精品解析：山西省朔州市怀仁市第二中学2025年九年级数学三模试题

山西省2025年初中学业水平考试——模拟测评（三）数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 乒乓球国际比赛用球直径标准为．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，去掉正负号，直接比较数值的大小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是； 故选B． 2. 为积极响应卫健委“体重管理年”3年行动，某社区设计了下列4种健身宣传图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方法则逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 4. 传承千年智慧，守护非遗瑰宝，是我们每个人的责任．将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”六个汉字分别写在一个正方体的各个面上．如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“守”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 非 B. 遗 C. 瑰 D. 宝 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方形的平面展开图，还原成正方体，由空间想象能力求解即可得到答案． 熟记正方体的平面展开图，并会根据展开图还原成正方体是解决问题的关键． 【详解】解：将平面展开图还原，则在原正方体中，与“守”字所在面相对面上的汉字是“非”， 故选A． 5. 已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由角平分线定义可得，然后通过角平分线定义可得，所以，最后由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ， ， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 7. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求两次事件的概率，正确理解题意、掌握解答的方法是关键． 先画出树状图，得到所有可能的情况数，再从中找出符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 由图可得：所有出现的等可能结果共有种，其中符合题意的有种， ∴恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为； 故选：B． 8. 下表为一次函数的自变量x与因变量y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 6 5 4 3 … 则下列关于该函数图象的说法中正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与x轴的交点坐标为 C. 图象与坐标轴围成的三角形的面积为36 D. 若点和在该函数图象上，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与其系数的关系，求一次函数与坐标轴的交点坐标等等，利用待定系数法求出函数解析式，即可判断其所经过的象限，据此可判断A；求出函数值为0时，自变量的值即可判断B；求出一次函数与两坐标轴的交点坐标即可判断C；根据增减性即可判断D． 【详解】解：把代入到中得：， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴图象与x轴的交点坐标为，故B说法错误，不符合题意； ∵时，， ∴图象与y轴的交点坐标为， ∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意； ∵在中，， ∴y随x增大而减小， 若点和在该函数图象上，且，则，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 由题意得， 故选：D． 10. 如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； 故选C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了提公因式法与公式法；先提取公因式5，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图是同一类型酸的三种化合物的结构式，按其规律类推，若该类型酸的某种化合物中碳原子有18个，则该化合物中氢原子的个数为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，通过已知条件找到变化规律是解题关键．根据题目中分子结构式的变化，得第个图形有个，个，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，第1个图形中，有1个C，个H， 第2个图形中有2个C，个H， 第3个图形中有3个C，个H， …， ∴第个图形中有个，个， ∴若该类型酸的某种化合物中碳原子有18个，则该化合物中氢原子的个数为个． 故答案为：36． 13. 为弘扬山西面食文化，某学校开展“面食制作大比拼”活动，甲、乙两组进入决赛，下面是他们面食作品的评分表（单位：分）： 小组 评分/分 色 形 味 甲 乙 若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是_____组．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数，用对应项的得分乘以对应的权重求出对应项的得分，然后求和求出最后的总得分，再比较两组的总得分即可得到答案，掌握加权平均数是解题的关键． 【详解】解：甲组的最终得分为（分）， 乙组的最终得分为（分）， ∵， ∴获得最高分的是甲组， 故答案为：甲 ． 14. 在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，根据题意可得，四边形是矩形，得出，求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：4． 15. 如图，在中，为上一点，，连接，为的中点，连接．若，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键；延长交于点F，过点D作，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：延长交于点F，过点D作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，绝对值，立方根和二次根式的化简，然后计算加减即可； （2）根据分式的加减混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】此题考查了负整数指数幂，绝对值，立方根和二次根式的化简，分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 17. 2025年政府工作报告提出，某市计划两年内完成老旧小区改造工程，要求累计改造户数不低于30万户．已知2024年已完成改造12万户，则2025年改造户数增长率至少达到多少才能完成任务？ 【答案】2025年改造户数增长率至少达到才能完成任务 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设2025年改造户数增长率达到才能完成任务，根据求累计改造户数不低于30万户，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设2025年改造户数增长率达到才能完成任务，由题意，得： ， 解得：，即：； ∴2025年改造户数增长率至少达到才能完成任务． 18. 某学校为弘扬爱国主义精神，组织该校七、八年级学生开展以“讲好红色故事 传承红色基因”为主题的研学活动．活动结束后学校从七、八年级各随机抽取了20名学生对研学活动进行满意度调查［满意度评分用分表示，共分为四组：不满意（）；基本满意（）；满意（）；非常满意（）］． 【整理数据】 七年级的满意度评分数据： 58，89，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，93，88，97，89，83，80，87，93． 八年级“满意”的所有评分数据： 76，78，81，80，78，78，89，85，87． 【数据分析】 七、八年级满意度评分数据分析表： 年级 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占的百分比 七年级 84.2 86.5 30% 八年级 83 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，_____； （2）已知七、八年级各有学生1000名，请估计七、八年级对本次研学活动“非常满意”的学生总人数； （3）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对本次研学活动更加满意？请说明理由． 【答案】（1）77，83，35 （2）650 （3） 七年级学生对本次研学活动更加满意． 理由：因为七年级学生满意度评分的平均数和中位数均高于八年级，所以七年级学生对本次研学活动更加满意． 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及众数、中位数的求法及利用平均数和中位数做决策、由样本情况估计总体等知识，熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键． （1）由题中数据，根据众数、中位数及百分比求法代值求解即可得到答案； （2）由样本情况估计总体即可得到答案； （3）从平均数及中位数比较做决策即可得到答案． 【小问1详解】 解：七年级的满意度评分数据：58，89，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，93，88，97，89，83，80，87，93， 众数； 由扇形统计图可知，不满意有人；基本满意有人；满意有人，则八年级满意度评分中位数是第10人和第11人评分的平均值， 八年级“满意”的所有评分数据：76，78，78，78，80，81，85，87，89， ； 不满意有人；基本满意有人；满意有人， 非常满意有人， ； 故答案为：77，83，35； 【小问2详解】 解：（名）． 答：估计七、八年级对本次研学活动“非常满意”的学生总人数是650； 【小问3详解】 略 19. 稷山麻花是山西运城的特色传统风味小吃，有甜、咸两味之分，目前，稷山麻花已经进入北京、深圳、黑龙江等多个省市销售，深受消费者喜爱，某土特产专卖店经销普通装和精品装两种包装的稷山麻花，其中精品装每箱稷山麻花的进价比普通装每箱稷山麻花的进价多20元．已知该土特产专卖店用1200元购进的普通装山麻花和用1600元购进的精品装稷山麻花箱数相同，分别求出这两种包装每箱稷山麻花的进价． 【答案】普通装每箱稷山麻花的进价为元，精品装每箱稷山麻花的进价为元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设普通装每箱稷山麻花的进价为元，根据精品装每箱稷山麻花的进价比普通装每箱稷山麻花的进价多20元，以及用1200元购进的普通装山麻花和用1600元购进的精品装稷山麻花箱数相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设普通装每箱稷山麻花的进价为元，精品装每箱稷山麻花的进价为元，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解，且满足题意， ∴； 答：普通装每箱稷山麻花的进价为元，精品装每箱稷山麻花的进价为元． 20. 如图1的拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具，图2是某学校一段斜坡的示意图．该学校的学生利用拐尺和水平尺测量斜坡的坡度（即的值）.现将拐尺的一边放置在斜坡上，拐尺的另一边与垂直，水平尺的一边与地面保持平行，点与点重合，与交于点，测得，，斜坡的长为，求斜坡顶点到地面的距离及斜坡的坡度．（结果保留根号） 【答案】斜坡顶点B到地面的距离为，斜坡的坡度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的实际应用，先证明，利用相似三角形的性质可求出的长，则可得到斜坡顶点B到地面的距离，再解直角三角形，求出即可得到答案． 【详解】解：如图，过点B作于点H． 由题意，可知． ． ， ． ． ，即． ，即斜坡顶点B到地面的距离为． 在中，由勾股定理得， ，即斜坡的坡度为． 答：斜坡顶点B到地面的距离为，斜坡的坡度为． 21. 阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为． 黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： （1）如图2，在中，，．用尺规在边上求作一点，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长． 【答案】（1） 如图所示，作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，黄金分割，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求；由等边对等角可得，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，则可得到； （2）求出，由角平分线的定义可得，则，则可证明和是黄金三角形，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的两个底角为，顶角为 ∴为黄金三角形； 【小问2详解】 ∵正十边形的中心角，， ． ∵平分， ， ∴． 和是黄金三角形． ，． ， ． ． 22. 嘉嘉和淇淇在一起玩弹力球，在点处有一个发射装置，向右上方发射一个弹力小球，小球的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，点，在抛物线上，抛物线交y轴于点，最终，小球落在了轴上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起来，继续向右沿着另一条抛物线运动，抛物线和形状相同，且最大高度为． （1）求抛物线的表达式和其顶点坐标． （2）在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球筐，斜边为入口，，，当小球落在斜边（包括端点）上时，小球落入球筐，若点E的坐标为，判断小球被反弹后，是否能落入球筐，若能，请说明理由，若不能，则为了小球落入球筐，需平移球筐，求平移后点横坐标的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）小球不能落入球筐，当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合运用，数形结合分析思想是解题的关键． （1）根据题意，设抛物线的表达式为，由过点，运用待定系数法得到抛物线的表达式为，由此即可求解； （2）抛物线和抛物线形状相同，最大高度为2，设的表达式为，由同样也经过点，运用待定系数法得到抛物线的表达式为，当抛物线经过点，及之间时，能落入球框，由等腰直角三角形等着得到，则令，由此即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的表达式为， ∵过点， ∴将点A，B坐标代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线和抛物线形状相同，最大高度为2，设的表达式为， ∵同样也经过点，代入可得， 解得，（舍），， ∴抛物线的表达式为， 将代入， 得（舍），． ∵点的横坐标为， ∴小球不能落入球筐， ∴当抛物线经过点，及之间时，能落入球框， ∵， ∴令， ∴或（舍去）， ∴， ∴当点横坐标的取值范围为时，小球可以落入球筐． 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图2，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值． 【答案】 （1），理由如下： 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接 根据平移的性质可得，， ， ∵四边形为菱形，且， ， 与都是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， ， 又，即， 为等边三角形， ， 在中， ∴； （３） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并善于运用给出的思路． （1）沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接，根据平移的性质和菱形的性质，得到边角相等，证出，即可得到结论； （2）如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接，利用平移的性质和平行线的性质得出为等边三角形，进而得到，最后利用三角形的三边关系即可得出结论； （3）沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质和正方形的性质得出，然后利用三点共线线段的和最小，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3） 如图，沿平移线段，使点与点重合，点与点重合，连接， 根据平移的性质可得，， 又∵， ∴ ∴, ∵四边形为正方形，，， ， 在中，由勾股定理得, 由图1结论可得， ∴， ∵ ∴当点共线时，最小，即最小，最小值为的长度， ∴在中，由勾股定理得， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2025年初中学业水平考试——模拟测评（三）数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 乒乓球国际比赛用球直径标准为．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 为积极响应卫健委“体重管理年”3年行动，某社区设计了下列4种健身宣传图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 传承千年智慧，守护非遗瑰宝，是我们每个人的责任．将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”六个汉字分别写在一个正方体的各个面上．如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“守”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 非 B. 遗 C. 瑰 D. 宝 5. 已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 下表为一次函数的自变量x与因变量y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 6 5 4 3 … 则下列关于该函数图象的说法中正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与x轴的交点坐标为 C. 图象与坐标轴围成的三角形的面积为36 D. 若点和在该函数图象上，且，则 9. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 因式分解：________． 12. 如图是同一类型酸的三种化合物的结构式，按其规律类推，若该类型酸的某种化合物中碳原子有18个，则该化合物中氢原子的个数为______． 13. 为弘扬山西面食文化，某学校开展“面食制作大比拼”活动，甲、乙两组进入决赛，下面是他们面食作品的评分表（单位：分）： 小组 评分/分 色 形 味 甲 乙 若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是_____组．（填“甲”或“乙”） 14. 在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为_______． 15. 如图，在中，为上一点，，连接，为的中点，连接．若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 17. 2025年政府工作报告提出，某市计划两年内完成老旧小区改造工程，要求累计改造户数不低于30万户．已知2024年已完成改造12万户，则2025年改造户数增长率至少达到多少才能完成任务？ 18. 某学校为弘扬爱国主义精神，组织该校七、八年级学生开展以“讲好红色故事 传承红色基因”为主题的研学活动．活动结束后学校从七、八年级各随机抽取了20名学生对研学活动进行满意度调查［满意度评分用分表示，共分为四组：不满意（）；基本满意（）；满意（）；非常满意（）］． 【整理数据】 七年级的满意度评分数据： 58，89，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，93，88，97，89，83，80，87，93． 八年级“满意”的所有评分数据： 76，78，81，80，78，78，89，85，87． 【数据分析】 七、八年级满意度评分数据分析表： 年级 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占的百分比 七年级 84.2 86.5 30% 八年级 83 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，_____； （2）已知七、八年级各有学生1000名，请估计七、八年级对本次研学活动“非常满意”的学生总人数； （3）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对本次研学活动更加满意？请说明理由． 19. 稷山麻花是山西运城的特色传统风味小吃，有甜、咸两味之分，目前，稷山麻花已经进入北京、深圳、黑龙江等多个省市销售，深受消费者喜爱，某土特产专卖店经销普通装和精品装两种包装的稷山麻花，其中精品装每箱稷山麻花的进价比普通装每箱稷山麻花的进价多20元．已知该土特产专卖店用1200元购进的普通装山麻花和用1600元购进的精品装稷山麻花箱数相同，分别求出这两种包装每箱稷山麻花的进价． 20. 如图1的拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具，图2是某学校一段斜坡的示意图．该学校的学生利用拐尺和水平尺测量斜坡的坡度（即的值）.现将拐尺的一边放置在斜坡上，拐尺的另一边与垂直，水平尺的一边与地面保持平行，点与点重合，与交于点，测得，，斜坡的长为，求斜坡顶点到地面的距离及斜坡的坡度．（结果保留根号） 21. 阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为． 黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： （1）如图2，在中，，．用尺规在边上求作一点，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长． 22. 嘉嘉和淇淇在一起玩弹力球，在点处有一个发射装置，向右上方发射一个弹力小球，小球的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，点，在抛物线上，抛物线交y轴于点，最终，小球落在了轴上的点处，随后因为弹力作用，小球被弹起来，继续向右沿着另一条抛物线运动，抛物线和形状相同，且最大高度为． （1）求抛物线的表达式和其顶点坐标． （2）在点右侧有一个截面为等腰直角三角形的球筐，斜边为入口，，，当小球落在斜边（包括端点）上时，小球落入球筐，若点E的坐标为，判断小球被反弹后，是否能落入球筐，若能，请说明理由，若不能，则为了小球落入球筐，需平移球筐，求平移后点横坐标的取值范围． 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图2，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由， 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $