专题突破1 线面的平行和垂直的证明问题（5知识点+6题型）2024-2025学年第二学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

专题突破1 线面的平行和垂直的证明问题 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线与平面平行的判定和性质定理 1.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 简记 线线平行，线面平行 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b 图形语言 简记 线面平行，线线平行 知识点2 平面与平面平行的判定和性质定理 1.平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒β∥α 图形语言 简记 线面平行，面面平行 2.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 简记 面面平行，线线平行 知识点3 直线与平面垂直的判定和性质定理 1.线面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 简记 线线垂直，线面垂直 2.线面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 知识点4 平面与平面垂直的判定和性质定理 1.面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.简记：线面垂直，面面垂直. 2.面面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，线面垂直 知识点5 共点共线共面的证明 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 思路方法总结 1.证明直线与平面平行的方法 1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)． 2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线． 3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β. 2.证明面面平行的常用方法 1、利用面面平行的定义． 2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． 4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． 5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 3.证明线面垂直的方法 1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. 2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 3、性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. 4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 4.证明面面垂直的两种方法 法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题； 法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决。 典例·举一反三 题型一 线面平行的证明 1．如图，在长方体中，分别为和的中点．求证：平面． 2．如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 3．如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 4．如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 题型二 面面平行的证明 6．如图，在多面体中，底面是平行四边形，点和点分别是和的中点．证明：平面∥平面．    7．如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面. 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证：平面平面. 9．已知长方体中，，其外接球的表面积为，平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，其体积为．    (1)证明：平面平面； (2)求棱的长； (3)求几何体的表面积． 10．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 题型三 线面垂直的证明 11．如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，分别是，的中点，平面平面，．求证：平面．    12．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 13．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，是的垂心．求证：    (1)底面； (2)是锐角三角形． 14．如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 15．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 题型四 面面垂直的证明 16．已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 17．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面． 19．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 20．如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； (3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值 题型五 共线共面问题 21．已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证： (1)E、F、D、B四点共面 (2)平面平面. 22．如图，在正方体中，分别为棱上分别靠近的三等分点，为棱的中点. (1)设平面平面平面，证明：三点共线； (2)证明：平面. 23．如图，正方体. (1)证明：； (2)若分别为中点，证明：三线共点. 24．如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 25．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 题型六 线面关系的翻折问题 26．如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 27．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 28．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 29．如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 30．如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破1 线面的平行和垂直的证明问题 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线与平面平行的判定和性质定理 1.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 简记 线线平行，线面平行 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b 图形语言 简记 线面平行，线线平行 知识点2 平面与平面平行的判定和性质定理 1.平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒β∥α 图形语言 简记 线面平行，面面平行 2.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 简记 面面平行，线线平行 知识点3 直线与平面垂直的判定和性质定理 1.线面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 简记 线线垂直，线面垂直 2.线面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 知识点4 平面与平面垂直的判定和性质定理 1.面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.简记：线面垂直，面面垂直. 2.面面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，线面垂直 知识点5 共点共线共面的证明 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 思路方法总结 1.证明直线与平面平行的方法 1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)． 2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线． 3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β. 2.证明面面平行的常用方法 1、利用面面平行的定义． 2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． 4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． 5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 3.证明线面垂直的方法 1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. 2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 3、性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. 4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 4.证明面面垂直的两种方法 法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题； 法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决。 典例·举一反三 题型一 线面平行的证明 1．如图，在长方体中，分别为和的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点O，连接OF，OE，则由三角形的中位线定理结合平行四边形的性质和判定可得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】如图，在长方体中，取的中点O，连接OF，OE． 在中，因为F，O分别是，中点， 所以，且， 因为四边形为矩形，所以，， 因为是的中点，所以， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 2．如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1)16； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2），连接，利用线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 3．如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明； （2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；方法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行. 【详解】（1）如图，连接，．    因为四边形是正方形，且是的中点， 所以是的中点，又是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）方法一  取的中点，连接，，如图所示， 则有且． 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 方法二  取的中点，连接，，如图所示， 因为点是，的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 因为点，分别是和的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 且，，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 4．如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值． 【详解】（1）连接，    在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）建立空间直角坐标系，      则，，，，， 因此，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以． 5．如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)平行，证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质即可求证， （2）根据线面平行的判定即可求证. 【详解】（1）平行，理由如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 又平面平面，平面，所以． （2）平行．证明如下：如图所示，    取的中点，连接， 故,又 所以且． 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 题型二 面面平行的证明 6．如图，在多面体中，底面是平行四边形，点和点分别是和的中点．证明：平面∥平面．    【答案】证明见解析 【分析】由三角形的中位线定理可得∥，则由线面平行的判定定理得∥平面，设，连接，则∥，则由线面平行的判定定理得∥平面，从而由面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】证明：在中，因为，分别是，的中点，所以∥， 又因为平面，平面，所以∥平面． 设，则点为的中点，连接，如图所示，    在中，因为点为的中点，所以∥， 又因为平面，平面， 所以∥平面． 又因为，，平面， 所以平面∥平面． 7．如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接交于，连接，即可得到，从而证明平面，再说明四边形是平行四边形得到，即可得到平面，从而得证. 【详解】连接交于，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面． 8．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，由且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，证得平面，由（1）可得平面，结合面面平行的判定定理，即可得证. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为底面是正方形，底面，且分别是的中点， 所以，且，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）证明：因为为的中点，连接，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 由（1）可得平面，且平面， 所以平面平面. 9．已知长方体中，，其外接球的表面积为，平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，其体积为．    (1)证明：平面平面； (2)求棱的长； (3)求几何体的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据长方体的性质得到、，即可得证； （2）设，，，根据外接球的表面积及棱柱、棱锥的体积公式得到方程组，解得即可； （3）根据表面积公式计算可得. 【详解】（1）根据长方体的性质可知且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面； （2）设，，， 又（为长方体外接球半径）， 又外接球的表面积为，即，所以， ∴①； 又， ∴②； 由①②解得或（舍去），∴棱长为； （3）若，，，则， ，，， 在中由余弦定理， 则， 所以， 所以 . 10．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得平面，又平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可； （2）先根据线面垂直的判定定理得平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1），F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是的中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． （2）连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 题型三 线面垂直的证明 11．如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，分别是，的中点，平面平面，．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】利用等边三角形性质结合面面垂直性质得到平面，再利用线面垂直的性质得到，然后结合题意得到，最后利用线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为为等边三角形，是的中点，所以． 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以． 又因为分别是，的中点，所以． 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面． 12．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 13．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，是的垂心．求证：    (1)底面； (2)是锐角三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结并延长交于点．由垂心得到，再结合可证平面，得到，同理得到即可求证； （2）由余弦定理即可求证. 【详解】（1）连结并延长交于点．      因为是的垂心，所以． 易知平面，平面，所以． 又因为，平面，平面，所以平面， 而平面，所以．同理，． 因为，平面，平面，所以平面． （2）设， 可得”：， 所以， 所以为锐角，同理为锐角， 所以是锐角三角形． 14．如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【详解】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面，所以， 15．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 题型四 面面垂直的证明 16．已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【详解】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 17．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可和，进而可得； （2）由，可得平面，进而可证结论； （3）取中点，连接，由题意易证四边形为平行四边形，可得，易证结论. 【详解】（1）∵，且为的中点， ∴． ∵底面为矩形，∴， ∴； （2）∵底面为矩形，∴． ∵平面平面，平面平面， ∴AB⊥平面．而平面， ， 又，，平面， 平面，而平面， ∴平面平面． （3）如图，取中点，连接． 分别是和的中点，，且， ∵四边形为矩形，且E为AD的中点， ， ，且，∴四边形为平行四边形， 又平面，GD平面， ∴平面． 19．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结交于，连结，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 20．如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； (3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）利用线面垂直的性质、判定，结合面面垂直的判定推理得证. （3）由（2）的信息，利用几何法求出线面角的正弦. 【详解】（1）四棱锥底面是菱形，连接，，则是正三角形， 由底面ABCD，平面，得，由是的中点，得， 而平面，所以平面.    （2）连接，由菱形，得，由是的中点，得，则， 由底面ABCD，底面ABCD，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （3）令，连接，由（2）知平面，得是直线PC与平面POE所成的角， ，，则， 由，得，， ，， 在直角中，， 所以直线PC与平面POE所成角的正弦值为. 题型五 共线共面问题 21．已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证： (1)E、F、D、B四点共面 (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意证明，即可得结果； （2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明. 【详解】（1）证明：分别是、的中点， 所以， 又， 所以四边形是平行四边形， . ， 即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面. （2）（2）M、N分别是、的中点， .又平面，平面，平面. 连接，如图所示，则，. 四边形是平行四边形. . 又平面，平面. 平面. 都在平面,且,所以平面平面. 22．如图，在正方体中，分别为棱上分别靠近的三等分点，为棱的中点. (1)设平面平面平面，证明：三点共线； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面的性质可得点在平面与平面的交线上，同理可得点、也在平面与平面的交线上，即可得证； （2）通过证明，得到，即可得证. 【详解】（1）因为平面，所以， 又平面，所以平面， 又因为平面， 所以点在平面与平面的交线上， 同理可得点、也在平面与平面的交线上， 因为平面与平面不重合且不平行， 所以平面与平面的交线唯一， 所以三点共线； （2）因为、分别是棱、上分别靠近、的三等分点，为棱的中点， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面. 23．如图，正方体. (1)证明：； (2)若分别为中点，证明：三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别证明，，再根据线面垂直的判定定理证明平面，从而得结论； （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【详解】（1）连接， 在正方体中， 可得平面，， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）因为分别为 所以，又， 所以，而，可得四边形为梯形， 设，则， 平面，所以平面，同理平面， 又平面平面，所以， 即三线共点． 24．如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面． (3)若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，． 【分析】（1）利用中位线定理及确定平面的条件即可证明； （2）利用线面平行的判定定理即可证明； （3）根据面面平行的判定定理及性质定理即可求解. 【详解】（1）证明：如图1，连接． 因为分别是线段的中点，所以． 又，所以，所以，所以四点共面． （2）证明：由（1）得． 因为平面，平面，所以平面． （3）如图2，在线段上取一点，使得， 作，交于点，连接． 因为，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 因为，，所以， 因为，所以． 故在棱上存在一点，使得平面，且． 25．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 题型六 线面关系的翻折问题 26．如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，根据几何关系，取的中点，根据等腰三角形的性质，证明平面； （2）根据线线垂直，证明平面，再根据线面垂直关系说明，再根据（1）的结果，证明线面垂直. 【详解】（1）取的中点，在等腰中，，为的中点， ∴，在等边中，，又，平面， ∴平面，又平面，∴ （2）∵在中，，又，又，平面 ∴平面，又平面，∴ 又由（1）知（已证），，平面， ∴平面 27．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 28．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    29．如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，理由见解析 【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）结合条件及线面垂直的判定定理，可得平面，进而证得平面. 【详解】（1）分别为中点，. 又平面，平面，直线平面. （2）直线平面，理由如下： 选①，，在中，，，则， 又，，则， 又，，平面， 平面，， 又，，平面， 平面，又分别为的中点， ，则平面. 选②，为四面体外接球的直径， 则，，又，， 平面，平面， 分别为AC，AD的中点， ，则平面. 选③，平面，平面，， 又，，平面，平面， 分别为的中点，，则平面. 30．如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接、，证明出，则或其补角为异面直线与所成角，然后求出三边边长，结合余弦定理求解的余弦值即可； （2）证明出平面，可得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】（1）取中点，连接、， ，，四边形是平行四边形，则， 或其补角为异面直线与所成角， 翻折前，即，， 翻折后，则有，，且有， ，， 又，、平面，面， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）面，平面，， ，，，，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，， ，、平面，面， 因为平面，， 又，为的中点，， ，、平面，面， 平面，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$