8.6.2 直线与平面垂直（两课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 空间中直线与平面有几种位置关系？ 线面位置关系 垂直 斜交 a b 直线在平面内 直线与平面平行 直线在平面外 a∥α 直线与平面相交 a⊂α a∩α=A a a α α α 复习回顾 生活中有很多直线与平面垂直的实例 课堂导入 3 A B 课堂导入 A B 课堂导入 A B 课堂导入 A B 课堂导入 A B 课堂导入 A B 课堂导入 C A B A B A B A B A B A B 请你给直线与平面垂直下个定义吧！ 直线垂直于平面内的任意一条直线． C1 B1 课堂探究 线面垂直 P  定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直 记作： 线面垂直 线线垂直 平面 的垂线 直线 的垂面 垂足 课堂探究 线面垂直的定义常这样使用 简记：若线面垂直，则线线垂直 l ^ a 课堂探究 定义的充要性  P 直线和平面垂直的画法: 直线与平行四边 形的一边垂直 课堂探究 思考 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 课堂探究 棱锥的高 如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验： 过 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（ 与桌面接触）. 问题：（1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面垂直？ 课堂探究 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直． 课堂探究 线线垂直 线面垂直 n P m 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 线面垂直的判定定理 符号语言 课堂探究 图形语言 答：两种说法均不对，第一种反例如图,而图中平面内有无数条直线与a平行，且这些直线均与l垂直，但l在平面α内，l不垂直于α 思考 两条相交直线可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？如果改为无数条呢？ 课堂探究 问题1 和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面，你觉得判定定理的优越性体现在哪里？ 问题2 你觉得定义与判定定理的共同特点是什么？ 线线垂直 线面垂直 无限 有限 线不在多，相交就行 课堂探究 例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.  已知：a//b，a   求证: b   a b 证明：设m是内的任意一条直线 m 可作定理使用 典例精研 20 直线和平面所成角 1.斜线: 2.斜足: 3.斜线在平面内的射影: 和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线 斜线和平面的交点 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影. α P l A O 课堂探究 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角. 规定: ①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90° ②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0 ° 直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°] 直线与平面所有直线所成角中的最小角 直线和平面所成角 课堂探究 直线和平面所成的角： 1) 2) 3) 是平面的一斜线 与它在平面内的射影的夹角 关键在于作线面垂直找射影 课堂探究 例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. O 解：连接，与相交于点， 连接. 设正方体的棱长为 , , 又, , 平面 典例精研 O 为斜线在平面上的射影， 为和平面所成的角. 在中，，， . . 直线与平面所成的角为. 例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 典例精研 1.构造：作垂线→作射影→作平面角 2.证明：证明某平面角就是斜线与平面所成角 （关键证垂直） 3.计算：求所成角，通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算. 4.下结论 求直线和平面所成角的步骤 总结提升 A B C D S 变式训练 变式1 A B C D S 追问：判断直线AC与SB的位置关系． 变式训练 变式1 D A C A' B' C' D' B 变式训练 变式2 解：连接AC, BD, 当AC⊥BD时, A′C⊥B′D′. 理由如下： ∵在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中， AA′⊥底面ABCD. BD ⊂底面ABCD， ∴AA′⊥BD. 若AC⊥BD，而AA′∩AC=A. 则BD⊥平面AA′C， 而A′C ⊂平面AA′C ， ∴则BD⊥A′C. 又∵BB′//DD′，且BB′=DD′， ∴四边形BB′D′D是平行四边形， ∴BD//B′D′， 因此B′D′⊥A′C. D A C A' B' C' D' B 变式训练 变式2 1. 过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α ，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1) 若PA=PB=PC，则点O是△ABC的____心. (2)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的____点. (3) 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点是△ABC的____心. B C P A O • B C P A O • B C P A O • D F E 外 中 垂 当堂巩固 第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 在空间中是否有类似的性质呢？ l a b 课堂探究 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？ A A1 B C D B1 C1 D1 平行 课堂探究 34 O 证明: 假设b不平行于a, 已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b． 如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α，则直线a,b有怎样的位置关系？ 反证法 课堂探究 垂直于同一个平面的两条直线平行. a b α 作用：证明线线平行 线面垂直的判定定理 符号语言 图形语言 课堂探究 线面垂直⇒线线平行 直线与平面垂直的性质定理告诉我们 , 可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行.直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系. 思考 你能将该性质定理中的垂直关系变为平行关系，或者将平面与直线互换，得出一些新的结论吗？ （1）观察左图，在a⟂α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论? b a 若a⊥α，b α，且b⊥a，则b//α. （2）观察右图，在a⟂α的条件下，如果平面α与平面平行，你又能得到什么结论? a 若α//β，a⊥α，则a⊥β. 若a⊥α，a⊥β，则 α//β 若a⊥α，b//α，则 b⊥a. 课堂探究 37 总结提升 直线与平面垂直的性质 性质2：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α. 性质3-1：若α//β，l⊥α，则l⊥β. α β l 性质3：若l⊥α，l⊥β，则α//β. 性质1：若a⊥α，a//b，则b⊥α. 性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a//b. 性质2-1：若a⊥α，c//α，则 c⊥a. 38 平行关系与垂直关系之间的相互转化 线面垂直性质定理： 垂直于同一平面的两条直线平行. 线线平行 性质1：若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 线面平行 面面平行 性质3：垂直于同一平线的两个平面平行. 性质3-1：若一条直线垂直于两平行平面中的一个，则其也垂直于另一个. 性质2-1：一条直线垂直于一个平面，若另一条直线平行于这个平面，则这两条直线互相垂直. 性质2：一条直线垂直于一个平面，若平面外一直线与这条直线垂直，则平行于这个平面. 例3 如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等. 证明： 过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1. ∴AA1＝BB1. ∵ AA1⊥α，BB1⊥α， ∴AA1//BB1. ∵l∥α， ∴l∥A1B1. 设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1， ∴四边形AA1B1B是矩形. 由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.   典例精研 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. a α 由例3还可以进一步得出， 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. α β 在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们底面间的距离. 课堂探究 . α P O . 垂线段 “点面距” α P O . . l “点面距” “线面距” α β O . . P “点面距” “面面距” 例4 推导棱台的体积公式 其中 分别是棱台的上、下底面面积， 是高. 解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到 截得棱台的棱锥. 过点P作棱台的下底面的 垂线，分别与棱台的上、下底面交于点 则PO垂直于棱台的上底面从而 典例精研 设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积 为 ，高为 ，则 于是 所以棱台的体积 ① 典例精研 由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面 相似，并且 所以 代入① ，得 典例精研 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC，求证：MN//AD1. 当堂巩固 46 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC，求证：MN//AD1. ∴ . 证明: ∵四边形 为正方形 ∴ . 易知面面 ∴ ∵ ，,面 ∴平面 又∵ 平面 当堂巩固 47 2. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点.求证：DF//平面ABC. D A F B E C M 证明： 如图，取AB的中点M，连接FM，CM. ∴DF // 平面ABC. ∴ 四边形DCMF是平行四边形，∴DF//CM. 由F是EB的中点可得， EA 2FM. 又EA 2DC， ∴FM DC， 又DF 平面ABC，CM⊂平面ABC， ∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC ∴ EA//DC 当堂巩固 48 3. 求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 证明： 已知：如图，m⊥α，m⊥β，求证：α // β. γ a′ a δ b′ b β α l 设平面α, β都与直线l垂直，过直线l作平面γ，与α, β分别相交于直线a, b. ∵ a⊥l，b⊥l， 又a, b, l都在平面γ上， ∴ a//b， ∴a, b分别是平面α, β上任意两条交线， ∴ α//β. 当堂巩固 49 课堂小结 线面垂直的定义、判定、性质 线面角的定义、求法 点面距/线面距/面面距的定义、关系 $$