清单05 一次函数（考点清单，知识导图+5个考点清单&11大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（青岛版）

清单05 一次函数（5个考点梳理+11大题型解读+提升训练） 清单01 变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 清单02 函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 清单03 一次函数的图像和性质 一．一次函数的图像与性质 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2． 一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 清单04 一次函数与方程，不等式的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 清单05 一次函数的实际应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 【考点题型一】函数的概念（） 【例1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个图象中，不表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列曲线不能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【考点题型二】函数解析式（） 【例2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在一次运动会的100米比赛中，小明以8米/秒的平均速度奔跑．设小明离终点的距离为y（米），奔跑时间为t（秒），则y与t之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·河北唐山·期末）寄快递时，快递公司规定：不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．若小李给亲人邮寄了千克本地土特产，则快递的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·广东汕头·期末）檀香具有镇静安神、调理脾胃等功效，已知某品牌檀香线每支长，每分钟燃烧的长度是，檀香线剩余长度与燃烧时间x（分钟）之间的关系为 （不需要写出自变量的取值范围）. 【变式2-3】（22-23七年级上·山东菏泽·期末）一根弹簧称原长，所挂物体的质量每增加，弹簧就伸长，则挂物体后弹簧长度与挂物体的质量之间的函数表达式是( ) A． B． C． D． 【考点题型三】自变量取值范围（） 【例3】（2025·云南临沧·二模）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【考点题型四】从函数图像获取信息（） 【例4】（24-25八年级下·海南海口·期中）某市马拉松赛开跑，甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．下列说法中错误的是（    ） A．起跑后1小时内，甲在乙的前面 B．1小时时，两人都跑了20千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了42千米 【变式4-1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间对应关系．判断下列说法正确的是（   ） A．食堂离小明家 B．小明在图书馆读报用了 C．小明家离图书馆 D．小明从图书馆回家平均速度是 【变式4-2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．甲的速度为8米/秒 D．当甲出发55秒或65秒时，甲、乙相距50米 【变式4-3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（   ） A．张强从家到体育场用了 B．张强在体育场锻炼了 C．张强从文具店回家的速度是 D．体育场离文具店 【考点题型五】一次函数的性质（） 【例5】（2025·广东汕头·一模）已知直线经过点，则的值等于（   ） A．5 B． C．7 D． 【变式5-1】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）下列函数中，的值随值的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知点，都在直线上，则，大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【变式5-3】（2025·安徽亳州·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．3 【变式5-4】（2025·湖北恩施·一模）对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 【变式5-5】（2025·天津红桥·二模）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为 ． 【考点题型六】一次函数的图像（） 【例6】（24-25八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 【变式6-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A．B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【考点题型七】一次函数与一元一次方程（） 【例7】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数且）与正比例函数（为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b﹣3＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【变式7-2】（2025·陕西渭南·二模）如图，一次函数（k、b为常数，）的图象与x轴、y轴的交点分别为，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 【考点题型八】一次函数与二元一次方程组（） 【例8】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级下·北京西城·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则关于、的方程组的解是 ． 【变式8-2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【变式8-3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【考点题型九】一次函数与不等式组（） 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·江苏宿迁·二模）已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集是 ． 【变式9-3】（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线与相交于点，那么不等式的解集是 ． 【考点题型十】一次函数的实际应用（） 【例10】（河南省十二县一区2025年初中毕业班第二次模拟测试数学试卷）信阳毛尖是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，清香高雅，适合喜欢口感清爽的人；秋茶叶老深沉，沉香味较重，适合喜欢浓重口感的人．用960元从信阳某茶园购进的春茶与用720元购进的秋茶的斤数相同，春茶每斤进价比秋茶进价多40元． (1)求春茶，秋茶每斤的进价各是多少元？ (2)某茶叶商店计划用不超过7200元的总费用购进春茶和秋茶共50斤进行销售，每斤春茶售价为200元，秋茶每斤售价为150元．问： ①怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ ②按①中的方案购进茶叶，并全部销售完后的利润率是多少？ 【变式10-1】（2025·河北唐山·二模）情境 如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； ②当跷跷板左端坐上质量为千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； （2）由（1）可得：______，______； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 【变式10-2】（2025·陕西西安·一模）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进某品牌的足球若干个，购买此品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)当个时，该品牌足球的价格___________元/个； (2)当时，求与的函数表达式； (3)若购买该品牌足球的平均价格为元，请求出购买足球的数量． 【考点题型十一】一次函数与几何综合（） 【例11】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式11-1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． (1)求点和点的坐标； (2)若点是直线上一点，若的面积为3，求点的坐标； (3)过点的直线交轴于点（点在点右侧），当时，求直线的表达式． 【变式11-2】（2025·黑龙江·二模）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（单位：千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_____千米，_____； (2)求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式； (3)请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇． 【变式11-3】（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标． 【变式11-4】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15． (1)求点的坐标； (2)若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标； (3)在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 一次函数（5个考点梳理+11大题型解读+提升训练） 清单01 变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 清单02 函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 清单03 一次函数的图像和性质 一．一次函数的图像与性质 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2． 一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 清单04 一次函数与方程，不等式的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 清单05 一次函数的实际应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 【考点题型一】函数的概念（） 【例1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数定义;根据函数的定义，对任意的一个都存在唯一的与之对应可求． 【详解】解：根据函数的定义，对任意的一个都存在唯一的与之对应，而B、C、D都是一对多，只有A是对任意的一个都存在唯一的与之对应． 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个图象中，不表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义的知识，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据函数的定义，逐项判断，进行作答即可求解； 【详解】解：A、对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，不符合题意； B、对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，不符合题意； C、对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，不符合题意； D、对于的任何值，有一个或两个的值与之相对应，不是的函数，符合题意； 故选：D； 【变式1-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义逐一判断即可，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、对给定的的值，都只有唯一的确定的值与之对应，是函数图象，故选项符合题题； B、对给定的的值，不是只有唯一的确定的值与之对应，不是函数图象，故选项不符合题题； C、对给定的的值，不是只有唯一的确定的值与之对应，不是函数图象，故选项不符合题题； D、对给定的的值，不是只有唯一的确定的值与之对应，不是函数图象，故选项不符合题题； 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列曲线不能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 【详解】解：根据函数的定义可得： A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意； C、对x的一个值y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意； 故选：C． 【考点题型二】函数解析式（） 【例2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在一次运动会的100米比赛中，小明以8米/秒的平均速度奔跑．设小明离终点的距离为y（米），奔跑时间为t（秒），则y与t之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列函数关系式．用100减去跑步的距离即得到离终点的距离． 【详解】解：由题意得：． 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级下·河北唐山·期末）寄快递时，快递公司规定：不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．若小李给亲人邮寄了千克本地土特产，则快递的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列函数关系式，不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 故选：C 【变式2-2】（23-24八年级下·广东汕头·期末）檀香具有镇静安神、调理脾胃等功效，已知某品牌檀香线每支长，每分钟燃烧的长度是，檀香线剩余长度与燃烧时间x（分钟）之间的关系为 （不需要写出自变量的取值范围）. 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数的应用，根据燃烧速度和燃烧时间求出燃烧长度，根据题意列出函数关系式． 【详解】解：∵每分钟燃烧的长度是，燃烧时间x分， ∴燃烧的长度为， ∴檀香线剩余长度与燃烧时间x（分钟）之间的关系为：， 故答案为：． 【变式2-3】（22-23七年级上·山东菏泽·期末）一根弹簧称原长，所挂物体的质量每增加，弹簧就伸长，则挂物体后弹簧长度与挂物体的质量之间的函数表达式是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据弹簧的长度弹簧原来的长度挂上质量为的重物时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：挂上的物体后，弹簧伸长， 挂上质量为的物体后，弹簧伸长， 弹簧的长度， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式，得到弹簧长度的等量关系是解决本题的关键． 【考点题型三】自变量取值范围（） 【例3】（2025·云南临沧·二模）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．根据分式的分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：依题意，得 ， 解得． 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选： 【变式3-2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数自变量和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【考点题型四】从函数图像获取信息（） 【例4】（24-25八年级下·海南海口·期中）某市马拉松赛开跑，甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．下列说法中错误的是（    ） A．起跑后1小时内，甲在乙的前面 B．1小时时，两人都跑了20千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了42千米 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象获取信息，逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，起跑后1小时内，甲在乙的前面，故A说法正确，不符合题意； 1小时时，两人都跑了20千米，故B说法正确，不符合题意； 乙比甲先到达终点，故C说法错误，符合题意； 两人都跑了42千米，故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间对应关系．判断下列说法正确的是（   ） A．食堂离小明家 B．小明在图书馆读报用了 C．小明家离图书馆 D．小明从图书馆回家平均速度是 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据逐项分析即可求解． 【详解】解：A、食堂离小明家，故A选项说法错误，不符合题意； B、小明在图书馆读报用了，故B选项说法错误，不符合题意； C、小明家离图书馆，故C选项说法错误，不符合题意； D、小明从图书馆回家的平均速度是为：，故D选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．甲的速度为8米/秒 D．当甲出发55秒或65秒时，甲、乙相距50米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断C；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断A；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断B；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断D． 【详解】解：由图可得，甲的速度为： (米/秒) ，故C错误，符合题意； ∴乙的速度为：(米/秒)， 故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； 设当甲、乙相距米时， 甲出发了秒， 两人相遇前：，解得 ； 两人相遇后： ，解得 ， 故D正确，不符合题意； 故选： C． 【变式4-3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（   ） A．张强从家到体育场用了 B．张强在体育场锻炼了 C．张强从文具店回家的速度是 D．体育场离文具店 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象提供的信息，进行计算，逐项判断即可得解，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 张强从家到体育场用了，故A选项错误，不符合题意； 张强在体育场锻炼了，故B选项错误，不符合题意； 张强从文具店回家的速度是，故C选项错误，不符合题意； 体育场离文具店，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【考点题型五】一次函数的性质（） 【例5】（2025·广东汕头·一模）已知直线经过点，则的值等于（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，属于基础题型，掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 把点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得：； 故选：D． 【变式5-1】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）下列函数中，的值随值的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，正比例函数的性质，根据一次函数中，当时，y的值随x值的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：一次函数中，当时，y的值随x值的增大而减小， A. 中，，y的值随x值的增大而增大，此选项不符合题意； B. 中，，y的值随x值的增大而增大，此选项不符合题意； C. 中，，y的值随x值的增大而增大，此选项不符合题意； D. 中，，y的值随x值的增大而减小，此选项符合题意， 故选：D． 【变式5-2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知点，都在直线上，则，大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据直线判断出此函数的增减性，再根据与的大小比较即可求解． 【详解】解：直线中，， 此函数随的增大而增大， ， ． 故选：C． 【变式5-3】（2025·安徽亳州·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握在一次函数中，当时y随x的增大而减小成为解题的关键． 根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的增大而减小， ∴，解得，即A选项符合题意． 故选：A． 【变式5-4】（2025·湖北恩施·一模）对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握图象分布，性质，平移是解题的关键．根据图象与系数的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴图象过点，故A不符合题意； ∵，， ∴图象经过第一、二，三象限，y随着x的增大而增大，故B，C不符合题意； 图象可由直线向上平移2个单位长度得到，故D符合题意； 故选：D． 【变式5-5】（2025·天津红桥·二模）将直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数的平移和一次函数图象上点坐标特点，正确得出平移后的直线解析式是关键； 先根据一次函数的平移规律：上加下减得出平移后的直线解析式为，再把点代入求解即可． 【详解】解：∵直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴； 故答案为：5． 【考点题型六】一次函数的图像（） 【例6】（24-25八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 故答案为：0； （2）解：函数图象如图所示； ； （3）解：观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②对于函数，当时，y的取值范围是； ③当时，，当时，， ∴函数的图象得到的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移个单位． 故答案为：①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位． 【变式6-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数图象，利用正比例函数的性质可判断，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断． 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当，直线经过第一、三象限；当，直线经过第二、四象限． 【详解】解：正比例函数，随的增大而减小， ， 直线经过原点和第二、四象限． 故选：C． 【变式6-2】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象可得：，，即可得出，再由一次函数的性质可得函数的图象经过一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴， ∴函数的图象经过一、二、三象限，如图： ， 故选：D． 【考点题型七】一次函数与一元一次方程（） 【例7】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数且）与正比例函数（为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 当时，的函数图象与函数的图象相交，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出当时，的函数图象与函数的图象相交， ∴方程的解是． 故选A． 【变式7-1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b﹣3＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【答案】A 【分析】直接根据函数图象与y轴的交点进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点为（0，3）， ∴方程kx+b﹣3＝0的解是x＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【变式7-2】（2025·陕西渭南·二模）如图，一次函数（k、b为常数，）的图象与x轴、y轴的交点分别为，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象找到当时的值即为本题的答案．本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， ∴关于的方程的解为， 故选：D． 【变式7-3】（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系；理解一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据图象即可求解． 【详解】解：关于的方程的解，就是一次函数的图象与x轴交点的横坐标， 观察图象知，； 故答案为：． 【考点题型八】一次函数与二元一次方程组（） 【例8】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由一次函数的交点求二元一次方程组的解，由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点， ∴方程组的解为， 故选：C． 【变式8-1】（24-25八年级下·北京西城·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则关于、的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴关于、的方程组的解是． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与的图象相交于点A，得于是得到点，根据交点的意义，得到方程组的解． 本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点A， 得， 解得 于是得到点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的综合，解题的关键是根据一次函数的性质，求出点的坐标，再根据变形为，，变形为，可得点即为方程组的解． 【详解】∵直线与交于点，由函数图象可得，点的横坐标为， ∴点， ∵变形为，，变形为， ∴直线与的交点，就是方程组的解， ∴方程组的解为：． 故答案为：． 【考点题型九】一次函数与不等式组（） 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．观察两个一次函数图像的位置关系是解题的关键． 通过观察两个一次函数图像的位置关系，来确定不等式的解集．当的图像在的图像下方或重合时，满足，此时对应的x的取值范围即为所求． 【详解】解：观察图像可以看到一次函数与的图像相交于点． 要使，则一次函数的图像在的图像下方或重合，x的取值范围为． 故选B． 【变式9-1】（2025·江苏宿迁·二模）已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，利用数形结合思想求解是解题的关键．根据一次函数与一元一次不等式的关系，观察图像，可直接得出答案． 【详解】解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分， 从图中可以看出时，． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．结合函数图象，写出直线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线与相交于点，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，先求出点P的坐标，再找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：． 【考点题型十】一次函数的实际应用（） 【例10】（河南省十二县一区2025年初中毕业班第二次模拟测试数学试卷）信阳毛尖是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，清香高雅，适合喜欢口感清爽的人；秋茶叶老深沉，沉香味较重，适合喜欢浓重口感的人．用960元从信阳某茶园购进的春茶与用720元购进的秋茶的斤数相同，春茶每斤进价比秋茶进价多40元． (1)求春茶，秋茶每斤的进价各是多少元？ (2)某茶叶商店计划用不超过7200元的总费用购进春茶和秋茶共50斤进行销售，每斤春茶售价为200元，秋茶每斤售价为150元．问： ①怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ ②按①中的方案购进茶叶，并全部销售完后的利润率是多少？ 【答案】(1)春茶每斤的进价为160元，则秋茶每斤的进价是120元 (2)①购进春茶30斤，购进秋茶20斤，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元；②利润率是 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用；（1）设春茶每斤的进价为元，则秋茶每斤的进价是元， 根据等量关系列出分式方程，求解即可； （2）①设购进春茶斤，则购进秋茶斤，总利润为元，根据题意列出不等式，即可求出的取值范围，继而得出与的一次函数关系，由，判断出随的增大而增大，即可解答； ②求出全部销售完后的利润，再根据公式计算利润率，即可解答． 【详解】（1）解：设春茶每斤的进价为元，则秋茶每斤的进价是元，根据题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解，． 答：春茶每斤的进价为160元，则秋茶每斤的进价是120元． （2）①设购进春茶斤，则购进秋茶斤，总利润为元，根据题意得： ， 解得：． ∴， ∵，随的增大而增大， ∴当时，利润最大，． 答：购进春茶30斤，购进秋茶20斤，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元． ②当，时，元． ， 答：按①中的方案购进茶叶，并全部销售完后的利润率是25%． 【变式10-1】（2025·河北唐山·二模）情境 如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； ②当跷跷板左端坐上质量为千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； （2）由（1）可得：______，______； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 【答案】（1）①，②；（2），；（3） ， 米 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）①由题意可得：，，，，代入 可以得解；②由题意可得：，，，，代入即可求解； （2）联立，即可求解； （3）①将，，，代入，即可求解；②由可得：时，；当时，，即可判断． 【详解】（1）①由题意可得：，，，， ， ， 故答案为：； ②由题意可得：，，，， ， ， 故答案为：； （2）联立， 解得：， 故答案为：，； （3）① ，，，， ， 整理得：； ② ， 当时，；当时，； 相邻刻度线之间的距离为米． 【变式10-2】（2025·陕西西安·一模）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进某品牌的足球若干个，购买此品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)当个时，该品牌足球的价格___________元/个； (2)当时，求与的函数表达式； (3)若购买该品牌足球的平均价格为元，请求出购买足球的数量． 【答案】(1) (2) (3)购买足球的数量个 【分析】本题考查一次函数的应用及求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，正确求出时的解析式是解题关键． （1）根据“价格=所需费用÷购买数量”列式计算即可； （2）设时，与的函数表达式为，把，代入，求出、的值即可得答案； （3）根据平均价格确定购买足球的数量大于个，根据（2）中所求解析式列方程求出的值即可得答案． 【详解】（1）解：由图像可知：个时，购买个足球的费用是元， ∴该品牌足球的价格是（元/个）． 故答案为： （2）解：设时，与的函数表达式为， 由图像可知点，在该图像上， ∴， 解得：， ∴． （3）解：∵购买该品牌足球的平均价格为元，， ∴购买该品牌足球的数量， ∴ 解得：， ∴购买足球的数量个 【考点题型十一】一次函数与几何综合（） 【例11】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （）当，时，当，时，当，时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，当，时，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点， 同理得：， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点，过作交于点， 同理得：， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 【变式11-1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． (1)求点和点的坐标； (2)若点是直线上一点，若的面积为3，求点的坐标； (3)过点的直线交轴于点（点在点右侧），当时，求直线的表达式． 【答案】(1)，； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数综合题，利用三角形的面积公式得出点的坐标，利用全等三角形的判定和性质解答是解题关键． （1）根据直线与坐标轴的交点解答即可； （2）由，即可求解； （3）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：交轴和轴于点和点， 当时，则； 当时，解得， ，； （2）设点，如图，连接， 则，解得， 故点或； （3）当，如图，过点作交于点，过点作轴， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为． 【变式11-2】（2025·黑龙江·二模）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（单位：千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_____千米，_____； (2)求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式； (3)请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇． 【答案】(1)60，1 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）根据路程计算巡逻车的速度，得到两点坐标，利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中和货车从B往A途中，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1； （2）解：由题意得，巡逻车的速度为：， 故 则点，点， 设巡逻车对应的函数表达式为：， ∴， 解得， ∴巡逻车对应的函数表达式为：； （3）解：由题意得，点，点，点， 设所在直线的函数解析式为 故解得 所以， 货车对应的函数表达式为：， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：巡逻车与货车相遇时间为小时或小时． 【变式11-3】（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查矩形中的翻折变换及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，再根据余角和含度角的直角三角形的性质得出，然后根据勾股定理求出的值，即可得出答案； （2）过作轴于F，根据矩形的性质及勾股定理得出，再根据折叠的性质和勾股定理即可得出点的坐标，设，则，再次利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1），四边形是矩形， ，， ， ， ； （2）过作轴于F，如图： ，四边形OABC是矩形， ，， ， ， 点D与点A重合时，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点， ，， ，， ，， ， ， ； 设，则， ， ， 解得， ， 【变式11-4】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15． (1)求点的坐标； (2)若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标； (3)在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C； （2）求出直线的表达式，根据求解即可； （3）求出直线的表达式，然后分三种情况：①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；③当为平行四边形的对角线时，讨论求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， 即， ∵面积为15， ∴， ∴， ∴ （2）设直线的表达式为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式得： 解得： ∴直线的表达式为：； ∵， ∴，解得：， ∴ 解得：， ∴； （3）∵ ， 设直线的表达式为， 将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：， 解得： ∴直线的表达式为：． ①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图： ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：过点E作轴于F， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E的纵坐标是， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：．． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上，存在，满足条件的点D的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$