精品解析：山西省朔州市怀仁市怀仁市第一中学校等（青桐鸣联考）2025届高三下学期高考模拟数学试题

2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，i为虚数单位，为z的共轭复数，则复数（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据虚数单位的幂次规律化简，再通过复数的运算法则求出，最后根据共轭复数的定义求出． 【详解】，即，即，所以． 故选：C． 2. 已知全集，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照补集交集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以． 故选：． 3. 已知向量和向量，若，则实数（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，即，所以． 故选：D． 4. 已知随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为，又， 根据正态曲线的性质可得，， 故． 故选：A． 5. 在的展开式中，含有项的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. 20 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求出项即可得该项系数. 【详解】在的展开式中，含有项为， 所以展开式中含有项的系数为15. 故选：A 6. 函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域判断D，根据奇偶性判断A，再由函数自变量时，函数值的变化趋势判断C.根据函数性质，判断B. 【详解】函数的定义域为，排除选项D； ， 故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A； 当时，； 当时，，排除选项C； 综上所得，选项B符合题意． 故选：B． 7. 已知正六棱柱的底面边长为4，体积为，点N在正六边形内及其边界上运动，若，则动点N的轨迹长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱体积公式列方程求高．已知的值，利用勾股定理求出，可知点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧（在正六边形内的部分），再根据已知得，用弧长公式算出轨迹长度． 【详解】设此正六棱柱的高为h，则体积，得， 又，在直角三角形中，可得， 所以点N的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆弧（在正六边形内的部分）， 又因为，所以动点N的轨迹长度为． 故选：C． 8. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集，确定函数的零点，根据函数的零点写出函数的解析式，再利用待定系数法求函数的解析式，由导数求函数的极大值. 【详解】因为不等式的解集为， 则， 故， 又，故，， 故，则， 令，解得或， 由可得或，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极大值点， 的极大值为． 故选D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组数据分别为71，63，67，83，73，63，关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 极差为20 B. 众数为63 C. 方差为 D. 中位数为71 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据极差、众数、方差和中位数的计算公式一一判断即可. 【详解】将该组数据从小到大排列：63，63，67，71，73，83， 对A，可得该组数据的极差为，故A正确； 对B，众数为63，故B正磞； 对C，平均数为， 方差为，故C正确； 对D，因为中位数为，故D错误． 故选；ABC． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 为函数的一个周期 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项：把和代入算出与的值，比较二者是否相等来判断对错． 对于B选项：令，先确定范围是，再根据指数函数单调性求值域． 对于C选项：将换为代入，通过诱导公式化简，看是否与相等来判断． 对于D选项：先对右移个单位得，进而得到右移后的，把代入，看是否为判断对错． 【详解】因为，所以． 对于选项A，，， 所以，故A错误； 对于选项B，令，，， 因为在上单调递减，所以的值域为，故B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，将的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数是， 故的图象向右平移个单位长度得到的函数为， 因为，故D错误． 故选：BC． 11. 小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类．每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分．电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道．小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答．已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（ ）． A. 小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为 B. 在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为 C. 当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18 D. 当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，算从7道单选题里选6道、5道多选题里选4道的选法数量，再算从12道题里选10道的选法总数，前者除以后者得概率；对于B，“至少7道单选题”有7单3多和6单4多两种情况，用7单3多的情况数除以这两种情况数之和得概率；对于C，先确定多选题选对题目的平均数量，再乘每题分值12，得到总得分平均情况；对于D，确定单选题选对题目的平均数量，乘每题分值8，得到总得分平均情况. 【详解】对于选项A，可知从7道单选题、5道多选题中随机抽取出6道单选题、4道多选题， 其概率为，故A正确； 对于选项B，所求概率为，B正确； 对于选项C，设多选题全部选对的题数为，则， 所以，故多选题总得分的期望为，故C错误； 对于选项D，设单选题选对的题数为X， 因为单选题的题数为，所以，所以， 故单选题总得分的期望为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记函数的导函数为，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求函数的导数，再代入自变量，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故答案为： 13. 已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由已知条件结合双曲线的定义出，再由点A在圆上，可得，结合离心率，从而可求出. 【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为c， 因为圆与E在第一象限的交点为A，所以， 由双曲线的定义得， 由，得， 即， 解得，(舍去)． 故答案为：. 14. 已知函数，的定义域均为R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点s，t，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由的最小值为求出，又由为偶函数，为奇函数，推出是以4为周期的周期函数，即得的对称轴即可求解. 【详解】由函数的最小值为， 得，解得， 又，故，所以，对称轴为． 因为函数为偶函数，所以，可得； 因为函数为奇函数，所以，可得， 又，所以，即， 所以，故函数是以4为周期的周期函数， 由，得函数关于对称， 所以函数关于对称，故关于对称， 所以． 故答案为：10. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别是角的对边，且，，，． （1）求角C； （2）求的面积； （3）求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角即可求解； （2）由余弦定理结合三角形面积公式即可求解； （3）由投影向量的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 因为，所以， 所以，得， 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得， 因为，，，代入整理得， 解得（舍去）， 所以的面积． 【小问3详解】 因为， ， 所以向量在向量上的投影向量的模为． 16. 如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点P是以为直径的半圆上任意一点（不与点C，D重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）． （1）证明：平面； （2）求面积的最大值； （3）当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：∵平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面． ∵，∴平面， ∵平面，∴． ∵点P在以为直径的半圆上，∴， 又，平面，， ∴平面． （2）29 （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线线平行的性质得到另一条线的线面垂直，最后结合已知条件和线面垂直的判定定理得出最终结论． （2）首先根据线面垂直的性质得到线线垂直关系，再利用勾股定理得出的值，最后通过基本不等式求出面积的最大值． （3）首先根据已知条件建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标，求出平面的法向量；最后利用向量的夹角公式求出两个平面法向量夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，∵平面，∴， ∴， ∴，当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为29． 【小问3详解】 在平面内过点P作于点G， ∵平面平面，平面平面， 平面， ∴平面， 以G为坐标原点，以过点G与平行的直线为x轴，，所在的直线分别为y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 当时，， 则，可得， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， ，即， 令，则，，∴． 由（1）得平面的一个法向量为， ， ∴平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知数列的前n项和满足． （1）求的通项公式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列前项和与通项的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验时的情况是否满足时的通项公式． （2）已知条件得到关于的不等式，通过构造数列，求出数列的最小值，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 ，则当时，， 当时，，不符合， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以，． 令，则， 当时，不妨设的第n项的值最小， 只需令， 解得， 又， 所以的最小值为， 所以，即的取值范围是． 18. 已知抛物线的准线为l，以为圆心，面积为的圆与y轴的负半轴交于点Q，动点P到直线l的距离为． （1）求动点P的轨迹的方程； （2）若直线l与y轴的交点为M，是否存在过点M且斜率存在的直线n交于A，B两点，使？若存在，求出直线n的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）先根据圆的圆心和面积求出圆方程，令得到圆与轴交点，结合点位置确定坐标.再由抛物线准线，设点坐标，根据距离关系列出等式，整理得到的方程. （2）先设出直线方程和、两点坐标，联立直线与椭圆方程，根据判别式确定范围，求出与.用弦长公式求出，根据向量关系得到表达式.再由列方程，解出并验证是否满足判别式，从而确定直线方程. 【小问1详解】 以为圆心，面积为的圆的方程为， 令，得或， 因为点Q在y轴的负半轴上，所以， 易得抛物线的准线为， 设，则， 整理得的方程为． 【小问2详解】 存在． 依题意可知，设直线n的方程为，，， 联立， 整理得，， 故，， 于是． 因为A，M，B三点共线，所以， 又因为 ， 若，即， 解得，满足， 故存在直线n，其方程为． 19. 已知，函数，． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）证明：函数存在两个零点； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 证明：由，则， 当时，，，且等号不同时成立， 则； 当时，，，故， 设，则， 故函数在区间上单调递减， 又，， 故存在使得， 当时，，当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 存在，使得， 故函数存在两个零点． （3） 【解析】 【分析】（1）先求，再分类讨论大于和小于时的正负即可得到函数的单调性； （2）分和讨论的单调性以及值域，再由得到的单调性，当时，构造函数利用导数结合零点存在定理分析； （3）先根据（2）中得到的的单调性画出其大致图象，再由（1）中的结论分类讨论，求出值域，最后由恒成立，确定的取值范围. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， 又， 当时，，故函数在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，， 由（2）可得函数的图象如图所示： 当时，因为，， 则，即恒成立； 当时，函数在区间上单调递减， 又，当时，， 存在，使得， 当时，， 故存在，使，即，与题设矛盾； 当时，函数的极大值为，即， 当时，即当时，， 故，即恒成立， 当时，即时，存在， 使，即，与题设矛盾． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，i为虚数单位，为z的共轭复数，则复数（ ）． A. B. C. D. 2. 已知全集，，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知向量和向量，若，则实数（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，含有项的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. 20 D. 2 6. 函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知正六棱柱的底面边长为4，体积为，点N在正六边形内及其边界上运动，若，则动点N的轨迹长度为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组数据分别为71，63，67，83，73，63，关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 极差为20 B. 众数为63 C. 方差为 D. 中位数为71 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 为函数的一个周期 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数是奇函数 11. 小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类．每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分．电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道．小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答．已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（ ）． A. 小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为 B. 在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为 C. 当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18 D. 当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记函数的导函数为，若，则__________． 13. 已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则__________． 14. 已知函数，的定义域均为R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点s，t，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，分别是角的对边，且，，，． （1）求角C； （2）求的面积； （3）求向量在向量上的投影向量的模． 16. 如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点P是以为直径的半圆上任意一点（不与点C，D重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）． （1）证明：平面； （2）求面积的最大值； （3）当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知数列的前n项和满足． （1）求的通项公式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知抛物线的准线为l，以为圆心，面积为的圆与y轴的负半轴交于点Q，动点P到直线l的距离为． （1）求动点P的轨迹的方程； （2）若直线l与y轴的交点为M，是否存在过点M且斜率存在的直线n交于A，B两点，使？若存在，求出直线n的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知，函数，． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）证明：函数存在两个零点； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $