精品解析：陕西省汉中市2025届高三下学期联考模拟（二）（5月）数学试题

数学（二） 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，将原命题的任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是. 故选：C 2. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的定义即可求解. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A. 3. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的除法化简，再由共轭复数的概念确定，即可得虚部. 【详解】由，故，虚部为. 故选：C 4. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】依题意及椭圆的定义可知的周长为：， 则，又，所以， 则离心率. 故选：D. 5. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数图像易得交点个数为3. 【详解】曲线与的图像如下， 所以交点个数为3， 故选：B. 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即.  根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 7. 若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】基本事件总数为，利用分步乘法原理结合排列组合求出符合条件的方案数，从而可求出概率. 【详解】从6人中选3人排列共有种，由题意得 去班的方案有：种； 去B班的方案有： 种；去C班的方案有： 种； 所以，满足条件的方案数是：. 所以所求概率是. 故选：D. 8. 已知为曲线上两个不同的点，曲线在点处的切线相交于点，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设，表示出切线方程，由两条切线的斜率之积为1，得到，联立求出，，对化简，利用基本不等式可求其最小值. 【详解】设， ∵，∴在处的切线方程， 在处的切线方程， ∵这两条切线的斜率之积为1，∴， ∵切线相交于点， ∴联立解得，， ， 即， 当时取等， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（ ） A. 的外接圆直径为 B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件利用正弦定理求的外接圆直径，判断A，先证明，利用二倍角公式化简，再化角为边判断B，结合B的结论，由余弦定理可求，再利用三角形面积公式求面积，判断C，求周长判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确； 由易得， 所以等价于， 所以， 由正弦定理得，故B正确； 由余弦定理可得， 代入， 解得， 的面积为，故C错误， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 10. 农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（ ） A. B. C. D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知及正态分布的性质依次判断各项的正误. 【详解】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误； 由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确； 如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误， 故选：AC 11. 已知正三棱柱的侧面为正方形，其各个顶点均在球的表面上，点分别为的中点，三棱锥的体积为，则（ ） A. 平面 B. 球的表面积为 C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理、几何体的外接球、异面直线的夹角、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为正三棱柱的侧面为正方形， 所以正三棱柱的所有棱长均相等， 因为点分别为的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面，故A正确； 设正三棱柱的棱长为，则到平面的距离为， 故三棱锥的体积为，解得， 又球的球心为正三棱柱上，下底面中心连线的中点， 则球的半径为， 故球的表面积为，故B正确； 取上靠近的四等分点，连接， 设是的中点，连接，则， 由于分别是的中点，则，所以， 则异面直线与的夹角为或其补角， 计算得， 所以，故C错误； 计算得， 故是以为直角的直角三角形， 故到直线的距离即为，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据的分位数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用百分位数的求法求分位数. 【详解】数据从小到大为，且， 所以分位数为. 故答案为： 13. 若关于的方程在区间上有实数根，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原题转换为求函数的值域，故只需结合导数求函数最值即可. 【详解】原题条件等价于方程在区间上有实数根， 故只需求函数的值域， 求导得， 当，时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 即函数的值域为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，若，则__________. 【答案】2024 【解析】 【分析】根据递推式可得函数呈周期性递增，根据规律可求解. 【详解】， ，即， ， 故答案为：2024. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 15. 已知数列满足，且是以为公比的等比数列． （1）求数列中的最值； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）最大值，无最小值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求出数列的通项公式，分析该数列的单调性，即可得出数列的最值； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为，， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列． 故，即， 易得数列单调递减，故数列有最大值，无最小值． 【小问2详解】 易得，， 则， 两式相减得， 则． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面PAD，底面ABCD与侧面PAD均为边长为2的正多边形，点E是线段PA的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求直线PA与平面BCE所成角的正弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取AD的中点F，连接PF，根据面面垂直的性质可得平面ABCD，再由等体积法求体积； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 因为侧面PAD为正三角形，取AD的中点F，连接PF，则， 因为平面平面PAD，平面平面，平面PAD，故平面ABCD， 由于E是线段PA的中点，故． 【小问2详解】 以F为坐标原点，，，的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设平面BCE的法向量为，则， 令，则，，故平面BCE的一个法向量为， 设直线PA与平面BCE所成的角为，则， 故直线PA与平面BCE所成角的正弦值为． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）证明：0为的极小值点. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为. （2）证明：由题意可知，的定义域为，且， 设函数，则， 当时，， 可得， 故在区间上单调递增，又，即， 故当时，，即；当时，，即， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以0是的极小值点. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用单调递增，单调递减，即可求出单调区间. （2）求出函数的一阶导数，再求出函数的二阶导数，通过分析原函数的增减性即可证明结论. 【小问1详解】 易得的定义域为， ， 因为，故，令，可得， 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，. （1）求的标准方程； （2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； （3）若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程. 【答案】（1）. （2）和或和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性可得点坐标，继而得到方程. （2）由（1）知渐近线有2条，分类讨论即可. （3）设联立曲线，线段是的角平分线可知倾斜角的关系再转换成斜率，得到，再由直线过点即可解处斜率得到方程. 【小问1详解】 ∵四点共线时，，根据双曲线对称性， ∴关于原点对称，不妨设在在右侧，即在圆， 又，∴，与圆联立得，， 代入，， ∴双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ∵ ，∴渐近线为或， ∵直线与的渐近线垂直，且经过点， 当渐近线为时，直线， 与x轴交点为，y轴交点为， 当渐近线为时，直线， 与x轴交点为，y轴交点为， 综上，直线与两坐标轴交点的坐标为和或和. 【小问3详解】 如图， 根据题意直线斜率存在，设，， 联立， ∴，， 解得或， ， ， 设直线的倾斜角分别为， ∵是的角平分线， ∴， ， ， 又点在PQ上，所以， 故， 整理得，解得或， 又或，所以， 故直线的方程为. 19. 已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合． （1）证明：集合不是好集合； （2）若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P； （3）证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数． 【答案】（1） 取，，记，则，，故A不是好集合． （2） 记集合，则P中元素均为正数，且与集合A中元素个数相同，下证P为坏集合， 因为A为好集合，所以，且，都有或（其中B为A去掉a，b后的集合）， 设Q为P去掉，后的集合，此时，，， 若，则；若，则与必然有一个属于Q，故P为坏集合，命题得证． （3） 假设存在这样的有限集A，使得A中的元素均为正实数，元素个数为大于5的奇数，且A为好集合， 则设，且，， 因为，设B为集合A去掉元素，，后构成的集合， 所以只能，考虑，这个数均属于A，且各不相同，均小于， 所以，，…，， 因为，故， 若，即，矛盾，故， 又因为这个数属于A，且均小于， 所以，…，，即，， 再考虑A集合中去掉与记为集合， 因为，所以，即，所以只能； 又，故矛盾，所以原假设不成立， 即不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数． 【解析】 【分析】（1）根据定义，举例说明即可； （2）根据好集合的特点和坏集合的定义可证结论； （3）利用反证法，假设存在这样的有限集A符合题意，得出矛盾，可证结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为曲线上两个不同的点，曲线在点处的切线相交于点，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（ ） A. 的外接圆直径为 B. C. 的面积为 D. 的周长为 10. 农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（ ） A. B. C. D. ， 11. 已知正三棱柱的侧面为正方形，其各个顶点均在球的表面上，点分别为的中点，三棱锥的体积为，则（ ） A. 平面 B. 球的表面积为 C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据的分位数为__________. 13. 若关于的方程在区间上有实数根，则的取值范围为__________. 14. 已知函数的定义域为，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 15. 已知数列满足，且是以为公比的等比数列． （1）求数列中的最值； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面PAD，底面ABCD与侧面PAD均为边长为2的正多边形，点E是线段PA的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求直线PA与平面BCE所成角的正弦值． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）证明：0为的极小值点. 18. 在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，. （1）求的标准方程； （2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； （3）若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程. 19. 已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合． （1）证明：集合不是好集合； （2）若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P； （3）证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $