精品解析：2025届广东省深圳市建文外国语学校两学部高三二模二模数学试题

2025年广东省建文教育集团两学部高三年级 第二次模拟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足：，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数模的几何意义，转化为求原点到直线的距离． 【详解】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为， 的最小值就是原点到直线的距离即为， 故选：B． 2. 若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出对应点的坐标，根据点在已知圆上，代入圆的方程变形可得. 【详解】设，圆心为，则半径， 则圆的方程为，即， 依题意有，变形得， 因为， 所以的对应点坐标为，显然在直线上. 故选：A 3. 如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使，结合图形可得的值，即可得到答案； 【详解】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使． 由图知，， 故， 故选：C. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算，结合指数函数和对数函数的单调性，转化为和特殊值比较大小，即可判断.,, 【详解】因为，，所以. 故选：A 5 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式求解即可. 详解】，即， 整理可得， 因为，，所以， 所以. 故选：A 6. 已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（ ） A. 55 B. 70 C. 89 D. 630 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法找出满足条件的子集即可. 【详解】最小元素是2的有，共10个； 最小元素是3的有，共6个； 最小元素是4的有，共3个； 最小元素是5的有，共1个，所以. 故选：A 7. 已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据双曲线的对称性，通过数形结合来排除一个点，然后将代入，求出的值，进而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】∵，关于原点对称，线段垂直于y轴且在x轴的同侧， ∴不在双曲线上，将代入双曲线方程， 解得，代入点解得， 所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 8. 已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据和分类讨论可得． 【详解】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称， 由任意的x，总有成立，即恒成立， 于是得函数的周期是4，又当时，， 而是奇函数，当时，， 又，，从而行， 即时，，而函数的周期是4， 于是得函数在R上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 从而得不等式在R上有解，当时，显然成立， 当时，在R上有解，必有，解得， 则有. 综上得. 故选：B． 【点睛】结论点睛：不等式恒成立问题的转化：的定义域是，的定义域是， （1）对任意的，存在，使得成立； （2）对任意，任意的，恒成立； （3）存在，对任意的，使得成立； 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 平均数为85 B. 平均数为86 C. 方差为28 D. 方差为52 【答案】BD 【解析】 【分析】由两组数据的平均数、方差计算公式即可求解； 【详解】， 故选：BD 10. 下列说法中，正确的是（　　） A. 存在一个实数，使 B. 所有的素数都是奇数 C. 至少存在一个正整数，能被5和7整除 D. 所有的矩形都是平行四边形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式，判断选项A；举反例否定选项B；举例证明选项C正确；依据矩形定义判断选项D. 【详解】选项A，对于方程，其判别式，所以，该方程无实根，为假命题，判断错误； 选项B，2是素数，但是2不是奇数，判断错误； 选项C，正整数35和70能被5和7整除.，判断正确； 选项D，依据矩形定义，判断正确. 故选：CD 11. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式求出可判断A；利用余弦的二倍角公式求出，平方关系求出，余弦的二倍角公式求出，可判断B；求出可判断C；求出可判断D. 【详解】对于A，，可得， 又因为，所以，可得，故A正确； 对于B，由得， 又因为，所以， 因为，，所以， ，再由得， 由得，故B错误； 对于C，因为，， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以 , 所以，故D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【详解】由，得， 故两点在直线上， 联立，消得， 恒成立， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由，得出两点在直线上，是解决本题的关键. 13. 已知某工厂生产三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为__________． 【答案】50 【解析】 【分析】直接利用分层抽样的定义求解即可 【详解】设这三种型号的零件共抽取的个数为个， 因为这三种型号的零件周产量之比为，且抽取型号零件15个， 所以，解得. 故答案为：50. 14. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______. 【答案】 【解析】 【分析】 时,,利用 时, 可得,最后验证是否满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式. 【详解】当 时, , 当时, =, 又 时,不适合, 所以. 【点睛】本题考查了由求 ,注意使用求 时的条件是,所以求出后还要验证 适不适合 ,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题. 四､解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，复数，． （1）若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； （2）若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或． 【解析】 【分析】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意得，解得或； 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 16. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. （1）填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 （2）用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知填表格，计算卡方，再比较临界值判断求解； （2）根据二项分布写出概率，再列不等式计算求解. 【小问1详解】 由题可得，列联表如下： 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 25 125 150 没有抗体 20 30 50 合计 45 155 200 假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联. 根据列联表中的数据，得：， 根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 由题知每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为， 所以随机变量， 所以，要使最大，则 解得：，所以. 17. “绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． （1）求与的关系； （2）判断是不是等比数列，并说明理由； （3）至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】（1） （2）是等比数列，理由见解析 （3）至少经过年 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出，化简可得与的关系； （2）利用待定系数法结合等比数列的定义可得结论； （3）求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意时， ， 所以，. 【小问2详解】 数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． 【小问3详解】 由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得， 两边取常用对数，得， 所以， ，所以，， 所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）对于点在处的切线方程为，若对任意，都有，则称为“好”点.当时，求的“好”点.（只要求写出结果，不需说明理由） 【答案】（1）答案见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数定义域，求导，利用导数判断函数单调区间； （2）求导，分类讨论a的范围，利用导数判断函数单调性，结合恒成立问题运算求解； （3）分析可知对任意，都有，构建函数，结合的单调性分类讨论，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 令，即，解得， 可知的定义域为. 当时，， 则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， ①当时，则， 可知内单调单增，所以成立，符合题意； ②当时，若，即时，则， 可知在内单调单增，所以成立，符合题意； 若，即时，令，解得； 可知在内单调单减，此时，不合题意； 综上所述：的取值范围是. 【小问3详解】 的“好”点为，其理由如下： 设为的“好”点， 即对任意，都有， 当时，等号显然成立；当时，；当时，成立. 因为在处的切线方程为， 设，则， 因为，则，显然其为偶函数， 且当时，在内单调递增， 所以在内单调递减， （i）当时，因为为“好”点，所以此时成立. ①若，由于在递增，则 即，可知在递增， 所以，满足条件，即成立； ②若，当时，，即， 所以在递减，此时，矛盾，不满足条件； （ⅱ）当时，因为为“好”点，所以此时成立. ①若，由于在递减，， 则，所以在递增， 即，满足条件，则成立； ②若，当时，，即， 所以在递增，此时，矛盾，不满足条件. 综上所述：，所以只有一个“好”点. 19. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点. （i）求的最小值； （ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切. 【答案】（1）； （2）（i）6；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设，根据直线的斜率之积为，列出方程，整理即可得出曲线的轨迹方程. （2）设出直线的方程并与曲线联立，利用韦达定理得，与， 联立得，即得的表达式，然后利用基本不等式求出最值即可；（）利用斜率公式和三角函数和差角公式可得，得，进而得到圆的方程，利用可得直线与定圆相切. 【小问1详解】 设，则，所以， 所以， 所以，即， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，消去得， 设，所以， 所以， 设，由题意知，， ， 由题意知，所以， ，所以，即， 所以，所以，所以，即在直线上， 由题意知，所以， 所以，即，所以， 所以，所以， 即在直线上，因为直线的方程为，直线的方程为，由，得， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6； （ii）证明：因为直线与直线相交于点，又的中点为，所以，， 设，当时，， ， 由题意得，所以，当时，也满足， 故平分，所以，所以为的中垂线， 所以，即在圆上， 又，所以，所以与定圆相切 【点睛】关键点睛：对于圆锥曲线中的最值问题，常见思路为适当设出参数，然后得到所求最值关于参数的表达式，随后利用基本不等式，代数式恒等变形，函数单调性求得最值；要证明直线与定圆相切，可如本题中利用数形结合，平面几何知识来证明，也可以找到一点，是直线到定点距离为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广东省建文教育集团两学部高三年级 第二次模拟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足：，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 3. 如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（ ） A. 55 B. 70 C. 89 D. 630 7. 已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在一次考试后数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取班的一组数据：，，，，，和班的一组数据：，，，进行分析.经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，.将两组数据合并为一组数据，则这组新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 平均数为85 B. 平均数为86 C. 方差为28 D. 方差为52 10. 下列说法中，正确的是（　　） A. 存在一个实数，使 B. 所有素数都是奇数 C. 至少存在一个正整数，能被5和7整除 D. 所有的矩形都是平行四边形 11 若，，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为______． 13. 已知某工厂生产三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为__________． 14. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______. 四､解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，复数，． （1）若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； （2）若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 16. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. （1）填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 （2）用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求. 参考公式：（其中样本容量） 参考数据： 0.1 005 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 17. “绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． （1）求与的关系； （2）判断是不是等比数列，并说明理由； （3）至少经过几年，绿洲面积可超过？ 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）对于点在处的切线方程为，若对任意，都有，则称为“好”点.当时，求的“好”点.（只要求写出结果，不需说明理由） 19. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点. （i）求的最小值； （ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$