认 为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（       ） 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附： A． B． C． D． 【解析】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示： 男生 女生 合计 喜欢抖音 4n 3n 7n 不喜欢抖音 n 2n 3n 合计 5n 5n 10n 则，由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则， 即，得，，则n的可能取值有9,10,11,12， 因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60，故选：BC. 例4、 某工厂冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含 杂质的关系，该工厂进行了一项调查，结果如下表所示： 杂志高 杂质低 旧设备 37 121 新设备 22 202 试根据以上数据判断含杂质的高低与设备改造有无关系． 【解析】由已知数据得到如下列联表： 杂质高 杂质低 合计 旧设备 37 121 158 新设备 22 202 224 合计 59 323 382 则，所以有的把握认为含杂质的高低与设备改造有关. 规律方法　独立性检验的关注点 在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0， 因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强． 【变式】某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了 72名员工进行调查，所得数据如下表所示： 积极支持企业改革 不太赞成企业改革 合计 工作积极性高 28 8 36 工作积极性一般 16 20 36 合计 44 28 72 对于人力资源部研究的问题，根据上述数据你能得出什么结论? 【解析】，故有的把握认为抽样员工对待企业改革的态度 与工作积极性有关，从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关. 例5、 学校为了在全校营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对同学的 影响程度，政教处在全校随机抽取了100名同学进行调查，其中男生与女生的人数之比为3：2，男生中有10人表示政策无效， 女生中有25人表示政策有效. (1) 根据下列列联表写出a和b的值，并判断能否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有关”； 政策有效 政策无效 总计 男生 a 10 女生 25 b 合计 100 (2) 从被调查的同学中，采取分层抽样方法抽取5名同学，再从这5名同学中任意抽取2名，对政策的有效性进行调研分析， 求抽取到的2名同学中既有男生又有女生的概率. 参考公式：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】(1)由题意知，男生人数为，女生人数为，由此填写列联表如下： 政策有效 政策无效 总计 男生 50 10 60 女生 25 15 40 合计 75 25 100 可知，，由表中数据，得 所以没有99%的把握认为对“政策是否有效与性别有关”； (2)利用分层抽样抽取5名同学中，男生抽取3人，女生抽取2人. 设既有男生又有女生为事件A，3名男生编号为1，2，3， 2名女生编号为a，b，所有的基本事件有10个：，，，，，，，，， 其中事件A包含的基本事件有共6个：，，，，，； 由古典概型的概率公式，得， 即抽取到的2名同学中既有男生又有女生的概率为. （1）解答此类题目的关键在于正确利用χ2＝计算χ2的值， 再用它与临界值xα的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． （2）此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握． 【变式】晨跑是不少青年爱好者锻炼身体的一种运动方式，某机构随机抽取了某社区200名青年进行问卷调查， 其中男性与女性的人数比为3：2，得到如下的列联表， 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男性 女性 合计 现从这200名青年中按性别用分层抽样的方法随机抽取20人，其中喜欢晨跑的女性有5人. (1)完成表中数据并判断是否有90%的把握认为喜欢晨跑与性别有关； (2)从上述样本中不喜欢晨跑的青年中用分层抽样的方法任取7名，再从这7人中抽取4人调查，其中这4人中 的女性人数为X，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】(1)因为男性､女性的人数比为3：2，所以男性有120人，女性有80人，又按性别分层抽样抽取20人， 所以男性抽取12人，女性抽取8人，这其中喜欢晨跑的女性有5人，所以不喜欢晨跑的女性有3人， 所以这200人中女性喜欢晨跑的有50人，不喜欢晨跑的有30人， 如下表： 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男性 80 40 120 女性 50 30 80 合计 130 70 200 所以，所以没有90%的把握认为喜欢晨跑与性别有关. (2)因为按分层抽样抽取人数，所以7人中女性3人，男性4人，现从中抽取4人，所以女性的人数X的可能取值为0，1，2，3， 所以，，， 所以X分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 例6、已知变量和正相关，则由如下表所示的观测数据算得的线性回归方程为 A． B． C． D． 【解析】由题得 ， 所以样本中心点的坐标为（0,0），代入选项检验得选B. 故答案为B 规律方法　求线性回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi. (4)计算，，x，xiyi. (5)代入公式计算，，公式为 (6)写出线性回归方程＝x＋. 【变式】随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出 的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限与所 支出的总费用（万元）有如表的数据资料： 使用年限 2 3 4 5 6 总费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)在给出的坐标系中作出散点图； （2）求线性回归方程中的、； （3）估计使用年限为年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式， .） 【解析】（1）散点图如图，由图知与间有线性相关关系． （2）∵，，，， ∴；． （3）线性回归直线方程是， 当（年）时，（万元）． 即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元． 1、通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的列联表．参照附表，能得到的正确结论是(　 ) 男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：χ2＝eq \f(n(ad－bc(2,(a＋b((c＋d((a＋c((b＋d(). α 0.05 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” ． 【错解】C 【错因】不理解 的含义 【正解】选A　由列联表中的数据可得χ2＝eq \f(110×(40×30－20×20(2,60×50×60×50)≈7.822＞6.635＝x0.010， 故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A. 2、某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物数量，将其分成面积相近的200个地块，从这 些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积 (单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， ． (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)； (2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)； (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为 更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r= ，≈1．414． 【错因】求解本题失分的一个主要原因是运算失误，二是没有注意题中提供数据，重复计数，导致时间不够用 【正解】（1）样区野生动物平均数为 ， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为 （2）样本 (i=1，2，…，20)的相关系数为 （3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计． 1、在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量 的观测值 ．在犯错误的概率不超过0．001的前提下,下面说法正确的是（）下面临界值表供参考 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 A．由于随机变量 的观测值 ,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001 B．由于随机变量 的观测值 ,所以“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001 C．由于随机变量 的观测值 ,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．由于随机变量 的观测值 ,所以“吸烟与患肺癌没有关系”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001 【错解】B 【错因】不理解 的含义 【正解】由题意知,通过对列联表的数据进行处理,计算得到随机变量 的观测值 ,其中 ,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“吸烟与患肺癌有关系”.故选A. 1．（2025·天津滨海新·高三阶段练习）下列说法不正确的是：（       ） A．线性回归直线一定过点 B．数据，，…，的平均数为，则，，…，的平均数为 C．数据，，，，，的第百分位数为 D．随机变量，其正态曲线是单峰的，它关于直线对称 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（   ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 3．（24-25高二下·江西抚州·期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数（万个）会呈指数增长．设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则（    ） A． B．0.596 C． D．0.206 4．（2025·海南海口·模拟预测）已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 $$