13.2.4两平面位置关系——面面垂直（第二课时)（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

13.2.4 平面与平面的位置关系——面面垂直第2课时 小结 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为 垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线，则射线 构成的叫做二面角的平面角。 小结 平面与平面垂直判定定理： 一如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 符号语言： 图形语言： 新知探究 问题1：如图，设，.则内任意一条直线与有什么位置关系？相应地，与有什么位置关系？为什么？ // → // 与相交 → 与相交 什么时候？ 问题2：教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直? 垂直于交线 新知探究 平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 符号语言： 图形语言： 新知探究 例5：证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内。 证明：如图，设， 过点在平面内作直线， 根据平面与平面垂直的性质定理，. 因为过一点有且只有一条直线与平面垂直， 所以直线与直线重合， 因此. 已知：，，， 求证： 新知探究 辨析1：判断正误. 已知平面⊥平面，： （1）平面内的任意一条直线必垂直于平面（ ） （2）垂直于交线的直线必垂直于平面（ ） （3）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面（ ） × × √ 辨析2：如图所示，在长方体的棱上任取一点， 作于，则与平面的关系是( ). A.平行 B.平面 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 新知探究 思考2：设对于面面垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系．如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？ 例9：如图，已知平面平面，直线判断与的位置关系. 解：在内作垂直于与交线的直线. ∵，∴. 又，∴， 又，∴. 即直线与平面平行. 练习巩固 练习1：如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形是边长为的菱形，为的中点，且.侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.求证：平面. 证明：如图，在菱形中，连接.由已知， ∴为正三角形. ∵为的中点， ∴ ∵平面平面，平面， 且平面平面， ∴平面. 练习巩固 例10：如图，已知平面，平面平面求证：平面. 证明：如图，过点作，垂足为. ∵平面平面，平面平面， ∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面， ∴. 又， ∴平面. 练习巩固 变式1-2：如图甲,直角梯形中,,∥,为中点,在上,且∥,已知,现沿把四边形折起如图乙,使平面⊥平面.求证: 平面⊥平面. 证明：在题图甲中,∥, 所以,则在题图乙中,, 又因为平面平面, 平面平面, 所以平面, 又平面,所以, 又因为,所以平面, 又平面,所以平面平面. 练习巩固 练习2：如图，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点. (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积. （1）证明：∵，， ∴.∴ ∵为的中点.∴同理. ∵∴平面 又分别为的中点， ∴ ∴平面. 练习巩固 练习2：如图，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点. (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积. （2）解：在平面内，作，交的延长线于，如图所示. ∵和所在平面互相垂直，平面平面， 且平面，∴平面， ∵为的中点，∴到平面的距离是长度的一半. 在中，∴. 在中，，， ∴.故. ∴. 练习巩固 变式2-1：如图，在四棱锥中，平面平面，平面 .求证： (1)平面； (2)记平面平面，判断与的位置关系， 并说明理由。 （1）证明：∵平面， 平面，平面平面， ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 练习巩固 变式2-1：如图，在四棱锥中，平面平面，平面 .求证： (1)平面； (2)记平面平面，判断与的位置关系，并说明理由。 （2）证明：∵ 平面， 平面，平面平面 ∴ ∵，满足， ∴由，知. ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. ∵平面，∴. 又，，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 小结 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 判定 判定 性质 证明线线垂直的方法 小结 证明线面垂直的方法 小结 证明面面垂直的方法 $$