专题04 第九章 统计（考点串讲，5大考点&9大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

人教A版（2019）高一数学下学期·期末大串讲 第九章 统计（5考点&9题型） 人教A版2019 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 易错易混 04 押题预测 考点透视 清单01 总体百分位数  考点透视 清单02 平均数，众数，中位数计算  考点透视 清单03 平均数，众数，中位数估计值  考点透视 清单04 平均数，方差性质  考点透视 清单05 标准差与方差  题型剖析 【考点题型一】随机数表法 【答案】B 题型剖析 【考点题型二】分层抽样 【答案】1800 题型剖析 【考点题型三】总体百分位数估计值 【答案】48 题型剖析 【考点题型四】频率分布直方图 题型剖析 题型剖析 【考点题型五】平均数，众数，中位数的计算 【答案】C 题型剖析 题型剖析 【考点题型六】平均数，众数，中位数的估计值 题型剖析 【考点题型六】平均数，众数，中位数的估计值 题型剖析 题型剖析 【考点题型七】平均数，方差性质 【答案】ACD 题型剖析 【考点题型八】方差的应用 题型剖析 题型剖析 【考点题型八】方差的应用 【考点题型八】方差的应用 题型剖析 【考点题型九】分层抽样中的方差 题型剖析 题型剖析 【考点题型九】分层抽样中的方差 题型剖析 【考点题型九】分层抽样中的方差 题型剖析 【考点题型九】分层抽样中的方差 题型剖析 【考点题型九】分层抽样中的方差 易错易混 【答案】729 押题预测 【答案】A 押题预测 【答案】D 押题预测 【答案】39，20.67 押题预测 【答案】9 押题预测 押题预测 （1）计算第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据； 若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. （1）平均数 ①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. （2）众数 ①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。 （3）中位数 ①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：， 方差： 【例1】（23-24高一上·江西·阶段练习）某班级共有52位同学，现随机抽取8位同学参加学校组织的“校园读书节”活动，老师将班级同学进行编号：01，02，03，……，52，若从随机数表的第3行第27列开始，依次往右读数，直到取足样本为止，则第6位被抽到的同学对应的编号为（    ） A．16 B．42 C．50 D．80 【详解】由随机数法，抽取的同学对应的编号为08，32，16，46，50，42，…，故第6位同学的编号为42. 【例2】（24-25高一上·安徽宿州·期末）某校高中部高一、高二、高三人数之比为5:4:3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本.若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为n个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且，则该校高中部学生人数为 . 【详解】设该校高中部高一、高二、高三人数分别为5k，4k，3k， 依题意，，，， 所以该校高中部人数为1800. 故答案为：1800 【例3】（24-25高一上·辽宁大连·期末）为了快速了解某学校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的40%分位数为 kg. 【详解】这10个数从小到大依次45，46，46，47，49，49，51，58，59，60， 因为， 所以这10个数的40%分位数为， 所以这个学校学生体重的40%分位数约为48 kg. 故答案为：48. 【例4】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）为弘扬中华传统文化，某校组织若干名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题： (1)本次抽样调查的样本容量为_______，此样本中成绩的中位数落在_______范围内．表中_______，_______； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校共有初中生3000名，若成绩超过80分为优秀，请估计该校汉字听写能力为优秀的约有多少人． 【详解】（1）学生总数是：（人），（人），； ∴本次抽样调查的样本容量为50，成绩的中位数落在范围内，（人），； （2）根据（1）得出的a的值，补图如下： （3）（人）． 该校汉字听写能力为优秀的约有人． 【例5-1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如表是某公司员工月收入的资料. 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（    ） A．平均数和众数 B．平均数和中位数 C．中位数和众数 D．平均数和方差 【详解】公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人， 该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上， 因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平； 月收入由小到大排列，3400为第13个数，因此该公司员工月收入的中位数为3400元； 在25名员工中在此数据及以上的有13人，则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平， 而25名员工月收入的平均数元 受极端数据45000、18000等影响，平均数偏离多数人的收入水平，而方差是表征数据波动大小的量， 所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数. 故选：C 【例6-1】（25-26高一上·全国·课后作业）2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数． 【详解】（1）由题意知，即，得． （2）由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为 （分）． 众数约为（分）． 前3组的频率为，前4组的频率为， 所以中位数为（分）． 【变式6-1】.（23-24高一下·江苏南京·期末）从全校学生的期末考试成绩（均为整数）中随机抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如图中从左到右各小组的小矩形的高之比为，最左边的一组频数是6. (1)求样本容量； (2)求这一组的频数及频率； (3)估计这组样本数据的众数和中位数. 【详解】（1）小矩形的高之比为频率之比， 所以从左到右的频率之比为. 最左边的一级所占的频率为， 所以样本容量； （2）这一组的频率为，所以频数为； （3）由频率分布直方图得： 众数为：. 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 则，， 设中位数为， ，解得， 即中位数为113. 【例7】（多选）（2025·山西太原·一模）已知样本数据的平均数为3，方差为3，样本数据的平均数为3，方差为6，则下列结论正确的是（    ） A．数据的平均数为7 B．数据的方差为11 C．数据的平均数为3 D．数据的方差为5 【详解】对于A，因为样本数据的平均数为3， 所以由平均数性质得数据的平均数为，故A正确， 对于B，因为样本数据的方差为6， 所以数据的方差为，故B错误， 对于C，因为样本数据的平均数为3，样本数据的平均数为3， 所以数据的平均数为，故C正确， 对于D，由已知得数据的平均数为， 则新方差为，故D正确. 故选：ACD 【例8】（24-25高一上·江西·阶段练习）甲､乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀）.如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计甲､乙两人射击成绩的优秀率； (2)分别求出甲､乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？ 【详解】（1）由表可知：甲的优秀率为，乙的优秀率为. （2）甲运动员此射击成绩的平均数为， 所以甲运动员此射击成绩的方差为， 乙运动员此射击成绩的平均数为， 所以乙运动员此射击成绩的方差为， 因为，，所以甲、乙两名运动员的平均成绩相同， 但是甲运动员的射击成绩更稳定，所以甲运动员的射击成绩更好. 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (2)分别求出甲､乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？ 【变式8-1】．（24-25高二上·四川成都·期中）庚子新春，“新冠”肆虐，面对新冠肺炎的发生，某医疗小组提出了一种治疗的新方案.为测试该方案的治疗效果，此医疗小组选取了患病程度相同的12名病人志愿者，将他们随机分成两组，每组6人.第一组用新方案治疗，第二组用旧方案治疗.统计病人的痊愈时间（单位：天）如下表： 新方案治疗 3 6 6 7 10 10 旧方案治疗 5 8 9 11 12 15 记新方案和旧方案治疗病人痊愈时间的平均数分别为和，方差分别为和. (1)求，，，； 【详解】（1）由已知可得， ， 同理可得，， . (2)判断新方案的治疗效果较旧方案是否有显著提高. 说明：如果，则认为新方案的治疗效果较旧方案是有显著提高，否则不认为有显著提高. （2），， 新方案的治疗效果较旧方案有显著提高. 【例9】（23-24高一下·甘肃兰州·期中）某中学名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图求出分数大于的频率与频数； (2)根据频率分布直方图求样本中分位数； (3)已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为，请计算样本的均值与方差. 【详解】（1）根据频率分布直方图知分数大于70的频率为，故 （2）落在的频率为，落在的频率为， 故根据频率分布直方图知分位数，在区间上，设其为， 则，解得， 所以样本中分位数是：． (3)已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为，请计算样本的均值与方差. （3）解法一：总样本的均值为， 设男生个体依次为，女生个体依次为， 则，， ， ， 总体样本方差为， 其中 同理， 所以总样本的方差为， 【变式9-1】.（23-24高一下·陕西榆林·期末）某学校高一年级进行某学科的考试，所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在. (1)求图中的值； 【详解】（1），解得. (2)年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，估计此次考试成绩优胜的分数线； （2）年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，故求第分位数的分数即可， ，故分位数在内， 故第分位数的分数为分，故此次考试成绩优胜的分数线为分. (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，进行成绩情况调研.若抽取的同学中，第二组的成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组的成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差. （3）因为现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人， 所以第二组抽取的人数为人，第四组抽取的人数为人， 由总体平均数的知识可知总体平均数为， 由总体方差的知识可知总体方差为. 1．（24-25高二下·上海·开学考试）某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是 ． 1676622766  5650267107  3290797853  1355385859  8897541410 1256859926  9682731099  1696729315  5712101421  8826498176 5559563564  3854824622  3162430990  0618443253  2383013030 【详解】从685开始向右数，即685，992，696，827，310，991，696，729，跳过992，991，696重复，跳过， 所以第5个数字为729. 故答案为：729. 1．（2025·河北张家口·二模）在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，这组数据的平均数，极差为. 故选：A. 2．（2025·浙江温州·二模）某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 【详解】， 故选：D 3．（2026高三·全国·专题练习）某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差分别为 【详解】依题意，高级职称教师的平均年龄为（岁）， 高级职称教师年龄的方差为， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为（岁）， 该校中级职称和高级职称教师年龄的方差为． 故答案为：39；20.67 4．（2025·上海闵行·二模）已知数据的平均数为2，方差为5，则的平均数为 ． 【详解】由题意可得，， 所以， 又， 即，即， 所以的平均数为9. 故答案为：9. 5．（22-23高一下·云南昭通·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 所以第70的分位数为. $$