专题02 平行线有关的证明（考题猜想，14大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题02 平行线有关的证明（14大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何图形中的角度计算 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 题型三 根据平行线的性质求角的度数 题型四 平行线的性质在生活中的应用 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 题型六 根据平行线的性质与判定证明 题型七 平行线与三角板综合 题型八 平行线与旋转综合 题型九 与平行线有关的定值问题 题型十 与平行线有关的热考模型 题型十一 与平行线有关的折叠问题 题型十二 与三角形有关的折叠问题 题型十三 三角形内角和与外角和综合 题型十四 与三角形角度有关的热考模型 题型一 几何图形中的角度计算 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知点是直线上一点，，射线是的平分线． （1）如图1，若，求的度数．诸补充完成下列解答过程： 解：∵，， ∴______， ∵， ∴______°． ∵是的平分线， ∴____________． ∴____________． 【类比分析】 （2）如图2，设，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1），，，，，；（2） 【分析】本题考查了邻补角、角度的和差计算，角平分线的定义； （1）根据邻补角得出，进而根据余角的定义求得，根据角平分线的定义可得，进而根据，即可求解； （2）同（1）的方法求得，进而根据即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， 是的平分线， ， ； 故答案为：，，，，， （2）∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 2．（22-23七年级上·广东清远·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分 (1)若，则＿＿＿°； (2)若求的度数（用含n的代数式表示）； (3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数 【答案】(1)66 (2) (3)的度数为50° 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，一元一次方程的解法，根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据即可； （2）先根据，求出的度数，再根据角平分线的定义及邻补角的定义即可； （3）先表示出的度数，再列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：66； （2）解：∵ ∵平分， ∴， ∴ （3）解：∵， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴ 故的度数为． 3．（20-21七年级上·山东济南·期末）已知，O为直线上一点，． (1)如图1，若，平分． ①求______； ②请通过计算说明是否平分． (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查角度计算，邻补角定义，角平分线定义． （1）①利用角平分线定义计算，即可得到本题答案；②通过计算得到和度数，两个度数相等即可得到本题答案； （2）根据题意设，则，再利用题干信息列出等式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是否平分； ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 4．（23-24七年级下·山东日照·期末）在一次数学小组活动中，同学们在一组平行的格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系． (1)如图，已知，分别在图和图中作出＝． ①如图，点在格线上，当＝时，＝_______； ②如图，点在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)若在图的平行格线中作＝，并作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间所有可能的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质； （1）①根据平行线的性质得出，进而根据＝，即可求解； ②过点作，得出得出即可求解． （2）分当平行与网格线时，当与网格线不平行线时，每种情况再分两种情况，当在的内部和外部时，分别画出图形，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，＝ ∴， ∵，＝ ∴； ②如图所示，过点作， ∴ ∴ （2）当平行与网格线时，如图所示， ①当在的内部时， ∵＝， ∴ ∴， ②当在的外部时，如图所示， ∵ ∴， 当与网格线不平行线时，如图所示，①当在的内部时，作平行与网格线， 由（1）可得， ∴， ②当在的外部时 同理可得， ∴， 综上所述，或 5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 小佳同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 小丽同学：如图③，过点作交的延长线于点，然后再证明， ，． (1)如图②，请按小佳同学的思路，写出证明过程； (2)如图③，请按小丽同学的思路，补齐图形并写出证明过程； (3)如图④，已知，平分，平分，与交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义， （1）过点作，则，进一步得，则有，即可证； （2）过点作交的延长线于点，则，利用平行线的性质得，可得，即可证得； （3）由（1）知，，结合角平分的定义得和，再得到，即可证明． 【详解】（1）解：过点作，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作交的延长线于点，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 由（1）知，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 6．（22-23七年级下·山东泰安·期末）已知直线，为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，小明通过探究，判断、、之间的数量关系为．你认为小明判断正确吗？如正确，给出证明；如不正确，该说明理由． 【答案】(1) (2)正确，证明见解析 【分析】（1）过点P作，由平行线的性质分别求出，即可求解； （2）过点作，则，由平行线的性质得，，把代入整理可得结论成立． 【详解】（1）如图，过点作，   ， ， ， ， ， ， ； （2）正确． 如图，过点作，则，   ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． 7．（21-22七年级下·广东深圳·期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现， (1)在图②所示的图形中，若，，则___________ (2)在图⑧中，若，，则_________ (3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到由此即可得到答案； （2）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到，在求出的度数即可得到答案； （3）如图所示，过点P作，由平行线的性质得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型三 根据平行线的性质求角的度数 8．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，A、F、B三点共线，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，然后根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 10．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，是一块含角的直角三角尺，，，分别过顶点，作两条平行线，，若． (1)求的大小； (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了邻补角以及平行线的性质的运用： （1）根据已知条件求出，再利用互补求出即可； （2）利用平行线得到，由于，可以得到，利用互补即可求出． 【详解】（1）因为是一块含角的直角三角尺，，． 所以， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 由（1）知，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 题型四 平行线的性质在生活中的应用 11．（2020·湖北宜昌·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数． 【答案】25° 【分析】使用平行线的性质得到，再根据得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键． 12．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 13．（21-22七年级上·福建泉州·期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．你可用这一结论解答下列问题． (1)在图(1)中潜望镜的两面镜子AB、CD是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行的，请说明理由； (2)如图(2)，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数． (3)拓展应用：如图(3)，若镜子AB与BC的夹角α＝110°，镜子CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝30°，已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3)120°或160° 【分析】（1）根据题意可得，所以∠2＝∠3，由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．可得，进而可以说明． （2）由平行线的性质得出∠FEG+∠EGH＝180°，根据平角的定义得出∠1＋∠2＋∠FEG＋∠3＋∠4＋∠EGH＝180°＋180°＝360°，进而得到∠2＋∠3＝90°，再根据三角形的内角和即可得解． （3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（2）的结论可得， ． 【详解】（1）解：（1）如图(1)， ∵， ∴∠2＝∠3， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴； （2）（2）如图(2)， ∵， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝180°+180°＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2（∠2+∠3）＝180°， ∴∠2+∠3＝90°，    ∵∠ABC+∠2+∠3＝180°，                                                 ∴∠ABC＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°， 即α的度数为90°． （3）（3）(ⅰ)当n＝3时，如图(3)所示： ∵∠BEG＝∠1＝30°，α＝110°，                           ∴∠BGE＝∠CGH＝180°﹣110°- 30°＝40°， ∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝120°， ∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝100°， 由，可得∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°， ∴∠GHK＝360°﹣120°﹣100°＝140°， 则∠GHC＝20°， ∴＝180°﹣40°﹣20°＝120°． (ⅱ)当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°， 与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行， 如图(4)所示： +∠GCB＝180°，， ， 由，且由（2）的结论可得：∠G＝90°， 又， ∴＝90°+70°＝160°． 综上所述：的度数为：120°或160°． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的应用． 14．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【答案】（1）15°或115°；（2）120° 【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案． （2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H． 【详解】解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等． 15．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 题型六 根据平行线的性质与判定证明 16．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若于，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（）根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （）根据平行线的性质得出，则，又从而求出，最后由角度和差即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 17．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，、两点分别在的、边上，与分别与相交于、两点，且，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据得出，进而根据平行线的性质得出，，根据已知进而得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ． ， 18．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的性质和判定，关键是根据同旁内角互补，两直线平行来证明．根据平行线的性质得出，再利用平行线的判定证明即可． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ． 19．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（）依据题意，由，得，又，，可得，从而，则，故得解； （）根据已知条件，可得，再由，得，从而，又，即可得解； 本题考查了平行线的判定与性质，直角三角形的锐角互余，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（21-22七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，A、F、B三点共线，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理： （1）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，然后根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型七 平行线与三角板综合 21．（22-23七年级下·山东泰安·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，．    (1)填空：与的数量关系：__________；理由是____________________； (2)直接写出与的数量关系：____________________； (3)如图2，当点在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合；探究一下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值（不含①）． 【答案】(1)；同角的余角相等 (2) (3)①；②存在，的度数可能是、、、 【分析】（1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，过点作，利用平行线的性质进行解答即可； ②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． 故答案为：；同角的余角相等．    （2）解：∵，， ∴． 故答案为：． （3）解：①当时，如图，    过点作， ， ，， ， ． ②存在，的度数可能是、、、； 当时，如图所示：    ∵， ∴， ∴根据解析（1）可知，； 当时，如图所示：    ∵， ∴； 当时，如图所示：    ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示：    ∵， ∴， ∴； 综上分析可知，的度数可能是、、、． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 22．（22-23七年级下·山东临沂·期末）问题情境： 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板中，，长方形中，． 问题初探： (1)如图（1），若将三角板的顶点A放在长方形的边上，与相交于点M，求的度数； 分析：过点C作，则有，从而得，从而可以求得的度数； 由分析得，请你直接写出：的度数为 ，的度数为 ； 类比再探： (2)若将三角板按图（2）所示方式摆放（与不垂直），请你猜想写出与的数量关系    【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求出度数，求度数转化到度数； （2）过点C作，则有，与转化到和中，从而发现与的数量关系． 【详解】（1）解：过点C作，则有， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为； （2）解：，理由如下： 如图，过点C作，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，属于阅读理解题型，同时考查了迁移运用能力． 23．（21-22七年级下·山东烟台·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图三幅图都是由一副直角三角板拼凑得到的，其中图1的两块三角板是和，图2的两块三角板是和. 图1             图2                图3 (1)求图1中的的度数. (2)在图2中已知，求的度数. (3)在图3中，三角板的两个直角顶点重合，且两条斜边平行，则______. 【答案】(1)75° (2)75° (3)75° 【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，得出∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，得∠ABC的度数； （2）首先根据三角形内角和为180°，得到∠C的度数，又由AEBC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数； （3）过两个三角板直角顶点作，根据平行线性质即可求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过作，如图所示： ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识，灵活运用数形结合思想、认识常规三角板是解决问题的关键． 24．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，直线，直角三角板的顶点C，D分别在直线上，且，，设． (1)如图1，若，，求的度数． (2)若的平分线交于点F． ①如图2，当，且时，试说明． ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据，可得，从而得到，再由，即可； （2）①根据平分，可得，从而得到，即可；②根据，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，，再由平分，可得，即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以； （2）解：①因为，平分， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以； ②因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以，． 因为平分， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 25．（22-23七年级下·河南新乡·期末）已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）设交于点，则，过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，设交于点，则，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）或． 如图2，交于点，当点在上方时，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图3，延长交于点，当点在下方时，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 题型八 平行线与旋转综合 26．（23-24七年级下·山东临沂·期末）学习完平行线后，小玲同学通过折纸，想出了过点画直线的平行线的方法，具体过程如下：图①～图④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______； (2)如图④，由折纸过程可知与的位置关系是______，依据是______； (3)保持（2）中与的位置关系不变，将直线绕点旋转至如图⑤，当时，与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)垂直 (2)，内错角相等，两直线平行 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，垂线的定义等等： （1）折叠的性质可得； （2）同理可得，由此可得，进而根据内错角相等，两直线平行得到； （3）根据平行线的性质得到，进而推出，由此可证明． 【详解】（1）解：如图②所示，由折叠的性质可得， ∴折痕与直线的位置关系是垂直； （2）解：如图③所示，同理可得， ∴如图④所示，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 27．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为15秒或45秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）过G作，由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过G作， ，， ， ， ； （2）解：如图，F作， ，， ， ， ； （3）解：分三种情况： 当时，如图： ，， ， ， ， 解得； 当时，如图： ，， ， ， 解得； 当时，过F作， ，， ， ，， ； ， 解得； 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 题型九 与平行线有关的定值问题 28．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质得到，过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （2）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． 过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 29．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知直线， 直线分别交于点M、N．P 是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度； （3）如图3，若 ，，交 的延长线于点E，交的延长线于点F，请问是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；②，理由见解析；（2）；（3）是定值，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义： （1）①如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得，则；②同（1）①求解即可； （2）由（1）可得，设，则，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，则； （3）由（1）可得，，，设，，则，，即可得到，则。 【详解】解：（1）①如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）是定值，，理由如下： 由（1）可得，，， 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是定值。 30．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 31．（22-23七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，，点E、F为、之间的两点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； (3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数是定值； (3)． 【分析】（1）如图，过作，过作，证明，证明，，从而可得答案； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再利用角的和差运算可得结论； （3）如图，∵平分，平分，可得，，由三角形的内角和定理可得 ，结合（2）得：，从而可得． 【详解】（1）解：如图，过作，过作， ∵， ∴，而，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，是定值，理由如下： 如图，过作，过作， ∵， ∴，而，， ∴，，， ∴； （3）解：如图，∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵由（2）得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 题型十 与平行线有关的热考模型 32．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质证明即可； （2）过点作交的延长线于．利用平行线的性质证明即可； （3）由角平分线的定义得出，，设，，则，由题意得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图②中，过点作， 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）如图③中，过点作交的延长线于． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 33．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 34．（22-23七年级下·江西·期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    【问题探究】 （1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由 【类比迁移】 （2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，直线．若，，，求的度数； 【灵活应用】 （3）如图3，直线，若，，则__________度． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）过点G作，由（1）中的结论得到，，进而求解即可； （3）过点E作，首先根据三角形内角和定理得到，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点E作    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，过点G作    ∵ ∴ 由（1）可得，， ∴ ； （3）如图所示，过点E作      ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． 35．（22-23七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)(i)； (ii)； (iii) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解； （2）过点作，根据（1）的方法即可求解； （3）（）由（2）可得， ，得出，根据，即可求解； （）由“猪蹄模型”，可得，，根据角平分线的性质得出，继而根据，即可求解； （）如图所示，延长交于点，设，，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． （2）, 如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）解：（）由（2）可得， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （）解：如图所示，∵ 由“猪蹄模型”，可得，； ∵、分别平分和 ∴ ∴ ∴， ∴, 故答案为：． （）解：如图所示，延长交于点， 设， ∵、分别平分和， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键． 题型十一 与平行线有关的折叠问题 36．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 37．（23-24七年级下·广西南宁·期中）综合与实践——折纸中的数学：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线． 如图1，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕折到处，点B落在处；第三步，如图3，将对折，使点M落在处，点N落在处，与共线，得到折痕． (1)如图2：①若，则_______； ②若，则_______（用含α的式子表示）． (2)如图2，和有怎样的位置关系，并说明理由． (3)如图3，折痕和有怎样的位置关系，请说明理由． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握图形中线间的位置关系，角之间的关系是解答本题的关键． （1）①由折叠可得，，根据平行线的性质得，利用平角的定义即可解答；②由折叠可得，，根据平行线的性质得，利用平角的定义即可解答； （2）利用折叠的性质和平行线的性质，可得，从而判定和的位置关系； （3）利用折叠的性质和平行线的性质，可得，从而判定和的位置关系． 【详解】（1）①∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：∵是由折叠得到的， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 理由：由（1）知， 由折叠，知，， ∴， ∴． 题型十二 与三角形有关的折叠问题 38．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据，可得． （2）由折叠的性质可得，再根据，代入数值化简，即可得到． （3）根据，可得，再由，即可得到． 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：如图，，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图1所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______． (2)若如图2所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点在外部，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等： （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（20-21七年级下·山东潍坊·期末）（1）如图①，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的内部时，若，，求的值； （2）如图②，如果把纸片沿折叠，使点落在四边形的外部的位置，此时与∠1、∠2之间存在什么样的等量关系？并说明理由； （3）如果把四边形沿折叠，使点、落在四边形的内部、的位置，如图③，你能求出、与、之间的等量关系吗？（直接写出关系式即可） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （3）根据翻折的性质可得∠A=∠DA′E，然后根据四边形内角的和列式整理即可得解． 【详解】解：（1）根据折叠的性质可知：，， ①， ②， ①＋②．得． ， ， （2）根据折叠的性质可知，①， ②， ①－②，得 ， ， ， ， ． （3）根据折叠的性质可知，， ， ， ， 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，四边形内角和定理等知识，熟记性质准确识图是解题的关键． 题型十三 三角形内角和与外角和综合 41．（24-25七年级上·山东·期末）如图中，，是中线，的平分线与相交于点D，． 求 (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰三角形性质得，由三角形外角的性质即可求解； （2）由（1）所求可得，由等腰三角形性质及三角形内角和即可求得结果． 【详解】（1）解：∵，是中线， ∴，即， ∴； （2）解：∵平分，， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，三角形内角和及三角形外角的性质等知识，掌握这些基础知识是解题的关键． 42．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是的平分线，，，点E在的延长线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的意义，三角形外角的性质和三角形内角和定理，由，，得，求出，，从而可得结论 【详解】解：因为是的平分线， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以 43．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角性质，平行线性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，利用三角形外角性质得到，利用平行线性质得到，进而得到，再结合三角形内角和定理，即可求得的度数． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型十四 与三角形角度有关的热考模型 44．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握]；[深入把握]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可 [深入把握]根据证明，再由全等的性质得到 [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明∶ 在和中， ． [深入把握] 证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中，， ， ；． ， ． [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ，， ， ． 45．（21-22七年级下·山东济南·期中）（1）模型的发现： 如图1，在中，，，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，直线l，直线l，垂足分别为点D，请直接写出，和的关系． （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）的结论不成立，，理由见解析；（3）（1）的结论成立，，理由见解析； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得出结论； （2）仿照（1）的方法证明； （3）仿照（1）的方法证明． 【详解】证明：（1），理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：（1）的结论不成立，， 证明如下：， ， 直线l， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：（1）的结论成立， 理由如下：，， ， 在和中， ， ， ，， ． 46．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 47．（20-21八年级上·山东青岛·期末）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ； 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ． 【模型应用】 应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P） 拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ． 【答案】∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝； ；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°． 【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】解：探索一：如图1， ∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D， 故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D； 探索二：如图2， ∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D， ∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D， 即2∠P＝∠B+∠D， ∵∠B＝36°，∠D＝14°， ∴∠P＝25°， 故答案为25°； 探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3， 由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1， ①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1 ∠D+2∠B＝2∠P+∠B． ∴∠P＝． 故答案为：∠P＝． 应用一：如图4， 延长BM、CN，交于点A， ∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°， ∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β， ∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°； ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD， ∵∠PCD＝∠P+∠PBC， ∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝， 故答案为：α+β﹣180°，； 应用二：如图5， 延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点， ∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°， ∴∠A＝180°﹣α﹣β， ∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR， ∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB， 由应用一得：∠P＝∠A＝， 故答案为：； 拓展一：如图6， 由探索一可得： ∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB， ∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB， ∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y， ∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB， ∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB， ∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝， ∴∠P＝， 故答案为：∠P＝； 拓展二：如图7， ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE， ∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD， 由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD， ②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD， ③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°， ∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°， 故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°． 【点睛】本题是探究性题目，考查了三角形的相关计算、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角的性质等，此类题目遵循题目顺序，结合相关性质和定理，逐步证明求解即可． $$专题02 平行线有关的证明（14大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何图形中的角度计算 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 题型三 根据平行线的性质求角的度数 题型四 平行线的性质在生活中的应用 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 题型六 根据平行线的性质与判定证明 题型七 平行线与三角板综合 题型八 平行线与旋转综合 题型九 与平行线有关的定值问题 题型十 与平行线有关的热考模型 题型十一 与平行线有关的折叠问题 题型十二 与三角形有关的折叠问题 题型十三 三角形内角和与外角和综合 题型十四 与三角形角度有关的热考模型 题型一 几何图形中的角度计算 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）已知点是直线上一点，，射线是的平分线． （1）如图1，若，求的度数．诸补充完成下列解答过程： 解：∵，， ∴______， ∵， ∴______°． ∵是的平分线， ∴____________． ∴____________． 【类比分析】 （2）如图2，设，求的度数（用含的代数式表示）． 2．（22-23七年级上·广东清远·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分 (1)若，则＿＿＿°； (2)若求的度数（用含n的代数式表示）； (3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数 3．（20-21七年级上·山东济南·期末）已知，O为直线上一点，． (1)如图1，若，平分． ①求______； ②请通过计算说明是否平分． (2)如图2，若，求的度数． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 4．（23-24七年级下·山东日照·期末）在一次数学小组活动中，同学们在一组平行的格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系． (1)如图，已知，分别在图和图中作出＝． ①如图，点在格线上，当＝时，＝_______； ②如图，点在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)若在图的平行格线中作＝，并作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间所有可能的数量关系． 5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 小佳同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 小丽同学：如图③，过点作交的延长线于点，然后再证明， ，． (1)如图②，请按小佳同学的思路，写出证明过程； (2)如图③，请按小丽同学的思路，补齐图形并写出证明过程； (3)如图④，已知，平分，平分，与交于点，请直接写出与的数量关系． 6．（22-23七年级下·山东泰安·期末）已知直线，为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，小明通过探究，判断、、之间的数量关系为．你认为小明判断正确吗？如正确，给出证明；如不正确，该说明理由． 7．（21-22七年级下·广东深圳·期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现， (1)在图②所示的图形中，若，，则___________ (2)在图⑧中，若，，则_________ (3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由． 题型三 根据平行线的性质求角的度数 8．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，A、F、B三点共线，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 10．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，是一块含角的直角三角尺，，，分别过顶点，作两条平行线，，若． (1)求的大小； (2)求的大小． 题型四 平行线的性质在生活中的应用 11．（2020·湖北宜昌·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数． 12．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 13．（21-22七年级上·福建泉州·期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．你可用这一结论解答下列问题． (1)在图(1)中潜望镜的两面镜子AB、CD是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行的，请说明理由； (2)如图(2)，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数． (3)拓展应用：如图(3)，若镜子AB与BC的夹角α＝110°，镜子CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝30°，已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，求的度数． 14．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 15．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 题型六 根据平行线的性质与判定证明 16．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若于，，求的度数． 17．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，、两点分别在的、边上，与分别与相交于、两点，且，，，．求的度数． 18．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，，，，．求证：． 19．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 20．（21-22七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，A、F、B三点共线，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型七 平行线与三角板综合 21．（22-23七年级下·山东泰安·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，．    (1)填空：与的数量关系：__________；理由是____________________； (2)直接写出与的数量关系：____________________； (3)如图2，当点在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合；探究一下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值（不含①）． 22．（22-23七年级下·山东临沂·期末）问题情境： 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板中，，长方形中，． 问题初探：(1)如图（1），若将三角板的顶点A放在长方形的边上，与相交于点M，求的度数； 分析：过点C作，则有，从而得，从而可以求得的度数； 由分析得，请你直接写出：的度数为 ，的度数为 ； 类比再探：(2)若将三角板按图（2）所示方式摆放（与不垂直），请你猜想写出与的数量关系    23．（21-22七年级下·山东烟台·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图三幅图都是由一副直角三角板拼凑得到的，其中图1的两块三角板是和，图2的两块三角板是和. 图1             图2                图3 (1)求图1中的的度数. (2)在图2中已知，求的度数. (3)在图3中，三角板的两个直角顶点重合，且两条斜边平行，则______. 24．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，直线，直角三角板的顶点C，D分别在直线上，且，，设． (1)如图1，若，，求的度数． (2)若的平分线交于点F． ①如图2，当，且时，试说明． ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 25．（22-23七年级下·河南新乡·期末）已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 题型八 平行线与旋转综合 26．（23-24七年级下·山东临沂·期末）学习完平行线后，小玲同学通过折纸，想出了过点画直线的平行线的方法，具体过程如下：图①～图④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______； (2)如图④，由折纸过程可知与的位置关系是______，依据是______； (3)保持（2）中与的位置关系不变，将直线绕点旋转至如图⑤，当时，与平行吗？请说明理由． 27．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 题型九 与平行线有关的定值问题 28．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 29．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知直线， 直线分别交于点M、N．P 是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度； （3）如图3，若 ，，交 的延长线于点E，交的延长线于点F，请问是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 30．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 31．（22-23七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，，，点E、F为、之间的两点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； (3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数． 题型十 与平行线有关的热考模型 32．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 33．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 34．（22-23七年级下·江西·期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    【问题探究】 （1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由 【类比迁移】 （2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 如图2，直线．若，，，求的度数； 【灵活应用】 （3）如图3，直线，若，，则__________度． 35．（22-23七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 题型十一 与平行线有关的折叠问题 36．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 37．（23-24七年级下·广西南宁·期中）综合与实践——折纸中的数学：我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——折纸与平行线． 如图1，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕折到处，点B落在处；第三步，如图3，将对折，使点M落在处，点N落在处，与共线，得到折痕． (1)如图2：①若，则_______； ②若，则_______（用含α的式子表示）． (2)如图2，和有怎样的位置关系，并说明理由． (3)如图3，折痕和有怎样的位置关系，请说明理由． 题型十二 与三角形有关的折叠问题 38．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 39．（23-24八年级上·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点，分别是边上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图1所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______． (2)若如图2所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点在外部，直接写出和之间的数量关系． 40．（20-21七年级下·山东潍坊·期末）（1）如图①，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的内部时，若，，求的值； （2）如图②，如果把纸片沿折叠，使点落在四边形的外部的位置，此时与∠1、∠2之间存在什么样的等量关系？并说明理由； （3）如果把四边形沿折叠，使点、落在四边形的内部、的位置，如图③，你能求出、与、之间的等量关系吗？（直接写出关系式即可） 题型十三 三角形内角和与外角和综合 41．（24-25七年级上·山东·期末）如图中，，是中线，的平分线与相交于点D，． (1)的度数． (2)的度数． 42．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是的平分线，，，点E在的延长线上．求的度数． 43．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，，，求的度数． 题型十四 与三角形角度有关的热考模型 44．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 45．（21-22七年级下·山东济南·期中）（1）模型的发现： 如图1，在中，，，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，直线l，直线l，垂足分别为点D，请直接写出，和的关系． （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． 46．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证：   47．（20-21八年级上·山东青岛·期末）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ； 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ． 【模型应用】应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示） 【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P） 拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ． $$