专题02 计数原理（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

高二苏教版（24-25学年）数学选择性必修2期末考点大串讲 串讲02 计数原理（5考点&9题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 九大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　分类加法分布乘法计数原理 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　涂色问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　数字排位问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　排列的常见类型与处理方法 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　定序问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　分组分配问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　利用赋值法进行求有关系数和 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　混淆二项式系数与项的系数致错 03易错易混 易错点2　忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错 03易错易混 易错点3　混淆均匀分组与部分均匀分组致错 针对训练 04押题预测 A D D A B 谢谢观看！ 例1、 某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定：（1）每位学生每天最多选择项； （2）每位学生每项一周最多选择次.学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程项，则不同的选择方案共有（       ） A．种 B．种 C．种 D．种 【解析】周一阅读，周三体育，周四或周二编程； 周一阅读，周四体育，周二编程；周二阅读，周一体育，周四编程； 周二阅读，周三体育，周一编程；周二阅读，周三体育，周四编程； 周二阅读，周四体育，周一编程；周三阅读，周一体育，周二或周四编程； 周三阅读，周四体育，周一或周二编程；周四阅读，周一体育，周二编程； 周四阅读，周三体育，周一或周二编程.共14种 故选：D. 加法原理的特点是： ① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 乘法原理的特点： ① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ② 完成每一步有若干种方法； ③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 【变式】已知直线的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合中的3个不同元素， 那么这样的不重合直线的条数是（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【解析】因为直线的斜率大于零，所以， 当，a有2种选法，b有2种选法，c有1种选法； 因为直线与直线重合，所以这样的直线有条； 当时，a有1种选法，b有2种选法， c有2种选法；所以这样的直线有条， 当时，a有2种选法，b有1种选法， c有2种选法；所以这样的直线有条， 综上：这样的不重合直线的条数是3+8=11条，故选：A 例2、 如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小 区域，，，，涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 ______种． 【解析】分四步进行分析：①区域涂色方案有5种；②区域涂色方案有4种；③区域涂色方案有3种； ④对于区域，，若与颜色相同，则区域涂色方案有3种，若与颜色不同，则区域，涂色 方案均有2种，所以区域，涂色方案共有（种）．故不同的涂色方案有（种）． 故答案为：420 涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域， 因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色， 再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。 【变式】如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色， 则不同的涂色方法有（       ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【解析】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法； 涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法. 由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种. 故选：B. 例3、 如果一个三位正整数如“”满足且，则称这个三位数为“凸数”（如120，343，275等）， 那么所有三位数中“凸数”的个数为______． 【解析】若，则“凸数”为120与121，共有（个）； 若，则“凸数”有（个）； 若，则“凸数”有（个）； 若，则“凸数”有（个）； 若，则“凸数”有（个）； 若，则“凸数”有（个）； 若，则“凸数”有（个）； 若，则“凸数”有（个）． 所以所有三位数中“凸数”的个数为． 故答案为：240. 1、认真审题，确定要做什么事； 2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步； 3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素； 4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略． 【变式】从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数字6的卡片可以倒过来当9用）， 可以组成个_____无重复数字的被4整除的四位数． 【解析】①后两位为04、20、40、60，对于04、20、40需要考虑是否取到数字6， 所以共有（20＋8）3＋20＝104种； ②后两位为12、24、32、52，注意0不在首位，共有（5＋12＋6）4＝92种； ③后两位为16、36、56、64、92，注意0不在首位，共有（4＋12）5＝80种； ∴共276种 故答案为：276 例4、甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（       ） A．24种 B．6种 C．4种 D．12种 【解析】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面， 则只需对剩下3人全排即可， 则不同的排法共有， 故选：B． 一、相邻问题 1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体， 在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序， 则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. 2、解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 二、不相邻问题 1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列， 然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 2.解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 【变式】）3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻， 则不同站法的种数是_______（结果用数字表示）． 【解析】根据题意，分3步进行分析： ①将3个老师分成2组，有种分组方法，将2人的一组看成一个元素，考虑2人之间的顺序，有种情况； ②将剩余的3个学生全排列，有种排法，排好后，有4个空位； ③在4个空位中任选2个，安排3个老师分成的两个组，有种方法， 则6人站成一排照相，3个老师中有且只有两个老师相邻的站法有种. 故答案为：. 例5、共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种. 【解析】1、将C、D、E排成一列，有种， 2、把作为整体插入4个空中，有种，或分别插入4个空中的2个空中，有种， 所以共有种. 故答案为：60. 定序问题作倍缩放：将题干给定的总数都看成某一个独立的个体（不相同的）， 进行全排列故为，其次再将有顺序要求的个元素进行全排列个， 其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数为。 【变式】6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙 必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．（用数字作答） 【解析】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有种排法， 把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学进行排列，有种排法， 所以，总共有种排法 故答案为：48 例6、甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有______种． 【解析】甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案种数为. 故答案为：. 分组问题与分配问题 将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题. 分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组. 将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题. 分配问题共分为2类：定额分配、随机分配. 区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组 元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配. 【变式】为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度， 降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校， 设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1 名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种. 【解析】1、选1名医生和3名护士的方法数为种； 2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种. 所以不同的分配方法共有种. 故答案为：40 例7、若二项武的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是_________． 【解析】的展开式的通项， 令，得，因为，所以当时，有最小值为7. 故答案为：7. 一般地,对于任意正整数,都有： ()， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 【变式】的展开式中的系数是______．（用数字作答） 【解析】的展开式的第r+1项为为． 令，得，则 故答案为：-448 例8、已知，下列命题中，正确的是（       ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为； B．展开式中所有奇次项系数的和为； C．展开式中所有偶次项系数的和为； D．. 【解析】A：由二项式知：，正确； 当时，有，当有， B：由上，可得，正确； C：由上，可得，错误； D：由二项式通项知：，则，，…，， 所以，正确. 故选：ABD. 一般地，若，则展开式中各项系数的和为. ①奇次项系数的和为 偶次项系数的和为 ②形如的式子，求展开式的各项系数之和，只需令即可. ③形如的式子求其展开式的各项系数之和，只需令. ④二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等为：。 【变式】已知，.若， 则_________；_________. 【解析】∵ 令，得，， ∴， 所以含项系数为. 故答案为：2；40. 1． 的展开式中 的系数为（ ） A．10 B．20 C．90 D．80 ． 【错解】A，由题可得 令 ,则 , 所以 的展开式中 的系数为 ，故选A. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】C，由题可得 令 ,则 ,所以 ，故选C. 2．二项式 的展开式的第二项是（ ） A． B． C． D． 【错解】展开式的通项为 ,令 ,可得展开式的第二项为 = .故选A. 【错因】误认为第二项是 而错误 【正解】展开式的通项为 ,令 ,可得展开式的第二项为 = .故选D. 3.某校高二年级共有六个班,现从外地转入 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 名,则不同的安排方案种数为（） A． B． C． D． 【错解】选A，先将4名学生均分成两组方法数为 ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为 ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为 ． 【错因】该题为均匀分组，忽略除以 而错误. 【正解】先将4名学生均分成两组方法数为 ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为 , 根据分步计数原理合要求的安排方法数为 ．故选B． 1． 的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7， 的展开式中共12项,第6项的系数为 ,第7项的系数为 ,又 = ， 所以数最大的项是第6或7项. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】 的展开式中共12项,第6项的系数为 ,第7项的系数为 , 所以数最大的项是第7项. 1．（2025·全国·高二单元测试）的展开式的各项系数和为（       ） A．256 B．257 C．254 D．255 2．（2025·江苏省如皋中学高二期末）若，则=（     ） A．244 B．1 C． D． 3．（2025·辽宁·大连八中高二期末）若，则（       ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁营口·高二期末）将的展开式按x的降幂排列，第二项不大于第三项，若，且，则实数x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．（2025·北京八中高二期末）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为，若，则b的值可以是（       ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 $$