（期末单元复习）第三单元知识梳理+考点清单 人教版五年级下册数学（原卷版＋解析版）

第三单元知识梳理+考点清单（期末单元复习） 人教版五年级下册数学（原卷版） 知识点1：长方体和正方体的特征 内容详解 重难点/易错点标注 长方体 面：6个面，相对面完全相同（可能有2组相对面是正方形） 棱：12条棱，相对的棱长度相等（分3组，每组4条） 顶点：8个顶点 长宽高：相交于同一顶点的三条棱分别叫长、宽、高 重点：棱长总和 = (长+宽+高)×4 易错点：混淆“棱长总和”与“一个面的周长”，注意长方体棱长分3组计算 正方体 面：6个面，所有面完全相同（正方形） 棱：12条棱，长度全部相等 顶点：8个顶点 特殊性：特殊的长方体（长宽高相等） 关键：正方体是长方体的特殊形式，具备长方体所有特征 知识点2：表面积与体积（容积） 内容详解 重难点/易错点标注 表面积 长方体表面积 = (长×宽+长×高+宽×高)×2 正方体表面积 = 棱长×棱长×6 无盖/无底物体：需减去对应面的面积（如鱼缸算5个面） 重点：根据实际情境判断计算几个面的面积（如通风管算4个面） 易错点：误将“体积”公式用于表面积计算，单位混淆（面积单位为平方，体积为立方） 体积 体积公式：  长方体体积=长×宽×高（）  正方体体积=棱长×棱长×棱长（） 体积单位：、、， 重点：体积是物体所占空间大小，容积是容器内部体积 易错点：计算体积时忽略单位统一（如长2m、宽3dm需先统一单位） 容积 容积单位：升（L）、毫升（mL），，， 容积计算：从内部量长宽高，公式同体积 提示：不规则物体体积可用排水法（体积=水面上升的体积） 知识点3：体积单位换算与公式推导 内容详解 重难点/易错点标注 单位换算 高级单位→低级单位：乘进率（如 ） 低级单位→高级单位：除以进率（如 ） 重点：牢记 、、、 ⚠易错点：混淆面积单位与体积单位进率（如误认 ） 统一公式 长方体/正方体体积 = 底面积×高（），适用于所有柱体体积计算 关键：通过底面积×高推导不规则柱体体积（如横截面积均匀的物体） 考点1、长方体和正方体的认识 1．一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长( )cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是( )cm。 2．下面的图形是一个( )体，长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。把它截成一个最大的正方体，正方体的棱长是( )cm，棱长总和是( )cm。 3．文房四宝，是指中国独有的书法绘画工具（书画用具），即笔、墨、纸、砚。除此之外，用来压纸的镇尺被称为“文房第五宝”。小明酷爱书法，他买了一把长方体的木制镇尺。这把镇尺的两组相对面如下图所示，那么，这把镇尺的另一组相对面是长( )cm，宽( )cm的长方形。 4．如图，长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。这个长方体有( )个面是正方形，5cm长的棱有( )条。 5．骰子的展开图如下图所示，骰子相对的两个面的点数和都是7，那么a面上的点数是( )，b面上的点数是( )。 6．有五个完全相同的正方体木块，按照相同的顺序在每个面上分别写上数字1、2、3、4、5、6，把木块拼起来（如下图），那么与1相对的数字是 ，与3相对的数字是 ，与6相对的数字是 。 考点2、长方体和正方体的表面积计算 7．求表面积。 （1）    （2） 8．求下面图形的表面积。 9．计算如图图形的表面积。（单位：cm） 考点3、立体图形的切拼 10．将一个长为6分米，宽为4分米，高为3分米的长方体切割成两个完全一样的长方体，表面积最多增加( )平方分米，最少增加( )平方分米。 11．用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的表面积是( )cm2；也可以拼成一个长方体，长方体的表面积可能是( )cm2。 12．在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是( )平方厘米。 13．一根长方体木料长12分米，宽和高都是3分米，把它锯成3段（如图），表面积最少增加( )平方分米；最多增加( )平方分米。 14．如图一个正方体的棱长是1厘米，它的表面积是6cm2，两个正方体拼在一起表面积是10cm2，三个正方体拼成的长方体表面积是( )cm2，( )个正方体拼成的长方体的表面积是90cm2。 考点4、表面涂色的小正方体 15．用棱长1cm的小正方体摆成如上的正方体后把它的表面染上颜色。三面涂色的小正方体有（    ）个。两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．7；8 B．8；12 C．12；8 D．16；12 16．一个表面涂满了蓝色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀，切成了27个小正方体，其中三个面涂有蓝色的小正方体有（    ）。 A．8个 B．27个 C．36个 D．54个 17．如图，这是一个用若干大小相同的小正方体搭成的模型。把这个模型的表面（包括底面）都涂成红色，那么这个模型六面都涂有红色的小正方体有( )个，五面涂有红色的小正方体有( )个，四面涂有红色的小正方体有( )个，三面涂有红色的小正方体有( )个，两面涂有红色的小正方体有( )个，一面涂有红色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。 18．在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 19．如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？ 考点5、体积（容积）单位和进率 20．在括号里填上合适的单位名称。 一块橡皮的体积约是8( )        一个水杯的容积约是800( ) 一个文具盒的体积约是0.75( )   一辆货车车厢的体积约是50( ) 21．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5m3( )500dm3          8.35dm3( )835cm3        2550cm3( )25.5dm3 400cm3( )0.4dm3        8.1m3( )8000dm3        240dm3( )2m3 22．2.08立方米＝( )立方分米            400立方厘米＝( )立方分米   3020立方分米＝( )立方米              50立方分米＝( )立方米 2036立方厘米＝( )立方分米( )立方厘米     7.06立方米＝( )立方厘米 23．8.05dm3＝( )dm3( )cm3    3.05m＝( )cm 7.08m3＝( )dm3＝( )L          24dm2＝( )m2 24．4.07立方米＝( )立方米( )立方分米 9.08立方分米＝( )升＝( )毫升 9000cm3＝( )m3        5.6m3＝( )L 考点6、长方体和正方体的体积计算 25．计算下列图形的体积。（单位：cm） 26．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 27．贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 28．把两个棱长为20厘米的正方体铁块重新锻铸，如果做成长8厘米，宽5厘米，高4厘米的小长方体，可以做出多少个？（不计损耗） 考点7、不规则物体的体积计算 29．如图一个长方体的玻璃鱼缸，长9分米，宽7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？    30．在下图的玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 31．在科学课上，同学们分组做物体的沉浮实验。在一个长8分米，宽4分米，高7分米的长方体玻璃水槽中装有一些水（如图一），小航放入4个同样大的小球后（如图二），水面上升了0.6分米。每个小球的体积是多少立方分米？ 32．一个长方体的玻璃缸，长8分米、宽6分米、高4分米，（玻璃厚度忽略不计），水深3.5分米。如果放入一块棱长4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元知识梳理+考点清单（期末单元复习） 人教版五年级下册数学（解析版） 知识点1：长方体和正方体的特征 内容详解 重难点/易错点标注 长方体 面：6个面，相对面完全相同（可能有2组相对面是正方形） 棱：12条棱，相对的棱长度相等（分3组，每组4条） 顶点：8个顶点 长宽高：相交于同一顶点的三条棱分别叫长、宽、高 重点：棱长总和 = (长+宽+高)×4 易错点：混淆“棱长总和”与“一个面的周长”，注意长方体棱长分3组计算 正方体 面：6个面，所有面完全相同（正方形） 棱：12条棱，长度全部相等 顶点：8个顶点 特殊性：特殊的长方体（长宽高相等） 关键：正方体是长方体的特殊形式，具备长方体所有特征 知识点2：表面积与体积（容积） 内容详解 重难点/易错点标注 表面积 长方体表面积 = (长×宽+长×高+宽×高)×2 正方体表面积 = 棱长×棱长×6 无盖/无底物体：需减去对应面的面积（如鱼缸算5个面） 重点：根据实际情境判断计算几个面的面积（如通风管算4个面） 易错点：误将“体积”公式用于表面积计算，单位混淆（面积单位为平方，体积为立方） 体积 体积公式：  长方体体积=长×宽×高（）  正方体体积=棱长×棱长×棱长（） 体积单位：、、， 重点：体积是物体所占空间大小，容积是容器内部体积 易错点：计算体积时忽略单位统一（如长2m、宽3dm需先统一单位） 容积 容积单位：升（L）、毫升（mL），，， 容积计算：从内部量长宽高，公式同体积 提示：不规则物体体积可用排水法（体积=水面上升的体积） 知识点3：体积单位换算与公式推导 内容详解 重难点/易错点标注 单位换算 高级单位→低级单位：乘进率（如 ） 低级单位→高级单位：除以进率（如 ） 重点：牢记 、、、 ⚠易错点：混淆面积单位与体积单位进率（如误认 ） 统一公式 长方体/正方体体积 = 底面积×高（），适用于所有柱体体积计算 关键：通过底面积×高推导不规则柱体体积（如横截面积均匀的物体） 2025年5月20日小学数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1、长方体和正方体的认识 1．一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长( )cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是( )cm。 【答案】 36 3 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出这根铁丝的长度；如果把这根铁丝刚好能围成一个正方体框架，棱长总和不变，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，即可求出正方体框架的棱长，据此解答。 【解析】（4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（cm） 36÷12＝3（cm） 一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长36cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是3cm。 2．下面的图形是一个( )体，长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。把它截成一个最大的正方体，正方体的棱长是( )cm，棱长总和是( )cm。 【答案】 长方 10 5 3 72 3 36 【分析】长方体的特征：有12条棱，8个顶点，6个面，相交于一个顶点的三条棱的长度叫做长方体的长、宽、高，长、宽、高各有4条，相对的面完全相同；根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可求出棱长总和。 根据题意可知，把这个长方体木料加工成一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体的高，然后根据正方体的棱长总和＝棱长×12解答。 【解析】（10＋5＋3）×4 ＝（15＋3）×4 ＝18×4 ＝72（cm） 3×12＝36（cm） 下面的图形是一个长方体，长是10cm，宽是5cm，高是3cm，棱长总和是72cm。把它截成一个最大的正方体，正方体的棱长是3cm，棱长总和是36cm。 3．文房四宝，是指中国独有的书法绘画工具（书画用具），即笔、墨、纸、砚。除此之外，用来压纸的镇尺被称为“文房第五宝”。小明酷爱书法，他买了一把长方体的木制镇尺。这把镇尺的两组相对面如下图所示，那么，这把镇尺的另一组相对面是长( )cm，宽( )cm的长方形。 【答案】 3 2 【分析】根据题意得：一组相对面是长和宽组成的面，另一组相对面是长和高组成的面，则要求的另一组像对面是宽和高组成的面，长为30cm，宽为3cm，高为2cm。据此可得出答案。 【解析】根据题意可得：这个长方体长为30cm，宽为3cm，高为2cm。另一组相对面是长3cm，宽2cm的长方形。 4．如图，长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。这个长方体有( )个面是正方形，5cm长的棱有( )条。 【答案】 5 5 8 2 8 【分析】相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高；长和宽相等，则上下两面都是正方形；长方体的长和宽都是5厘米，长方体中长和宽都分别有4条。 【解析】长5cm，宽5cm，高8cm； 长和宽相等，则上，下两个面都是正方形； 2×4＝8（条） 5cm长的棱有8条。 【总结】本题考查长方体的认识，熟知长、宽、高的概念就能解决问题。 5．骰子的展开图如下图所示，骰子相对的两个面的点数和都是7，那么a面上的点数是( )，b面上的点数是( )。 【答案】 4 6 【分析】 骰子的展开图如图所示： 骰子相对的两个面的点数之和都是7，因为a和2点、1点是邻面，那么和a相对的面是3点；又因为b和2点是邻面，那么和b相对的面是1点。据此解答即可。 【解析】折成正方体后，a面的对面点数是3，b面的对面点数是1； 7－3＝4 7－1＝6 所以，a面上的点数是4，b面上的点数是6。 6．有五个完全相同的正方体木块，按照相同的顺序在每个面上分别写上数字1、2、3、4、5、6，把木块拼起来（如下图），那么与1相对的数字是 ，与3相对的数字是 ，与6相对的数字是 。 【答案】 5 4 2 【分析】根据从左到右第1、4、5三个正方体可知，与数字5相邻的四个数字分别是3、6、4、2，因此，5的对面一定是1； 6和4、3、5相邻，所以6的对面是2； 3和5、6相邻，所以3的对面是4。 【解析】与1相对的数字是5，与3相对的数字是4，与6相对的数字是2。 考点2、长方体和正方体的表面积计算 7．求表面积。 （1）    （2） 【答案】（1）864cm2；（2）520cm2 【分析】（1）已知正方体的棱长是12cm，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出这个正方体的表面积。 （2）从长方体的展开图中可知，长方体的长是10cm、宽是14cm、高是5cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出这个长方体的表面积。 【解析】（1）12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 正方体的表面积是864cm2。 （2）（10×14＋10×5＋14×5）×2 ＝（140＋50＋70）×2 ＝260×2 ＝520（cm2） 长方体的表面积是520cm2。 8．求下面图形的表面积。 【答案】852dm2 【分析】长方体和正方体叠加后，会减少了两个面的面积，即2个边长为6dm的正方形的面积；利用长方体的表面积公式和正方体的表面积公式，分别求出长方体和正方体的表面积，用长方体的表面积加上正方体的表面积，再减去2个正方形的面积，即可求出组合图形的表面积。 【解析】（9×6×2＋9×20×2＋6×20×2）＋6×6×6－6×6×2 ＝（108＋360＋240）＋216－72 ＝708＋216－72 ＝852（dm2） 9．计算如图图形的表面积。（单位：cm） 【答案】306cm2 【分析】由于正方体与长方体有重合面，相当于少了2个正方形的面积，所以上面的正方体只求4个侧面的面积，下面的长方体求出表面积，然后相加即可求出组合图形的表面积。 正方体表面积＝棱长×棱长×6；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【解析】4×4×4＋（10×7＋10×3＋7×3）×2 ＝16×4＋（70＋30＋21）×2 ＝64＋121×2 ＝64＋242 ＝306（cm2） 它的表面积是306cm2。 考点3、立体图形的切拼 10．将一个长为6分米，宽为4分米，高为3分米的长方体切割成两个完全一样的长方体，表面积最多增加( )平方分米，最少增加( )平方分米。 【答案】 48 24 【分析】把一个长方体切成两个一样的长方体，表面积会增加两个截面的面积；要使表面积增加的最多，以最大的面（6×4）为截面来切；要使表面积增加的最少，以最小的面（4×3）为截面来切。 【解析】6×4×2＝48（平方分米） 4×3×2＝24（平方分米） 则表面积最多增加48平方分米，最少增加24平方分米。 11．用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的表面积是( )cm2；也可以拼成一个长方体，长方体的表面积可能是( )cm2。 【答案】 24 28或34 【分析】用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，大正方体的棱长为2厘米，用正方体的表面积公式求出大大正方体的表面积即可；拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是4厘米、2厘米、1厘米，也可能是8厘米、1厘米、1厘米，再改根据长方体的表面积公式求解即可。 【解析】正方体表面积： 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 长方体表面积： （4×2＋4×1＋2×1）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） （8×1＋8×1＋1×1）×2 ＝17×2 ＝34（平方厘米） 【总结】本题考查长方体、正方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体、正方体的表面积公式。 12．在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是( )平方厘米。 【答案】736 【分析】切后表面积增加的160平方厘米，正好是长方体的左、右两个面的面积；切后表面积增加的256平方厘米，正好是长方体前、后两个面的面积；切后表面积增加的320平方厘米，正好是长方体上、下两个面的面积；把它们分别相加，即可求出原来长方体彩砖的表面积，据此解答。 【解析】160＋256＋320 ＝416＋320 ＝736（平方厘米） 原来每块长方体彩砖的表面积是736平方厘米。 13．一根长方体木料长12分米，宽和高都是3分米，把它锯成3段（如图），表面积最少增加( )平方分米；最多增加( )平方分米。 【答案】 36 144 【分析】把长方体木料锯成3段，需要锯2次，每锯一次增加两个截面的面积，所以锯2次共增加4个截面的面积。长方体木料有三种不同的面，分别为12×3、12×3和3×3 ，比较这3种面的面积大小可知3×3这个面的面积最小，12×3这个面的面积最大，求表面积增加最少的就按照截面面积最小的计算，求表面积增加最多的就按照截面面积最大的计算。 【解析】①求表面积最少增加多少：当截面为3×3的面时，增加的表面积最少，增加的面积为3×3×4＝36（平方分米）； ②求表面积最多增加多少：当截面为12×3的面时，增加的表面积最多，增加的面积为12×3×4＝144（平方分米）。 因此，面积最少增加36平方分米；最多增加144平方分米。 14．如图一个正方体的棱长是1厘米，它的表面积是6cm2，两个正方体拼在一起表面积是10cm2，三个正方体拼成的长方体表面积是( )cm2，( )个正方体拼成的长方体的表面积是90cm2。 【答案】 14 22 【分析】观察图形可知： 1个正方体的表面积是6cm2，6＝4×1＋2； 2个正方体拼成的长方体表面积是10cm2，10＝4×2＋2； 3个正方体拼成的长方体表面积是10cm2，14＝4×3＋2； …… 规律：n个正方体拼成的长方体表面积是（4n＋2）cm2。 【解析】规律：n个正方体拼成的长方体表面积是（4n＋2）cm2。 当n＝3时 4n＋2 ＝4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（cm2） 4n＋2＝90 解：4n＋2－2＝90－2 4n＝88 4n÷4＝88÷4 n＝22 填空如下： 三个正方体拼成的长方体表面积是（14）cm2，（22）个正方体拼成的长方体的表面积是90cm2。 考点4、表面涂色的小正方体 15．用棱长1cm的小正方体摆成如上的正方体后把它的表面染上颜色。三面涂色的小正方体有（    ）个。两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．7；8 B．8；12 C．12；8 D．16；12 【答案】B 【分析】大正方体每条棱长上都有3个小正方体；根据立体图形的知识可知：两个面涂色的在每条棱的中间，三面涂色的在大正方体的顶点上，根据上面的结论，即可求得答案。 【解析】1×8＝8（个） （3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 三面涂色的小正方体有8个。两面涂色的小正方体有12个。 故答案为：B 【总结】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。 16．一个表面涂满了蓝色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀，切成了27个小正方体，其中三个面涂有蓝色的小正方体有（    ）。 A．8个 B．27个 C．36个 D．54个 【答案】A 【分析】根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”可知，切成27个小正方体，那么大正方体每条棱上有3个小正方体；根据正方体的特征可知，三个面涂蓝色的小正方体在大正方体的每个顶角上，又知正方体有8个顶角，据此解答。 【解析】一个表面涂满了蓝色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀，切成了27个小正方体，其中三个面涂有蓝色的小正方体有8个。 故答案为：A 17．如图，这是一个用若干大小相同的小正方体搭成的模型。把这个模型的表面（包括底面）都涂成红色，那么这个模型六面都涂有红色的小正方体有( )个，五面涂有红色的小正方体有( )个，四面涂有红色的小正方体有( )个，三面涂有红色的小正方体有( )个，两面涂有红色的小正方体有( )个，一面涂有红色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。 【答案】 0 1 4 28 16 25 10 【分析】①没有一个小正方体的所有面都露在外面，所以没有六面都涂有红色的小正方体； ②最顶层的一个小正方体五面都露在外面，所以五面涂有红色的小正方体有1个； ③最底层外围四个角的小正方体三面露在外面，加上底面一共四面涂成红色，所以四面涂有红色的小正方体有4个； ④最底层外围四周中间部分的小正方体有两面露在外面，加上底面一共三面涂成红色；从下往上数的第二层和第三层，外围四个角的小正方体有三面露在外面，所以三面涂有红色的小正方体共有（）个； ⑤从下往上数的第二层和第三层的外围四周，中间部分的小正方体有2面露在外面，所以两面涂有红色的小正方体有（）个； ⑥最底层中间被遮住的部分，只有底面涂有红色，所以一面涂有红色的小正方体共有（）个； ⑦从下往上数的第二层和第三层的中间被遮住的部分，没有任何面露在外面，所以没有涂色的小正方体有（）个。 【解析】由分析可知，这个模型六面都涂有红色的小正方体有0个； 五面涂有红色的小正方体有1个； 四面涂有红色的小正方体有4个； （个） 三面涂有红色的小正方体有28个； （个） 两面涂有红色的小正方体有16个； （个） 一面涂有红色的小正方体有25个； （个） 没有涂色的小正方体有10个。 18．在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 【答案】 486个 【分析】根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×（棱长－2），可得大正方体的棱长；接下来再根据一面涂色的小正方体的个数＝正方体的面数×（棱长－2）即可得到答案。 【解析】正方体的棱长： 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（厘米） 只有一面涂红色： ＝ ＝（个） 答：只有一面涂色的小正方体有486个。 【总结】本题主要考查了染色问题，解题的关键是根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×(棱长－2)，求出大正方体的棱长。 19．如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？ 【答案】2个 【分析】大正方体有4排4列4层，如果没有贯通的空洞，中间部分的小正方体是没有涂红色的，共有2×2×2＝8（个），由于有贯通的空洞，中间没有涂色的小正方体要减少2×3＝6（个）（贯通的空洞减少2个，空洞四周涂色又要减法4个），所以一个面都没有涂上红色的小正方体有8－6＝2（个），据此即可解答。 【解析】2×2×2－2×3 ＝8－6 ＝2（个） 答：一个面都没有涂上红色的小正方体有2个。 【总结】先按没有空洞计算没有涂色的小正方体的个数，再减去由于有贯通空洞减少没有涂色的小正方体的个数。 考点5、体积（容积）单位和进率 20．在括号里填上合适的单位名称。 一块橡皮的体积约是8( )        一个水杯的容积约是800( ) 一个文具盒的体积约是0.75( )   一辆货车车厢的体积约是50( ) 【答案】 立方厘米/cm3 毫升/mL 立方分米/dm3 立方米/m3 【分析】常见的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米； 常见的容积单位有：升、毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米，1升＝1000毫升，据此根据对体积和容积单位大小的认识选择合适的单位即可。 【解析】分析可知，一块橡皮的体积约是8立方厘米，一个水杯的容积约是800毫升，一个文具盒的体积约是0.75立方分米，一辆货车车厢的体积约是50立方米。 【总结】根据题中数据联系生活实际选择合适的体积或容积单位是解答题目的关键。 21．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5m3( )500dm3          8.35dm3( )835cm3        2550cm3( )25.5dm3 400cm3( )0.4dm3        8.1m3( )8000dm3        240dm3( )2m3 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】先根据进率统一单位后，再比较大小即可。 注意单位的换算：1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率。 【解析】（1）5×1000＝5000（dm3） 5000＞500，所以5m3＞500dm3； （2）8.35×1000＝8350（cm3） 8350＞835，所以8.35dm3＞835cm3； （3）2550÷1000＝2.55（dm3） 2.55＜25.5，所以2550cm3＜25.5dm3； （4）400÷1000＝0.4（dm3） 400cm3＝0.4dm3 （5）8.1×1000＝8100（dm3） 8100＞8000，8.1m3＞8000dm3； （6）240÷1000＝0.24（m3） 0.24＜2，所以240dm3＜2m3。 22．2.08立方米＝( )立方分米            400立方厘米＝( )立方分米   3020立方分米＝( )立方米              50立方分米＝( )立方米 2036立方厘米＝( )立方分米( )立方厘米     7.06立方米＝( )立方厘米 【答案】 2080 0.4 3.02 0.05 2 36 7060000 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，据此解答。 【解析】2.08立方米＝2080立方分米             400立方厘米＝0.4立方分米   3020立方分米＝3.02立方米               50立方分米＝0.05立方米 2036立方厘米＝2立方分米36立方厘米      7.06立方米＝7060000立方厘米 【总结】本题考查了体积单位之间的换算，熟记相邻体积单位之间的进率是解题的关键。 23．8.05dm3＝( )dm3( )cm3    3.05m＝( )cm 7.08m3＝( )dm3＝( )L          24dm2＝( )m2 【答案】 8 50 305 7080 7080 0.24 【分析】根据进率：1dm3＝1000cm3，1m＝100cm，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L，1m2＝100dm2；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解析】（1）8.05dm3＝8dm3＋0.05dm3 0.05×1000＝50（cm3） 8.05dm3＝8dm350cm3 （2）3.05×100＝305（cm） 3.05m＝305cm （3）7.08×1000＝7080（dm3） 7080dm3＝7080L 7.08m3＝7080dm3＝7080L （4）24÷100＝0.24（m2） 24dm2＝0.24m2 24．4.07立方米＝( )立方米( )立方分米 9.08立方分米＝( )升＝( )毫升 9000cm3＝( )m3        5.6m3＝( )L 【答案】 4 70 9.08 9080 0.009 5600 【分析】根据进率：1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，1m3＝1000000cm3；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解析】（1）4.07立方米＝4立方米＋0.07立方米 0.07×1000＝70（立方分米） 4.07立方米＝4立方米70立方分米 （2）9.08立方分米＝9.08升 9.08×1000＝9080（毫升） 9.08立方分米＝9.08升＝9080毫升 （3）9000÷1000000＝0.009（m3） 9000cm3＝0.009m3 （4）5.6×1000＝5600（dm3） 5600dm3＝5600L 5.6m3＝5600L 【总结】掌握体积、容积单位之间的进率以及转换方向是单位换算的关键。 考点6、长方体和正方体的体积计算 25．计算下列图形的体积。（单位：cm） 【答案】（1）109cm3 （2）700cm3 【分析】（1）由图可知，图形是正方体中挖空了一个长方体，图形的体积＝正方体的体积－长方体的体积；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高； （2）图形是由长为12cm，宽为7cm，高为10cm的长方体中，挖空了一个长为7cm，宽为（12－8）cm，高为5cm的小长方体，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，分别计算出这两个长方体的体积，再相减即可；据此解答。 【解析】（1）5×5×5－4×2×2 ＝25×5－8×2 ＝125－16 ＝109（cm3） （2）12×7×10－（12－8）×7×5 ＝84×10－4×7×5 ＝840－28×5 ＝840－140 ＝700（cm3） 26．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】312平方厘米；168立方厘米 【分析】观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【解析】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【总结】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 27．贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 1000立方厘米 【分析】由题意可知，三个完全一样的小正方体拼成一个长方体，减少了4个面，即条棱长，已知拼成之后，梭长之和减少了160cm，即160cm是16条棱长的和，用除法计算出每条棱长的长度，再根据，代入数据，即可得解。 【解析】 （厘米） （立方厘米） 答：原来每个小正方体的体积是1000立方厘米。 28．把两个棱长为20厘米的正方体铁块重新锻铸，如果做成长8厘米，宽5厘米，高4厘米的小长方体，可以做出多少个？（不计损耗） 【答案】100个 【分析】在重新锻铸的过程中，总体积不变，因此根据正方体、长方体的体积公式可以算出原来两个正方体的体积和、小长方体的体积，用体积和除以小长方体的体积就能算出小长方体的数量。 【解析】原体积和：20×20×20×2＝16000（立方厘米） 长方体体积：8×5×4＝160（立方厘米） 16000÷160＝100（个） 答：可以做出100个小长方体。 【总结】本题主要考查了正方体、长方体体积公式的灵活应用，明确总体积不变是解答本题的关键。 考点7、不规则物体的体积计算 29．如图一个长方体的玻璃鱼缸，长9分米，宽7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？    【答案】87.4升 【分析】根据题意可知，把铁块放入玻璃缸中，溢出水的体积等于浸入水中铁块的体积减去玻璃缸内无水部分的体积，但正方体铁块的高为5分米，不会全部浸入水中，所以浸入水中铁块的体积实际是一个长和宽都为5分米，高为4分米的长方体，玻璃钢内无水部分实际是一个长9分米、宽7分米，高（4－3.8）分米的长方体，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解析】5×5×4 ＝25×4 ＝100（立方分米） 9×7×（4－3.8） ＝9×7×0.2 ＝63×0.2 ＝12.6（立方分米） 100－12.6＝87.4（立方分米） 87.4立方分米＝87.4升 答：缸里的水溢出87.4升。 【总结】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明确正方体不会全部浸入到水中，其次因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于浸入的正方体铁块的体积。 30．在下图的玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 【答案】3分钟 【分析】先确定把假山完全淹没需要的水的体积，即为长、宽、高分别为6分米、4分米、1.5分米的水的体积再减去假山的体积，求出需要注水的体积，又知道每分钟注水量，再根据：时间＝总量÷速度，用需要注水的体积除以10立方分米即可解答。 【解析】（6×4×1.5－6）÷10 ＝（24×1.5－6）÷10 ＝（36－6）÷10 ＝30÷10 ＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能把假山石刚好淹没。 31．在科学课上，同学们分组做物体的沉浮实验。在一个长8分米，宽4分米，高7分米的长方体玻璃水槽中装有一些水（如图一），小航放入4个同样大的小球后（如图二），水面上升了0.6分米。每个小球的体积是多少立方分米？ 【答案】4.8立方分米 【分析】由题意可知，上升部分水的体积就是4个小球的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出上升部分水的体积，最后用除法求出1个小球的体积即可。 【解析】8×4×0.6÷4 ＝32×0.6÷4 ＝19.2÷4 ＝4.8（立方分米） 答：每个小球的体积是4.8立方分米。 32．一个长方体的玻璃缸，长8分米、宽6分米、高4分米，（玻璃厚度忽略不计），水深3.5分米。如果放入一块棱长4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】40升 【分析】根据题意，先求出长方体玻璃缸中没有水的部分的容积，再用正方体铁块的体积减去没有水部分的容积，即可求出缸里的水会溢出多少升。长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【解析】 ＝64－8×6×0.5 ＝64－24 ＝40（立方分米） ＝40（升） 答：缸里的水溢出40升。 学科网（北京）股份有限公司 $$