专题02 第7章 三角函数（考点串讲，6大考点&20大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020）高一数学下学期·期末大串讲 专题02 第7章 三角函数 （6考点&20题型） 沪教版2020 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 正弦、余弦、正切函数的图象与性质  考点透视 清单02 周期性  考点透视 清单03 三角函数奇偶性  考点透视 清单04 三角函数对称性  考点透视 清单05 三角函数图象变化  考点透视 清单05 三角函数图象变化  考点透视 清单06 求三角函数解析式  题型剖析 【考点题型一】五点法画正余弦函数的图象 题型剖析 【考点题型二】含绝对值的正余弦函数图象 题型剖析 【考点题型三】正余弦函数的单调性问题 【答案】C 题型剖析 【考点题型四】正余弦函数的奇偶性问题 题型剖析 【考点题型五】正余弦函数的周期性问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】正余弦函数的对称性问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型七】正余弦函数的值域（最值）问题 题型剖析 【考点题型八】正切函数的定义 题型剖析 【考点题型九】正切函数的单调性 【答案】D 题型剖析 【考点题型十】正切函数的奇偶性 题型剖析 【考点题型十一】正切函数周期性 题型剖析 【考点题型十二】正切函数对称性 题型剖析 【考点题型十三】正切函数的值域 题型剖析 【考点题型十四】三角函数图象变化 【答案】D 题型剖析 【考点题型十五】求三角函数解析式 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 【答案】B 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）用“五点法”作出函数的简图，并指出该函数的单调区间. 【详解】解：列表如下： 0 0 2 0 -2 0 图象如下， 由图象知，在一个周期内，函数在上严格减，在上严格增，又因为函数的周期为， 所以函数的严格减区间为（），严格增区间为（）. 【例2】（23-24高一下·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 【详解】 则单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又， 又函数的图像与仅有两个不同交点， 则的取值范围是 【例3】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【详解】求函数的单调递增区间. 由，可得， 因此，函数的单调递减区间是. 故选：C. 【例4】（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数（其中）为奇函数，则 ； 【详解】函数是奇函数，则，而， 所以.故答案为： 【例5】（2025·上海奉贤·二模）若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【详解】由题意可得 ， 则，，，， 或，，，， 解得，，，，① 或，，，，② ①由为正整数，且的因数为， 则的取值可能有， 此时的可能取值有， 由，则为的倍数，故的可能取值有. ②由为正整数，且的因数为， 则奇数的取值只可能有， 此时的可能取值有，由，则奇数，所以此时无取值. 故选：B. 【例6】（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 【例7】（24-25高一下·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域. 【详解】（1）因为，由题知，解得，则， 由，解得， 所以单调递增区间为； （2）由，知， 当时，，所以， 所以. 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间． 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 【例9】（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 【例10】（23-24高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【详解】 而 所以，故 故答案为：. 【例11】（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【详解】函数的最小正周期为： 故答案为：. 【例12】（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）函数的对称中心为 . 【详解】令，解得， 所以的对称中心为， 故答案为： 【例13】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 【例14】（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 【例15】（24-25高一下·上海·期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为： 【详解】由图像可知，，，则，所以， 即， 将代入可得，即， 解得，且， 当时，， 所以. 故答案为： 【例16】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【详解】函数的周期为， 由，得， 即，解得， 在长为一个周期的区间上，取，得，当时，， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 由在上的值域为，则当时，， 故， 当时，，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 【例17】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 【详解】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. （2）由（1）可知. 若，时，， 当时，函数取得最大值，即. 而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得. ①当时，可得，则有，解得； ②当时，可得，，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，a的取值范围为. (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. （2）由（1）可知. 若，时，， 当时，函数取得最大值，即. 而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得. ①当时，可得，则有，解得； ②当时，可得，，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，a的取值范围为. 【例18】（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递增区间； 【详解】（1）由图可知：，所以，所以， ，由图易得，则， 又，则，则，， 所以，， 所以. 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，. (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. （2）由题. 当，时，. 所以. 【例19】（24-25高一下·湖南长沙·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； 【详解】（1）由平移规律可知，， 当时，， 当时，单调递增，值域是， 当时，单调递减，值域是， 方程有两个不等的实根，则，有两个不等的实根， 则，得； (2)若方程在上的解为，，求． （2）由条件可知，，即，， ，， 当，单调递增，当，单调递减， ，在有两个实数根，则， 即，即，则， . 【例20】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，且，的面积等于． (1)求函数的解析式； 【详解】（1）由图可得，则，，则， 解得或，，由，则， 由，则，由图可得周期，易得， 所以. (2)求函数的对称轴和对称中心； （2）令，，解得，， 令，，解得，， 所以的对称轴为直线，， 对称中心为，. (3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值． （3）由题意可得， 要证，只需证， 令， 由题意可得，则，即求函数的单调递减区间， 令，，解得，， 由题意可得，， 则，，解得，， 当时，令，则，此时，不合题意， 令，则，此时，符合题意； 当时，令，则，此时，不合题意， 令，则，不符合题意；易知当时，都不符合题意 所以的最大值为. 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需把将的图象向左平移个单位即可.故选：B 1．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【详解】， 其中，则其值域为 2．（24-25高一下·上海·期中）如图为函数 的部分图象，则 的值为 【详解】由图可知，则， 由图象可知点在函数单调递增区间上，则， 则，则， 由于，故，故答案为： 3．（24-25高一下·上海青浦·期中）将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是 . 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值.故答案为：. 4．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上的取值范围为， 5．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. （2）因为， 所以， 因为为偶函数，所以， 所以， 所以， 所以； 5．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. （3）因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，，或，， 所以，，或，， 因为， 所以或或或. 6．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期； （2）令，则，， 所以，增区间为，. 6．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以. $$