专题03 整式的化简计算、因式分解及其应用（9题型）（浙江专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 整式的化简计算、因式分解及其应用 （8题型） 科学记数法表示较小的数 1．（2024春•东阳市期末）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，某种球形冠状病毒的直径是120纳米，1纳米＝0.000000001米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（　　） A．1.2×10﹣7米 B．1.2×10﹣8米 C．12×10﹣8米 D．12×10﹣7米 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1米＝1000000000纳米， 120纳米＝0.00000012米＝1.2×10﹣7米． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2024春•江山市期末）“苔花如米小，也学牡丹开”．苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（　　） A．8.4×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2024春•鹿城区校级期末）2024年6月4日，嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据0.0000167用科学记数法表示为（　　） A．1.67×105 B．0.167×10﹣4 C．1.67×10﹣5 D．16.7×10﹣6 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可求得答案． 【解答】解：0.0000167＝1.67×10﹣5， 故选：C． 【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024春•镇海区校级期末）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 　1.2×10﹣7　 ． 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7． 故答案为：1.2×10﹣7． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5．（2024春•慈溪市期末）生物学家发现一种病毒，其长度约为0.00000032米，数据0.00000032用科学记数法表示为 　3.2×10﹣7　 ． 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7 故答案为：3.2×10﹣7． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 幂的运算 1．（2024春•莲都区期末）计算：a•a5＝（　　） A．a B．5a2 C．a5 D．a6 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：a•a5＝a6． 故选：D． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．（2024春•江山市期末）计算：，结果为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝（）2023×（﹣5）2023 ＝（5）2023 ＝（﹣1）2023 ． 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2024春•嘉兴期末）计算：（﹣3a）2＝　9a2　 ． 【分析】根据积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：（3a）2＝9a2． 故答案为：9a2． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键． 4．（2024春•江北区期末）计算a6÷（﹣a2）的结果是（　　） A．a3 B．a4 C．﹣a3 D．﹣a4 【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【解答】解：a6÷（﹣a2） ＝﹣a6﹣2 ＝﹣a4． 故选：D． 【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（2024春•慈溪市期末）ax＝2，ay＝3，则ax+y的值为 　6　 ． 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：∵ax＝2，ay＝3， ∴ax+y＝ax•ay， ＝ax•ay， ＝2×3， ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加． 6．（2024春•江干区校级期末）已知2m+3n＝3，则4m×8n的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】将4m×8n变形为22m+3n，然后代入求值即可． 【解答】解：∵2m+3n＝3， ∴4m×8n ＝（22）m×（23）n ＝22m×23n ＝22m+3n ＝23 ＝8， 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（2024春•东阳市期末）若2x＝3，4y＝2，则22y﹣x等于（　　） A．1 B． C． D．6 【分析】先利用同底数幂除法逆运算法则化为除法，再利用幂的乘方逆运算变形22y＝（22）y＝4y，代入计算即可． 【解答】解：∵2x＝3，4y＝2， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 8．（2024春•义乌市期末）若实数m，n满足2n﹣m﹣1＝0，则4m÷16n＝　　 ． 【分析】先根据已知条件求出m﹣2n的值，然后把所求幂的底数变成4，再利用同底数幂相除法则进行计算，最后把m﹣2n的值代入进行计算即可． 【解答】解：∵2n﹣m﹣1＝0， ∴2n﹣m＝1， ∴m﹣2n＝﹣1， ∴4m÷16n ＝4m÷（42）n ＝4m÷42n ＝4m﹣2n ＝4﹣1 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂相除法则． 因式分解 1．（2024春•莲都区期末）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．2ab（a﹣b）＝2a2b﹣2ab2 B．x2+1＝x（x） C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 2．（2024春•鹿城区校级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【解答】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故答案为：B． 【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 3．（2024春•镇海区校级期末）下列因式分解错误的是（　　） A．x2﹣2xy＝x（x﹣2y） B．x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y） C．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 D．x2+x﹣2＝（x﹣2）（x+1） 【分析】A选项利用提公因式法，提取公因式x，进行分解因式，然后判断； B选项利用平方差公式进行分解因式，然后判断； C选项利用完全平方公式分解因式，进行判断； D．利用十字相乘法分解因式，进行判断即可． 【解答】解：A．∵x2﹣2xy＝x（x﹣2y），∴计算正确，故此选项不符合题意； B．∵x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y），∴计算正确，故此选项不符合题意； C．∵4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，∴计算正确，故此选项不符合题意； D．∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），∴计算错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握几种常见的因式分解的方法． 4．（2024春•金华期末）因式分解a2﹣2ab+b2的结果是（　　） A．（a﹣b）2 B．（a+b）2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2 【分析】利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝（a﹣b）2， 故选：A． 【点评】本题考查利用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 5．（2024春•江北区期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式； C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式； D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键． 6．（2024春•镇海区校级期末）因式分解：2x2﹣2x＝　2x（x﹣1）　 ． 【分析】原式提取公因式即可得到结果． 【解答】解：原式＝2x（x﹣1）． 故答案为：2x（x﹣1）． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．（2024春•鹿城区校级期末）分解因式：x3﹣xy2＝　x（x+y）（x﹣y）　 ． 【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式＝x（x2﹣y2） ＝x（x+y）（x﹣y）． 故答案为：x（x+y）（x﹣y）． 【点评】此题主要考查了提公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 8．（2024春•鄞州区校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y＝　y（2x﹣1）2　 ． 【分析】先提公因式y，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝y（4x2﹣4x+1） ＝y（2x﹣1）2． 故答案为：y（2x﹣1）2． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 9．（2024春•鹿城区校级期末）因式分解：4x2﹣1＝　（2x+1）（2x﹣1）　 ． 【分析】由于多项式二项，没有公因式，考虑运用平方差公式分解． 【解答】解：4x2﹣1 ＝（2x）2﹣1 ＝（2x+1）（2x﹣1） 【点评】本题考查了因式分解的平方差公式，两项若没有公因式，一般考虑平方差公式 10．（2024春•江干区校级期末）分解因式：2a3﹣8a2b+8ab＝　2a（a-2b）2　 ． 【分析】利用提公因式法进行分解，即可解答． 【解答】解：2a3﹣8a2b+8ab＝2a（a2﹣4ab+4b）＝2a（a-2b）2， 故答案为：2a（a-2b）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 整式的乘除 1．（2024春•东阳市期末）下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝6xy B．m•m•m＝3m C．a10÷a4＝a6 D．（﹣2b2）3＝8b6 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方逐一计算即可判断答案． 【解答】解：A、2x和3y不是同类项，并不能合并，原计算错误，不符合题意； B、m⋅m⋅m＝m3，原计算错误，不符合题意； C、a10÷a4＝a6，原计算正确，符合题意； D、（﹣2b2）3＝﹣8b6，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2．（2024春•瓯海区校级期末）下列计算正确的是（　　） A．x5﹣x2＝x3 B．（x﹣2）2＝x2﹣4 C．（﹣3x2）3＝﹣9x6 D．3x2y÷3xy＝x 【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、单项式除以单项式、积的乘方运算法则逐项判断即可． 【解答】解：A、x5与x2不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； B、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，选项计算错误，不符合题意； C、（﹣3x2）3＝﹣27x6，选项计算错误，不符合题意； D、3x2y÷3xy＝x，计算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 3．（2024春•鹿城区校级期末）计算3y2•（﹣y）的结果是（　　） A．﹣3y3 B．3y3 C．﹣3y D．3y 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：3y2•（﹣y）＝﹣3y3， 故选：A． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024春•鹿城区校级期末）若（x﹣5）（x+3）＝x2﹣mx﹣15，则m为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【解答】解：∵（x﹣5）（x+3） ＝x2﹣5x+3x﹣15 ＝x2﹣2x﹣15， ∴m＝2， 故选：A． 【点评】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 5．（2024春•嘉兴期末）下列计算正确的是（　　） A．a+3b＝4ab B．a8÷a2＝a4 C．（a3）2＝a6 D．（a+1）2＝a2+1 【分析】根据整式的相关运算法则逐项分析判断即可． 【解答】解：A、a与3b不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意； B、a8÷a2＝a6，原计算错误，不符合题意； C、（a3）2＝a6，原计算正确，符合题意； D、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是关键． 6．（2024春•新昌县期末）请写出计算（y﹣7）2时用到的乘法公式 　（a±b）2＝a2±2ab+b2　 ．（用字母a，b表示） 【分析】用完全平方公式不是即可． 【解答】解：（a±b）2＝a2±2ab+b2， 故答案为：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是关键． 7．（2024春•鹿城区校级期末）若3xy•A＝6x2y﹣15xy2，则A代表的整式是 　2x﹣5y　 ． 【分析】根据题意列出相应的式子进行求解即可． 【解答】解：A＝（6x2y﹣15xy2）÷3xy ＝6x2y÷3xy﹣15xy2÷3xy ＝2x﹣5y． 故答案为：2x﹣5y． 【点评】本题主要考查单项式乘单项式，整式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 8．（2024春•江干区校级期末）已知x2﹣mx+n＝（x﹣3）（x+4），则（m÷n）m＝　12　 ． 【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，合并同类项后再利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵x2﹣mx+n＝（x﹣3）（x+4）＝x2+4x﹣3x﹣12＝x2+x﹣12， ∴﹣m＝1，n＝﹣12， 解得：m＝﹣1，n＝﹣12， 则原式＝[（﹣1）÷（﹣12）]﹣1＝12． 故答案为：12． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 乘法公式的几何背景与转化 1．（2024春•莲都区期末）如图，两个小正方形的边长分别是a，b，则图中最大的正方形的面积是（　　） A．a2 B．a2+b2 C．a2+2ab+b2 D．a2+ab+b2 【分析】由拼图可知大正方形的边长为a+b，再根据正方形的面积的计算方法即可得出答案． 【解答】解：图中最大的正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，即a2+2ab+b2， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 2．（2024春•长兴县期末）如图1是一个长为2n，宽为2m（n＞m）的长方形，把长方形剪成四个一样的小长方形，然后按图2拼成一个新图形，则图2中空白部分的面积是（　　） A．mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．n2﹣m2 【分析】根据拼图得出图2中空白部分是边长为n﹣m的正方形即可． 【解答】解：由拼图可知，图2中空白部分是边长为n﹣m的正方形， 因此其面积为（n﹣m）2，即（m﹣n）2， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 3．（2024春•江干区校级期末）若2m﹣n＝2，2m+n＝3，则4m2+n2+4mn的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 【分析】通过运用完全平方公式法进行因式分解进行求解． 【解答】解：∵2m+n＝3， ∴4m2+n2+4mn ＝（2m+n）2 ＝32 ＝9， 故选：C． 【点评】此题考查了运用因式分解求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式进行因式分解． 4．（2024春•瓯海区校级期末）若4x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 　±12　 ． 【分析】根据题意可得两平方项为（2x）2，32，则一次项为±2•2x•3，据此可得答案． 【解答】解：∵4x2+mx+9＝（2x）2+mx+32是一个完全平方式， ∴mx＝±2•2x•3， ∴m＝±12， 故答案为：±12． 【点评】本题主要考查了完全平方式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2024春•长兴县期末）若682﹣68×10+52＝k+622﹣1，则k的值是 　126　 ． 【分析】根据完全平方公式运算即可得到结果． 【解答】解：682﹣68×10+52＝（68﹣5）2＝632＝k+622﹣1， 解得k＝126． 故答案为：126． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是关键． 6．（2024春•慈溪市期末）已知a﹣b＝﹣5，ab＝8． （1）求a2b﹣ab2的值； （2）求a2﹣3ab+b2的值． 【分析】（1）先把所求代数式提取公因式ab，然后把已知条件整体代入进行计算即可； （2）把所求代数式中的﹣3ab写成﹣2ab﹣ab的形式，然后把﹣2ab与a2，b2组成一个完全平方式，利用完全平方公式分解因式，最后把已知条件整体代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣5，ab＝8， ∴a2b﹣ab2 ＝ab（a﹣b） ＝8×（﹣5） ＝﹣40； （2）∵a﹣b＝﹣5，ab＝8， ∴a2﹣3ab+b2 ＝a2﹣2ab+b2﹣ab ＝（a﹣b）2﹣ab ＝（﹣5）2﹣8 ＝25﹣8 ＝17． 【点评】本题主要考查了完全平方公式和分解因式，解题关键是熟练掌握完全平方公式和几种常见的分解因式的方法． 7．（2024春•瓯海区校级期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　a2+b2　 ； 方法2：　（a+b）2﹣2ab　 ． （2）请直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的一个等量关系 　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　 ． （3）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A类卡片 　1　 张，B类卡片 　3　 张，C类卡片 　2　 张． （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值． ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2． 【分析】（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为a+2b，宽为a+b，观察图形可得答案； （4）①利用（m+n）2﹣2 m n和（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn计算即可； ②设m＝x﹣2021，n＝x﹣2023，利用（m+n）2﹣2 m n求出2mn＝30，再利用（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn求出（m+n）2＝64，最后把m，n还原后求解即可． 【解答】解：（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：a2+b2， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）拼图如下： 观察图形可得：需要A类卡片1张，B类卡片3张，C类卡片2张． 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得m2+n2＝（m+n）2﹣2mn， ∵m+n＝5，m2+n2＝20， ∴20＝52﹣2mn， ∴， ； ②设m＝x﹣2021，n＝x﹣2023， ∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34， ∴m2+n2＝34， 又∵m﹣n＝（x﹣2021）﹣（x﹣2023）＝2， ∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn， ∴22＝34﹣2mn， ∴2mn＝30， 由（m+n）2﹣2 m n，得： 34＝（m+n）2﹣30， ∴（m+n）2＝64， 即（x﹣2021+x﹣2023）2＝64， 整理，得（2x﹣4044）2＝64，即4（x﹣2022）2＝64， ∴（x﹣2022）2＝16． 【点评】本题考查了完全平方式，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，数形结合是解题的关键． 因式分解的应用 1．（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝1，则x2﹣y2﹣2y的值为　1　 ． 【分析】首先利用平方差公式，求得x2﹣y2﹣2y＝（x+y）（x﹣y）﹣2y，继而求得答案． 【解答】解：∵x﹣y＝1， ∴x2﹣y2﹣2y＝（x+y）（x﹣y）﹣2y＝x+y﹣2y＝x﹣y＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键． 2．（2024春•鄞州区校级期末）对正整数n，规定n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2）．…×2×1，记S＝1！×2！×…×24！，若正整数k（k≤100）使得S×k！为完全平方数，请写出一个符合条件的k的值：　12（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意把S分解成[11×3!×...×23]2×212×12 的形式，再根据完全平方数的定义即可解答． 【解答】解：∵n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）， ∴×2×1， ∴n!×（n﹣1）!＝n×（n﹣1）!×（n﹣1）!＝n[（n﹣1）!]2， S＝1!×2!×...×24!＝2×[1]2×4×[3！]2×...×24×[23！]2， ∴S＝1!×2!×…×24!＝2×4×6×…×22×24×[1!×3!×…×23!]2， ∵2×4×6×⋯×22×24＝（2×1）×（2×2）×（2×3）×⋯×（2×12）＝212×（1×2×3×⋯×11×12）＝212×12!， ∴S＝[11×3!×...×23]2×212×12!， ∴[11×3!×...×23]2，212 都为完全平方数， ∵S×k!为完全平方数， ∴k的值可以是12， 故答案为：12（答案不唯一）． 【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握相关知识的运算． 3．（2024春•镇海区校级期末）仔细阅读下面例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x+n， 由题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， 则有，解得， 所以另一个因式为x﹣7，m的值是﹣21． 问题：请仿照上述方法解答下面问题， （1）若x2+bx+c＝（x﹣1）（x+3），则b＝　2　 ，c＝　﹣3　 ； （2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式为2x﹣3，求另一个因式以及k的值． 【分析】（1）将（x﹣1）（x+3）展开，根据所给出的二次三项式即可求出b、c的值； （2）设另一个因式为（x+p），得2x2+5x+k＝（x+p）（2x﹣3）＝2x2+（2p﹣3）﹣3p，可知2p﹣3＝5，﹣3p＝k，继而求出p和k的值及另一个因式． 【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝x2+bx+c， ∴b＝2，c＝﹣3； 故答案为：2，﹣3； （2）设另一个因式为x+p， 由题意得：2x2+5x+k＝（x+p）（2x﹣3）， 即2x2+5x+k＝2x2+（2p﹣3）x﹣3p， 则有，解得 所以另一个因式为x+4，k的值是﹣12． 【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 4．（2024春•新昌县期末）小林和小王碰到了一个难题：将a4+4因式分解． 小林：这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧． 小王：我们可以尝试先将它配上中间项，如a4+4b4＝a4+4b4+4a2b2﹣4a2b2，使其前面三项变成一个完全平方式，得到（a2+2b2）2﹣4a2b2，再尝试用平方差公式因式分解． （1）根据小王说的方法将a4+4因式分解． （2）依照上述方法将m4﹣m2n2+16n4因式分解． 【分析】（1）将a4+4写成a4+4a2+4﹣4a2，再利用分组分解法以及完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可； （2）将m4﹣m2n2+16n4写成m4+8m2n2+16n4﹣9m2n2，再根据分组分解法，完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）a4+4 ＝a4+4a2+4﹣4a2 ＝（a2+2）2﹣4a2 ＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a）； （2）m4﹣m2n2+16n4 ＝m4+8m2n2+16n4﹣9m2n2 ＝（m2+4n2）2﹣9m2n2 ＝（m2+4n2+3mn）（m2+4n2﹣3mn）． 【点评】本题考查分组分解法，公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式以及分组分解法的分组原则是正确解答的关键． 整式化简中的“不含”问题 1．（2024春•镇海区校级期末）要使多项式（x﹣p）（x﹣q）不含x的一次项，则（　　） A．p+q＝0 B．pq＝1 C．p＝q D．pq＝﹣1 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算（x﹣p）（x﹣q），然后令x的一次项系数为0即可求解． 【解答】解：（x﹣p）（x﹣q） ＝x2﹣px﹣qx+pq ＝x2﹣（p+q）x+pq， 因为不含x的一次项， 所以﹣（p+q）＝0， 所以p+q＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟记法则，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 2．（2024春•鄞州区校级期末）使（x2+3x+p）（x2﹣qx+4）乘积中不含x2与x3项，则p+q的值为（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣2 D．8 【分析】运用多项式乘多项式的计算法则进行计算、求解． 【解答】解：（x2+3x+p）（x2﹣qx+4） ＝x4+3x3+px2﹣qx3﹣3qx2﹣pqx+4x2+12x+4p ＝x4+（3﹣q）x3+（p﹣3q+4）x2﹣（pq﹣12）x+4p， 由题意得，3﹣q＝0且p﹣3q+4＝0， 解得p＝5，q＝3， ∴p+q＝5+3＝8， 故选：D． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式运算的应用能力，关键是能准确运用对应法则进行正确的计算． 3．（2024春•义乌市期末）已知a，b是常数，若化简（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果中不含x的二次项，则﹣12a+24b﹣3的值为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．4 【分析】根据多项式乘多项式的计算方法求出（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果，再根据“结果中不含x的二次项”得到a﹣2b＝0，再将原式化为﹣12（a﹣2b）﹣3代入计算即可． 【解答】解：（﹣2x+a）（x2+bx﹣3） ＝﹣2x3﹣2bx2+6x+ax2+abx﹣3a ＝﹣2x3+（a﹣2b）x2+（6+ab）x﹣3a， 由于结果中不含x的二次项， ∴a﹣2b＝0， ∴﹣12a+24b﹣3＝﹣12（a﹣2b）﹣3＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的计算方法以及合并同类项法则是正确解答的关键． 4．（2024春•东阳市期末）若代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关，则常数k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4 【分析】先将题目中的式子化简，然后根据代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关，即可求得k的值． 【解答】解：x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2） ＝5kx2﹣3x2y﹣3kx2y+4kx2+9x2y﹣12x2 ＝9kx2+6x2y﹣3kx2y﹣12x2 ＝（6﹣3k）x2y+9kx2﹣12x2， ∵代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关， ∴6﹣3k＝0， 解得k＝2， 故选：A． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 整式的混合运算 1．（2024春•江北区期末）已知，x2+4x﹣4＝0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为 　6　 ． 【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后对式子x2+4x﹣4＝0变形，即可解答． 【解答】解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1） ＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6 ＝﹣3x2﹣12x+18， ∵x2+4x﹣4＝0， ∴x2+4x＝4， ∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法． 2．（2024春•东阳市期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 　3x2﹣x+2　 ，余式为 　3　 ． 【分析】仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【解答】解：如图所示： ∴（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为3x2﹣x+2，余式为3， 故答案为：3x2﹣x+2，3． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练利用“列竖式”法求商式和余式． 3．（2024春•鹿城区校级期末）计算下列各题 （1）（﹣3）2+（π）0﹣（）﹣2 （2）（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（4x+3） 【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝9+1﹣4＝6； （2）原式＝4x2﹣4x+1﹣4x2﹣3x+4x+3＝﹣3x+4． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2024春•江山市期末）先化简再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a+1）2+2a，其中． 【分析】去括号合并同类项，最后代入计算即可． 【解答】解：原式＝a2﹣b2﹣a2﹣2a﹣1+2a ＝﹣1﹣b2， 当b＝2时，原式＝﹣1﹣4＝﹣5． 【点评】本题考查整式的混合运算法则﹣化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． 5．（2024春•莲都区期末）对“”，规定运算为ad﹣bc，请根据运算解答下列问题： （1）计算． （2）当时，求（1）式中代数式的值． 【分析】（1）仿照示例，对式子进行化简，即可得到结果； （2）根据化简结果，代入x的值，即可． 【解答】解：（1） ＝x+1； （2）当时，x+11． 【点评】本题考查了新定义，读懂题意，正确应用新定义进行解题是关键． 配方法的应用 1．（2024春•义乌市期末）将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣9≥﹣9，∴当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值﹣9．已知a，b为实数，多项式（x+3）（3x+a）展开后x的一次项系数为m，多项式（3x+2）（x+b）展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数．则当m+n＝17时，ab的最大值为 　3　 ． 【分析】先根据题意出a与b的关系，再变式代入，配方求解． 【解答】解：由题意得：m＝9+a，n＝3b+2， ∴m+n＝a+3b+11＝17， ∴a+3b＝6， ∴a＝6﹣3b， ∴ab＝（6﹣3b）b＝﹣3b2+6b＝﹣3（b﹣1）2+3≤3， ∴ab的最大值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键． 2．（2024春•江干区校级期末）配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值时，可以用配方法： 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值． 【分析】（1）先配方，再根据非负数的性质求解； （2）先把a﹣b＝4变形代入，再配方，根据非负数的性质求解． 【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝（x+y）2+（y+1）2＝0， ∴x＝1，y＝﹣1． ∴2x+y＝2﹣1＝1； （2）∵a﹣b＝4， ∴a＝b+4， ∵c2﹣6c+ab+13＝c2﹣6c+b（b+4）+13＝c2﹣6c+b2+4b+13＝（c﹣3）2+（b+2）2＝0， ∴c＝3，b＝﹣2， ∴a＝2， ∴a+b+c＝2+（﹣2）+3＝3． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握非负数的性质是解题的关键． 3．（2024春•东阳市期末）材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a，b是整数），所以a2+2ab+2b2是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是　2（答案不唯一）　 ． （2）试判断（x+y）（x+3y）+2y2（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由． （3）已知M＝x2+4y2﹣4x+12y+k（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由． 【分析】（1）根据新定义，判断，并写出一个小于10的“完美数”即可求解； （2）根据新定义根据多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解； （3）先运用完全平方公式将M进行化简，再根据“完美数”的定义计算k﹣18＝0即可． 【解答】解：（1）∵2＝12+12， ∴2是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）． （2）（x+y）（x+3y）+2y2 ＝x2+4xy+5y2 ＝x2+4xy+4y2+y2 ＝（x+2y）2+y2， ∴（x+y）（x+3y）+2y2是“完美数”． （3）∵M＝x2+4y2﹣4x+12y+k ＝x2﹣4x+4+4y2+12y+9+k﹣13 ＝（x﹣3）2+（2y+3）2+k﹣13， ∵M为“完美数”， ∴k﹣13＝0， ∴k＝13． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 1．（2024春•东阳市期末）已知x﹣y＝3，，则x+y的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，求出（x+y）2的值，然后根据平方根的含义和求法，求出x+y的值即可． 【解答】解：∵x﹣y＝3，， ∴（x+y）2 ＝（x﹣y）2+4xy ＝32+4 ＝9+6 ＝15， ∴x+y＝±． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平方根的含义和求法，解答此题的关键是求出（x+y）2的值． 2．（2024春•鹿城区校级期末）已知x+y＝5，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值是 　9　 ． 【分析】结合已知条件，利用完全平方公式求得2xy的值，然后将（x﹣y）2展开后代入数值计算即可． 【解答】解：∵x+y＝5， ∴（x+y）2＝25， ∴x2+2xy+y2＝25， ∵x2+y2＝17， ∴2xy＝25﹣17＝8， ∴（x﹣y）2 ＝x2﹣2xy+y2 ＝17﹣8 ＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查完全平方公式，结合已知条件求得2xy的值是解题的关键． 3．（2024春•江北区期末）若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（　　） A．6 B．7 C．3 D．5 【分析】先把已知等式变成A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，然后利用完全平方公式进行计算，最后根据底数是2的幂的计算结果，找出末位数字的规律，按照此规律求出答案即可． 【解答】解：A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+2 ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+2 ＝（216﹣1）（216+1）+2 ＝232﹣1+2 ＝232+1， ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…， ∴末位数字分别为2，4，8，6，每四个一循环， ∵32÷4＝8， ∴232的末位数字为6， ∴232+1 的末位数字为7， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平方差公式和尾数的特征，解题关键是根据已知条件，把已知等式写成A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2的形式． 4．（2024春•东阳市期末）若x2+2（m﹣3）x+9是一个完全平方式，则m的值为　0或6　 ． 【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【解答】解：∵（x±3）2 ＝x2±6x+9 ＝x2+2（m﹣3）x+9， ∴2（m﹣3）＝±6， 解得：m＝0或m＝6． 故答案为：0或6． 【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的定义是关键． 5．（2024春•江山市期末）已知实数x，y满足等式x2+2xy+2y2﹣2y＝﹣1，求x+2y的值（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法计算 【分析】利用配方法，非负数的性质求出x，y的值即可． 【解答】解：x2+2xy+2y2﹣2y＝﹣1， （x2+2xy+y2+（y2﹣2y+1）＝0， （x+y）2+（y﹣1）2＝0， ∵（x+y）2≥0，（y﹣1）2≥0， ∴x＝﹣1，y＝1， ∴x+2y＝﹣1+2＝1． 故选：C． 【点评】本题考查配方法，非负数的性质，解题的关键是掌握配方法，学会利用非负数的性质解决问题． 6．（2024春•莲都区期末）已知两个长方形ABCD和CEFG如图放置，点H在AB上．AB＝a，EF＝b，且BC＝2a，CE＝2b，S1表示三角形DHG的面积，S2表示三角形CGF的面积，若a+b＝8，ab＝13，则S1+S2的值是 　25　 ． 【分析】根据题意可得：S1+S2＝a2﹣ab+b2，然后利用完全平方公式进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：S1+S2＝△DHG的面积+△CGF的面积 HG•DGFG•CG •2a•（a﹣b）•2b•b ＝a（a﹣b）+b2 ＝a2﹣ab+b2 ＝a2+2ab+b2﹣3ab ＝（a+b）2﹣3ab ＝82﹣3×13 ＝64﹣39 ＝25， 故答案为：25． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（2024春•鹿城区校级期末）若（x+18）2＝2124，则（x+28）（x+8）的值是 　2024　 ． 【分析】运用完全平方公式把等式（x+18）2＝2124展开得到x2+36x+324＝2124，进而得到x2+36x＝1800，代数式（x+28）（x+8）＝x2+36x+224，整体代入求值即可． 【解答】解：∵（x+18）2＝2124， ∴x2+36x+324＝2124， ∴x2+36x＝1800， ∴（x+28）（x+8） ＝x2+36x+224 ＝1800+224 ＝2024． 故答案为：2024． 【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式以及多项式乘多项式的运算法则． 8．（2024春•海曙区期末）若x+2y﹣3＝0，则2x+1•4y的值为　16　 ． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则，再利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案． 【解答】解：∵x+2y﹣3＝0， ∴x+2y＝3， 则2x+1•4y＝2x+1•22y＝2x+2y+1＝24＝16． 故答案为：16． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9．（2024春•瓯海区校级期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【分析】由题意得：8×2a＝（2b）8，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8， ∴23×2a＝28b， ∴3+a＝8b， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（2024春•嘉兴期末）对下列各式进行因式分解： （1）16a2﹣1； （2）x3﹣2x2+x． 【分析】（1）直接利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式x，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（4a+1）（4a﹣1）； （2）原式＝x（x2﹣2x+1） ＝x（x﹣1）2． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 11．（2024春•义乌市期末）基础体验：（1）若实数a，b满足a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值． 进阶实践：（2）若实数x满足x（10﹣x）＝48，求x2+（10﹣x）2的值． 高阶探索：（3）如图，已知正方形AEGF与正方形ABCD的面积之和为65，BE＝3，求长方形ABHF的面积． 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设x＝a，10﹣x＝b，则a+b＝10，ab＝48，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设正方形ABCD的边长为a，正方形AEGF是边长为b，根据题意可得a2+b2＝65，a﹣b＝3，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵a+b＝4，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝42﹣2×3 ＝16﹣6 ＝10； （2）设x＝a，10﹣x＝b， ∴a+b＝x+10﹣x＝10， ∵x（10﹣x）＝48， ∴ab＝48， ∴x2+（10﹣x）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝102﹣2×48 ＝100﹣96 ＝4； （3）设正方形ABCD的边长为a，正方形AEGF是边长为b， ∵正方形AEGF与正方形ABCD的面积之和为65， ∴a2+b2＝65， ∵BE＝3， ∴AB﹣AE＝3， ∴a﹣b＝3， ∴2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2 ＝65﹣32 ＝65﹣9 ＝56， ∴ab＝28， ∴AF•AB＝28， ∴长方形ABHF的面积为28． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（2024春•长兴县期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形A，1张正方形B，4张长方形C拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）． （1）当a＝1，b＝2时，求阴影部分的面积； （2）用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （3）小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形A的面积之和，试探索此时a，b之间的数量关系． 【分析】（1）各个阴影三角形的面积和即可； （2）由（1）的方法，用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积即可； （3）由阴影部分的面积正好等于4张正方形A的面积之和，得出等式，再进一步化简即可． 【解答】解：（1）当a＝1，b＝2时， S阴影部分1×（1+2）1×（1+1+2）1×2 2+1 ； （2）S阴影部分a×（a+b）a×（2a+b）ab a2ab+a2abab a2ab； （3）由题意得， a2ab＝4a2， 即5a＝3b． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式的化简计算、因式分解及其应用 （9题型） 科学记数法表示较小的数 1．（2024春•东阳市期末）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，某种球形冠状病毒的直径是120纳米，1纳米＝0.000000001米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（　　） A．1.2×10﹣7米 B．1.2×10﹣8米 C．12×10﹣8米 D．12×10﹣7米 2．（2024春•江山市期末）“苔花如米小，也学牡丹开”．苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（　　） A．8.4×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×106 3．（2024春•鹿城区校级期末）2024年6月4日，嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据0.0000167用科学记数法表示为（　　） A．1.67×105 B．0.167×10﹣4 C．1.67×10﹣5 D．16.7×10﹣6 4．（2024春•镇海区校级期末）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 　 　 ． 5．（2024春•慈溪市期末）生物学家发现一种病毒，其长度约为0.00000032米，数据0.00000032用科学记数法表示为 　 　 ． 幂的运算 1．（2024春•莲都区期末）计算：a•a5＝（　　） A．a B．5a2 C．a5 D．a6 2．（2024春•江山市期末）计算：，结果为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 3．（2024春•嘉兴期末）计算：（﹣3a）2＝　 　 ． 4．（2024春•江北区期末）计算a6÷（﹣a2）的结果是（　　） A．a3 B．a4 C．﹣a3 D．﹣a4 5．（2024春•慈溪市期末）ax＝2，ay＝3，则ax+y的值为 　 　 ． 6．（2024春•江干区校级期末）已知2m+3n＝3，则4m×8n的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（2024春•东阳市期末）若2x＝3，4y＝2，则22y﹣x等于（　　） A．1 B． C． D．6 8．（2024春•义乌市期末）若实数m，n满足2n﹣m﹣1＝0，则4m÷16n＝　 　 ． 因式分解 1．（2024春•莲都区期末）下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．2ab（a﹣b）＝2a2b﹣2ab2 B．x2+1＝x（x） C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 2．（2024春•鹿城区校级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024春•镇海区校级期末）下列因式分解错误的是（　　） A．x2﹣2xy＝x（x﹣2y） B．x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y） C．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 D．x2+x﹣2＝（x﹣2）（x+1） 4．（2024春•金华期末）因式分解a2﹣2ab+b2的结果是（　　） A．（a﹣b）2 B．（a+b）2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2 5．（2024春•江北区期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 6．（2024春•镇海区校级期末）因式分解：2x2﹣2x＝　 　 ． 7．（2024春•鹿城区校级期末）分解因式：x3﹣xy2＝　 　 ． 8．（2024春•鄞州区校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y＝　 　 ． 9．（2024春•鹿城区校级期末）因式分解：4x2﹣1＝　 　 ． 10．（2024春•江干区校级期末）分解因式：2a3﹣8a2b+8ab＝　 　 ． 整式的乘除 1．（2024春•东阳市期末）下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝6xy B．m•m•m＝3m C．a10÷a4＝a6 D．（﹣2b2）3＝8b6 2．（2024春•瓯海区校级期末）下列计算正确的是（　　） A．x5﹣x2＝x3 B．（x﹣2）2＝x2﹣4 C．（﹣3x2）3＝﹣9x6 D．3x2y÷3xy＝x 3．（2024春•鹿城区校级期末）计算3y2•（﹣y）的结果是（　　） A．﹣3y3 B．3y3 C．﹣3y D．3y 4．（2024春•鹿城区校级期末）若（x﹣5）（x+3）＝x2﹣mx﹣15，则m为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 5．（2024春•嘉兴期末）下列计算正确的是（　　） A．a+3b＝4ab B．a8÷a2＝a4 C．（a3）2＝a6 D．（a+1）2＝a2+1 6．（2024春•新昌县期末）请写出计算（y﹣7）2时用到的乘法公式 　 　 ．（用字母a，b表示） 7．（2024春•鹿城区校级期末）若3xy•A＝6x2y﹣15xy2，则A代表的整式是 　 　 ． 8．（2024春•江干区校级期末）已知x2﹣mx+n＝（x﹣3）（x+4），则（m÷n）m＝　 　 ． 乘法公式的几何背景与转化 1．（2024春•莲都区期末）如图，两个小正方形的边长分别是a，b，则图中最大的正方形的面积是（　　） A．a2 B．a2+b2 C．a2+2ab+b2 D．a2+ab+b2 2．（2024春•长兴县期末）如图1是一个长为2n，宽为2m（n＞m）的长方形，把长方形剪成四个一样的小长方形，然后按图2拼成一个新图形，则图2中空白部分的面积是（　　） A．mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．n2﹣m2 3．（2024春•江干区校级期末）若2m﹣n＝2，2m+n＝3，则4m2+n2+4mn的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 4．（2024春•瓯海区校级期末）若4x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 　 　 ． 5．（2024春•长兴县期末）若682﹣68×10+52＝k+622﹣1，则k的值是 　 　 ． 6．（2024春•慈溪市期末）已知a﹣b＝﹣5，ab＝8． （1）求a2b﹣ab2的值； （2）求a2﹣3ab+b2的值． 7．（2024春•瓯海区校级期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　 　 ； 方法2：　 　 ． （2）请直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的一个等量关系 　 　 ． （3）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A类卡片 　 　 张，B类卡片 　 　 张，C类卡片 　 　 张． （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值． ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2． 因式分解的应用 1．（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝1，则x2﹣y2﹣2y的值为　 　 ． 2．（2024春•鄞州区校级期末）对正整数n，规定n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2）．…×2×1，记S＝1！×2！×…×24！，若正整数k（k≤100）使得S×k！为完全平方数，请写出一个符合条件的k的值：　 　 ． 3．（2024春•镇海区校级期末）仔细阅读下面例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x+n， 由题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， 则有，解得， 所以另一个因式为x﹣7，m的值是﹣21． 问题：请仿照上述方法解答下面问题， （1）若x2+bx+c＝（x﹣1）（x+3），则b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式为2x﹣3，求另一个因式以及k的值． 4．（2024春•新昌县期末）小林和小王碰到了一个难题：将a4+4因式分解． 小林：这题既不能提取公因式，也不能用乘法公式，不能进行因式分解的吧． 小王：我们可以尝试先将它配上中间项，如a4+4b4＝a4+4b4+4a2b2﹣4a2b2，使其前面三项变成一个完全平方式，得到（a2+2b2）2﹣4a2b2，再尝试用平方差公式因式分解． （1）根据小王说的方法将a4+4因式分解． （2）依照上述方法将m4﹣m2n2+16n4因式分解． 整式化简中的“不含”问题 1．（2024春•镇海区校级期末）要使多项式（x﹣p）（x﹣q）不含x的一次项，则（　　） A．p+q＝0 B．pq＝1 C．p＝q D．pq＝﹣1 2．（2024春•鄞州区校级期末）使（x2+3x+p）（x2﹣qx+4）乘积中不含x2与x3项，则p+q的值为（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣2 D．8 3．（2024春•义乌市期末）已知a，b是常数，若化简（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果中不含x的二次项，则﹣12a+24b﹣3的值为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．4 4．（2024春•东阳市期末）若代数式x（5kx﹣3xy）﹣（k﹣3）（3x2y﹣4x2）的值与y无关，则常数k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4 整式的混合运算 1．（2024春•江北区期末）已知，x2+4x﹣4＝0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为 　 　 ． 2．（2024春•东阳市期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 　 　 ，余式为 　 　 ． 3．（2024春•鹿城区校级期末）计算下列各题 （1）（﹣3）2+（π）0﹣（）﹣2 （2）（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（4x+3） 4．（2024春•江山市期末）先化简再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a+1）2+2a，其中． 5．（2024春•莲都区期末）对“”，规定运算为ad﹣bc，请根据运算解答下列问题： （1）计算． （2）当时，求（1）式中代数式的值． 配方法的应用 1．（2024春•义乌市期末）将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣9≥﹣9，∴当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值﹣9．已知a，b为实数，多项式（x+3）（3x+a）展开后x的一次项系数为m，多项式（3x+2）（x+b）展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数．则当m+n＝17时，ab的最大值为 　 　 ． 2．（2024春•江干区校级期末）配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值时，可以用配方法： 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值； （2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值． 3．（2024春•东阳市期末）材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a，b是整数），所以a2+2ab+2b2是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是　 　 ． （2）试判断（x+y）（x+3y）+2y2（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由． （3）已知M＝x2+4y2﹣4x+12y+k（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由． 1．（2024春•东阳市期末）已知x﹣y＝3，，则x+y的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•鹿城区校级期末）已知x+y＝5，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值是 　 　 ． 3．（2024春•江北区期末）若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（　　） A．6 B．7 C．3 D．5 4．（2024春•东阳市期末）若x2+2（m﹣3）x+9是一个完全平方式，则m的值为　 　 ． 5．（2024春•江山市期末）已知实数x，y满足等式x2+2xy+2y2﹣2y＝﹣1，求x+2y的值（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法计算 6．（2024春•莲都区期末）已知两个长方形ABCD和CEFG如图放置，点H在AB上．AB＝a，EF＝b，且BC＝2a，CE＝2b，S1表示三角形DHG的面积，S2表示三角形CGF的面积，若a+b＝8，ab＝13，则S1+S2的值是 　 　 ． 7．（2024春•鹿城区校级期末）若（x+18）2＝2124，则（x+28）（x+8）的值是 　 　 ． 8．（2024春•海曙区期末）若x+2y﹣3＝0，则2x+1•4y的值为　 　 ． 9．（2024春•瓯海区校级期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 10．（2024春•嘉兴期末）对下列各式进行因式分解： （1）16a2﹣1； （2）x3﹣2x2+x． 11．（2024春•义乌市期末）基础体验：（1）若实数a，b满足a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值． 进阶实践：（2）若实数x满足x（10﹣x）＝48，求x2+（10﹣x）2的值． 高阶探索：（3）如图，已知正方形AEGF与正方形ABCD的面积之和为65，BE＝3，求长方形ABHF的面积． 12．（2024春•长兴县期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形A，1张正方形B，4张长方形C拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）． （1）当a＝1，b＝2时，求阴影部分的面积； （2）用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （3）小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形A的面积之和，试探索此时a，b之间的数量关系． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$