精品解析：甘肃省兰州市学府致远学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

兰州市学府致远学校 2024—2025学年度第二学期高一年级期中测试 数学试卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知向量，则为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ） A. B. C. D. 4. 一个公司共有名210员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本．已知某部门有70名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ） A. 9 B. 6 C. 10 D. 8 5. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（ ） A. 70，75 B. 70，50 C. 75，1.04 D. 65，2.35 8. 如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，的最值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 1 11. 某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表. 睡眠时间/h 6 7 8 9 人数 10 20 15 5 下列关于学生每天睡眠时间的统计量说法中正确的是（ ） A. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 B. 中位数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 C. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度 D. 方差为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若点，点，则的坐标为___________． 13. 设向量，则在方向上的投影向量为___________． 14. 已知一组数据的百分位数，则数据的百分位___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简求值． （1）． （2），求向量与向量的夹角． 16. 为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. （1）求，的值； （2）求样本中在内的频数； （3）若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 17. 已知． （1）求线段的中点的坐标； （2）若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 18. 在中，所对的边分别为． （1）若，解此三角形．（） （2）若，求并判断其形状． 19. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． （1）请用，表示向量； （2）若，设，的夹角为，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校 2024—2025学年度第二学期高一年级期中测试 数学试卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 已知向量，则为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量减法、模的坐标计算公式求解即可. 【详解】若向量，则. 故选：C. 2. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果. 【详解】， 故选：C 3. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 4. 一个公司共有名210员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本．已知某部门有70名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ） A. 9 B. 6 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列出比例式即可求解. 【详解】设所求为，则，解得. 故选：C. 5. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 6. 已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算律运算即可. 【详解】由题得， 所以. 故选：. 7. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（ ） A. 70，75 B. 70，50 C. 75，1.04 D. 65，2.35 【答案】B 【解析】 【分析】由数据可知平均分不变，结合方差公式，写出更正前和更正后的方差表达式，即可求出更正后的方差. 【详解】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，由题意得， s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有： 75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]， 化简整理得s2＝50. 故选:B. 8. 如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三点共线得到，再由平行四边形定则结合图形关系得到边长关系，最后计算结果即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以， 过作的平行线，分别交于， 则， 又，的平分线交于点， 所以，为正三角形， 所以， 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断 【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 10. 已知向量，的最值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量减法、模的坐标计算公式求出的最值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：BC. 11. 某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表. 睡眠时间/h 6 7 8 9 人数 10 20 15 5 下列关于学生每天睡眠时间的统计量说法中正确的是（ ） A. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 B. 中位数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 C. 平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度 D. 方差为，它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度 【答案】CD 【解析】 【分析】计算平均数并根据平均数的概念判断AC，根据中位数的定义计算并判断B，计算方差并根据方差的概念判断D. 【详解】A.平均数为，故选项错误； B.中位数为，故选项错误； C.平均数为，它可以刻画学生每天睡眠时间的集中程度，故选项正确； D.方差为， 它可以刻画学生每天睡眠时间的离散程度.故选项正确. 故选：CD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若点，点，则的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由终点坐标减去起点坐标即可得解. 【详解】若点，点，则的坐标为. 故答案为： 13. 设向量，则在方向上的投影向量为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由投影向量的定义即可得解. 【详解】若向量，则在方向上的投影向量为 . 故答案为：. 14. 已知一组数据的百分位数，则数据的百分位___________． 【答案】 【解析】 【分析】一组数据全部加上后，那么对应的百分位数也要加上. 【详解】若一组数据的百分位数，则数据的百分位. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简求值． （1）． （2），求向量与向量的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式、两角差的正弦公式即可求解； （2）由向量线性运算的坐标表示、夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以. 16. 为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. （1）求，的值； （2）求样本中在内的频数； （3）若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图及直方图的性质得到方程组，解得即可； （2）首先求出，即可求出频数； （3）求出，从而估计人数. 【小问1详解】 依题意，， 又，且，， 解得，，； 【小问2详解】 因为， 所以样本中在内的频数为； 【小问3详解】 因为， 所以根据样本数据估计全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数约为（人）. 17. 已知． （1）求线段的中点的坐标； （2）若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解； （2）由向量的分解式的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 ， 因为的坐标是，所以线段的中点的坐标是； 【小问2详解】 若点是线段的一个四等分点，点靠近端， 则点是的中点， 类比第一问解析可得， 即点的坐标是. 18. 在中，所对的边分别为． （1）若，解此三角形．（） （2）若，求并判断其形状． 【答案】（1） 由正弦定理可得，，即，解得， 注意到，所以或， （i）当时，，由正弦定理可得， 即，解得， 故此时； （ii）当时，，由正弦定理可得， 即，解得， 故此时； （2）,三角形是直接三角形 【解析】 【分析】（1）由正弦定理解三角形即可； （2）首先求出，然后由勾股定理逆定理说明三角形是直角三角形，进一步即可求得面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则，解得或（舍去）， 注意到， 由勾股定理逆定理可知三角形是直接三角形， 所以三角形的面积为. 19. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． （1）请用，表示向量； （2）若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】（1） （2） 由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【小问1详解】 ，由题意得， 所以． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $