专题01 相交线与平行线（安徽专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01相交线 题型02平行线 题型03平移 相交线题型01 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末） 如图，已知三角形中，垂足为D，则表示点A到直线 的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，进行判断即可． 【详解】解：由点到直线的距离定义可知：线段的长度表示点A到直线 的距离． 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角的测量，对顶角相等，利用互为对顶角的两个角相等解答即可． 【详解】解：的对顶角为， ． 故选：A． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的定义，掌握邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角”是解题关键．根据邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】A．不是邻补角，不符合题意； B．不是邻补角，不符合题意； C．不是邻补角，不符合题意； D．是邻补角，符合题意． 故选D 4．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据对顶角的定义可逐项判断求解． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，故此选项符合题意； C、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； D、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，，则点到的距离为（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”，熟记定义是解题关键．根据点到直线的距离的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴点到的距离为线段的长度， 故选：D． 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，立定跳远是安徽省初中学生体育中考的选考项目，测量立定跳远成绩的依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理． 根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：测量立定跳远成绩的依据是：垂线段最短． 故选：B． 7．（23-24七年级下·安徽池州·期末）在平面内，下列说法正确的是（    ） A．画出点A到直线m的距离 B．过直线上一点C作，垂足为C C．过点A作垂直于直线m，使垂足为A D．点C在直线上，过点C作，；（C、D、E三点不共线） 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线的定义，点到直线的距离，解题的关键是根据垂线的定义，逐项进行判断，分析即可． 【详解】解：A．应该是作出点A到直线m的距离，故A错误，不符合题意； B．过直线上一点C作，垂足为C，故B正确，符合题意； C．若点A在直线上，则垂足为A，否则点A不是垂足，故C错误，不符合题意； D．在同一平面内，过一点只有作一条直线与已知直线垂直，故D错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 8．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线a，b相交于点O，若，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，根据对顶角相等可得，再根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：，， ， 与互为邻补角， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线AB、CD相交于点，，过点作射线，使，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角度的相关计算，垂线的定义理解，以及对顶角相等，当在上方时，可得出，由对顶角相等可得出，可计算出，当在下方时，此时，此时． 【详解】解：当在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， 当在下方时， 此时， ∵， ∴， 故答案为：或． 10．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得 ，由补角的定义得 ，能表示出比例式中的两个角是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ； 故答案：． 11．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知直线，交于点O，，垂足为O，且平分，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等．熟练掌握各基础知识点是解题关键．根据垂线的定义可得出，根据可得出，最后根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线，相交于点O，平分． （1）若，则 （用含的式子表示）； （2）若，，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查补角的定义，角平分线的定义，对顶角，注意分两种情况是解题的关键． （1）根据补角的定义和对顶角相等得出，，根据角平分线的定义得出，进而根据即可得出答案； （2）根据角平分线的定义和对顶角相等得出，再分两种情况讨论得出或得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图1： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，或． 故答案为：或． 13．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线、相交于点O，，，垂足为O，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，角的和差计算，准确识别各角之间的关系是解题的关键． 首先求出，然后由垂直得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用角的和差求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴． 故答案为：． 平行线题型02 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤，其中任选一个条件，能够直接得到的条件有几个？（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵，∴，故①不符合题意； ∵，∴，故②符合题意； ∵，∴，故③符合题意； ∵，∴，故④不符合题意； ∵，∴，故⑤符合题意； 综上，正确的结论是②③⑤，共3个； 故答案为：C． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，点O为延长线上一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，由平行线的判定方法逐一判定，即可求解；掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A.，由内错角相等，两直线平行得，结论正确，不符合题意； B.，不能判定，结论错误，符合题意； C.，由同旁内角互补，两直线平行得，结论正确，不符合题意； D.，由同位角相等，两直线平行得，结论正确，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质及平角的定义，熟记两直线平行，内错角相等，以及平角的定义是解此题的关键．由平行线的性质得出，再根据平角的定义，即可解题． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 4．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，下列选项中，判定错误的是（　　）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得到答案． 【详解】解：A．若，则，同位角相等，两直线平行，故A选项正确，不符合题意； B．若，则，同旁内角互补，两直线平行，故B选项正确，不符合题意； C．若，则，两直线平行，内错角相等，故C选项错误，符合题意； D．若，则，两直线平行，同位角相等，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底的C处，射线是光线的延长线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、对顶角相等等知识点，由平行线的性质可知，再由求出，再根据对顶角相等得出的度数，求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知直线被直线所截，分别平分，，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，垂线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．根据平行线的性质得出，从而可求出．再根据角平分线的定义可求出，，即得出．再结合垂线的定义可求出，进而得出，，即可选择． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵分别平分， ∴，， ∴，即． ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上可知A错误，符合题意；B，C，D正确，不符合题意． 故选A． 7．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列说法： ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②过一点有且只有一条直线平行于已知直线； ③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； ④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； ⑤垂直于同一条直线的两直线平行． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质定理，垂线性质，点到直线的距离的定义等知识，根据平行公理，平行线的性质定理，垂线性质，点到直线的距离的定义一一判断即可． 【详解】解：平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故①错误， 过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；故②错误， 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故③错误， 两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故④正确， 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故⑤错误， 故正确的只有④． 故选：A． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放，其中直线，点C落在直线上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角板中角度的计算，掌握平行线的性质是解题关键．过点作，得到，进而由三角板可得，再根据两直线平行，内错角相等，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是由，根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：， ，； ， ． 故选：A． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知直线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 11．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图，直线a，b被直线c所截，且，若，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 12．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，以下说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定方法及其性质，结合图形逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，而，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，而，故原说法错误，不符合题意； C、若，则，故原说法错误，不符合题意； D、若，则，， ∴，即， ∴，故原说法正确，符合题意， 故选：D． 13．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，当光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫光的折射．如图，一束光沿方向射入水平液面，在点B处发生折射，折射光沿方向射出，点D为延长线一点，若，，则与水平底面形成的的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质。 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答。 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵水平液面与水平底面平行， ∴ 故选：C 14．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线直线b，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，先由平行线的性质得出，结合垂直的定义，则，再进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵直线直线b， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 二、填空题 15．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图， 直线分别与直线、相交于O、P两点． （1）当时， 要使得， 则应为 ； （2）若，平分，， 则 ． 【答案】 /50度 /18度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，对顶角相等． （1）根据补角的定义求得，再利用两直线平行同位角相等，即可得到答案； （2）平行线的性质得到，由，，可求得，进而根据对顶角相等求出，最后根据角平分线的定义，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 要使得，则， 故答案为：； （2）如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： 16．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，， ， 则 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，平角的定义．根据垂直的定义可得，再由平角的定义可得，再由平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50 17．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，，平分，，，，则： （1） ． （2） ． 【答案】 /65度 /25度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，合理应用平行线的性质是解决本题关键． 根据平行线的性质和角平分线的定义以及垂直的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 故答案为：；． 18．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，把一块含有30度角的直角三角板放在长方形纸片上，点落在边上，若，则 度．    【答案】/度 【分析】本题考查三角板的特点，平行线的性质由题意可求出，再根据平行线的性质得出求解即可． 【详解】解：，， ． 由题意可知， ． 故答案为：． 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫做戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ， ，， ， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）完成下面的证明， 已知：如图，已知，，求证：． 证明：（已知） 又（_______________________________） （等量代换） （_______________________________） （_______________________________） （已知） （等量代换） ∴（_______________________________） （_______________________________） 【答案】对顶角相等；同位角相等，两条直线平行；两条直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两条直线平行；两条直线平行，内错角相等 【分析】本题考查对顶角的性质、平行线的判定与性质，根据对顶角相等可得，从而可得，再根据平行线的判定与性质即可得证． 【详解】证明：（已知）， 又（对顶角相等）， （等量代换） （同位角相等，两条直线平行）， （两条直线平行，同旁内角互补）， （已知） （等量代换） ∴（同旁内角互补，两条直线平行）， （两条直线平行，内错角相等）， 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两条直线平行；两条直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两条直线平行；两条直线平行，内错角相等． 21．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的左侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，则 （1） ． （2） ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键．作，则，根据平行线的性质得出，进而得到，同理，可归纳规律即可解答． 【详解】解：如图：作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵若与的平分线相交于点， ∴， ∴, 同理：作可证明：, 同理可得：， … 归纳可得：，即，． 故答案为：，． 22．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图和均为直角三角形，将其直角顶点放在一起，其中，，．若不动，绕顶点转动一周，当时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当等于或时， ，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． 【详解】解：分两种情况：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当时，等于或， 故答案为：或． 23．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）（1）如图，，则 ． （2）如图，，分别平分和，对 ． 【答案】 /85度 /135度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）过点E作，由平行线的性质得出，进而可得，即可求解； （2）过点F作，过点Q作，同理（1）中方法，结合已知条件进行角的计算转换求解即可求解． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ； （2）过点F作，过点Q作， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 分别平分和， ， ． 24．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1） ； （2）若，则的度数是 （用含n的式子表示） 【答案】 /度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定： （1）根据角平分线的定义即可得到答案； （2）过点E作，由角平分线的定义得到，．再证明，则由平行线的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴． 故答案为：． （2）如图，过点E作． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：． 25．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）如图，点E，F分别在直线，上，，G是直线上方一点，，．若平分，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据题意可得、，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴ ∴ 故答案为： 26．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，，点E，F分别在直线，上，点P在，之间，若，，那么 ． 【答案】30或90 【分析】此题考查了平行线的性质和判定定理， 根据题意分两种情况讨论，然后分别根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 如图所示，过点P作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 综上所述，或． 故答案为：30或90． 27．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，两条平行直线，被直线所截，分别交于点、；、分别平分和交于点、． （1）若，则 ． （2）在（1）条件下，在线段上有一动点，当最短时， ． 【答案】 【分析】（1）本题考查了角平分线的定义以及平角的运算，先得出，结合，进行计算，即可作答． （2）因为当最短，则，结合在（1）条件下, ，得出，借助平行线的性质，得出，再进行角的运算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵、分别平分和交于点、． ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：； （2）如图： ∵线段上有一动点， 最短 ∴，即 ∵在（1）条件下, ∴ ∵ ∴ 则 故答案为： 28．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，直线被直线c所截，若，，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，由对顶角的性质可得，由平行线的性质可得，据此即可求解，掌握对顶角和平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图①是自行车的实物图，图②是它的部分示意图，，点在上，，，．则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质进行角度的计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 30．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（2）步要注意根据题意设出未知数，用含x的式子表示出相关角，列出方程解答． （1）根据得到，根据角平分线的定义得到，即可证明； （2）设，则，根据得到，进而得到，根据，得到，从而求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，         ∵ ， ∴ ， ∴；        ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， 可设， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴， 解得：， ∴． 31．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)所有满足条件的t的值为10或40 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据角的和差求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，延长交于点P，当时，延长交于点T，进而根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：如图，①当时，延长交于点P，延长交于点Q，      ∵， ∴， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒转过的角度为，即 ∴， 解得； ②当时，如图，延长交于点T，    ∵三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒转过的角度为，即 根据题意得：， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：所有满足条件的t的值为10或40． 32．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．由得，再由已知，得，从而证得． 【详解】证明： （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 33．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图1， 已知直线直线， 点E在上， 点H在上， 点F在之间，连接． (1)若， 求的度数． (2)如图2， 平分，交于点G， 且， 求度数 (3)如图3，平分， 交的延长线于点M ，则 ； ． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，四边形内角和，准确作出辅助线，掌握平行线性质是解题关键． （1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）根据平行线性质以及角平分线定义得到，结合题意根据四边形内角和求出结果即可； （3）过点F作，根据平行线性质可得，结合题意即可求出的度数，过点M作，通过平行线性质以及角平分线定义得到，从而得到，再推出，整理得到． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ，， ， ； （3）如图，过点F作， 则， ， ， ， ∴， 即， ， ， ； 过点M作． ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 34．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图， 已知 (1)试说明 ； (2)若，平分， 试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）依据平行线的判定与性质，即可得到与的数量关系； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出的度数，再根据为直角，即可得出． 【详解】（1）解：， ， ， 又， ， ； （2）， ， 又平分，， ， 又， ． 35．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【答案】(1) (2) (3)，图见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，掌握平行线的性质是正确解答的前提． （1）根据角平分线的定义以及平行线的性质可得答案； （2）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质和判定以及图形中角的和差关系可得答案； （3）过点作，利用角平分线的定义，平行线的性质和判定进行计算即可． 【详解】（1）解： 平分， ∴， ∵， ， ； （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， 平分， ∴， ， ∴ ； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， 平分， ∴， ∴， ∴ ． 36．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线、被直线所截，且，于点F，判断与之间存在什么关系？并说明理由． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解决问题的关键是根据等量关系：得出结论． 先根据平行线的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，最后根据，得出结果． 【详解】解： 理由：， ， 即， ， ， ， ． 37．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）完成下面推理过程： 如图，已知，，．试说明：． 解：，，（    ）， ． ．（同位角相等，两直线平行） （________）． （已知）， = （等量代换）． （________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】解：，，（已知）， ． ．（同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 38．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图所示，直线，点A、D在直线m上，点B、C在直线n上，且，，平分交直线n于点P，连接． (1)求的度数； (2)若时，求的度数； (3)将向右平移，当最小时，求此时的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线段最短： （1）根据，可得，再由，即可求解； （2）过点P作交直线m于点E，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （3）“垂线段最短”，可得：当时，最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：过点P作交直线m于点E，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）得：，平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：将向右平移过程中，由“垂线段最短”，得： 当时，最小．即：， 由（2）得， ∴． 39．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）（1）【问题提出】如图1，已知，点分别是直线上的点，连接，设．当时，求的值； （2）【问题引申】如图2，已知，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，已知平分平分．若，求的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，所以，代入数轴进行计算，即可作答． （2）过点C作，则，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答． （3）过点F作，则，得出，结合角平分线的定义，以及平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ （2）如图：过点C作 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）如图：过点F作 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分平分． ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ ∴ 40．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知是三角形的高，且，．    (1)求证：； (2)判定与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可． （2）由得，进而可得，即可得解． 本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ∴． 41．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，过作，则，由平行线的性质得，，由，则，然后由角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵ ∴， ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图C，D两点分别在三角形两边，的延长线上，过点作射线，满足，．试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据对顶角相等可得出，利用已知条件可得出，根据平行线的判定可得出，由平行线的性质可得出，结合已知条件可得出，根据平行线的判定可得出． 【详解】证明：∵，， ∴ ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 43．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知：如图，在中，点在边上，点分别在、边上，且． (1)若是的角平分线，，求的度数； (2)若，则与是否平行，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）由平分得，再根据即可求解； （）由得，又，从而得根据平行线的判定即可； 本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 44．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线分别交，于点，，平分，交于点．已知．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）易得，即可得出结论； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 45．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）完成下面的证明过程 如图，点，分别在三角形的边，上，于点，点，连结．若，试说明的理由． 解： ．（ ） （ ）． （ ）． （ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】解： （垂直于同一条直线的两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 46．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）如图，已知，，试判断和的关系，并说明理由． 解：______． 理由如下 ，， （_____） ______（内错角相等，两直线平行） （______） （已知） ______（等量代换） （______） （______）． 【答案】；同角的补角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，结合题干给出的思路作答即可 【详解】解：，理由如下 ，， （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；同角的补角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 47．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，，点A为直线上一定点，B为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点D，使得，设（为锐角）． (1)求的值； (2)当点B在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值． 【答案】(1)90° (2)30° 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的意义，互补关系等知识，利用平行线的性质是解题的关键． （1）过点D作，则；由得，则有，由和角关系得； （2）由角平分线的性质及平行线的性质得，由（1）有，根据，得关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作，则． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：若平分，也恰好平分， 则有， 所以，． ∵， ∴， ∴． 由（1）得， 则． ∵， ∴， 解得． 48．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知．点G为之间一点． (1)如图1，当平分，平分，求证； (2)如图2，若 ，且的延长线交的角平分线于点M，的延长线交的角平分线于点N，求的度数； (3)如图3，若点 H 是射线上一动点，平分， 平分，过点G作于点Q，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据题意，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理，即可求出，即可得到答案； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，，相加即可得到答案； （3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用垂线的定义和三角形内角和定理，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为： （2）解：，证明如下： 如图，过点作，过点作， ， ， ，，，， ，平分，平分， ，， ，， ； （3）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 49．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，，． (1)问：与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行的判定与性质，余角的求解，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，可知，推出，结合，可得出，从而得出； （2）根据题意可得出，由，可知，利用即可求得答案． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： 又 （2）解：， 又 ， 50．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P作，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）根据，得出，求出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 51．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）完成下面的证明． 已知：如图，四边形，点，在直线上，连接，若，．求证：． 证明：∵点E在边的延长线上（已知）， ______（______）． 又（已知）， ∴______（同角的补角相等）． 又（已知）， ______（______）． ______（______）． （______）． 【答案】；平角定义；；3；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据同角的补角相等得到，再推出，得到，利用平行线的性质即可证明． 【详解】证明：∵点E在边的延长线上（已知）， （平角定义）． 又（已知）， ∴（同角的补角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） 故答案为：；平角定义；；3；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 52．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知点是上一点，过点作交于点，连接，此时．    (1)请补充以下的过程（括号里填写说理依据），说明； 因为（已知） 所以 （ ） 因为（已知） 所以 （等量代换） 所以（ ） (2)若平分，则与相等的角有 （填上所有正确的序号）． ①    ②    ③ 【答案】(1)；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行； (2)①② 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质是关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）利用角平分线的定义和平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：因为（已知） 所以（两直线平行，同位角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行； （2）解：因为平分 所以 因为， 所以，， ∴，不能证明， 故答案为：①② 53．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确掌握相关性质和定义是解题的关键． （1）先结合和邻补角的性质，得出，则； （2）根据两直线平行，得出，然后由平分，可得，再根据平行线的性质即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴； （2）∵由（1）得 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴. 54．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，已知，， (1)试说明； (2)若，平分，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法和性质． （1）根据平行线的判定方法得出，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出，最后得出结果即可； （2）先求出，再求出，根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 平移题型03 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，阴影部分的面积为，则平移距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．由平移可得，推出，求出，即可解决问题． 【详解】解：由平移可得：，， ， ， ， ， ， 即， ，即平移距离为， 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的概念即可求解，正确掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段可表示平移距离， 故选：． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）下列四个图标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平移前后线段长度不变； 平移前后角的大小不变；并且 平移前后线依旧是线，平行线依旧彼此平行，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不是由“基本图案”经过平移得到的，故该选项是错误的； B、不是由“基本图案”经过平移得到的，故该选项是错误的； C、不是由“基本图案”经过平移得到的，故该选项是错误的； D、是由“基本图案”经过平移得到的，故该选项是正确的； 故选：D 4．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，将周长为12的沿方向平移3个单位长度得，则四边形的周长为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】根据平移的性质，可以得到，，再根据四边形的周长为，结合的周长为12即可求出答案． 本题主要考查了平移的性质，找到平移距离是解决本题的关键． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵的周长为12 ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：A． 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法： ①； ②； ③； ④平移距离为线段的长．其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，熟练掌握平移性质是解题的关键． 根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】∵将三角形平移到三角形的位置， ∴与、与、与对应点， 与是对应角， ，①错误； ，②正确； ∴，，③错误； 平移距离为线段的长，④正确． 正确的说法为②④， 故选：D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质可得，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵三角形的周长为， ∴， ∴四边形的周长为：． 故答案为：28． 7．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，三角形沿方向平移后到达三角形的位置，交于点G．已知，，，平移距离为3，则图中四边形的面积为 ．（阴影部分） 【答案】 【分析】本题考查了平移的基本性质，三角形的面积，根据平移的性质可得，然后可求，再由平移可得．然后根据梯形面积公式计算即可．利用平移的性质得到是关键． 【详解】解：由平移可知，，， ∵， ∴， ∵直角三角形沿方向平移到直角三角形， ∴． 故答案为：12． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边形．（各顶点均在格点上） (1)将四边形经过一次平移得到四边形，点的对应点为点，请画出平移后的四边形； (2)在（1）的条件下，求线段在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2)27 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）观察发现，点是由A点向右平移9个单位，再向下平移2个单位得到的，因此按照相同的规律，画出B、C、D三点平移后的对应点、、，再顺次连接、、、即可得到平移后的四边形； （2）线段扫过的图形为，按照平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：四边形即为所求； （2）解：如图，线段扫过的图形为，它的面积为：． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在网格图中，平移三角形使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，则线段与的关系是______________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形； （2）连接、，可得线段与的关系． 【详解】（1）解：如图即为平移后的三角形； （2）解：线段与的关系是：，． 故答案为：，． 10．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段的端点及点C都在格点（网格线交点）上． (1)将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段，在图中画出线段； (2)在图中画出经过点C 且平行于的直线l，并简单的说明画法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，平移变换的作图，正确的理解题意是解题的关键． （1）利用平移的性质根据题意中平移的距离和方向分别作出A，B的对应点，，然后连接即可； （2）将C，T看作是A，B平移后的点，即找到A到的平移方式，将平移到点，作直线即可． 【详解】（1）解：将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段 在图中分别将两点向右平移2个单位长度、向上平移5个单位长度，得到对应点，，连接对应点，，线段即为所求． （2）解：如图，将C，T看作是A，B平移后的点，即找到到的平移为：向右平移2个单位长度、向下平移3个单位长度， ∴将向右平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，平移到点，作直线即可． 作法：根据平移取格点T，作直线，直线l即为所求． 11．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，在8×9的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的顶点均在网格的格点上（小正方形的顶点即为格点）． (1)将三角形先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，点A，B，C的对应点分别为，，，请在网格图中画出平移后的三角形． (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查图形的平移，平移的画图，掌握平移的性质，是解题的关键． （1）根据平移规则，分别确定A，B，C的对应点，再画出三角形即可； （2）利用三角形面积公式求面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求， （2）的面积为． 12．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在网格线的交点处，现将三角形平移得到三角形，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________． 【答案】(1)画图见解析 (2)，； 【分析】本题考查的是画平移图形，平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键； （1）分别确定的对应点，再顺次连接即可； （2）由平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所画的三角形； ． （2）解：由平移的性质可得：，； 13．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点上），按下列要求画图： (1)过点C作，使点M也在格点上，且； (2)在给定的方格纸中，平移三角形，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形，使B、C的对应点分别为E、F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——平移作图，格点作图，熟练掌握平移的性质是解题关键． （1）由图形可知，点向右平移三个单位长度得到点，则点向右平移三个单位长度得到点，作直线，可得到另一个格点交点，即（或）均满足条件； （2）由图形可知，点先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得到点，根据点的平移方式，确定B、C的对应点为E、F，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图，（或）即为所求作； （2）解：如图，三角形即为所求作； 14．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． (1)画出将向左平移5个单位长度所得到的，并标出点，，． (2)画出将向下平移4个单位长度所得到的，并标出点，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-平移变换： （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01相交线 题型02平行线 题型03平移 相交线题型01 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末） 如图，已知三角形中，垂足为D，则表示点A到直线 的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，，则点到的距离为（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，立定跳远是安徽省初中学生体育中考的选考项目，测量立定跳远成绩的依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 7．（23-24七年级下·安徽池州·期末）在平面内，下列说法正确的是（    ） A．画出点A到直线m的距离 B．过直线上一点C作，垂足为C C．过点A作垂直于直线m，使垂足为A D．点C在直线上，过点C作，；（C、D、E三点不共线） 二、填空题 8．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线a，b相交于点O，若，则 ． 9．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线AB、CD相交于点，，过点作射线，使，则的度数为 ． 10．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 11．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知直线，交于点O，，垂足为O，且平分，则的度数为 ． 12．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线，相交于点O，平分． （1）若，则 （用含的式子表示）； （2）若，，则 ． 13．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线、相交于点O，，，垂足为O，平分，则 ． 平行线题型02 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤，其中任选一个条件，能够直接得到的条件有几个？（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，点O为延长线上一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，下列选项中，判定错误的是（　　）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底的C处，射线是光线的延长线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知直线被直线所截，分别平分，，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列说法： ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②过一点有且只有一条直线平行于已知直线； ③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； ④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； ⑤垂直于同一条直线的两直线平行． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放，其中直线，点C落在直线上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知直线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图，直线a，b被直线c所截，且，若，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，以下说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，当光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫光的折射．如图，一束光沿方向射入水平液面，在点B处发生折射，折射光沿方向射出，点D为延长线一点，若，，则与水平底面形成的的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线直线b，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图， 直线分别与直线、相交于O、P两点． （1）当时， 要使得， 则应为 ； （2）若，平分，， 则 ． 16．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，， ， 则 ． 17．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，，平分，，，，则： （1） ． （2） ． 18．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，把一块含有30度角的直角三角板放在长方形纸片上，点落在边上，若，则 度．    19．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫做戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ． 20．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）完成下面的证明， 已知：如图，已知，，求证：． 证明：（已知） 又（_______________________________） （等量代换） （_______________________________） （_______________________________） （已知） （等量代换） ∴（_______________________________） （_______________________________） 21．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的左侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，则 （1） ． （2） ．（用含n的代数式表示） 22．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图和均为直角三角形，将其直角顶点放在一起，其中，，．若不动，绕顶点转动一周，当时， ． 23．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）（1）如图，，则 ． （2）如图，，分别平分和，对 ． 24．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1） ； （2）若，则的度数是 （用含n的式子表示） 25．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）如图，点E，F分别在直线，上，，G是直线上方一点，，．若平分，则的度数为 ．    26．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，，点E，F分别在直线，上，点P在，之间，若，，那么 ． 27．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，两条平行直线，被直线所截，分别交于点、；、分别平分和交于点、． （1）若，则 ． （2）在（1）条件下，在线段上有一动点，当最短时， ． 28．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，直线被直线c所截，若，，则 ． 29．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图①是自行车的实物图，图②是它的部分示意图，，点在上，，，．则的度数为 ． 三、解答题 30．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）如图，已知，，点E在线段延长线上，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数．   31．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 32．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，如图，，，求证：． 33．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图1， 已知直线直线， 点E在上， 点H在上， 点F在之间，连接． (1)若， 求的度数． (2)如图2， 平分，交于点G， 且， 求度数 (3)如图3，平分， 交的延长线于点M ，则 ； ． 34．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图， 已知 (1)试说明 ； (2)若，平分， 试求的度数． 35．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 36．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线、被直线所截，且，于点F，判断与之间存在什么关系？并说明理由． 37．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）完成下面推理过程： 如图，已知，，．试说明：． 解：，，（    ）， ． ．（同位角相等，两直线平行） （________）． （已知）， = （等量代换）． （________）． 38．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图所示，直线，点A、D在直线m上，点B、C在直线n上，且，，平分交直线n于点P，连接． (1)求的度数； (2)若时，求的度数； (3)将向右平移，当最小时，求此时的度数． 39．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）（1）【问题提出】如图1，已知，点分别是直线上的点，连接，设．当时，求的值； （2）【问题引申】如图2，已知，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，已知平分平分．若，求的度数． 40．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知是三角形的高，且，．    (1)求证：； (2)判定与的位置关系，并说明理由． 41．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，求的度数． 42．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图C，D两点分别在三角形两边，的延长线上，过点作射线，满足，．试说明：． 43．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知：如图，在中，点在边上，点分别在、边上，且． (1)若是的角平分线，，求的度数； (2)若，则与是否平行，请说明理由． 44．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线分别交，于点，，平分，交于点．已知．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 45．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）完成下面的证明过程 如图，点，分别在三角形的边，上，于点，点，连结．若，试说明的理由． 解： ．（ ） （ ）． （ ）． （ ）． 46．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）如图，已知，，试判断和的关系，并说明理由． 解：______． 理由如下 ，， （_____） ______（内错角相等，两直线平行） （______） （已知） ______（等量代换） （______） （______）． 47．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，，点A为直线上一定点，B为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点D，使得，设（为锐角）． (1)求的值； (2)当点B在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值． 48．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知．点G为之间一点． (1)如图1，当平分，平分，求证； (2)如图2，若 ，且的延长线交的角平分线于点M，的延长线交的角平分线于点N，求的度数； (3)如图3，若点 H 是射线上一动点，平分， 平分，过点G作于点Q，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于） 49．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，，． (1)问：与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 50．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 51．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）完成下面的证明． 已知：如图，四边形，点，在直线上，连接，若，．求证：． 证明：∵点E在边的延长线上（已知）， ______（______）． 又（已知）， ∴______（同角的补角相等）． 又（已知）， ______（______）． ______（______）． （______）． 52．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知点是上一点，过点作交于点，连接，此时．    (1)请补充以下的过程（括号里填写说理依据），说明； 因为（已知） 所以 （ ） 因为（已知） 所以 （等量代换） 所以（ ） (2)若平分，则与相等的角有 （填上所有正确的序号）． ①    ②    ③ 53．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 54．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，已知，， (1)试说明； (2)若，平分，试求的度数． 平移题型03 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，阴影部分的面积为，则平移距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）下列四个图标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，将周长为12的沿方向平移3个单位长度得，则四边形的周长为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法： ①； ②； ③； ④平移距离为线段的长．其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 二、填空题 6．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为 ． 7．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，三角形沿方向平移后到达三角形的位置，交于点G．已知，，，平移距离为3，则图中四边形的面积为 ．（阴影部分） 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边形．（各顶点均在格点上） (1)将四边形经过一次平移得到四边形，点的对应点为点，请画出平移后的四边形； (2)在（1）的条件下，求线段在平移过程中扫过的面积． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在网格图中，平移三角形使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，则线段与的关系是______________． 10．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段的端点及点C都在格点（网格线交点）上． (1)将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段，在图中画出线段； (2)在图中画出经过点C 且平行于的直线l，并简单的说明画法． 11．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，在8×9的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的顶点均在网格的格点上（小正方形的顶点即为格点）． (1)将三角形先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，点A，B，C的对应点分别为，，，请在网格图中画出平移后的三角形． (2)求三角形的面积． 12．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在网格线的交点处，现将三角形平移得到三角形，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________． 13．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点上），按下列要求画图： (1)过点C作，使点M也在格点上，且； (2)在给定的方格纸中，平移三角形，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形，使B、C的对应点分别为E、F． 14．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． (1)画出将向左平移5个单位长度所得到的，并标出点，，． (2)画出将向下平移4个单位长度所得到的，并标出点，，． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$