专题04 二次根式（考题猜想，八大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（青岛版）

专题04 二次根式（八大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二次根式有意义的条件（高频） · 题型二 二次根式的性质与化简（重点） · 题型三 最简二次根式 · 题型四 同类二次根式 · 题型五 二次根式的混合运算（重点） · 题型六 分母有理化（易错） · 题型七 二次根式的化简求值（高频） · 题型八 二次根式的大小比较（高频） 【题型1】二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如果有意义，那么x的取值范围是 ． 【题型2】二次根式的性质与化简（重点） 5．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）化简的结果是 ． 7．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 8．（24-25九年级上·四川眉山·期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ． 9．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【题型3】最简二次根式 10．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型4】同类二次根式 13．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·上海·期末）下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·吉林长春·期中）最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【题型5】二次根式的混合运算（重点） 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）计算： (1) (2) 18．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：． 20．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算：． 21．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 22．（24-25八年级上·陕西·期末）计算：． 【题型6】分母有理化（易错） 23．（24-25八年级上·上海·期末）化简： ． 24．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 25．（23-24八年级下·云南普洱·期末）阅读理解: 爱思考的张华在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ，即 请你根据张华的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若，求的值． 26．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 27．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 【题型7】二次根式的化简求值（高频） 28（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 29．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简，再求值：，其中． 30．（24-25八年级上·全国·期末）已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 31．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，求下列代数式的值； (1)； (2) 32．（2024·福建厦门·二模）先化简，再求值：，其中． 33．（2024·湖南郴州·二模）先化简，再求值：，其中 【题型8】二次根式的大小比较（高频） 34．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 35．（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 36．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）比较大小： ． 37．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ． $$专题04 二次根式（八大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二次根式有意义的条件（高频） · 题型二 二次根式的性质与化简（重点） · 题型三 最简二次根式 · 题型四 同类二次根式 · 题型五 二次根式的混合运算（重点） · 题型六 分母有理化（易错） · 题型七 二次根式的化简求值（高频） · 题型八 二次根式的大小比较（高频） 【题型1】二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“时，二次根式有意义”求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，当时有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得． 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的条件求得，推出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围即可． 【详解】解∶根据题意，得， 解得， 故答案为∶． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如果有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 【题型2】二次根式的性质与化简（重点） 5．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，利用数轴表示数的方法得到，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴， ∴， ∴原式； 故答案为：1． 7．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，首先根据的范围确定与的符号，然后根据，以及绝对值的性质即可化简求值，正确理解是关键． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：1． 8．（24-25九年级上·四川眉山·期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， ， ，即 ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 【题型3】最简二次根式 10．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 11．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、中含有因数9，不是最简二次根式，故不合题意； C、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； D、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； 故选：A． 12．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据二次根式的性质结合最简二次根式的定义一一判断即可． 【详解】解：，故选项A不是最简二次根式，不符合题意； 不可以再化简，故选项B正确，符合题意； ，故选项C不是最简二次根式，不符合题意； ，故选项D不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【题型4】同类二次根式 13．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】解：A．，不能与合并，不符合题意； B． ，不能与合并，不符合题意； C．，不能与合并，不符合题意； D．，能与合并，符合题意； 故选：D． 14．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的定义是解答本题的关键．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，即可判断答案． 【详解】选项A，，与不是同类二次根式，不符合题意； 选项B，，与是同类二次根式，符合题意； 选项C，与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意； 选项D， 与的被开方数不相同，不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 15．（23-24八年级上·上海·期末）下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 16．（24-25九年级上·吉林长春·期中）最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 【题型5】二次根式的混合运算（重点） 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）先利用乘法法则展开并计算二次根式的除法，再计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【详解】（1）原式 （2）原式． 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．先根据二次根式的除法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 20．（23-24八年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先算立方根，二次根式的乘法，再根据完全平方公式展开，然后合并即可． 【详解】解： ． 21．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式、完全平方公式及二次根式的性质计算即可；此题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是首先化最简二次根式，同时也注意利用公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 22．（24-25八年级上·陕西·期末）计算：． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的乘法则运算，然后化简后合并即可． 【详解】解： ． 【题型6】分母有理化（易错） 23．（24-25八年级上·上海·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 25．（23-24八年级下·云南普洱·期末）阅读理解: 爱思考的张华在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ，即 请你根据张华的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用整体代入的思想是解决本题的关键． （1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将m分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， ，即， ， ． 26．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 27．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）按照题目中的过程进行计算即可； （2）①根据黄金矩形的定义，并结合进行计算即可； ②根据正方形的性质求得，再计算的值，即可求证． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①∵宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，， ； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 【点睛】本题考查分母有理化、矩形的性质、正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 【题型7】二次根式的化简求值（高频） 28（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 29．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行计算，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 30．（24-25八年级上·全国·期末）已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出 再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， 将 代入得： 31．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，求下列代数式的值； (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 由已知条件可得：， （1）利用平方差公式对式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用分式的加减法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 32．（2024·福建厦门·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 33．（2024·湖南郴州·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式化简计算，根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，上式． 【题型8】二次根式的大小比较（高频） 34．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 36．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考考查了两个无理数的大小，把、分别转化为、，比较被开方数的大小即可判断求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 37．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ，即， 故答案为：． $$