专题05 第六章 立体几何初步（考点串讲，14大考点&17大题型剖析）（期末复习课件）高一数学下学期北师大版

北师大版（2019）高一数学下学期·期末大串讲 专题05 立体几何初步 （14考点&17题型） 北师大版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 基本立体图形  考点透视 清单02 平面图形中的直观图  考点透视 清单03 多面积表面积和体积  考点透视 清单04 旋转体的表面积和体积  考点透视 清单04 旋转体的表面积和体积  考点透视 清单05 平行关系  考点透视 清单06 垂直关系  考点透视 清单07 异面直线所成角  考点透视 清单08 直线与平面所成角  考点透视 清单09 二面角  考点透视 清单09 二面角  考点透视 清单10 内切球等体积法  考点透视 清单11 内切球独立截面法  考点透视 清单12 外接球补形法  考点透视 清单13 单面定球心法  清单14 双面定球心法  考点透视 题型剖析 【考点题型一】基本立体图形 C 题型剖析 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题 题型剖析 【考点题型三】立体几何中的截面问题 C 题型剖析 【考点题型四】平面几何图形的直观图 题型剖析 题型剖析 【考点题型五】多面体表面积和体积 题型剖析 【考点题型六】旋转体表面积和体积 题型剖析 【考点题型七】直线与平面平行 题型剖析 题型剖析 【考点题型八】平面与平面平行 题型剖析 【考点题型八】平面与平面平行 题型剖析 题型剖析 【考点题型九】直线与平面垂直 题型剖析 【考点题型九】直线与平面垂直 题型剖析 【考点题型十】平面与平面垂直 题型剖析 【考点题型十】平面与平面垂直 题型剖析 【考点题型十一】线线垂直证明 题型剖析 【考点题型十一】线线垂直证明 题型剖析 【考点题型十二】空间几何体的体积（点到平面的距离） 题型剖析 【考点题型十二】空间几何体的体积（点到平面的距离） 题型剖析 【考点题型十三】异面直线所成角 B 题型剖析 【考点题型十四】直线与平面所成角 题型剖析 【考点题型十四】直线与平面所成角 题型剖析 【考点题型十五】二面角 题型剖析 【考点题型十五】二面角 题型剖析 【考点题型十六】空间几何体内切球 题型剖析 【考点题型十七】空间几何体外接球 D C 押题预测 D 押题预测 B 押题预测 押题预测 押题预测 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 （2）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 1、计算多面体每个面的面积之和 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 2、体积 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 1、圆柱、圆锥、圆台表面积： （1）. （2）圆锥的表面积： （3）圆台的表面积： 2、圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： ①平面外一条直线与平面一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ②直线与平面平行，直线与交线平行 ③一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行 ④两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行 ⑤两个平行平面同时与第三个平面相交，这两条交线平行 ①一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ②一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内所有直线 ③一条直线垂直于一个平面，则经过该直线的平面垂直于另一平面 ④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面 通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 （1）定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. （2）等体积法求垂线段法 ①利用等体积法求垂线段的长； ② 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 2、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） 3、射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：， 可求出. 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面 体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 【例1】（23-24高一下·江西·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱中至少有两个面完全相同 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B，两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台， 还要满足各侧棱的延长线交于一点，如图，各侧棱的延长线不交于一点，该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的， 故棱柱中至少有两个面完全相同，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，故D错误. 由长方体结构特征，易得，由， ， 所以， 由， 故答案为：. 【例2】（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 【详解】将侧面沿着旋转至与平面在同一平面上，连接，如图所示： 【例3】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点， 过点作交于点，连接， 则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形. 其中因为，，， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 则， 显然，则，所以. 【例4】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知在斜二测画法下的直观图(其中A与对应，B与对应)为下图所示的，其中，，则的面积为 ；以该为底面的三棱锥中，，，则三棱锥的外接球半径为 . 【详解】由斜二测画法原理可知中，，边上的高， 所以； 由勾股定理得，故为等边三角形， 由得是边长为2的等边三角形. 设D，E分别为，的外心，的中点为F， 连接，，过点D，E分别作平面、平面的垂线， 设两垂线交于点O，则点O为该三棱锥外接球的球心， 连接，，则 为外接球的半径， 依题意，且，， 由余弦定理得， 所以，由E为的外心， 所以，， 因为，，， 所以， 所以，所以， 所以， 即外接球的半径. 故答案为：， 【例5】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为 . 【详解】由题意知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm， 如图：设四棱台上下底面中心为，连接， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且，故， 即棱台的高为，故正四棱台的体积为， 故答案为： 【例6】（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知圆台的上、下底面的周长分别为，，母线长为，则该圆台的体积为 . 【详解】因为圆台的上､下底面的周长分别为，，母线长为， 所以该圆台的上､下底面的半径分别，， 如图所示： 即，，，所以， 所以直角梯形的高，故圆台的高为， 则圆台的体积. 故答案为： 【例7】（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的表面积． 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【例7】（23-24高一下·北京东城·期中）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的表面积． （2）如图所示，连接，正方体的棱长为1. 根据正方体性质，得，. ． 在中，用余弦定理，得到， 则， 则. 同理可以求得，且． 则三棱锥的表面积为. 【例8】（24-25高一下·福建三明·期中）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） 【详解】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. (2)求证：平面； 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点，                                                                                                                ∴且                                                                                                                  ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. （3）当点为棱的中点时，平面平面，                                                                证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 【例9】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，． 求证：； 连接,∵平面，平面，∴． 又底面为正方形，∴． 又，且，平面，∴平面， ∵平面，∴． 【变式9-1】.（2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥.证明：. 【详解】依题意得，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形， 如图，取的中点，连接，， 由，得，， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【例10】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【详解】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 【变式10-1】.（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【详解】连接交于点，连接．因为四边形是菱形， 所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为，平面，且，所以平面． 而平面，所以平面平面． 【例11】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 因为为矩形，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 【例11】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． （2）因为平面，平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又由（1）有平面，平面，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 【例12】（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离 【详解】（1）连接． 因为底面是菱形，分别为的中点， 所以，，所以． 又，，所以平面． 因为平面，所以． 【例12】（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离 （2）因为，是的中点，所以． 又，，所以平面． 由题意得是边长为2的等边三角形，且为的中点， 所以， 又，所以． 在中，可得，， 所以． 设点到平面的距离为，则． 因为，所以，解得． 所以点到平面的距离为. 【例13】（23-24高一下·安徽六安·期中）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 【例14】（2024·广西·三模）如图，在四棱锥底面，． (1)证明：平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1），，，则，． 中，， 故，故， 又因为底面，底面，所以， 又因为，平面，平面， 底面，故平面平面， 另解：平面，平面，故， 过做的垂线，垂足为，连接，则， ，，， 在中，，，即， 又， 平面，故平面， 平面，故平面平面， 【例14】（2024·广西·三模）如图，在四棱锥底面，． (1)证明：平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值． （2）作，垂直为，连接 ， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【例15】（2025·江西·二模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为是平行四边形，所以， 又，，， 所以，解得（负值已舍去）， 所以，即，所以， 又，即，又，平面， 所以平面， 又是平行四边形，所以，所以平面， 又平面，所以平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. （2）因为，设，则为的中点， 连接，则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面中，作交于点， 而平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，又平面， 所以，所以即为平面与平面夹角， 又， 在中，由等面积法可得， 所以，则， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 【例16】（2024·湖南郴州·三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 . 【详解】如图所示： 依题意得 ， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为 ， 所以 ， 所以 设球的半径为，所以 则，得 设球的半径为，则，又 得 所以球的表面积为 故答案为：. 【例17】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 1．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1. 如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点. 因为正四棱锥的底面边长为， 所以. 又，所以，即，解得. 所以，所以正四棱锥的体积为. 故选：C. 1．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意有：， 所以 故选：D. 2．（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，在正方体中，，直线与所成角为， 即直线与直线所成角为，故动点所围成的图形是：高为，底面半径为1， 母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点所围成的图形的面积为， 故选：B． 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在空间四边形中，，平面平面，且，则与平面所成角的正弦值是 ． 【详解】设是的中点，连接，由于， 所以，由于平面平面，且交线为， 平面，所以平面，由于平面，所以， 设，而， 所以，所以， 三角形的面积为， 设到平面的距离为， 则，即， 所以与平面所成角的正弦值是. 故答案为： 4．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以平面， 所以平面. 4．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. （2）如图，取的中点的中点，连接， 因为是正三角形，所以 又因为平面平面，且平面平面 ，平面， 所以平面 ，平面，故， 由题意可知平面，故平面 平面故， 故为平面与面所成二面角的平面角， 设 ， 则， ， 所以 . 综上所述：侧面与底面所成二面角的正弦值为. $$