专题04 二元一次方程组与分式、分式方程（8题型）（浙江专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 二元一次方程组与分式、分式方程（8题型） 分式有意义与分式值为零 1．（2024春•东阳市期末）分式有意义x的取值范围 　x≠﹣2　 ． 【分析】根据分式有意义的条件得到x+2≠0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得x+2≠0， 解得x≠﹣2， 即x的取值范围为x≠﹣2． 故答案为：x≠﹣2． 【点评】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零． 2．（2024春•鹿城区校级期末）当x＝　1　 时，分式无意义． 【分析】根据分母为零时分式无意义进行解题即可． 【解答】解：要使分式无意义， 则分母为零， 即x﹣1＝0， 解得x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母为零时分式无意义的条件是解题的关键． 3．（2024春•镇海区校级期末）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．1 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 【解答】解：由题意得：x+2＝0且2x﹣1≠0， 解得：x＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查的是分式值为零的条件，熟记分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 4．（2024春•莲都区期末）若分式的值为零，则x的值为 　3　 ． 【分析】根据分子为零的条件进行解题即可． 【解答】解：当分式的值为零时，x2﹣9＝0且x+3≠0． 解得x＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 5．（2024春•义乌市期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．﹣3或0 【分析】直接利用分式的值为零的条件进而分析得出答案． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴， 解得x＝0， 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件：分子为0且分母不为0，正确把握定义是解题关键． 分式的基本性质与计算 1．（2024春•莲都区期末）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 2．（2024春•嘉兴期末）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍 【分析】分式中的x和y都扩大到原来的3倍，判断出x+y、x的变化情况，根据分式的基本性质，判断出分式的值的变化情况即可． 【解答】解：∵分式中的x和y都扩大到原来的3倍， ∴x+y扩大到原来的3倍，x扩大到原来的3倍， ∴分式的值不变． 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 3．（2024春•鹿城区校级期末）分式的计算结果是　　 ． 【分析】先通分，再把分子相加减即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的加减法，在解答此类问题时要注意通分及约分的灵活应用． 4．（2024春•鹿城区校级期末）计算：　﹣1　 ． 【分析】利用分式的加减法则计算即可． 【解答】解：原式1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2024春•瓯海区校级期末）计算：　1　 ． 【分析】根据同分母分式加减法法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了分式减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（2024春•新昌县期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝　　 ． 【分析】利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【解答】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键． 7．（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝2xy，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】将分式变形为，然后代入求值即可． 【解答】解：∵x﹣y＝2xy， ∴ ， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 二元一次方程（组）的解 1．（2024春•瓯海区校级期末）若是关于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一组解，则a的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．4 【分析】把代入x+ay＝4，即可求解． 【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一组解， ∴1﹣a＝4， ∴a＝﹣3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程是关键． 2．（2024春•江干区校级期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　7　 ． 【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值． 【解答】解：把分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n， 解得：m＝4，n＝3， 则m+n＝4+3＝7． 故答案为：7． 【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 3．（2024春•义乌市期末）若关于x，y的二元一次方程组的解还满足2x﹣3y＝9，则k的值为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【分析】根据二元一次方程组的解法得到2x﹣3y＝2k﹣3，再将2x﹣3y＝9代入计算即可． 【解答】解：， ①+②得，2x﹣3y＝2k﹣3， ∵2x﹣3y＝9， ∴2k﹣3＝9， 解得k＝6． 故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． 4．（2024春•瓯海区校级期末）写出一个关于x，y的二元一次方程组，这个方程组的解为，那么你所写的方程组　是(答案不唯一）。　 【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可． 【解答】解：先围绕列一组算式， 如﹣2+1＝﹣1，﹣2﹣1＝﹣3， 然后用x，y代换，得等． 答案不唯一，符合题意即可． 【点评】本题是开放题，注意方程组的解的定义． 5．（2024春•莲都区期末）若是方程组的解，则代数式4a2﹣9b2的值是 　﹣35　 ． 【分析】先根据二元一次方程组的解的定义把代入方程组，再根据平方差公式分解因式，然后代入计算即可． 【解答】解：若是方程组的解， 则， ∴4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b）＝﹣5×7＝﹣35， 故答案为：﹣35． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确计算是解题的关键． 6．（2024春•镇海区校级期末）已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意得，关于（x+1），y的方程组 的解是 ，进而可得关于x，y的方程组 的解． 【解答】解：∵关于x，y的方程组 的解是 ， ∴关于（x+1），y的方程组 的解是 ， 即 关于x，y的方程组 的解是 ， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键． 两种方程的解法 1．（2024春•莲都区期末）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．②③ B．②④ C．①③ D．①② 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：若将x的系数变为相等的，变形为； 若将y的系数变为相反数，变形为； 综上，变形正确的是②③， 故选：A． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 2．（2024春•东阳市期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 【分析】观察方程组中x与y的系数特征，利用加减消元法判断即可． 【解答】解：用加减消元法解二元一次方程组时， ①×2﹣②消去x；2×（﹣3）﹣①消去y；①×（﹣2）+②消去x；①+②×3消去y， 则无法消元的是①﹣②×3． 故选：D． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．（2024春•东阳市期末）已知二元一次方程组，则x+y的值为 　3　 ． 【分析】把二元一次方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得3（x+y）＝9，据此求出x+y的值即可． 【解答】解：， ①+②，可得3（x+y）＝9， ∴x+y＝9÷3＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是注意观察方程组的两个方程和所求的代数式之间的关系． 4．（2024春•莲都区期末）（1）解方程组：； （2）解方程：． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：7x＝21， 解得：x＝3， 将x＝3代入①得：12﹣y＝14， 解得：y＝﹣2， 故原方程组的解为； （2）原方程去分母得：2﹣x＝﹣1﹣2x+6， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣3＝0， 则x＝3是分式方程的增根， 故原方程无解． 【点评】本题考查解分式方程及二元一次方程组，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． 5．（2024春•东阳市期末）解下列方程（组）： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）， ①×2﹣②，得：5x＝15， 解得：x＝3， 将x＝3代入①，得：3+2y＝9， 解得：y＝3， 则方程组的解为； （2）2﹣x﹣3（x﹣3）＝﹣2， 2﹣x﹣3x+9＝﹣2， ﹣x﹣3x＝﹣2﹣2﹣9， ﹣4x＝﹣13， ， 经检验是方程的解． 【点评】本题主要考查解二元一次方程以及分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键． 6．（2024春•鹿城区校级期末）解方程（组）： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）， ②×7﹣①得：19x＝﹣19， 解得：x＝﹣1， 将x＝﹣1代入①得：﹣2+7y＝5， 解得：y＝1， 故原方程组的解为； （2）原方程去分母得：﹣1+x﹣1＝﹣6+3x， 整理得：2x＝4， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，2﹣x＝0， 则x＝2是分式方程的增根， 故原方程无解． 【点评】本题考查解二元一次方程组及分式方程，熟练掌握解方程组及方程的方法是解题的关键． 分式的化简求值问题 1．（2024春•东阳市期末）先化简，再求值：，其中a＝5． 小聪解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式（a2﹣4）（a2﹣4）…① ＝a﹣2+4…② ＝a+2…③ 当a＝5时，原式＝7． 【分析】先利用异分母分式的加减法法则进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：错误步骤的序号为①， 正确的解答过程如下： ， 当a＝5时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2024春•鹿城区校级期末）先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值． 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入a的值求值即可． 【解答】解： （） ， 取a＝3，代入可得2． 【点评】本题主要考查分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键，注意a不能取1、2和﹣2． 3．（2024春•瓯海区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝5． 【分析】根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【解答】解：原式（） • ， 当x＝5时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 4．（2024春•江干区校级期末）先化简；，再从﹣3，﹣2，﹣1，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后把x的值代入计算即可． 【解答】解： ＝[]• • • ， 当x＝﹣1，1，﹣2，3时，原分式没有意义， ∴x＝﹣3， 当x＝﹣3时，原式4． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键． 5．（2024春•海曙区期末）先化简：，然后从﹣2，0，2这三个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解： • • ， ∵x+2≠0，x﹣2≠0， ∴x＝﹣2，2， 当x＝0时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 分式方程的增根与无解问题 1．（2024春•长兴县期末）解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【解答】解：去分母，得：x﹣1＝m， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程，可得：m＝1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．（2024春•江北区期末）已知a是实数，若分式方程1无解，则a的值为（　　） A．6 B．3 C．0 D．﹣3 【分析】根据解分式方程的方法和关于x的分式方程1无解，可以求得相应a的值，本题得以解决． 【解答】解：1， 方程两边同乘以x+2，得3x+a＝x+2， 移项及合并同类项，得 2x＝2﹣a， ∵关于x的分式方程1无解， ∴x+2＝0，解得x＝﹣2． ∴2﹣a＝﹣4，解得a＝6． 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确分式方程什么时候无解． 3．（2024春•东阳市期末）关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．1 B．3 C．1或﹣1 D．3或﹣1 【分析】去分母得：ax＝3﹣（x﹣1），进而得出（a﹣1）x＝3a+1，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【解答】解：去分母得：ax＝3﹣（x﹣1）， （a+1）x＝4， 当a+1＝0，即a＝﹣1时，4≠0，此时整式方程无解，分式方程无解， 当a+1≠0，即a≠﹣1时，由x﹣1＝0得x＝1， 把x＝1代入（a+1）x＝4得：a+1＝4， 解得：a＝3， ∴关于x的分式方程无解时，a＝3或﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解有整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况是解决问题的关键． 4．（2024春•慈溪市期末）若分式方程有增根，且方程无解． （1）方程的增根是 　x＝2　 ； （2）求出分式方程中“？”所代表的数． 【分析】（1）根据分式方程增根的定义即可得出答案； （2）将分式方程去分母得到整式方程，再把x＝2代入计算即可． 【解答】解：（1）由分式方程增根的定义可知，这个分式方程的增根是x＝2， 故答案为：x＝2； （2）将关于x的分式方程的两边都乘以x﹣2，得 ？+3（x﹣2）＝﹣1， 把x＝2代入得， ？＝﹣1． 【点评】本题考查分式方程的增根，理解分式方程增根的定义，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． 二元一次方程组应用题 1．（2024春•嘉兴期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据上有三十五头，下有九十四足，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：D． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024春•新昌县期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 　65　 人． 【分析】设原长方形彩旗队阵有同学n人，设n+16＝a2，n﹣16＝b2，根据题意列出方程组，即可求出a、b的值，从而求出n的值． 【解答】解：设原长方形彩旗队阵有同学n人， 由已知得n+16和n﹣16均为完全平方数， 设n+16＝a2，n﹣16＝b2， 则a2﹣b2＝32，即（a+b）（a﹣b）＝32， 由a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a，b都为自然数，可得 ， 解得， 所以n＝a2﹣16＝65（人）， 故答案为：65． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 3．（2024春•莲都区期末）小明购买学习用品的清单如表，因污损导致部分数据无法识别，根据如表，解决下列问题： 学习用品 单价 数量 金额（元） 中性笔 3 2 6 自动铅笔 4.5 记号笔 6 笔记本 2 10 圆规 13.5 1 合计 9 52 （1）小明购买自动铅笔、记号笔各几支？ （2）若小明再次购买笔记本和中性笔两种文具，共花费33元，则有哪几种不同的购买方案？ 【分析】（1）设小明购买x支自动铅笔，y支记号笔，利用总价＝单价×数量，结合小明购买学习用品的清单表，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m支中性笔，n本笔记本，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设小明购买x支自动铅笔，y支记号笔， 根据题意得：， 解得：． 答：小明购买1支自动铅笔，3支记号笔； （2）设购买m支中性笔，n本笔记本， 根据题意得：3mn＝33， ∴m． 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买6支中性笔，3本笔记本； 方案2：购买1支中性笔，6本笔记本． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 4．（2024春•江干区校级期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 　B　 ． A．按方式①加油更划算； B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算； D．无法比较哪种加油方式更划算． （2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【分析】（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（a≠b），记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，求出①中平均单价为m和n，再比较m、n的大小即可； （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【解答】解：（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（a≠b）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为m（元）， ②中平均单价为n（元）， ∵当a≠b时，（a+b）2＞4ab，且a，b均为正数， ∴， 即n＜m， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：25m+15n＝250， 整理得：m＝10n， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）正确列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 分式方程应用题 1．（2024春•莲都区期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A．剩余椽的数量 B．剩余椽的运费 C．这批椽的数量 D．每株椽的价钱 【分析】利用单价＝总价÷数量，结合所列方程，即可找出未知数x表示的意义． 【解答】解：∵所列方程为3（x﹣1）， ∴3（x﹣1）表示剩下的椽的运费，表示一株椽的价钱， ∴x表示这批椽的数量． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据所列方程，找出未知数的含义是解题的关键． 2．（2024春•新昌县期末）在解决“甲乙两站相距1200千米，货车与客车同时从甲站出发开往乙站，已知客车的速度是货车速度的2.5倍，结果客车比货车早6小时到达乙站，求客车与货车的速度分别是多少？”这一问题时，小林通过设某一未知量为x，得到分式方程．则小林设的未知量是（　　） A．货车的速度 B．客车的速度 C．客车运动时间 D．货车运动时间 【分析】根据所列方程中未知数的表示即可判断出未知数所表示的含义． 【解答】解：根据客车的速度是货车速度的2.5倍，客车比货车早6小时到达乙站，分式方程为， ∴小林设的未知量是货车的速度． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程和分式方程的定义，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2024春•东阳市期末）某旅行社用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等，已知每间A客房租金比每间B客房租金多40元．求A．B两种客房每间客房的租金．设B种客房每间租金为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设B客房每间客房的租金为x元，则A客房每间客房的租金为（x+40）元．根据题意“用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相同，”列出分式方程，解方程即可求解． 【解答】解：设B客房每间客房的租金为x元，则A客房每间客房的租金为（x+40）元． 根据题意，得． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 4．（2024春•镇海区校级期末）为了营造自觉爱绿、植绿、护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植树造林活动．已知甲组每小时比乙组多植2棵树，甲组植70棵树用时与乙组植50棵树用时相同．设甲组每小时植x棵树，根据题意列出分式方程：　　 ． 【分析】设甲组每小时植树x棵，则根据题意可得乙组每小时植树（x+2）棵，根据关键语句“甲组完成70棵的植树任务与乙组完成50棵的植树任务所用的时间相等”列出方程即可． 【解答】解；设甲组每小时植树x棵，则根据题意列出方程： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了由实际问题列出分式方程，关键是正确理解题意，表示出甲乙两组每小时植树的棵数，再根据关键语句找出等量关系，列出方程． 5．（2024春•江山市期末）“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． （1）求出鸭头和兔头的单价． （2）某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 【分析】（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为（23﹣x）元，根据用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鸭头m个，兔头n个，根据某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【解答】解：（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为（23﹣x）元， 由题意得：， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意， ∴23﹣x＝15， 答：鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元； （2）设购买鸭头m个，兔头n个， 由题意得：8m+15n＝320， 整理得：m＝40n， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴有2种购买方案： ①购买鸭头25个，兔头8个； ②购买鸭头10个，兔头16个． 【点评】本题考查了分式方程方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 6．（2024春•瓯海区校级期末）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜爱．某商店，第一次用3000元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． （1）求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价； （2）若两次购进的“龙辰辰”玩具每件售价均为80元，且全部售完，求两次的利润总和． 【分析】（1）设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为1.2x元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为60元，根据，求解作答即可． 【解答】解：（1）设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为1.2x元， 依题意得，， 解得，x＝50， 经检验，x＝50是原分式方程的解， ∴第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为50元/件； （2）由题意知，第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价为60元， ∵（元）， ∴两次利润总和为2800元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握分式方程的应用，有理数混合运算的应用是解题的关键． 1．（2024春•嘉兴期末）一组有序排列的数：a1，a2，a3，…，an，…（n为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，a1﹣a4＝5，那么a2024+a2027＝（　　） A．24 B．27 C．31 D．36 【分析】先根据题意求出第1个数，第3个数，第5个数，找出规律，再根据完全平方公式求解． 【解答】解：设第1个数为x，第3个数为y，第5个数为z， 由题意，得：xy＝m2，y＝m2m，yz， ∴x＝m，z， ∴这组数据为m，m2，m，，，，m，m2，……， 即这组数以m，m2，m，，，，6个为一组，进行循环， ∵2024÷6＝337……2，2027÷6＝337……5， ∴第2024个数是m2；第2027个数是， ∵a1﹣a4＝5， ∴m5， ∴a2024+a2027＝m2（m）2+2＝25+2＝27， 故选：B． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 2．（2024春•鹿城区校级期末）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使和它的运算结果为整式．①我选择 　②　 （填序号）；②列式并计算． 【分析】①任选一个即可； ②选用第②个，并选用减法计算． 【解答】解：①我选择②； 故答案为：②； ② ＝x． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 3．（2024春•慈溪市期末）对于分式，下列说法正确的是（　　） A．当x≠0时，分式有意义 B．当x＝1时， C．当x＜3时， D．当x＞0时，x越大，的值越接近于1 【分析】根据分式有意义的条件及将分式变成真分式加整数的形式，进行分析，逐一判断即可． 【解答】解：A．当x≠﹣1时，分式有意义，故本选项不符合题意； B．当x＝1时，原式，故本选项不符合题意； C．1， 当x＜3时，， 则1，故本选项不符合题意； D．当x＞0时，x越大，的值越接近于1，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 4．（2024春•新昌县期末）二元一次方程2x﹣3y＝1有无数个解，下列选项中是该方程的一个解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程解的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．把x代入2x﹣3y＝1得，23y＝1，解得y＝0，因此选项A符合题意； B．把x＝1代入2x﹣3y＝1得，2×1﹣3y＝1，解得y，因此选项B不符合题意； C．把x＝1代入2x﹣3y＝1得，2×1﹣3y＝1，解得y，因此选项C不符合题意； D．把x代入2x﹣3y＝1得，23y＝1，解得y，因此选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义是正确解答的关键． 5．（2024春•瓯海区校级期末）已知是二元一次方程ax+by＝1的一组解，则　﹣1　 ． 【分析】把代入二元一次方程ax+by＝1得关于a，b的等式，利用等式的基本性质求出的值，再整体代入求值即可． 【解答】解：把代入二元一次方程ax+by＝1得：2a﹣b＝1， ∴b﹣2a＝﹣1， 5b﹣10a＝﹣5， ， ， ∴ ＝﹣1． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 6．（2024春•东阳市期末）已知关于x，y方程组给出下列结论： ①方程组的解也是2x+y＝5a﹣1的解； ②x，y值不可能是互为相反数； ③不论a取什么实数，x+3y的值始终不变； ④若2x+y＝9，则a＝2． 正确的是（　　） A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①② 【分析】将方程组中两个方程相加，得2x+y＝5a﹣1，即可判断①； 求出原方程组的解，当x+y＝0时，求a的值即可判断②； 计算x+3y的值，即可判断③； 将原方程组的解代入2x+y＝9求出a的值即可判断④． 【解答】解：①将方程组中两个方程相加，得2x+y＝5a﹣1， ∴方程组的解也是2x+y＝5a﹣1的解，故①正确； ②解方程组，得， 当x，y的值互为相反数时，x+y＝0， 即， 解得， ∴当时，x，y的值互为相反数，故②不正确； ③原方程组的解为， ∴x+3y＝（3a）+3（﹣a）＝3a3a+1， ∴不论a取什么实数，x+3y的值始终不变，都为，故③正确； ④若2x+y＝9，则， 解得a＝2，故④正确； 综上，①③④正确． 故选：C． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握加减法和代入法是解题的关键． 7．（2024春•江干区校级期末）关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 　　 ． 【分析】将方程组变形为，由关于x，y的二元一次方程组的解是，可得出关于（m﹣1），（n+3）的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论． 【解答】解：方程组可变形为． ∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴关于（m﹣1），（n+3）的二元一次方程组的解是， ∴， ∴关于m，n的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，利用整体思想，找出关于（m﹣1），（n+3）的二元一次方程组的解是是解题的关键． 8．（2024春•江山市期末）《九章算术》成书于公元1世纪，是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中有一题：“今有甲、乙二人持钱不知有多少，甲得到乙所有钱的一半而有钱数为50，乙得到甲所有钱的而也有钱50．问甲，乙持钱各是多少？”设甲，乙持钱数各为x，y钱，可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“甲得到乙所有钱的一半而有钱数为50，乙得到甲所有钱的而也有钱50”，列出二元一次方程组解答即可． 【解答】解：根据题意可得：， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2024春•鄞州区校级期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．0 B．3 C．1或 D．0或1或 【分析】先解关于x的分式方程，然后根据分式方程无解，分两种情况讨论：1﹣2a＝0且﹣3a≠0和1﹣2a≠0，，从而求出a即可． 【解答】解：， x﹣3a＝2a（x﹣3）， x﹣3a＝2ax﹣6a， x﹣2ax＝3a﹣6a， （1﹣2a）x＝﹣3a， ， ∵关于x的分式方程无解， ∴当1﹣2a＝0且﹣3a≠0，方程无解，解得：； 当1﹣2a≠0，时，方程无解，解得：a＝1， 综上可知：当分式方程无解时，或1， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件． 10．（2024春•东阳市期末）端午节来临，某社区计划制作380份粽子送给社区孤寡老人．由于青年志愿者的加入，每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务．设志愿者未加入前每小时做x份粽子，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设志愿者未加入前每小时做x份粽子，则原计划需要小时，现需要小时，根据“提前3小时就完成任务”即可列出方程． 【解答】解：设志愿者未加入前每小时做x份粽子．根据题意得： ． 故选：A． 【点评】本题考查列分式方程解决实际问题．列出方程是关键． 11．（2024春•金华期末）已知a﹣3b＝0，求分式的值． 【分析】由已知得到a＝3b，再将原分式化简为1，然后代入求值即可． 【解答】解：∵a﹣3b＝0， ∴a＝3b， ∴ ＝1 ＝1 ＝1 ＝1 ． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键． 12．（2024春•嵊州市期末）先化简，再求值： （1），其中x； （2），其中a，b＝1． 【分析】（1）先利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ＝3x3﹣x﹣6x2+2﹣3x3+6x2+36x ＝35x+2， 当x时，原式＝35×（）+2＝﹣7+2＝﹣5； （2） • ， 当a，b＝1时，原式2． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（2024春•江山市期末）解方程（组）： （1）； （2）． 【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可； （2）根据解分式方程的方法，先将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：（1）， ①﹣②，得3y＝﹣3， 解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x﹣1＝3， 解得：x＝4， ∴方程组的解为； （2）， 方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）＝3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）， 去括号，得x2+x＝3x﹣3+x2﹣1， 移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣4， 解得：x＝2， 检验，把x＝2代入（x+1）（x﹣1），（2+1）（2﹣1）＝3≠0， ∴x＝2是分式方程的解， ∴分式方程的解是x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握解分式方程的方法，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 14．（2024春•东阳市期末）（1）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣1）2，其中x2﹣x﹣2＝0． （2）先化简代数式，若x是满足|x|≤2的整数，从中选一个恰当的x的值代入求出代数式的值． 【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式、多项式与单项式的乘法计算，然后去括号合并同类项，最后把x2﹣x＝2代入求值即可； （2）先把括号内通分，根据完全平方公式和平方差公式化简第二项，再进行除法计算，化简后取一个使分式有意义的数代入计算即可． 【解答】解：（1）（x+3）（x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣1）2 ＝x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣2x+1 ＝﹣2x2+2x﹣8， ∵x2﹣x﹣2＝0， ∴x2﹣x＝2， ∴原式＝﹣2（x2﹣x）﹣8＝﹣2×2﹣8＝﹣12； （2） • • ， ∵x是满足|x|≤2的整数，（x+2）（x﹣2）≠0，x﹣1≠0， ∴x＝﹣1或x＝0， 当x＝0时，原式2； 当x＝﹣1时，原式． 【点评】本题考查了整式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15．（2024春•东阳市期末）根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm） 素材2 工厂仓库内现存有35cm×35cm的正方形纸板150张，35cm×50cm的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为50cm×70cm，乙纸板尺寸为35cm×85cm，丙纸板尺寸为35cm×70cm．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板 　5　 张，长方形纸板 　10　 张． 任务二 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ 任务三 根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完．请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【分析】（1）根据题意可知需要正方形纸板5个，长方形纸板10个； （2）设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，再结合题意列出方程组即可求解； （3）设竖式无盖纸盒a个，横式无盖纸盒b个，丙种纸板为（140+c）张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案． 【解答】解：（1）由题意得： ∵一个竖式无盖纸盒需要正方形纸板为底部一个面，需要长方形纸板4个面； 2个横式无盖纸盒需要正方形纸板为左右两个面共计4个面，需要长方形纸板6个面， ∴共需要正方形纸板5个面，长方形纸板10个面， 故答案为：5，10； （2）设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个， 由题意得：， 解得， 答：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个； （3）设竖式无盖纸盒a个，横式无盖纸盒b个，丙种纸板为（140+c）张， 由题意得：， 解得， ∵b，c为正整数，0≤x≤9， ∴c＝5或c＝0， ∴丙纸板为145或140张． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 16．（2024春•金华期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． （1）求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； （2）在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 【分析】（1）设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需（x+5）天．根据甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．列出分式方程，解方程即可； （2）求出三种施工方案需要的费用，再比较即可． 【解答】解：（1）设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需（x+5）天． 依题意得：1， 解得：x＝20． 经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+5＝25， 答：甲队单独完成此项任务需20天，乙队单独完成此项任务需25天； （2）方案③是最节省费用的施工方案，理由如下： 这三种施工方案需要的费用为： 方案①：1.5×20＝30（万元）； 方案②：1.1×25＝27.5（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选； 方案③：1.5×4+1.1×20＝28（万元）． ∵30＞28， ∴方案③是最节省费用的施工方案． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组与分式、分式方程（8题型） 分式有意义与分式值为零 1．（2024春•东阳市期末）分式有意义x的取值范围 　 　 ． 2．（2024春•鹿城区校级期末）当x＝　 　 时，分式无意义． 3．（2024春•镇海区校级期末）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．1 4．（2024春•莲都区期末）若分式的值为零，则x的值为 　 　 ． 5．（2024春•义乌市期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．﹣3或0 分式的基本性质与计算 1．（2024春•莲都区期末）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•嘉兴期末）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍 3．（2024春•鹿城区校级期末）分式的计算结果是　 　 ． 4．（2024春•鹿城区校级期末）计算：　 　 ． 5．（2024春•瓯海区校级期末）计算：　 　 ． 6．（2024春•新昌县期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝　 　 ． 7．（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝2xy，则的值为（　　） A． B． C． D． 二元一次方程（组）的解 1．（2024春•瓯海区校级期末）若是关于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一组解，则a的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．4 2．（2024春•江干区校级期末）若是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝　 　 ． 3．（2024春•义乌市期末）若关于x，y的二元一次方程组的解还满足2x﹣3y＝9，则k的值为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 4．（2024春•瓯海区校级期末）写出一个关于x，y的二元一次方程组，这个方程组的解为，那么你所写的方程组　 　 5．（2024春•莲都区期末）若是方程组的解，则代数式4a2﹣9b2的值是 　 　 ． 6．（2024春•镇海区校级期末）已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 两种方程的解法 1．（2024春•莲都区期末）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．②③ B．②④ C．①③ D．①② 2．（2024春•东阳市期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 3．（2024春•东阳市期末）已知二元一次方程组，则x+y的值为 　 　 ． 4．（2024春•莲都区期末）（1）解方程组：； （2）解方程：． 5．（2024春•东阳市期末）解下列方程（组）： （1）； （2）． 6．（2024春•鹿城区校级期末）解方程（组）： （1）； （2）． 分式的化简求值问题 1．（2024春•东阳市期末）先化简，再求值：，其中a＝5． 小聪解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式（a2﹣4）（a2﹣4）…① ＝a﹣2+4…② ＝a+2…③ 当a＝5时，原式＝7． 2．（2024春•鹿城区校级期末）先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值． 3．（2024春•瓯海区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝5． 4．（2024春•江干区校级期末）先化简；，再从﹣3，﹣2，﹣1，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值． 5．（2024春•海曙区期末）先化简：，然后从﹣2，0，2这三个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 分式方程的增根与无解问题 1．（2024春•长兴县期末）解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 2．（2024春•江北区期末）已知a是实数，若分式方程1无解，则a的值为（　　） A．6 B．3 C．0 D．﹣3 3．（2024春•东阳市期末）关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．1 B．3 C．1或﹣1 D．3或﹣1 4．（2024春•慈溪市期末）若分式方程有增根，且方程无解． （1）方程的增根是 　 　 ； （2）求出分式方程中“？”所代表的数． 二元一次方程组应用题 1．（2024春•嘉兴期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•新昌县期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 　 　 人． 3．（2024春•莲都区期末）小明购买学习用品的清单如表，因污损导致部分数据无法识别，根据如表，解决下列问题： 学习用品 单价 数量 金额（元） 中性笔 3 2 6 自动铅笔 4.5 记号笔 6 笔记本 2 10 圆规 13.5 1 合计 9 52 （1）小明购买自动铅笔、记号笔各几支？ （2）若小明再次购买笔记本和中性笔两种文具，共花费33元，则有哪几种不同的购买方案？ 4．（2024春•江干区校级期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 　 　 ． A．按方式①加油更划算； B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算； D．无法比较哪种加油方式更划算． （2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 分式方程应用题 1．（2024春•莲都区期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A．剩余椽的数量 B．剩余椽的运费 C．这批椽的数量 D．每株椽的价钱 2．（2024春•新昌县期末）在解决“甲乙两站相距1200千米，货车与客车同时从甲站出发开往乙站，已知客车的速度是货车速度的2.5倍，结果客车比货车早6小时到达乙站，求客车与货车的速度分别是多少？”这一问题时，小林通过设某一未知量为x，得到分式方程．则小林设的未知量是（　　） A．货车的速度 B．客车的速度 C．客车运动时间 D．货车运动时间 3．（2024春•东阳市期末）某旅行社用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等，已知每间A客房租金比每间B客房租金多40元．求A．B两种客房每间客房的租金．设B种客房每间租金为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•镇海区校级期末）为了营造自觉爱绿、植绿、护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植树造林活动．已知甲组每小时比乙组多植2棵树，甲组植70棵树用时与乙组植50棵树用时相同．设甲组每小时植x棵树，根据题意列出分式方程：　 　 ． 5．（2024春•江山市期末）“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． （1）求出鸭头和兔头的单价． （2）某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 6．（2024春•瓯海区校级期末）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜爱．某商店，第一次用3000元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． （1）求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价； （2）若两次购进的“龙辰辰”玩具每件售价均为80元，且全部售完，求两次的利润总和． 1．（2024春•嘉兴期末）一组有序排列的数：a1，a2，a3，…，an，…（n为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，a1﹣a4＝5，那么a2024+a2027＝（　　） A．24 B．27 C．31 D．36 2．（2024春•鹿城区校级期末）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使和它的运算结果为整式．①我选择 　 　 （填序号）；②列式并计算． 3．（2024春•慈溪市期末）对于分式，下列说法正确的是（　　） A．当x≠0时，分式有意义 B．当x＝1时， C．当x＜3时， D．当x＞0时，x越大，的值越接近于1 4．（2024春•新昌县期末）二元一次方程2x﹣3y＝1有无数个解，下列选项中是该方程的一个解的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•瓯海区校级期末）已知是二元一次方程ax+by＝1的一组解，则　 　 ． 6．（2024春•东阳市期末）已知关于x，y方程组给出下列结论： ①方程组的解也是2x+y＝5a﹣1的解； ②x，y值不可能是互为相反数； ③不论a取什么实数，x+3y的值始终不变； ④若2x+y＝9，则a＝2． 正确的是（　　） A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①② 7．（2024春•江干区校级期末）关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 　 　 ． 8．（2024春•江山市期末）《九章算术》成书于公元1世纪，是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中有一题：“今有甲、乙二人持钱不知有多少，甲得到乙所有钱的一半而有钱数为50，乙得到甲所有钱的而也有钱50．问甲，乙持钱各是多少？”设甲，乙持钱数各为x，y钱，可列出方程组（　　） A． B． C． D． 9．（2024春•鄞州区校级期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．0 B．3 C．1或 D．0或1或 10．（2024春•东阳市期末）端午节来临，某社区计划制作380份粽子送给社区孤寡老人．由于青年志愿者的加入，每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务．设志愿者未加入前每小时做x份粽子，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 11．（2024春•金华期末）已知a﹣3b＝0，求分式的值． 12．（2024春•嵊州市期末）先化简，再求值： （1），其中x； （2），其中a，b＝1． 13．（2024春•江山市期末）解方程（组）： （1）； （2）． 14．（2024春•东阳市期末）（1）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣1）2，其中x2﹣x﹣2＝0． （2）先化简代数式，若x是满足|x|≤2的整数，从中选一个恰当的x的值代入求出代数式的值． 15．（2024春•东阳市期末）根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm） 素材2 工厂仓库内现存有35cm×35cm的正方形纸板150张，35cm×50cm的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为50cm×70cm，乙纸板尺寸为35cm×85cm，丙纸板尺寸为35cm×70cm．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板 　 　 张，长方形纸板 　 　 张． 任务二 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ 任务三 根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完．请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 16．（2024春•金华期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． （1）求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； （2）在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$