专题02 第二章 平面向量及其应用（考点串讲，12大考点&18大题型剖析）（期末复习课件）高一数学下学期北师大版

北师大版（2019）高一数学下学期·期末大串讲 专题02 平面向量及其应用 （12考点&18题型） 北师大版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 平面向量基本概念  考点透视 清单02 平面向量线性运算  考点透视 清单02 平面向量线性运算  考点透视 清单03 平面向量共线定理  考点透视 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示  考点透视 清单05平面向量数量积   考点透视 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围）  考点透视 清单07 向量的模   清单08 向量的夹角  考点透视 清单09向量投影   考点透视 清单10 正弦定理  考点透视 清单11 三角形面积公式  考点透视 清单12 余弦定理  题型剖析 【考点题型一】平面向量基本概念 【答案】C 题型剖析 【考点题型二】平面向量线性运算 【答案】ACD 题型剖析 【考点题型三】平面向量共线定理 【答案】B 题型剖析 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示 【答案】B 题型剖析 【考点题型五】平面向量数量积 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围） 题型剖析 【考点题型七】向量的模 【答案】C 题型剖析 【考点题型八】向量的夹角 【答案】C 题型剖析 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数 【答案】BC 题型剖析 【考点题型十】投影向量 【答案】C 题型剖析 【考点题型十一】解三角形 【答案】D 题型剖析 【考点题型十二】判断三角形的形状 【答案】AB 题型剖析 【考点题型十三】三角形周长（定值） 题型剖析 【考点题型十四】三角形面积（定值） 题型剖析 【考点题型十四】三角形面积（定值） 题型剖析 【考点题型十五】三角形周长（边长代数和）范围 题型剖析 【考点题型十五】三角形周长（边长代数和）范围 题型剖析 【考点题型十五】三角形周长（边长代数和）范围 题型剖析 【考点题型十六】三角形面积（最值+范围） 题型剖析 【考点题型十六】三角形面积（最值+范围） 题型剖析 【考点题型十七】正余弦定理的实际应用 题型剖析 【考点题型十七】正余弦定理的实际应用 题型剖析 【考点题型十八】新定义题 【答案】AB 押题预测 C 押题预测 【答案】A 押题预测 【答案】B 押题预测 【答案】A 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 已知非零向量， （1）． （2） 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 已知非零向量，是与的夹角，则． 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【例1】（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．在正方形中, B．已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C．零向量可以与任一向量共线 D．零向量可以与任一向量垂直 【详解】对于A:与模长相等,方向不同,故不成立. 对于B:向量共线指的是其方向相同或相反,不一定在同一条直线上,例如平行四边形中,但四点不共线; 对于C、D:零向量与任意向量共线,但不能说零向量与任意向量垂直.向量垂直指的是两个非零向量成°. 综上,应选C. 【例2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列各式中能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD 【例3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4.故选：B 【例4】（2025·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D．2 【详解】因为，，所以，， 又，所以，解得.故选：B 【例5】（2025·江西鹰潭·二模）若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（    ） A． B．0 C． D．6 【详解】由有，所以 ， 所以， 故选：B. 【例6】（24-25高一下·湖北·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 ． 【详解】如图： 记的外接圆半径为， ， 由图可知的最大值为时，取最大值0； 因为中，所以当为中点时，最小， 此时，所以取最小值， 故答案为：． 【例7】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【详解】因为，所以，展开得， 化简得，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 【例8】（2023·江西新余·二模）已知，，则与的夹角（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，则， 所以，， 因为，故.故选：C. 【例9】（多选）（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知向量，，若两个向量的夹角为钝角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】已知向量，的夹角为钝角， 则且与不反向， 即且， 解得且.故选：BC. 【例10】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，解得， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 【例11】（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，则设，则，， 所以． 故选：D. D选项：，则仅可判断出为锐角，无法判断其他角的大小，三角形的形态不一定是锐角三角形，D选项错误.故选：. 【例12】（多选）（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则一定是钝角三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是锐角三角形 【详解】A选项：，则，且， 则，A选项正确； B选项：，由正弦定理， 可得， 整理可得，则， 且B、A均为三角形内角，则符合条件，即，三角形等腰，B选项正确； C选项：，则或， 即或，三角形为等腰或者直角三角形，C选项错误； 【例13】（24-25高一下·江西宜春·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求角B的大小： (2)若的面积为，求的周长． 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以，由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 【例14】（24-25高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求C； (2)若点D在边AB上，，，求的面积． 【详解】（1）由，结合正弦定理可得， 整理得，所以， 又，所以； 【例14】（24-25高一下·江西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求C； (2)若点D在边AB上，，，求的面积． （2）因为，，所以， 由相似可知，又因为，所以，， 所以，所以， 由（1）得，所以， 解得或（舍去）， 所以的面积为． 【例15】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 【详解】（1） ， 令，则， 故函数的单调增区间为； 【例15】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. （2），则， ， ； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. （3），则， 又，则， 故，即， ， 在锐角中，，则， 令， 则. 【例16】（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为，则，又， 所以，则， 又，所以， 因为，解得． 【例16】（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （2）因为是锐角三角形，又， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 从而， 故面积的取值范围是. 【例17】（24-25高一下·湖南·期中）已知海面上两点处置有距离为海里的两个灯塔，游船在点时，与两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达点，此时在点处灯塔测得. (1)若两点的距离为海里，求的长度； (2)求两点距离的取值范围. 【详解】（1）由题意知，， 故为以为直角顶点的等腰直角三角形，故， 又因为，且由题意得分布于直线两侧，所以， 有， 由余弦定理可得， 解得（海里）. (2)求两点距离的取值范围. （2）由题意知点始终位于以为起点的射线上，记该射线为. 注意到在（1）的条件下，故此时，即， 所以此时的长度即为两点距离的最小值； 由于游船从两灯塔间穿过，即与存在异于端点的交点，设为点.由正弦定理得，在中，， 其中为定值，故增大时，减小， 又因为， 因为，所以，故， 因为， 所以， 故（海里）. 对于：， 若，则，解得，故错误； 故选：AB. 【例18】（多选）（山东省临沂市部分县区2024-2025学年高一下学期学科素养水平（期中）监测数学试卷）设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 【详解】， 对于：，则， 所以，故正确； 对于：若，则， 所以的“仿射坐标”为，故正确； 对于：， 则， 解得，故错误； 1．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）设A，，，为平面内的四点，且. (1)若，求点的坐标； (2)设向量，若与夹角为钝角，求实数的范围. 【详解】（1）设点，则,, 由，得，即，解得， 所以点的坐标为. （2）依题意，，， 则，， 由与夹角为钝角，得，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的范围是. 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 【详解】由题意，，设，即， 则，解得.故选：A. 3．（23-24高一下·江西萍乡·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以，则， 显然，所以. 故选：B 4．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 5．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，是的中点，，则 ． 【详解】在中，是的中点，， 则，即，因此， 所以.故答案为： 6．（22-23高一下·江西抚州·期末）已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，，三点共线． (1)用，来表示； (2)求的最小值． 【详解】（1）∵    ∴ ∴ （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴当且仅当，时，的最小值为． 7．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． 7．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． $$