精品解析：四川省成都市石室成飞中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

成都市石室成飞中学2024-2025学年下期三月月考 高2023级 数学 试卷 （考试时间：120分钟；总分150分） 注意事项: 01．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上. 02．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 03．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的住置上. 04．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 05．考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共计40分） 1. 数列，，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B 2. 已知等比数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质列式计算得解. 【详解】由等比数列性质，得，所以. 故选：D 3. 若函数满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的极限定义可解. 【详解】根据导数的定义知，，则. 故选：A. 4. 已知数列，，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得. 【详解】对于数列，，则，， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 同理可知，数列是首项为，公差为的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为，公差为的等差数列， 故. 故选：D. 5. 若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可. 【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比， 且成等差数列，可得, 即得 可得， . 故选：C. 6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数与指数函数的性质，结合数列的增减性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为数列是递增数列，且， 所以，解得， 则的取值范围是． 故选：D． 7. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（ ） A. 271 B. 331 C. 1531 D. 3067 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得相邻两项的差为等差数列，利用累加法求解. 【详解】由题意，，，， ，， 累加可得， 所以， 故选：A 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ） （参考数据：） A. 964万元 B. 2980万元 C. 3940万元 D. 5170万元 【答案】C 【解析】 【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解. 【详解】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当时，，即， 因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即， 则， 所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元. 故选：C 二、多选题（3个小题，每小题6分，共计18分） 9. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（ ） A. 从到，蜥蜴体温下降了 B. 从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C. 当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D. 蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，分别求出和时的蜥蜴体温，即可得到从到的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出，令，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令，求出的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻. 【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 10. 以下命题正确的有（   ） A. 若等差数列满足，，则 B. 若数列满足，，则 C. 已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 【答案】CD 【解析】 【分析】求出通项公式，即可求出从而判断A，列出数列的前几项，即可判断B，分析数列的单调性，即可判断C，求出数列的通项公式，即可判断D. 【详解】对于A：因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则 ，故A错误； 对于B，因为，， 则，，，， 所以数列是周期为的周期数列，即， 所以， 故B错误； 对于C，因，， 所以，即， ，即，故， 所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数的值为8，故C正确. 对于D，因为，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为，公差为的等差数列，则， 所以数列的前项和，故D正确. 故选：CD. 11. 已知数列满足：，，数列的前项和为，则（ ） A. 当时，若递增，则或 B. 当时，数列是递增数列 C. 当，时， D. 当，时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据建立关于的一元二次不等式，解出首项的取值范围，判断出A项的正误；根据二次函数的单调性，证出当时，从而判断出数列的单调性，得出B项的正误；当，时，根据递推关系证出，从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，判断出C项的正误；当，时，利用递推公式与不等式的性质，计算出，从而判断出D项的正误． 【详解】对于A，若且数列是递增数列， 当时，， 由可得， 又 是单调递增数列，所以，即， 解得或，故A项错误； 对于B，因为且， 所以，数列是递增数列，故B项正确； 对于C，当时，， 结合，可知，，，可知是递增数列，， 则，即， 所以，即， 所以， 当时，，所以， 所以，故C项正确； 对于D，当时，，可， 所以，． 因此的前项和为中，，结合，可知， 综上所述，当，时，不成立，故D项错误． 故选：BC 【点睛】思路点睛：C选项关键在于通过放缩得到，然后利用累乘法和等比数列求和公式求解可得． 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共计15分） 12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 【答案】11 【解析】 【分析】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解. 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11 13. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率. 【详解】圆即，圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 不妨设与圆相切， 则，即，又，所以，即， 所以离心率． 故答案为：. 14. 如果连续自然数数列，，…，满足，那么正整数n的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】通过对数的运算性质及等差数列的性质可得，即，由此可分析正整数n的最大值. 【详解】由已知得，即． ∵，，…，为连续自然数， ∴上式可化简为，即， ∴，即． 要使最大，且，则只能有，即， ∴该数列最多有6项，首项为3． 故答案为：6. 四、解答题（共5个小题，共计77分） 15. 已知数列满足，，数列满足，，且为等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先证明数列是等比数列，再求出的通项，再求出的通项公式； （2）利用分组求和求出即得解 【详解】（1）由题意知数列是首项，公比的等比数列，所以． 因为，， 所以数列的公差， 所以， 所以． （2） ． 【点睛】本题主要考查等比数列的判定和通项的求法，考查等差数列的通项的应用，考查等差数列和等比数列求和，考查分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD=120°，AB=2，E，F分别为CD，AA1的中点. （1）求证:DF∥平面B1AE; （2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为，求线段AA1的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）设为的中点，连推导出四边形是平行四边形，则，由此能证明平面． （2）取中点，则，推导出，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长． 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，因为,且 又，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以.又平面平面， 所以平面 （2）因为四边形是菱形，且， 所以是等边三角形. 取的中点，则. 因为平面，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 令， 则A(0，0，0)，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，且， 取. 设直线与平面所成的角为， 则，解得，故线段的长为2. 【方法点睛】 线面所成角的求法：向量法： 如图，设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形是面积为8的正方形. （1）将椭圆的标准方程； （2）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点. 【答案】（1）； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据四边形是面积为8的正方形即可求出的值，得到椭圆的标准方程. （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点. 【小问1详解】 因为四边形是面积为8的正方形，， 所以， 则椭圆的标准方程为. 小问2详解】 设直线斜率存在，设其方程为， 由， 由题意得，设， 所以， 因为， 所以 ， 整理得， 所以直线方程为， 所以直线恒过定点， 若直线斜率不存在，设其方程为，， 由题意得， 此时直线，显然过点， 综上，直线过定点. 18. 已知等差数列的前项和为，，.数列满足，为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）设，若的前n项和为，求. （3）求证： 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前项和公式求首项及公差，进而求出通项公式. （2）应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求； （3）由（1）求，利用裂项相消法求出，即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由题设，则，故， 所以， 所以； 【小问3详解】 由（1）得，， 所以. 19. 数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，推得，再求得，得到数列为等比数列，即可求解； （2）①根据题意，求得的值，结合，求得，即可求解； （2）根据题意，得到必是数列中的某一项，求得，结合，得出，进而求得的值. 【小问1详解】 解：因为在数列中，， 当时,， 两式相减得，可得， 又因为时,，可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故. 【小问2详解】 ①当时，可得，当时，得，当时,得， 因为数列为等差数列，可得，可得， 当时，由，可得， 又由，当时，数列为等差数列； ②由题意知， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，则，理由如下， 从而必是数列中的某一项， 则 ， 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意,舍去； 综上所述,满足题意的正整数仅有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都市石室成飞中学2024-2025学年下期三月月考 高2023级 数学 试卷 （考试时间：120分钟；总分150分） 注意事项: 01．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上. 02．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 03．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的住置上. 04．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 05．考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共计40分） 1. 数列，，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数满足则（ ） A B. C. D. 4. 已知数列，，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A. B. C. D. 5. 若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（ ） A. 271 B. 331 C. 1531 D. 3067 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ） （参考数据：） A. 964万元 B. 2980万元 C. 3940万元 D. 5170万元 二、多选题（3个小题，每小题6分，共计18分） 9. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（ ） A. 从到，蜥蜴体温下降了 B. 从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C. 当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D. 蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 10. 以下命题正确的有（   ） A. 若等差数列满足，，则 B. 若数列满足，，则 C. 已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D. 已知为数列前项积，若，则数列的前项和 11. 已知数列满足：，，数列的前项和为，则（ ） A. 当时，若递增，则或 B. 当时，数列是递增数列 C. 当，时， D. 当，时， 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共计15分） 12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 13. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________. 14. 如果连续自然数数列，，…，满足，那么正整数n的最大值为______． 四、解答题（共5个小题，共计77分） 15. 已知数列满足，，数列满足，，且为等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD=120°，AB=2，E，F分别为CD，AA1的中点. （1）求证:DF∥平面B1AE; （2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为，求线段AA1的长. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形是面积为8的正方形. （1）将椭圆的标准方程； （2）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点. 18. 已知等差数列前项和为，，.数列满足，为数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）设，若的前n项和为，求. （3）求证： 19. 数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$