清单06 图形的平移与旋转（考点清单，知识导图+3个考点清单&11大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（青岛版）

清单06 图形的平移与旋转 （3个考点梳理+11大题型解读+提升训练） 清单01 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 图形的旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 清单03 中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图 5. 中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【考点题型一】生活中的平移现象（） 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）每年的3月22日至3月28日是“中国水周”，国家节水标志由水滴、手掌和地球三部分变形组成．下列图形中，可以通过平移左侧节水标志得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列现象是平移的是（　　） A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动 C．纸张沿着它的中线对折 D．用投影仪把文字变换到屏幕上 【变式1-3】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．落叶随风飘落 B．把打开的数学课本合上 C．升降电梯的上下移动 D．荡秋千运动 【考点题型二】利用平移的性质求解（） 【例2】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移得到交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，将沿方向平移得到，下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图将沿方向平移得到，若点，之间的距离为，＝，则的长为 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图所示，将三角形沿方向平移得到三角形，若间的距离为1，，则 ． 【考点题型三】点坐标平移的变化（） 【例3】（24-25九年级下·四川广安·阶段练习）将点沿轴向左平移个单位长度得到点，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，A，B两点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3-3】（24-25八年级下·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】平移综合题(几何变换)（） 【例4】（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【变式4-1】（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）问题呈现：在平面直角坐标系中，，，，点与原点重合．连，．点为线段上一动点（不与点，重合），点横坐标为．四边形沿方向平移，使点与点重合，得对应四边形，交轴于点，如图． （1）求四边形的面积； 数学思考：（2）若，按要求完成以下问题： ①直接写出点，，的坐标； ②求阴影部分（六边形）的面积． 拓展延伸：四边形内有任一点，当四边形沿方向自点向点运动．直接写出四边形的面积（用的式子表示）． 【变式4-3】（23-24七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【考点题型五】根据旋转的性质求解（） 【例5】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，在钝角中，，将其绕点逆时针方向旋转得到，连接．当时，旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·山东济宁·一模）如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【变式5-3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【变式5-4】（2025·江西·模拟预测）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】坐标与旋转规律问题（） 【例6】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是 ． 【考点题型七】旋转综合题（） 【例7】综合与探究：在中， ，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边、分别与边、交于点M、N． (1)如图1，在三角板旋转的过程中，当点A与点M重合时， ①判断的形状，并说明理由； ②求线段的长． (2)如图2，在三角板旋转的过程中，线段、、之间存在着一定的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系． 【变式7-1】阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程； 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用 如图 2 ，点P为等边外一点，，求长． （3）能力提升 如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ． 【变式7-2】综合与实践 【思考尝试】 （1）如图①，在中，，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 （2）如图②，小新受此问题启发，思考提出新的问题：在等腰直角的斜边上取两点，，连接，，使，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，小齐深入研究小新提出的问题，发现并提出新的探究点：在边长为7的等边三角形的边上取一点，使．连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求的面积． 【考点题型八】中心对称图形的识别（） 【例8】（2025·江苏徐州·二模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025九年级下·山东青岛·专题练习）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【变式8-2】（24-25八年级下·广东梅州·期中）2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）纹样是我国古代艺术的瑰宝，下列图形中不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】根据中心对称的性质求解（） 【例9】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【变式9-1】（2025·山东济南·二模）如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【变式9-2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是 ． 【考点题型十】点坐标关于原点对称（） 【例10】（2025·江苏扬州·二模）点关于原点对称的点的坐标为（　 　） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·广东潮州·一模）已知，点和关于原点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式10-3】（2025·四川绵阳·二模）已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为 【考点题型十一】作图-平移，旋转和中心对称综合（） 【例11】（2025·安徽合肥·二模）如图，均在格点（网格线的交点）上，每一小格正方形的边长均为1． (1)作关于轴对称的图形，请在图中作出． (2)将绕点按顺时针方向旋转后，得到，请在图中作出． (3)直接写出（2）中点的坐标：________． 【变式11-1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） (4)点P在y轴上且为等腰三角形，这样的P点有 个． 【变式11-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)在平面直角坐标系中画出，并求的面积； (2)如果将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到．画出，并写出的，，坐标； (3)若点、的位置不变，当点在轴上时，且，求点的坐标． 【变式11-3】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 图形的平移与旋转 （3个考点梳理+11大题型解读+提升训练） 清单01 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 图形的旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 清单03 中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图 5. 中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【考点题型一】生活中的平移现象（） 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移变换的概念，即图形在平面上移动时，其形状和大小不变只改变位置．解决本题的关键是掌握平移的性质．分析每个选项中图形的构成方式，判断是否可以通过平移得到即可． 【详解】解：A、图形由左边的平行四边形通过平移得到，符合平移定义； B、图形由左边一组图形通过平移得到，符合平移定义； C、图形由其中一个基本图形绕其中一个顶点经旋转得到，不符合平移定义； D、图形由其中一个圆经过平移得到，符合平移定义； 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）每年的3月22日至3月28日是“中国水周”，国家节水标志由水滴、手掌和地球三部分变形组成．下列图形中，可以通过平移左侧节水标志得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可． 【详解】解：依题意，A选项图形可以通过平移能与上面的图形重合． 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列现象是平移的是（　　） A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动 C．纸张沿着它的中线对折 D．用投影仪把文字变换到屏幕上 【答案】A 【分析】本题考查了平移现象，熟练根据平移的定义联系实际生活是解题的关键．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，根据平移的定义分析即可． 【详解】解：A. 电梯从底楼升到顶楼，是平移，故该选项符合题意； B. 卫星绕地球运动，不是平移，故该选项不符合题意； C. 纸张沿着它的中线对折，不是平移，故该选项不符合题意；     D. 用投影仪把文字变换到屏幕上，不是平移，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）下列物体的运动中，属于平移的是（    ） A．落叶随风飘落 B．把打开的数学课本合上 C．升降电梯的上下移动 D．荡秋千运动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中平移的现象，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），符合条件的只有C． 故选：C． 【考点题型二】利用平移的性质求解（） 【例2】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移得到交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键． 由平移的性质可知、，，进而得出，然后说明，最后根据面积公式得出答案． 【详解】解：∵将直角三角形沿方向平移得到交于点， ∴、，， ∴． ∴． 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，将沿方向平移得到，下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟记平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：将沿方向平移得到， ∴，，，，，和不一定相等． 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图将沿方向平移得到，若点，之间的距离为，＝，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质．根据平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移到， A，D之间的距离为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图所示，将三角形沿方向平移得到三角形，若间的距离为1，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，结合图形，可直接求得结果． 【详解】解：连接， ∵间的距离为1， 根据图形可得：线段或的长度即是平移的距离， ∵， ∴， 故答案为：2． 【考点题型三】点坐标平移的变化（） 【例3】（24-25九年级下·四川广安·阶段练习）将点沿轴向左平移个单位长度得到点，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标的平移、点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．先根据点坐标的平移可得点的坐标为，再根据点坐标与轴对称变换规律即可得． 【详解】解：∵将点沿轴向左平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为，即为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：C． 【变式3-1】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标即可． 【详解】解：以“帅”位于点为基准点，则“炮”位于点，即为． 故选A． 【变式3-2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，A，B两点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将线段平移至，， ， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴， ∴， 故选D． 【变式3-3】（24-25八年级下·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是关键． 根据点的坐标关系得到点的平移是向右平移3个单位，向下平移1个单位，由此即可求解．点的平移规律是“左减右加，上加下减”． 【详解】解：平移至的位置．若顶点的对应点是， ∴是向右平移3个单位，向下平移1个单位， ∴点向右平移3个单位，向下平移1个单位得， ∴对应点的坐标是， 故选：D ． 【考点题型四】平移综合题(几何变换)（） 【例4】（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，非负数的性质；清晰的分类讨论是解本题的关键. 【变式4-1】（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点Q坐标为或． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式和绝对值的非负性，平移变换，四边形的面积等知识，掌握面积切割法，分类讨论，利用参数构建方程是解决的关键． （1）根据二次根式和绝对值的非负性即可求得的值； （2）根据平移的性质，得到，，，结合，用坐标表示距离，分情况讨论即可求解； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可． 【详解】（1） 点满足， ，， ，， ． （2）将线段向下平移a个单位后得到线段，， 点O与点B对应，点与点对应，轴于点D， ，，， ，， ， ①当点D位于x轴上方时，即， ， ，解得； ②当点D位于x轴下方时，即 ， ，解得； 综上所述或； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于M，交y轴于N， 依题意得，， 将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段, 四边形为平行四边形， ， 又 ， ，， ， ，解得， 设，则， 即， 解得，即， 解得或， 综上所述，点Q坐标为或． 【变式4-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）问题呈现：在平面直角坐标系中，，，，点与原点重合．连，．点为线段上一动点（不与点，重合），点横坐标为．四边形沿方向平移，使点与点重合，得对应四边形，交轴于点，如图． （1）求四边形的面积； 数学思考：（2）若，按要求完成以下问题： ①直接写出点，，的坐标； ②求阴影部分（六边形）的面积． 拓展延伸：四边形内有任一点，当四边形沿方向自点向点运动．直接写出四边形的面积（用的式子表示）． 【答案】问题呈现：（1）； 数学思考：（2）①，，；②； 拓展延伸： 【分析】问题呈现：（1）根据题意确定，，的值，然后根据梯形面积公式求解即可； 数学思考：（2）①首先根据点的坐标确定平移方式，然后根据平移的性质确定点，，的坐标；②结合点，，的坐标，易得，，，进而求得四边形的面积，然后计算阴影部分面积即可； 拓展延伸：分别过作轴的垂线，垂足为，首先证明，结合点横坐标为及平移的性质，可得，，，，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：问题呈现： （1）由题意可得，，，， ∴，，，且， ∴四边形的面积； 数学思考： （2）①∵，， ∴根据平移的性质，可得，，； ②∵，， ∴，，， ∴， ∴； 拓展延伸： 如下图，分别过作轴的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意，点横坐标为， 根据平移的性质，， 则，，， ． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、平行的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 【变式4-3】（23-24七年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移变换的性质，平行线的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识； （1）由非负数的性质求a，b的值，求出线段的长即可； （2）设出P点坐标，可分两种情况，根据面积关系，构建方程即可解决问题； （3）分三种情形：①当点M在点H的上方且在直线下方时；②如图，点M在H上方且在直线上方时；③当点M在线段上(不与C，H重合)时，由平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ， 点C在x轴的负半轴， ， 故答案为：，； （2）点P在x轴上，设， ， 由题意得：， 解得：或， 或； （3）①当点M在点H的上方且在直线下方时，， 证明：设交于J，   ， ， ， ； ②如图，点M在H上方且在直线上方时， 同理可得． ③当点M在线段上(不与C，H重合)时，，    作， ， ， ， ． 【考点题型五】根据旋转的性质求解（） 【例5】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，在钝角中，，将其绕点逆时针方向旋转得到，连接．当时，旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，平行线的性质．根据旋转，得到，，由平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理结合等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是； 故选：C． 【变式5-1】（2025·山东济宁·一模）如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先由旋转性质得到相关角度及边，进而得到是等腰直角三角形，是直角三角形，在和中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， 是等腰直角三角形，则， ，即， 连接，如图所示： 由选转性质可知，，，且， 是等腰直角三角形，是直角三角形， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理求线段长等知识．熟练掌握旋转性质及勾股定理是解决问题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理．①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断；③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断；④由，，在中，应用勾股定理，即可判断；②与不一定相等，即可判断， 【详解】解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确； ， ，即：平分，故③正确； ， ， 在中，，即：，故④正确； 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故选：D． 【变式5-3】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．连接，证明三点共线，证明垂直平分，根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点B恰好落在直线上， ∴三点共线， 由旋转可知，，，，， ∴垂直平分， ∴ ∴垂直平分， 设垂足为，则 ∵在中，，，， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：D 【变式5-4】（2025·江西·模拟预测）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由旋转的性质可得，，，求出是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选C． 【考点题型六】坐标与旋转规律问题（） 【例6】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．由每次旋转可知，旋转6次为一个循环，即可确定第2025次旋转结束后A所在位置，即可得解． 【详解】解： ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ， 第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A落在x轴的负半轴， 点A坐标为， 故选：． 【变式6-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，与旋转有关的点的坐标规律探索，根据题意可得每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合，那么与的位置重合，进而可得的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置，过点作x轴的垂线，垂足为D，证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合， ∵， ∴与的位置重合， ∵是点A绕点O顺时针旋转得到的， ∴的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置， 如图所示，过点作x轴的垂线，垂足为D， 由旋转的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、、、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出，，，进而得，，，，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 故选：C． 【变式6-3】（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，含30度角的直角三角形的性质；如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故答案为：． 【考点题型七】旋转综合题（） 【例7】综合与探究：在中， ，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边、分别与边、交于点M、N． (1)如图1，在三角板旋转的过程中，当点A与点M重合时， ①判断的形状，并说明理由； ②求线段的长． (2)如图2，在三角板旋转的过程中，线段、、之间存在着一定的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系． 【答案】(1)①为等边三角形，见解析；② (2) 【分析】（1）①，则，而点D是的中点，则，即可求解； ②由①知，，，则，即可求解； （2）证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：①为等边三角形，理由： ∵，则， ∵点D是的中点，则， 故为等边三角形； ②作于点H， 由①知，，， ∴， ∴， 设，则，则， ∴， ∴； （2），理由： 延长至T使，连接、， ∵，， ∴， ∴，，， ∵中，， ∴，即， ∴ ， 即． 【点睛】本题为几何变换综合题，涉及到图形的旋转、三角形全等、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式7-1】阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程； 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用 如图 2 ，点P为等边外一点，，求长． （3）能力提升 如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ． 【答案】（1），见解析；（2）2；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； （3）将绕点C顺时针旋转至，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接，，过点F作交延长线于点G，先求出，，由旋转得，，则，均为等边三角形，可得，，，则，故，当点共线时，取得最小值，即为，可求，，则，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （2）如图，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）解：将绕点C顺时针旋转至，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接，，过点F作交延长线于点G， 在中，， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴，均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值，即为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形进行边之间的转化． 【变式7-2】综合与实践 【思考尝试】 （1）如图①，在中，，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 （2）如图②，小新受此问题启发，思考提出新的问题：在等腰直角的斜边上取两点，，连接，，使，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，小齐深入研究小新提出的问题，发现并提出新的探究点：在边长为7的等边三角形的边上取一点，使．连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据旋转的性质及勾股定理证明，再证明，求得，最后利用勾股定理求出结论； （2）类似于（1），证明，，，即可得到结论； （3）过点作交延长线于点，分别求出，的长，即可利用三角形的面积公式求得答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， 由题意，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 如图②，把绕点A逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， 即， ， ，， ， ， 在中，， 即； （3）是等边三角形， ，， 由旋转可知，， ， ，， ，， ，， 过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点题型八】中心对称图形的识别（） 【例8】（2025·江苏徐州·二模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】（2025九年级下·山东青岛·专题练习）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】（24-25八年级下·广东梅州·期中）2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【变式8-3】（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）纹样是我国古代艺术的瑰宝，下列图形中不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，符合题意． 故选D． 【考点题型九】根据中心对称的性质求解（） 【例9】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握中心对称的两个三角形是全等三角形成为解题的关键． 由中心对称的性质可得得到，即，然后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选C． 【变式9-1】（2025·山东济南·二模）如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【分析】该题考查了勾股定理和中心对称，根据勾股定理求出，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：∵在 中，，，， ∴， ∵与 关于点 O 中心对称， ∴， 故选：C． 【变式9-2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与点D是对称点，，，， 而不一定成立． 故选：D． 【变式9-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键. 根据中心对称图形的性质可得，则，再利用勾股定理即可得到答案. 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴ ∴ 故答案为：. 【考点题型十】点坐标关于原点对称（） 【例10】（2025·江苏扬州·二模）点关于原点对称的点的坐标为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系．解题的关键在于熟练掌握关于原点对称的点的关系．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标关系，即横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选A． 【变式10-1】（2025·广东潮州·一模）已知，点和关于原点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点和关于原点中心对称， ∴ ∴ 故选：A． 【变式10-2】（23-24九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”、点所在的象限，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， ∵， ∴点在第四象限， 即在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在第四象限， 故选：D． 【变式10-3】（2025·四川绵阳·二模）已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了平方式和算术平方根的非负性、求关于原点对称的点的坐标以及解二元一次方程组，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键． 根据平方式和算术平方根的非负性列方程组求解，从而求得点P坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴点P坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标， 故答案为：． 【考点题型十一】作图-平移，旋转和中心对称综合（） 【例11】（2025·安徽合肥·二模）如图，均在格点（网格线的交点）上，每一小格正方形的边长均为1． (1)作关于轴对称的图形，请在图中作出． (2)将绕点按顺时针方向旋转后，得到，请在图中作出． (3)直接写出（2）中点的坐标：________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，点坐标，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质画出点、、的对应点分别为，即可画出； （2）根据旋转的性质即可将绕点顺时针旋转得到； （3）根据图象写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示；即为所求； （2）解：如图所示；即为所求； （3）解：． 【变式11-1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） (4)点P在y轴上且为等腰三角形，这样的P点有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)4 【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，写出点的坐标，等腰三角形的定义． （1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可； （2）找到关于原点对称的，顺次连接即可； （3）根据中心对称的性质，结合图形得出对称中心，根据坐标系写出坐标，即可求解； （4）根据两圆一线的方法，找出等腰三角形的顶点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：观察图形可知，与关于点中心对称． 故答案为：； （4）解：依题意，P在y轴上且为等腰三角形， 当时，点有2个，当时，点有1个，当时，有1个，共4个， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)在平面直角坐标系中画出，并求的面积； (2)如果将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到．画出，并写出的，，坐标； (3)若点、的位置不变，当点在轴上时，且，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；，，； (3)或； 【分析】本题考查了坐标系中的平移变换，掌握坐标的平移规律是解题的关键. （1）根据题意描点连线即可画出，由图形可知，把作为底，点B到的距离为高即可求出三角形的面积； （2）根据平移规律画出图形，写出点的坐标即可； （3）根据点P到的距离与是点B到的距离的两倍列方程并解方程即可； 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示，，，； （3）解：设点的坐标为，由得到，， 解得：或， ∴点的坐标为或. 【变式11-3】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)12 【分析】本题考查了作图旋转变换，中心对称变换，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可； （2）利用网格特点，分别延长、、，使、、，从而得到、、，然后顺次连接即可； （3）利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：四边形的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$