专题01 特殊的平行四边形（考题猜想，18大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题01 特殊的平行四边形（18大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 题型二 利用矩形的性质与判定求线段长 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 题型四 利用菱形的性质与判定求角度 题型五 利用菱形的性质与判定求线段长 题型六 利用菱形的性质与判定求面积 题型七 利用正方形的性质与判定求角度 题型八 利用正方形的性质与判定求线段长 题型九 利用正方形的性质与判定求面积 题型十 与特殊平行四边形有关的折叠问题 题型十一 特殊平行四边形与函数综合 题型十二 与特殊平行四边形有关的最值问题 题型十三 与特殊平行四边形有关的新定义问题 题型十四 几何模型—中点四边形模型 题型十五 几何模型—半角模型 题型十六 几何模型—对角互补模型 题型十七 几何模型—十字架模型 题型十八 几何模型—其它模型 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 1．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知点A，B在反比例函数的图象上，且，分别过点A，B作x轴和y轴的平行线交于点C，且交x轴于点F．连接相交于点D．过点A作轴，垂足为点E，且交于点G，连接． (1)求证：轴； (2)求证：三等分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设点的坐标为，求得点的坐标为，点的坐标为，再求得直线的解析式为，得到点的坐标为，据此即可证明结论成立； （2）证明四边形是矩形，推出，由三角形的外角性质推出，由已知得到，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：设点的坐标为， ∵轴，轴，轴， ∴四边形是矩形， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴轴； （2）证明：∵轴，轴，轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即三等分． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的判定和性质，三角形的外角性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理． （1）先证明得，再结合即可得出结论； （2）先用勾股定理的逆定理证明，得出四边形是矩形即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 在和中 又 四边形是平行四边形； （2） ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二 利用矩形的性质与判定求线段长 4．（23-24八年级下·山东德州·期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）①直接利用勾股定理列式表示即可；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，设，，，，则，表示，，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①在中， ， ， 在中， ， ， ②，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中， ， ， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：①，；② （2）如图，设，，，，则， 在中，， 在中，， ， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交CA的延长线于H，， 如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 5．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图①是两个三角板，其中，，，． (1)若将两个三角板按图②方式摆放，使点B、D重合，且，求的度数； (2)在（1）的条件下，将沿方向平移，当点E恰好落在边上，求的平移距离； (3)在（2）的条件下，此时点E恰好落在边上，我们将绕点E顺时针方向旋转 时，第一次与平行． 【答案】(1) (2)的平移距离为； (3)120 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行线的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，延长交于点，过点作于点，则四边形是矩形，．求出即可； （3）如图，求出可得结论． 【详解】（1）解：如图②中，∵， ， ； （2）解：如图②中，延长交于点，过点作于点，则四边形是矩形，． ，，， ， ， 平移的距离为； （3）解：如图， ∵， ， 旋转角． 故答案为：120． 6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)存在最小值，的最小值为 (3)D的坐标为或或 【分析】本题考查四边形综合应用，坐标与图形，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用勾股定理的逆定理证明，根据三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）连接，可得，故当最小时，最小，此时，用面积法可得答案； （3）过A作于K，求出点A的坐标，设，而，分三种情况：①若为对角线；②若为对角线；若为对角线，分别解方程组可得D的坐标为即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在点P的运动过程中，的长存在最小值，理由如下： 连接，如图： 由（1）知，四边形是矩形， ， ∴当最小时，最小，此时， ∴， ， ∴的最小值为； （3）过A作于K，如图： 同（2）可知， ， ， 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ②若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ③若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； 综上所述，D的坐标为或或． 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 7．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与x 轴，y轴分别交于点A 和点B，点 A 的坐标为，且． (1)求直线解析式； (2)如图，将向右平移3个单位长度，得到，求线段的长； (3)在(2)中扫过的面积是　　　． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）先求出点B的坐标，设直线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质求出点的坐标，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）根据三角形和矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把和分别代入中得 ， 解得 ， ∴ 直线解析式为； （2）∵， ∴， 由平移得 在中，由勾股定理得 即线段的长是； （3）∵扫过的面积等于矩形与的面积的和， ∴扫过的面积 【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的性质、平移的性质、两点之间距离公式、三角形面积公式、矩形面积公式是解题的关键． 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，与相交于点O，且O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质等知识点，掌握矩形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，再证明可得人然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质可得、，再结合等边三角形的性质可得是矩形；再根据勾股定理求得，最后根据矩形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：， ． 又，， ， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． 是等边三角形，且， ， ， 是矩形， ，， ， 四边形的面积． 9．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，正方形是某校一个花坛，边长为10米，为美化校园环境，学校后勤部决定在边、、、上分别取点、、、，米，连接、、、，在四边形内种植牡丹花．请判断四边形的形状，并计算四边形的面积． 【答案】矩形，48平方米 【分析】先证明、、、均为等腰直角三角形，且，，得到，，进而可证明四边形为矩形．再利用勾股定理求出，，最后利用矩形面积计算公式求解即可． 【详解】．解：四边形是正方形， ，米． 米， 米， 、、、均为等腰直角三角形， 且，， ，， 四边形为平行四边形． ∵， ， 四边形为矩形． ，， ， （平方米）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的性质等等，全等三角形的性质与判定，证明四边形为矩形是解题的关键． 题型四 利用菱形的性质与判定求角度 10．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， （1）根据平分，得到，结合四边形是平行四边形，证出，，得出四边形是菱形，即可得． （2）根据四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得出，设，则，即可求解； 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ， ， 设，则， 解得：， ． 11．（21-22八年级下·山东聊城·期末）如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； (3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)45°，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得,根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边证明即可； （2）通过证明△AOF≌△COE（ASA）．即可得证； （3）根据题意与勾股定理求得,根据平行四边形的性质可得,得到，结合菱形的性质和判定求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平行四边形ABCD中，ADBC， ∴AFBE， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， 又∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°， ∴∠BAC＝∠AOF， ∴ABEF， ∴四边形ABEF是平行四边形． （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，ADBC， ∴∠OAF＝∠OCE， ∵∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）． ∴AF＝CE． ∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等． （3）当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形． 理由如下： 由（2）知：AF＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴DF＝BE，DFBE， ∴四边形BEDF是平行四边形． 如图： ∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC＝1， ∴AO＝AB， ∵AB⊥AC， ∴∠AOB＝45° ∵AC绕点O顺时针旋转45度， ∴∠AOF＝45°， ∴∠BOF＝90°， ∴EF⊥BD． ∴四边形BEDF是菱形． 【点睛】本题考查旋转的性质及菱形性质和判定，掌握平行四边形，全等三角形的性质与判定，菱形的性质和判定是求解本题的关键． 12．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据等边对等角，利用四边形是平行四边形，可得，由等量关系可得即可证明结论； （2）①先说明是等腰直角三角形可得，再证明可得，然后证明是等腰直角三角形即可证明结论；②延长相较于H，连接，求证四边形是平行四边形，再求证是等边三角形，求证，再根据全等三角形的性质及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：①如图2，连接 ∵在平行四边形中，， ， ， ， 又， ∴是等腰直角三角形，即：， 由（1）可得：， ， 又∵是的中点， ， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，即：； ②如图3，延长相较于H，连接． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形为平行四边形 由（1）可得：AD=DF，CE=CF ∴平行四边形是菱形．平行四边形是菱形． ∵， ∴,, ∴是等边三角形，即， 在与中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合运用相关知识成为解题的关键． 题型五 利用菱形的性质与判定求线段长 13．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，将矩形的边延长到点，使，连接、，作交延长线于点，连接．    (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形的面积为24，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理． （1）证明，得到，又，可证得四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，得证是菱形； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出，从而，再根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在矩形中，， ∴， ∴是菱形； （2）∵，， ∴， ∴在菱形中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中，． 14．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，结合菱形性质得到，并证明，利用全等的性质结合勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， ， 在中，， ， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 15．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，过点C作交的延长线于点E，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线的综合，掌握菱形的判定方法，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，即可求证； （2）在中，是斜边的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）可知，平行四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵是线段的中点， 在中，是斜边的中线，且，， ∴． 题型六 利用菱形的性质与判定求面积 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形． (1)判断四边形的形状，并证明． (2)若测得四边形的面积为，点，之间的距离为，求边的长． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理， （1）如图，连接、，过点分别作于点，作于点，证明四边形是平行四边形，再根据等积法即可得证； （2）由（1）知是菱形，求出的长，再根据勾股定理即可求出的长， 正确作出辅助线，证明四边形是菱形是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：如图，连接、，过点分别作于点，作于点， ∵两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴边的长为． 17．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积是120，菱形的周长是52 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：∵四边形为菱形， ∴、相互垂直且平分， ∴． ∴， ∴， ∴菱形AECF的面积， 菱形AECF的周长． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得是关键． 18．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可得出答案； （2）由（1）可得，再根据矩形的性质可证，进而得到，结合，可证，即可得出结论； （3）连接交于点F，利用矩形的性质结合勾股定理求出，，再根据四边形是菱形，证明是的中位线，求出，进而求出，最后由菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：由（1）知四边形是菱形； ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：连接交于点F， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形； ∴垂直平分，即点F是的中点， ∵四边形是矩形， ∴，即点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定方法是解题关键． 题型七 利用正方形的性质与判定求角度 19．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图1，在中，于点D，，点在上，，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，连接，猜想的度数，并证明； (3)如图3，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质以及正方形的判定： （1）判定和全等即可作答； （2）过点作于，于，根据可得到，通过等量代换得到，此时四边形是正方形，结合，可得到，利用等腰直角三角形的性质即可作答； （3）在上截取，连接，延长交于，先证明和全等，再计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴ （2）猜想： 证明：如图2，过点作于，于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， 四边形是正方形 ∴， ∴； （3）如图3，在上截取，连接，延长交于， 由（1）、（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 20．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且是轴负半轴上一点，连接． (1)如图1，若于点，且交于点，求证：； (2)如图2，在（1）的基础上，连接，求证：； (3)若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，之间有何数量关系？为什么？ 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3)或或，证明过程见详解 【分析】（1）根据垂直的性质，对顶角相等的性质可得，运用“角边角”的证明方法即可求证； （2）如图所示，过点作，可证四边形是矩形，由（1）的全等可得，证明矩形是正方形，且是对角线，由正方形的性质即可求证； （3）根据题意可得，根据动点的运动，分类讨论：第一种情况，点在轴正半轴上，连接，可证明，得，由，即可求解；第二种情况，点在上时，可证，得，由∴，即可求证；第三种情况，点在点的下方，同理可证，，由，即可求解；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴； （2）解：如图所示，过点作，则， ∴四边形是矩形， 由（1）可得，且， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵是对角线， ∴； （3）解：已知点， ，且， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，点在轴正半轴上，连接， ∵，，点是中点， ∴，即，， ∴， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 第二种情况，如图所示，点在上时， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点的下方， 同理可得，，， ∴， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，几何图形面积的设计方法，掌握平面直角坐标系中点坐标的特点，全等三角形的判定和性质，图形结合分析思想是解题的关键． 21．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 题型八 利用正方形的性质与判定求线段长 22．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； (4)设点Q是第二象限内的一点，且以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， (4)Q的坐标是或 【分析】（1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，先证明矩形是正方形，即有，再根据，即可作答； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可； （4）分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 则D的坐标是，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； （2）过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，如图， ∵点P在平分线上， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴平分，轴，轴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）设， ， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为： 或； （4）当四边形是菱形时，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵P的纵坐标是3，把代入， 得， 解得：， 则P的坐标是， ∴Q的坐标是； 当四边形是菱形时，如图 ∵四边形是菱形， ∴，， 设P的横坐标是n，则纵坐标是， 则， 解得：或0（舍去）， 则P的坐标是 ∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是， ∴Q的坐标是， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 23．（21-22九年级上·安徽宿州·期末）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图象经过点，交轴于点，反比例函数的图像也经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点作于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）首先过点分别作轴于，轴于，证明四边形是正方形，进而得出A点横纵坐标相等，进而代入一次函数解析式求出即可； （2）由勾股定理得①，②，求出OA2和OC2，,利用①-②求出结果即可； 【详解】（1）解：过点分别作轴于，轴于，如图， ∴四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 把代入，解得， ∴， ∴， 在中，①， 在中，②， ①-②得：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，正方形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，利用数形结合得出是解题关键． 24．（2023·山东济南·二模）已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，，于点，于点，求证：四边形正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ； （2）①证明：如图，设与相交于点．   ， ， ， ． ， ． ， ，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，． ． 又 ． ． 矩形是正方形； ②解：作交于点，作于点，    此时． ， ，， 最大时，最小，， ， 由（2）①可知，是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型九 利用正方形的性质与判定求面积 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． (1) ． (2)求点E的坐标及四边形的面积． (3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)8 (2)，四边形的面积为4 (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出的值即可； （2）根据点为边中点求出点坐标，进而可得出点坐标，由轴，轴可知四边形是正方形，进而可得出其面积； （3）先求出点坐标，再由函数图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：8； （2）解：∵点为边中点，， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为， ∵交该函数图象于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积； （3）解：∵， ∴， ∴当或时，正比例函数的值大于反比例函数的值． 26．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；②（1）中的正方形，面积较大． 【分析】（1）①由正方形的性质结合题意可求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可求出，最后根据正方形的面积公式列方程即可； ②根据直接开平方法求出x的值，即可求出和的长，最后根据求解即可； （2）①过点A作，设为裁剪线，将绕点A逆时针旋转得出，从而可证四边形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出的长，从而可求出，最后比较即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 27．（23-24八年级下·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 【答案】(1)② (2)①见解析；②4． 【分析】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可； （2）①根据菱形的性质得到，即，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N作于H，于G，证明四边形是矩形可得，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，最后四边形的面积=正方形的面积． 【详解】（1）解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为，但对角不一定为，不是对角直角四边形． 故答案为：②． （2）①证明:∵.四边形是菱形， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是对角直角四边形； ②如图：过N作于H，于G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键． 题型十 与特殊平行四边形有关的折叠问题 28．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形纸片中，，，，点在边上，自向以每秒1个单位的速度运动；点在边上，自向以每秒2个单位的速度运动；点和点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．现将矩形纸片沿直线折叠，使点落到点处，点落到点处，直线与边相交于点． (1)填空：当______时，； (2)连接，交于点，设的面积为，请写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使直线恰好经过的中点？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的值为或． 【分析】（1）根据矩形性质可得由折叠得：，利用等边对等角得再运用余角的性质即可得出推出建立方程求解即可； （2）连接，由题意得可证得得出根据三角形面积公式可得再求得，即可求得答案； （3）延长交于点，交的延长线于点，可证得由平行线性质得由折叠得推出，利用等角对等边可得再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ∴， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：如图1，连接， 由题意得：且 ∵四边形是矩形， ， 设的面积为， 即 ； （3）解：存在，理由如下： 如图2，延长交于点，交的延长线于点， 由题意得： 当点为的中点时， 在和中， ， 由折叠得： 在中， 即 解得： ∴存在某一时刻，使直线恰好经过的中点，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 29．（23-24八年级下·山东日照·期末）在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动． (1)初步感知 如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 连接，则的形状是______三角形； (2)迁移探究 将矩形纸片换成正方形纸片，先完成（1）中的“操作一”，然后在上任选一点M（点不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，连接．请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由： ②若正方形纸片的边长为8，在以上探究中，当时，求的长． 【答案】(1)等边 (2)①，，理由见解析；②或． 【分析】（1）由折叠的性质可得得，再次折叠得，等量代换问题可求解； （2）①根据折叠性质可证即可求解；②分两种情况，当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的下方时，设，分别表示出，，有勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ，， ， ， ， 再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段， ， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边； （2）解：①如图2，，，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由翻折可知，， ， ， ， ， 由翻折可知：，， ； ②当点Q在点F的下方时，如图2， ，， ，， ， 由①知， 设，， ， ， 解得：， ， 当点Q在点F的上方时，如图3， ，， ， 由①知：， 设，， ， ， 解得：， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 30．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知三角形纸片，其中，，，点E，F分别是，上的点，连接．    (1)如图1，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点D处，且，求的长； (2)如图2，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点M处，且． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求折痕的长． 【答案】(1) (2)①四边形是菱形．理由见解析；② 【分析】（1）由折叠的性质可得出，，进而得出，．由已知条件可得出，再证明，再由相似三角形的性质可得出，由勾股定理求出，则可求出． （2）①由折叠的性质得出．，，由平行线的性质得出，等量代换得出，由等边对等角得出，则，则可得出为菱形． ②过点作于点．由菱形的性质可得出，进而得出，由相似三角形的性质得出，设，求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进一步得出，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处． ，． ，． ， ． ，， ． ， ． ，， ， ． （2）四边形是菱形． 证明：若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处， ． ∴．，， ， ， ∴， ． ∴ 四边形是菱形． ②过点作于点． 四边形是菱形， ． ． ． 设， ． ． ，， ． ． 即 ， ． 在中， ． ．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，菱形的判定以及性质，折叠的性质，平行线的性质以及勾股定理的应用等知识，掌握相似三角形的判定以及性质，折叠的性质，菱形的判定以及性质是解题的关键． 题型十一 特殊平行四边形与函数综合 31．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知长方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，，，D、E分别为上的两点，将长方形沿直线折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平． (1)点B的坐标是______； (2)求直线的函数表达式； (3)设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动，运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)不存在，见解析 【分析】（1）根据，，知． （2）设，则，可得，解得，故，，证明，知，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； （3）求出；再分当时，P在线段上，当时，P在线段上，当时．P在线段上三种情况讨论可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：设，则， 根据翻折的性质可得，， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （3）解：，， ； ， 当时，P在线段上， ， 此时不存在点P，使； 当时，P在线段上，如图： 此时， ，，， ， 解得：（不符合题意，舍去， 当时．P在线段上，如图： ， ， ，， 在线段上，不存在P，使， 综上所述，P在运动过程中，不存在时刻t，使． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形面积，翻折问题等，解题的关键是掌握翻折的性质． 32．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知正方形的面积为16，点是坐标原点，点在轴上，点在轴上，点，在函数的图象上，点坐标为且．过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．若矩形在正方形外的部分（阴影）面积为S． (1)求B点的坐标和k的值； (2)写出S关于m的函数关系式； (3)当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)； (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合等知识点． （1）先根据正方形的面积公式可得，从而可得点的坐标，再利用待定系数法即可得的值； （2）先将点代入反比例函数的解析式可得，利用矩形的面积公式即可得； （3）根据（2）的结果，求出时，的值，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：正方形的面积为16， ， ， 将点代入得：； （2）解：由（1）得：反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 如图， 则，， ， ； ∴关于的函数关系式为； （3）解：由题意得，， 解得， ∵， 则， 即此时点的坐标为． 33．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．    (1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为． 请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的函数表达式； (3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________． 【答案】(1)见解析 (2)直线的函数表达式，曲线的函数表达式 (3) 【分析】（1）根据A的坐标为，点B的坐标为补全平面直角坐标系，根据，， ，点C到，所在直线的距离分别为2，4，，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分画图； （2）设线段的解析式为，把，代入，得到k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，即得线段的解析式；再设曲线的解析式为，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲线的解析式； （3）设，根据轴，，点P在上，点Q在上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，得到线段、的长的表达式，根据建立方程，解方程得到m的值，即可求出的长． 【详解】（1）根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴， ∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4， ∴，， 根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，    （2）设线段的解析式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴， 设曲线的解析式为， 把代入得，，， ∴； （3）设，则，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，或（舍去）， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积，解决问题的关键是熟练掌握依照点的坐标补全平面直角坐标系，画出坐标系中的图形，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数性质，根据点坐标写线段长的表达式，运用矩形面积公式列方程解方程． 34．（22-23八年级下·山东滨州·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，点C在线段上运动（不与端点A、B重合），作交的平分线于点D，连接、．    (1)求直线的函数解析式； (2)设点C横坐标为m时的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)当点C横坐标为时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）先求出点坐标，求出的长，得到，根据平行加角平分线，推出，进而得到，推出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式是； （2）解：∵点C在线段上运动（不与端点A、B重合）， ∴由（1）可知，点C的坐标为， ∵m的取值范围为， ∴， ∴； （3）证明：当点C横坐标为时，点C的纵坐标为， ∴， 又， ∴； ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 题型十二 与特殊平行四边形有关的最值问题 35．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且．要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？ 【知识应用】 （2）如图2，若在这个正方形花园的四边各开一个门E，F，G，H，并修建两条路和，使得，则这两条路等长吗？为什么？ 【拓展延伸】 （3）如图3，将边长为10的正方形纸片沿折叠，点D落在边上的点N处，与交于点P，取的中点M，连接，则的最小值为______，此时的长度是______． 【答案】（1）相等，（2）相等，理由见解析（3）； 【分析】（1）通过证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）过点作过点作，交于点，可得四边形均为平行四边形，得到，证明即可； （3）连接，得到，勾股定理求出的长，翻折，证明，求出的长，过点作，同法（2）可得：，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：（1）相等，； ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴； （2）相等，理由如下： 过点作过点作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）如图：连接 ∵ ∴当三点共线时，最小，最小值为的长度 ∵ ∴ 由对称性可知：，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 过点作， 同法（2）可得：， ， ∴ 故答案为：；． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等．掌握相关结论是完成几何推导的关键． 36．（23-24八年级下·山东济南·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：． 【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可． 问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解； （2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解； 问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】问题1：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是BE长度， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 故答案为：； 问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小， ∵点． ∴， 设直线的解析式为， ∵点，点． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标； （2）的最小值； 问题3：如图5，过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 即： ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 37．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形，点，点分别为，上的点，将矩形沿折叠，使点的对应点落在上，连接． (1)如图2，当点与点重合时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求折痕的最大值． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【分析】（1）由折叠可知，，，，由矩形ABCD，可推出，所以，，于是，结论得证； （2）过点E作于点G，设与交于点O，证明，得出，求出，得出当最大时，最大，根据当与点D重合时，最大，求出，最大值为． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：    由折叠可知，是的垂直平分线， ∴，， 由折叠可知平分， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：过点E作于点G，设与交于点O，如图所示： 则， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 当与点D重合时，最大， ∵，，， ∴， ∴的最大值为10， ∴最大值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，菱形的判定，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，通过全等三角形寻求线段之间的关系是解题的关键． 38．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图中，的度数是___________； (2)如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度； (3)如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)，最大值为． 【分析】（）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解； （）过点作交的延长线于点可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出，然后在中, 利用勾股定理列式进行计算即可得解； （）过点作，取，连接，，推导出，由可证，可得，当三点共线时，取最大值． 【详解】（1）根据旋转知: ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）过点作交的延长线于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 根据上面结论可知， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）如图，过点作，取，连接，，如图 ∵，，∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴线段有最大值时，只需最大即可， 在中，， 当三点共线时，取最大值，此时， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵，最大，即最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 39．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 题型十三 与特殊平行四边形有关的新定义问题 40．（23-24八年级下·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）； (2)如图， 在正方形中， E为上一点， 连接， 过点B作于点H， 交于点G， 连，． 判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； 如图2， 点M，N，P，Q分别是，，，的中点． 判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由： (3)如图3， 点F，R分别在正方形的边，上， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】(1)④ (2)①四边形是“神奇四边形”，见解析；②四边形是“神奇四边形”，见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； （3）延长交于点S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理列方程求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④． （2）解：①四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点M，N，P，Q分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． （3）解：延长交于点S， 由折叠的性质得，，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查新定义、折叠的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 41．（22-23八年级下·山东威海·期末）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．    (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长______，面积为______． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为20，，则完美矩形的周长为______． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】(1)3，6 (2)13 (3)42 【分析】（1）由折叠可知点H是中点，点G为的中点，则，连接，根据三角形面积求的长，由，可知是中位线，得到 进而求完美矩形面积； （2）根据折叠可知，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长； （3）由折叠可证点E，G分别是中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为15，设，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美矩形的边长和宽，最后求周长即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴，点H是中点， ∵， ∴， 即， 如图，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∵ ， ∴， ∴， ∴完美矩形的面积为； 故答案为：3，6 （2）解：由折叠可知， ， 同理可知， ∴矩形的面积为， ，        ∴长方形的周长为； （3）解：如图，连接，    由折叠可得点，分别是，的中点， ∴，， 由题意知，， ∴，， ∴为平行四边形， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴，， ∴周长为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形和平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 题型十四 几何模型—中点四边形模型 42．（2025·江苏泰州·一模）【阅读材料】 菱形是特殊的平行四边形，它可以通过平行四边形得到．如图1，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若将沿方向平行移动，则的边随之变化．当时，为菱形．除了平行四边形，我们也可以由矩形、正方形得到菱形． ①如图2，，，，分别是矩形各边的中点，则四边形为菱形； ②如图3，已知正方形，分别以点为圆心，小于长为半径画弧，交对角线于点，，则四边形为菱形； 【解决问题】 (1)请从①②中选择一个进行证明； (2)如图4，在四边形中，，试用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点，分别在，边上；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）的条件下，若，，对角线长为，则菱形的周长为_____． 【答案】(1)选①，见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）选①，先利用矩形的性质证明，再利用中位线定理证明四边形的四边相等，来证明它是菱形；选②，通过证明四边形的对角线互相垂直平分，来证明它是菱形； （2）作出对角线的垂直平分线，与，分别交于点，，再连结，可得四边形即为所求作的菱形； （3）先证明是直角三角形，再利用菱形的性质证明点为的中点，然后可求出菱形的边的长，再求出周长． 【详解】（1）解：选①， 理由：连结，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，，分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形； 选②， 理由：连结交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又由作法可知， ∴， 即， ∴四边形为菱形； （2）如图，四边形即为所求作的菱形； 理由：∵垂直平分， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴平分， 又， ∴平分， ∴与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； （3）如图， ∵，，对角线长为， ∴， ∴是直角三角形，为斜边， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线定理等知识点，解题的关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 43．（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 （5）见解析 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质求解； （2）取格点P、M、N，连接，使B、C、A分别是的中点即可； （3）连接，根据三角形中位线的性质得出，，，．则，．即可由平行四边形的判定定理得出结论； （4）方法一：连接，证明，得同理，，，则，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点．证明，四边形为平行四边形．则．所以．．则． （5）取格点P、Q、M、N，连接，使B、C、D、A分别是的中点即可． 【详解】解：（1）∵是三边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，即为所求； （3）如图，连接， 分别是的中点， ，． 同理：，． ，． 四边形是平行四边形． （4）方法一：连接， ， ． 又为中点， ． ，即． 同理，，， ，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点． ， ． 又为中点， ． ，． 又，， 四边形为平行四边形． ． ． 同理：． ． （5）如图所示，四边形即为所求．（画出一种即可） 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，中点四边形，平行四边形的判定，三角形的面积等知识，熟练掌握三角形的中位线的性质和相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 题型十五 几何模型—半角模型 44．（24-25九年级上·广东韶关·期中）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）．证明见解析；（3） 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，构造全等三角形是解答的关键． （1）如图1，先由正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可得G、B、E共线，，证明得到即可求解； （2）在图2中，在上截取，连接，先证明，得到，则可得，再证明得到，进而可得结论； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先求得，则由已知得，由旋转可得，，易证，证明得到，设，则，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 则，，，， ∴G、B、E共线， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为：①45 ；②； （2）解：． 证明如下：如图2，在上截取，连接， 在和中，， ， ， ，即， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴， （3）将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， 由旋转可得，， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 45．（23-24九年级上·河北张家口·期末）【方法前置】作图形旋转是解决几何问题的重要方法，如图①，正方形中，、分别在边、上，且，连接，求证：．可将绕点逆时针旋转到的位置（容易得出点在的延长线上），进一步证明与全等．亲爱的同学们，你想好了吗？试着看下面的问题情境吧． 【问题情景】如图②，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（在上，在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出人口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． （1）【模型感知】请参考【方法前置】的思路在图②中证明． （2）【模型应用】如图②，若，请你计算儿童活动区的面积； （3）【模型拓展】如图③，连接，若，与线段分别交于点、点，，请直接写出、和之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）本题根据方法前置将绕点逆时针旋转90°到的位置，得到，，再利用正方形的性质和全等三角形的性质，证明，得到，再结合线段的和差，即可解题． （2）本题根据正方形的性质得到，，由推出，设则，，在中，利用勾股定理，求出，最后利用，即可解题． （3）本题根据（1）中可得方法将绕点逆时针旋转90°到的位置，连接，同理可证得，，得到线段，，最后利用勾股定理即可解题． 【详解】（1）解：根据方法前置将绕点逆时针旋转90°到的位置，如图所示： 由旋转的性质可知，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米． ，， ， ， 设，则，， 在中，有，解得， ，， 又（）， 儿童活动区的面积为 （3）解：、和之间的数量关系为， 理由如下：将绕点逆时针旋转90°到的位置，连接，如图所示： 由（1）同理可证得，， ，，， 四边形是正方形，为其对角线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理，解题的关键在于利用旋转构造全等三角形． 46．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 47．（24-25八年级上·山东聊城·期中）综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为_____． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，那么线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，在上，．若，，那么线段，，围成的三角形的面积为_____． 【答案】（1） （2），理由见解析； （3）2 【分析】（1）沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）延长至点M，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，可证得，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】解∶（1）， 理由如下∶延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ． 在和中， ． ，， ，， ， ． 在和中， ． ． ． ， ． 故答案为∶． （2），理由如下∶ 延长至点M，使得，连接，如图2∶ 与互补， ． ， ． ， ， ，． ， ． ． ， ． ，， ． ． ，， ． （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图3， 已知， 则，，，． ． ， ． ，， ． ． ． ，， 、、围成的三角形面积为、、围成的三角形面积． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型十六 几何模型—一线三等角模型 48．（2022八年级上·江苏·专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： (1)如图1，是等腰直角三角形，，，则_______； (2)如图2，为正三角形，，，则________； (3)如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【答案】(1)； (2)； (3)3． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及角之间的关系，可得； （2）根据等边三角形的性质及角之间的关系，可得； （3）根据正方形的性质及角之间的关系，可得，由全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：∵为正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （3）解：∵为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质． 49．（23-24九年级上·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 正方形的折叠正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决． 下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题： 如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． 【特例探究】 任务一： （1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______． 任务二： （2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值． 下面是该结论的部分解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 易证四边形为矩形，______， ∴设，则，，， 在中，根据勾股定理得 解得：（舍去）， 即 ∴在中，______ 仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整． 图1图2图3 【方法应用】 任务三： （3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值． 【答案】（1）1；（2）；；（3） 【分析】（1）根据是正方形，得出当点F恰好落在正方形的对角线上时，根据折叠可得，求出即可解答； （2）在图2中，过点F作于M，延长．交于N．证明四边形为矩形，根据折叠性质可得，证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可解得，求出和，在中，即可解答； （3）在图3中，过点F作于M，延长交于N．证明四边形为矩形，根据折叠性质可得，证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可解得，求出和，在中，即可解答； 【详解】（1）是正方形， 当点F恰好落在正方形的对角线上时， 根据折叠可得， 则． （2）下面是该结论的全部解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 是正方形， 四边形为矩形， 根据折叠可得， ， ， ∴设， 则，， 在中， 根据勾股定理得， 解得：（舍去），， 即， ， ∴在中， 故答案为：；； 图1                     图2                        图3 （3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即）， 过点F作于M，延长交于N． 是正方形， 四边形为矩形， 根据折叠可得， ， ， ∴设， 则，，， 在中， 根据勾股定理得， 解得：（舍去），， 即， ， ∴在中， 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理以及折叠的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型十七 几何模型—十字架模型 50．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于，则与的数量关系是：______（填“”“”“”号）． (2)①如图2，在矩形中，为上的点，连接，过点作于点，交于．小明发现，过作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由； ②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比，等于 ； ③应用上述结论解决问题：在中，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②矩形的两邻边之比；③ 【分析】（1）证明即可； （2）①证明，由相似的性质即可得到与的数量关系；②由①的解答即可完成；③延长到N，使，分别连接，则可得四边形是矩形，且，由①的结论即可求得长度． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①数量关系为 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴四边形是矩形， ； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ②由①知，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于矩形两邻边的比； 故答案为：矩形两邻边的比； ③如图，延长到N，使，分别连接， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：； ∵， ∴由①的结论知：， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性． 51．（20-21八年级下·云南曲靖·期末）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 52．（2024·河南·一模）综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）①当N、F在边上时，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，同理可证，求出，设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可求出的长．当N、F在的延长线上时，同理可求出的长 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作于点L，    同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，    同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型十八 几何模型—其它模型 53．（22-23九年级上·河南郑州·期末）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，和全等的三角形是______，和的数量关系是______； (2)如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值； (3)如图3，已知点为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于，连接交于，连接，线段的最大值是______． 【答案】(1)，， (2)①；② (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）①过作交于，连接，如图，由证明，得出，，证明，得出，即可得出结果；②连接，由勾股定理求出 ，利用三角形内角和定理证明，推出，进而证明，即可求出； （3）证明为等边三角形，就有，由条件可以得出，设，就可以用相似三角形的性质把用含x的式子表示出来，从而求出最大值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①过作交于，连接，如图， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②连接，交于H， ∵为正方形的对角线， ∴，，， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴， 根据对顶角的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵和为同侧的两个等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则有． ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在解答的过程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求最值． 54．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． $$专题01 特殊的平行四边形（18大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 题型二 利用矩形的性质与判定求线段长 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 题型四 利用菱形的性质与判定求角度 题型五 利用菱形的性质与判定求线段长 题型六 利用菱形的性质与判定求面积 题型七 利用正方形的性质与判定求角度 题型八 利用正方形的性质与判定求线段长 题型九 利用正方形的性质与判定求面积 题型十 与特殊平行四边形有关的折叠问题 题型十一 特殊平行四边形与函数综合 题型十二 与特殊平行四边形有关的最值问题 题型十三 与特殊平行四边形有关的新定义问题 题型十四 几何模型—中点四边形模型 题型十五 几何模型—半角模型 题型十六 几何模型—对角互补模型 题型十七 几何模型—十字架模型 题型十八 几何模型—其它模型 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 1．（24-25九年级上·山东威海·期末）已知点A，B在反比例函数的图象上，且，分别过点A，B作x轴和y轴的平行线交于点C，且交x轴于点F．连接相交于点D．过点A作轴，垂足为点E，且交于点G，连接． (1)求证：轴； (2)求证：三等分． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 题型二 利用矩形的性质与判定求线段长 4．（23-24八年级下·山东德州·期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 5．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图①是两个三角板，其中，，，． (1)若将两个三角板按图②方式摆放，使点B、D重合，且，求的度数； (2)在（1）的条件下，将沿方向平移，当点E恰好落在边上，求的平移距离； (3)在（2）的条件下，此时点E恰好落在边上，我们将绕点E顺时针方向旋转 时，第一次与平行． 6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 7．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与x 轴，y轴分别交于点A 和点B，点 A 的坐标为，且． (1)求直线解析式； (2)如图，将向右平移3个单位长度，得到，求线段的长； (3)在(2)中扫过的面积是　　　． 8．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，与相交于点O，且O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求四边形的面积． 9．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，正方形是某校一个花坛，边长为10米，为美化校园环境，学校后勤部决定在边、、、上分别取点、、、，米，连接、、、，在四边形内种植牡丹花．请判断四边形的形状，并计算四边形的面积． 题型四 利用菱形的性质与判定求角度 10．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．（21-22八年级下·山东聊城·期末）如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； (3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明． 12．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点． (1)在图1中，当时，求证：是的平分线； (2)根据（1）的条件和结论， ①如图2，若，点是的中点，请求出的度数； ②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数． 题型五 利用菱形的性质与判定求线段长 13．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，将矩形的边延长到点，使，连接、，作交延长线于点，连接．    (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形的面积为24，，连接，求的长． 14．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 15．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，过点C作交的延长线于点E，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型六 利用菱形的性质与判定求面积 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形． (1)判断四边形的形状，并证明． (2)若测得四边形的面积为，点，之间的距离为，求边的长． 17．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，过点O作交于点E，交于F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长和面积． 18．（24-25八年级下·全国·期末）如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 题型七 利用正方形的性质与判定求角度 19．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图1，在中，于点D，，点在上，，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，连接，猜想的度数，并证明； (3)如图3，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 20．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且是轴负半轴上一点，连接． (1)如图1，若于点，且交于点，求证：； (2)如图2，在（1）的基础上，连接，求证：； (3)若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，之间有何数量关系？为什么？ 21．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 题型八 利用正方形的性质与判定求线段长 22．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； (4)设点Q是第二象限内的一点，且以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 23．（21-22九年级上·安徽宿州·期末）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图象经过点，交轴于点，反比例函数的图像也经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点作于点，求的值． 24．（2023·山东济南·二模）已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，，于点，于点，求证：四边形正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．   题型九 利用正方形的性质与判定求面积 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． (1) ． (2)求点E的坐标及四边形的面积． (3)当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 26．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 27．（23-24八年级下·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 题型十 与特殊平行四边形有关的折叠问题 28．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形纸片中，，，，点在边上，自向以每秒1个单位的速度运动；点在边上，自向以每秒2个单位的速度运动；点和点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．现将矩形纸片沿直线折叠，使点落到点处，点落到点处，直线与边相交于点． (1)填空：当______时，； (2)连接，交于点，设的面积为，请写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使直线恰好经过的中点？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由． 29．（23-24八年级下·山东日照·期末）在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动． (1)初步感知 如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 连接，则的形状是______三角形； (2)迁移探究 将矩形纸片换成正方形纸片，先完成（1）中的“操作一”，然后在上任选一点M（点不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，连接．请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由： ②若正方形纸片的边长为8，在以上探究中，当时，求的长． 30．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知三角形纸片，其中，，，点E，F分别是，上的点，连接．    (1)如图1，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点D处，且，求的长； (2)如图2，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点M处，且． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求折痕的长． 题型十一 特殊平行四边形与函数综合 31．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知长方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，，，D、E分别为上的两点，将长方形沿直线折叠后，点A刚好与点C重合，点B落在点F处，再将其打开、展平． (1)点B的坐标是______； (2)求直线的函数表达式； (3)设动点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动，运动时间为t秒，当时，求t的值． 32．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知正方形的面积为16，点是坐标原点，点在轴上，点在轴上，点，在函数的图象上，点坐标为且．过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．若矩形在正方形外的部分（阴影）面积为S． (1)求B点的坐标和k的值； (2)写出S关于m的函数关系式； (3)当时，求点P的坐标． 33．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．    (1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为． 请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的函数表达式； (3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________． 34．（22-23八年级下·山东滨州·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，点C在线段上运动（不与端点A、B重合），作交的平分线于点D，连接、．    (1)求直线的函数解析式； (2)设点C横坐标为m时的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)当点C横坐标为时，求证：四边形是菱形． 题型十二 与特殊平行四边形有关的最值问题 35．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且．要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？ 【知识应用】 （2）如图2，若在这个正方形花园的四边各开一个门E，F，G，H，并修建两条路和，使得，则这两条路等长吗？为什么？ 【拓展延伸】 （3）如图3，将边长为10的正方形纸片沿折叠，点D落在边上的点N处，与交于点P，取的中点M，连接，则的最小值为______，此时的长度是______． 36．（23-24八年级下·山东济南·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 37．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形，点，点分别为，上的点，将矩形沿折叠，使点的对应点落在上，连接． (1)如图2，当点与点重合时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求折痕的最大值． 38．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读下面材料： 我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． 参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图中，的度数是___________； (2)如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度； (3)如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值． 39．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 题型十三 与特殊平行四边形有关的新定义问题 40．（23-24八年级下·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）； (2)如图， 在正方形中， E为上一点， 连接， 过点B作于点H， 交于点G， 连，． 判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； 如图2， 点M，N，P，Q分别是，，，的中点． 判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由： (3)如图3， 点F，R分别在正方形的边，上， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 41．（22-23八年级下·山东威海·期末）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．    (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长______，面积为______． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为20，，则完美矩形的周长为______． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 题型十四 几何模型—中点四边形模型 42．（2025·江苏泰州·一模）【阅读材料】 菱形是特殊的平行四边形，它可以通过平行四边形得到．如图1，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若将沿方向平行移动，则的边随之变化．当时，为菱形．除了平行四边形，我们也可以由矩形、正方形得到菱形． ①如图2，，，，分别是矩形各边的中点，则四边形为菱形； ②如图3，已知正方形，分别以点为圆心，小于长为半径画弧，交对角线于点，，则四边形为菱形； 【解决问题】 (1)请从①②中选择一个进行证明； (2)如图4，在四边形中，，试用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点，分别在，边上；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）的条件下，若，，对角线长为，则菱形的周长为_____． 43．（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 题型十五 几何模型—半角模型 44．（24-25九年级上·广东韶关·期中）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 45．（23-24九年级上·河北张家口·期末）【方法前置】作图形旋转是解决几何问题的重要方法，如图①，正方形中，、分别在边、上，且，连接，求证：．可将绕点逆时针旋转到的位置（容易得出点在的延长线上），进一步证明与全等．亲爱的同学们，你想好了吗？试着看下面的问题情境吧． 【问题情景】如图②，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（在上，在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出人口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． （1）【模型感知】请参考【方法前置】的思路在图②中证明． （2）【模型应用】如图②，若，请你计算儿童活动区的面积； （3）【模型拓展】如图③，连接，若，与线段分别交于点、点，，请直接写出、和之间的数量关系． 46．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 47．（24-25八年级上·山东聊城·期中）综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为_____． 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，那么线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，在上，．若，，那么线段，，围成的三角形的面积为_____． 题型十六 几何模型—一线三等角模型 48．（2022八年级上·江苏·专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： (1)如图1，是等腰直角三角形，，，则_______； (2)如图2，为正三角形，，，则________； (3)如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 49．（23-24九年级上·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 正方形的折叠正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决． 下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题： 如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． 【特例探究】 任务一：（1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______． 任务二：（2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值． 下面是该结论的部分解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 易证四边形为矩形，______， ∴设，则，，， 在中，根据勾股定理得 解得：（舍去）， 即 ∴在中，______ 仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整． 图1图2图3 【方法应用】 任务三： （3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值． 题型十七 几何模型—十字架模型 50．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于，则与的数量关系是：______（填“”“”“”号）． (2)①如图2，在矩形中，为上的点，连接，过点作于点，交于．小明发现，过作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由； ②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比，等于 ； ③应用上述结论解决问题：在中，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，直接写出的长度． 51．（20-21八年级下·云南曲靖·期末）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 52．（2024·河南·一模）综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 题型十八 几何模型—其它模型 53．（22-23九年级上·河南郑州·期末）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，和全等的三角形是______，和的数量关系是______； (2)如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值； (3)如图3，已知点为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于，连接交于，连接，线段的最大值是______． 54．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． $$