清单04 二次根式（考点清单，知识导图+3个考点清单&8大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（青岛版）

清单04 二次根式（3个考点梳理+8大题型解读+提升训练） 清单01 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 清单02 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 清单03 二次根式运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【考点题型一】二次根式有意义的条件（） 【例1】（2025·安徽阜阳·二模）在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【变式1-1】（2025·云南楚雄·二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·山东临沂·二模）已知，为实数，若满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）若在实数范围内有意义，则可取下列中（   ） A． B．3 C．2 D．0 【考点题型二】最简二次根式（） 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各式中，已化为最简形式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】同类二次根式（） 【例3】（24-25八年级下·广西贺州·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-1】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）下列各式化简后，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025九年级下·贵州毕节·学业考试）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．11 【考点题型四】根据二次根式的性质化简（） 【例4】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·天津·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·黑龙江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东·期中）已知，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【考点题型五】二次根式的混合运算（） 【例5】（24-25八年级下·浙江舟山·期中）计算： (1)； (2)． 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·期末）计算题： (1)； (2)． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算：． 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）计算： (1) (2) 【变式5-4】（24-25八年级下·天津河北·期中）计算下列各题 (1)； (2)． 【考点题型六】分母有理化（） 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列计算结果： ， ， ，            ． (1)写出的化简过程； (2)根据上面的规律，写出第n个式子并验证； (3)利用上面的规律计算：． 【变式6-1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出： ①________；②______； (2)请化简：； (3)若，，比较a，b的大小，并说明理由． 【变式6-2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）阅读下面的材料并解决问题． …… (1)观察上式并填空：______； (2)观察上式并猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示） (3)请利用（2）的结论计算下列式子： ． 【变式6-3】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 【考点题型七】二次根式的化简求值（） 【例7】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式7-1】（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【变式7-2】（23-24八年级下·广西玉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式7-3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【考点题型八】二次根式大小比较（） 【例8】（2025·陕西渭南·二模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）比较大小： （填“或或”）． 【变式8-2】（2025·河北邯郸·一模）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【变式8-3】（2023·陕西西安·二模）比较大小 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 二次根式（3个考点梳理+8大题型解读+提升训练） 清单01 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 清单02 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 清单03 二次根式运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【考点题型一】二次根式有意义的条件（） 【例1】（2025·安徽阜阳·二模）在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性．根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成． 【详解】解：由题意，，解得： 故选：B． 【变式1-1】（2025·云南楚雄·二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 【变式1-2】（2025·山东临沂·二模）已知，为实数，若满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，由，，得，代入可得，最后代入得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-3】（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）若在实数范围内有意义，则可取下列中（   ） A． B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 【考点题型二】最简二次根式（） 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，因此不是二次根式； B、是最简二次根式； C 、，因此不是最简二次根式； D、，因此不是最简二次根式； 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各式中，已化为最简形式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数是整数或是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，故没有化为最简二次根式，不符合题意； B、已经化为最简二次根式，符合题意； C、，故没有化为最简二次根式，不符合题意； D、，故没有化为最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，把握两个要点：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母；根据这两个要点进行判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式； B、的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式； C、的被开方数中含有开得尽方的因数4，故不是最简二次根式； D、中的被开方数满足最简二次根式的两个要点，故是最简二次根式； 故选：D． 【变式2-3】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【考点题型三】同类二次根式（） 【例3】（24-25八年级下·广西贺州·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义成为解题的关键． 将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、和的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误． 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）下列各式化简后，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，二次根式的性质及化简，解题的关键是用二次根式的性质分别对选项进行化简，再判断是否可以合并． 【详解】A．与不能合并，不符合题意； B．与不能合并，不符合题意； C．与能合并，符合题意； D．与不能合并，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式，根据定义得到，即可求出的值． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 【变式3-3】（2025九年级下·贵州毕节·学业考试）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查二次根式化简．先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定m的值． 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴和是同类二次根式， ， 解得：． 故选D． 【考点题型四】根据二次根式的性质化简（） 【例4】（24-25八年级下·重庆长寿·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键． 利用数轴上点的位置确定，，，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：根据数轴可得，，，， ∴，， ∴原式 ． 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级下·天津·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 首先由实数、在数轴上的位置，可得和的取值，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由实数、在数轴上的位置，可得，； ； 故选：A 【变式4-2】（24-25八年级下·黑龙江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，先由数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴ ， 故选：A 【变式4-3】（24-25八年级下·广东·期中）已知，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键，根据的取值范围，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【考点题型五】二次根式的混合运算（） 【例5】（24-25八年级下·浙江舟山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用二次根式的乘法和性质进行计算即可； （2）利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算出各项的结果，再合并即可得到答案． 【详解】解：                 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算； （1）先计算乘方，算术平方根，立方根，去括号，再合并即可； （2）先计算算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式5-4】（24-25八年级下·天津河北·期中）计算下列各题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、平方差公式、二次根式的化简，同类二次根式，掌握相关知识是解题关键． （1）将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式去括号即可求得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【考点题型六】分母有理化（） 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列计算结果： ， ， ，            ． (1)写出的化简过程； (2)根据上面的规律，写出第n个式子并验证； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)，验证过程见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）利用分母有理化，进行求解即可； （2）根据已有等式，概括出相应规律，利用分母有理化进行验证即可； （3）利用规律，先化简，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）由题干可知：第n个式子为， ； （3）原式 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出： ①________；②______； (2)请化简：； (3)若，，比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）①根据例题进行计算即可求解；②根据题中的算式，直接得出规律即可； （2）利用（1）中规律展开，然后去括号合并即可． （3）根据（1）的结论，分子有理化，即可求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：． ②， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：，理由如下， 根据（2）中的规律可得：，， ∵， ∴． 【变式6-2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）阅读下面的材料并解决问题． …… (1)观察上式并填空：______； (2)观察上式并猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示） (3)请利用（2）的结论计算下列式子： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要二次根式的化简求值、分母有理数，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）分子、分母都乘以，再进一步计算可得； （2）分子、分母都乘以，再进一步计算可得； （3）括号内利用所得规律裂项相消，再乘以求解可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） ． 【变式6-3】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：原式 ． 【考点题型七】二次根式的化简求值（） 【例7】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∴． （2）解：， ， ． ∴． 【变式7-1】（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式化简求值，整式化简求值，熟记二次根式的混合运算法则是解题的关键．注意做这类计算题时，一定要细心． 将，的值分别代入要求的式子中，然后按照二次根式运算的法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ； （2）解： ． 【变式7-2】（23-24八年级下·广西玉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，二次根式的乘法运算．先利用平方差公式，单项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并得到化简的结果，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式7-3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2)14 【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，，然后将原式整理为，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、分母有理化、二次根式混合运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【考点题型八】二次根式大小比较（） 【例8】（2025·陕西渭南·二模）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将两个数平方，再比较大小即可得解． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）比较大小： （填“或或”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】（2025·河北邯郸·一模）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键．先平方，再比较大小即可得到答案． 【详解】解： ，且， ， 故答案为：． 【变式8-3】（2023·陕西西安·二模）比较大小 ． 【答案】/大于 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，要比较这两个二次根式的大小，只需要比较被开方数的大小即可； 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴, 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$