第1章三角形复习课件　2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章 三角形复习 执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 学习目标 1、熟练掌握三角形的边、角关系、全等三角形的判定方法，线段垂直平分线与角平分线的性质，等腰三角形的性质定理和判定定理以及直角三角形的性质定理，并能灵活运用这些方法进行推理证明，解决简单的实际问题。 2、通过对三角形知识的系统复习，培养学生的逻辑思维 能力和归纳总结能力。增强学习数学的自信心。 学习重点：三角形的三边关系、全等三角形的判定方法、 等腰三角形的性质定理和判定定理及应用。 学习难点：灵活运用三角形的相关定理和全等三角形的 判定方法解决复杂问题。 二、知识梳理： 1、知识网络： 二、回顾与整理： 知识点1：三角形边、角关系 三角形的任意两边之和大于第三边。两边之差<第三边<两边之和 1、一个三角形的两条边长分别为3和7,且第三边长为整数, 这样的三角形的周长最小值是 （ ） A. 14 B.15 C.16 D.17 2、△ABC中，∠C=90°，则 （ ） A. AB ＞AC B.AC＞BC C.AC=BC D.AC＜BC 3、如图△ABC中，则 ∠1 ，∠2，∠3 的大小关系为 。 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角。 三角形三边关系： 三角形边、角关系： B A ∠1 ＞∠3＞∠2 知识点2：三角形中的特殊线段 1、如图，过点A分别画出△ABC 的中线、角平分线、高。 解：图中AD、AE、AF分别是 △ABC的中线、角平分线、高。 三角形3条中线、3条角平分线、3条高线的特点。 三角形的3条中线都相交于一点，这个交点在三角形的内部 三角形的3条角平分线都相交于一点，这个交点在三角形的内部。 三角形的3条高线所在的直线的交点因三角形的形状而变化。 三角形的中线、角平分线、高。 2、如果一个三角形的三条高的交点恰好 在三角形的一个顶点上， 那么这个三角形是           。 直角三角形 知识点3：全等三角形概念及性质 全等三角形的定义： 如图，两个能完全重合的三角形是全等三角形。 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 △ABC ≌△A'B'C' 在表示两个三角形全等时， 要把对应顶点的字母写在对应的位置上. 1、下列说法正确的是 （　　）  A、全等三角形是指形状相同的两个三角形　　 B、全等三角形是指面积相等的两个三角形  C、全等三角形的周长和面积分别相等         D、所有等边三角形都是全等三角形 2、如图，△ABC≌△A'B'C'， 则∠C的度数为      。 C 73° 知识点4：全等三角形的判定 1、如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD， (1)根据“SAS”需添加条件 ； (2)根据“ASA”需添加条件 ； (3)根据“AAS”需添加条件 ． AB＝AC ∠BDA＝∠CDA ∠B＝∠C 2、如图，AC⊥CB，AD⊥DB,要证明△ACB≌△ADB, 根据“HL”需要条件为            。 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（简写为“HL”） AC=AD或BC=BD 知识点5：线段垂直平分线与角平分线的性质 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到            的距离相等。 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在                     上。 到三角形各个顶点距离相等的点在                  上。 如图,OM垂直平分AB,ON垂直平分AC,BC与OM,ON分别交于点D,E,连接AD,AE.若BC=10,则△ADE的周长为 。 10 线段两端 线段的垂直平分线 三边的垂直平分线的交点 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到                相等。 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在          上 角平分线是到角两边距离相等的点的        . 到三角形各边距离相等的点在                     上。 如图,AB∥CD,∠BAC,∠ACD的平分线相交于点P,过点P作PE⊥AB于点E,交CD于点F,EF=10,则点P到AC的距离为 。　　 5 角两边的距离 这个角的平分线 集合 3个角的平分线的交点 知识点6：等腰三角形的性质及判定 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 等边三角形的判定定理： （1）    个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的      三角形是等边三角形。 1、等腰△ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数为           。 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等，简称“         ”. 等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形的底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 （简称“          ”）。 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“              ”).  2、如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于R点， PS⊥AC于S点，PR=PS，则四个结论： ①点P在∠A的平分线上；②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP，正确的结论是（　　） A.①②③④     B.只有①②     C.只有②③     D.只有①③ 40°或70°或55° 等边对等角 三线合一 等角对等边 A 三 等腰 知识点6： 30°角的直角三角形的性质及直角三角形的性质定理 30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边是斜边的         。 直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的       。 1、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，BD⊥AC，DA=3 垂足为D，则CA= 。 2、如图所示，BE、CF是△ABC的高， D是BC边的中点，BC=18，EF=5, 则△EDF的周长为 。 12 23 一半 一半 三、问题研讨： ∵a，b，c为△ABC 的三边长，b+c<6 ∴ a=6不符合题意，舍去.∴ a=2. △ABC的周长为2+2+3=7， △ABC是等腰三角形， 解:∵(b-2)2+|c-3|=0, ∴b-2=0，c-3=0. 解得b=2，c=3. ∵ a为方程|x-4|=2的解 ∴ a-4=±2. 解得a=6或a-2. 例2、在△ABC 中,∠ACB=90。,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,试说明:DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证:DE=AD-BE; (3)当直线 MIN 绕点C旋转到图(3)的位置时,直接写出 DE、AD、BE 之间关系。   （3）如图3，DE、AD、BE 之间的关系为DE=BE﹣AD． 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∵ AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90° ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD=BE，CE=AD， ∴DE=CD+CE=AD+BE； （2）∵△ABC中，∠ACB=90°， AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， AC=BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴CD=BE，CE=AD， ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；   例3、如图(1)，AB=4Cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段 AB 上 以 1cm/s的速度出点A向点B运动，同时，点Q在线段 BD 上由点B向点D运动， 它们运动的时间为t(s). (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，ΔACP与ΔBPQ是否全等， 并判断此时线段PC 和线段 PQ 的位置关系，请分别说明理由: (2)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB"改为“∠CAB=∠DBA=60°"， 其他条件不变。设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数，使得ΔACP 与ΔBPQ全等?若存任，求出应的x、t的值:若不存在，请说明理由 解：（1）PC⊥PQ 当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3， 又∵∠A=∠B=90°， 在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． ∴∠ACP=∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°． ∴∠CPQ=90°， 即线段PC与线段PQ垂直． ②若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP， 综上所述，存在, 使得△ACP与△BPQ全等． (2)①若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ， ★例4、如图,在△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,AC=10. (1)△ABC内是否存在一点M到各个顶点的距离相等? 用尺规作出这个点M.（不写作法，但保留作图痕迹） AM= . （2）△ABC内是否存在一点P到各边的距离相等?请说明理由； （3）若存在,，求这点到各边的距离, 解：（1）存在。如图1 分别作AB,BC的垂直平分线l1,l2, l1与l2相交于点M，则点M到 △ABC各个顶点的距离相等。 设PD=PE=PF=x ，由题意 S△APB＋S△AＰC＋S△ＣPB= S△ＡＢＣ， 即 x=2 5 （2）存在，如图2所示，作∠BAC，∠ACB的平分线，它们的交点P即为符合要求的点． 理由：作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC， 垂足分别为D，E，F，因为AP是∠BAC 的平分线，所以PD=PF． 又CP是∠ACB的平分线，所以PE=PF， 所以PD=PE=PF。 例5、如图所示，在ABC中，AB=AC，D为AB上一点， E为AC延长线上的一点，且CE=BD，连接DE交BC于点P. 求证：PE=PD 证明：过点D作DF∥AC交BC于点F， ∴∠ACB=∠DFB∠FDP=∠E ∵AB=AC（已知）， ∴∠ACB=∠ABC， ∴∠ABC=∠DFB，∴DF=DB； 又∵CE=BD（已知）， ∴CE=DF； 又∵∠DPF=∠CPE， ∴△ECP≌△DFP， ∴PE=PD； 四、拓展提高： 1、如图,O是等边三角形ABC内的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α, 将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD. (1)求证：△COD是等边三角形； (2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由； (3)探究：当α为多少度时,△AOD是等腰三角形. 2、如图，在等腰直角△ACB与等腰直角△DCE中 ∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点F在AD上, 连接FC。 （1）若FC⊥BE，求证：F为AD的中点； （2）若AF=DF，求证：FC⊥BE。 五、强化训练： 1、下列条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C'的（ ） A、∠A＝∠A’，∠C＝∠C’，AC＝A’C’　　 B、∠A＝∠A’，AB＝A’B’，BC＝B’C’ C、AB＝A’B’，∠A＝∠A’，AC＝A’C’ D、AB＝A’B’，BC＝B’C’，AC＝A’C’ 2、如图，AE⊥BA,且AE=BA，BC⊥CD，且BC=CD， EF⊥FH，BG⊥FH，DH⊥FH，请按照图中所标注 的数据计算图中实线所围成图形的面积S为（   ）。 A、50       B、62             C、65       D、68 3、如图,点P在∠AOB内部,E,F分别是点P关于直线OA,OB的对称点. 若∠AOB=40°,则∠E+∠F=　　° 4、如图,BD垂直平分AG于点D, CE垂直平分AF于点E.若BF=1, FG=3,GC=2,则△ABC的周长 为 。　　 5、如图,l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路, 现在要建一个加油站,要求它到三条公路 的距离相等,则可供选择的地址有　 处.  6、等边三角形给人以“稳如泰山”的视觉感受，它具有独特的对称性，请你至少用三种不同的方法，将以下三个等边三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）． 7、如图，AB=AC，∠BAD=∠BCD，求证：AD=CD. 8、(1)如图，在AABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上， 且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA，求∠DAE的度数. (2)如果把第(1)题中“AB=AC”的条件舍去，其余条件不变， 那么∠DAE的度数会改变吗? (3)如果把第(1)题中“∠BAC=90°”的条件改“∠BAC>90°”， 其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?