精品解析：天津市滨海新区汉沽第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

天津市滨海新区汉沽第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的计算公式，直接判断选项. 【详解】. 故选：A 2. 在的二项展开式中，中间一项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式的性质，即可求得中间一项的二项式系数，得到答案. 【详解】由二项式的展开式为， 又由二项式的展开式共有项，所以中间一项为第项， 所以中间一项的二项式系数为. 故选：D. 3. 下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） 3 4 5 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质建立等式求解即可． 【详解】根据概率和为1， 得， 解得， 故选：A． 4. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A. 324 B. 328 C. 360 D. 648 【答案】B 【解析】 【详解】考点：排列、组合及简单计数问题． 分析：本题是一个分类计数问题，若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8，若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，排法种数为4×8×8，根据分类加法原理得到结果． 解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题， 若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8=72， 若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法， 确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，∴排法种数为4×8×8=256， ∴256+72=328， ∴可以组成328个没有重复数字的三位偶数 故答案为B 点评：本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是看清楚对于数字0的特殊情况，在最后一位可以得到偶数又不能排在第一位． 5. 若函数在上为增函数，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m的范围即可. 【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题． 6. 某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为（ ） A 15 B. 30 C. 35 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：分高二（1）班有家长发言和没有家长发言两种情况求解，再利用加法原理可求得结果，方法二：先求出7人中任选3人的方法数，再减去高二（1）班2名家长都发言的情况即可 【详解】法一：若高二（1）班有家长发言，共有种，若高二（1）班没有家长发言，共有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有种. 法二：若从7名家长中任选3人，共有种情况，高二（1）班2名家长都发言的情况有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有种. 故选：B. 7. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减 C. 为函数的极大值点 D. 是函数的最小值 【答案】B 【解析】 【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D. 由的图象可知，当时，， 当时，，故为函数的极大值点，A错误； 当时，，故函数在上单调递减，B正确； 当时，，当时，， 故为函数的极小值点，C错误； 当时，，当时，， 故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点， 与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误, 故选：B 8. 在的展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式系数和可求得的值，写出展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】由题意可得，则， 展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为. 故选：B. 9. 某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.现从仓库中任抽取1个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（ ） A. 0.046 B. 0.90 C. 0.952 D. 0.954 【答案】D 【解析】 【分析】借助全概率公式计算即可得. 【详解】设事件为抽中第一批，事件为抽中合格品， 则 . 故选：D. 10. 若离散型随机变量，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的期望和方差公式求和即可. 【详解】因为离散型随机变量， 所以，． 故选：B． 11. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 12. 若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先不等式通过变形，再构造函数，转化为利用导数判断函数的单调区间，即可求参数的取值范围. 【详解】设，不等式，变形为， 设函数，则函数在区间单调递减， 由，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以. 故选：D 二、填空题：本题共8小题，每题5分，共40分. 13. 在的展开式中，的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故答案为： 14. 某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】考生成绩X服从正态分布， 则， 所以从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为. 故答案为： 15. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】（1）根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解. 【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法， 区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法， 区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法， 共有种. 故答案为：144种. 16. 袋子中装有个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为______，若从中任取3个球，用表示取出3球中黑球的个数，则随机变量的数学期望______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率列出方程，求出的值；写出的可能取值及对应的概率，得到数学期望. 【详解】设第一次取得黑球为事件，第二次取得黑球为事件， 则，， 故第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为， 令，解得， 可能取值为0,1,2,3， ，，，， 则. 故答案为：2， 17. 已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________． 【答案】. 【解析】 【分析】构造，根据题意得到在单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解. 【详解】设，可得， 因为对任意，所以，所以在为单调递增函数， 又由，可得， 所以当时，，即不等式的解集为. 故答案为：. 18. 所有项的系数和为32，则__________；则__________． 【答案】 ①. 1 ②. 16 【解析】 【分析】在所给式子中令得到所有项的系数和表达式，列方程求的值，再令，相减得到得值. 【详解】由， 令，得， 又①， 由已知，所以， 所以， 令，得②， ①—②，得，所以， 故答案为：；. 19. 若对于任意，函数都有，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出的最值后可得的取值范围. 【详解】, 故当时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数，故 且， 而， 因，故， 所以， 故，故， 故的最小值为. 故答案为：. 20. 已知函数有零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，判断其单调性，得到函数的最值，结合题意可得到实数的取值范围． 【详解】函数的定义域为，， 令，，则恒成立， 在上单调递增，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ， 函数有零点，则，解得． 故答案为：． 三、解答题：本题共4小题，共50分. 21. 已知二项式，求： （1）二项展开式第3项的二项式系数； （2）二项展开式第8项的系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式可求第3项的二项式系数； （2）仍由展开式的通项公式可求第8项的系数. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 故二项展开式第3项的二项式系数为． 【小问2详解】 二项展开式第8项为， 故二项展开式第8项的系数为16． 22. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列和期望； （2）求小明至少答对一道题的概率. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据离散型分布列的解题步骤，结合数学期望的定义，可得答案； （2）根据题意，求出小明答对0道题的概率，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知， 则，， ，， 所以的分布列如下： 【小问2详解】 设小明至少答对一道题为事件 则. 故小明至少答对一道题的概率为. 23. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的单调区间和极值； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）递增区间为，递减区间为；极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象所过的点及该点处切线的斜率可求的值，再根据极值点可求的值，最后根据导数的符号判断单调性和极值. （2）根据（1）中的单调性可求函数的最小值. 小问1详解】 由题意得在上，故， 而，由题意得， 又，解得，故； 此时， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在上为减函数， 且的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）得当时，单调递增，当时，单调递减， 而， 故当时，函数的最小值为. 24. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）研究的单调区间，进而求出的极值；（2）先求，再解不等式与，求出单调区间，注意题干中的的条件；（3）先把题干中的问题转化为在上有，再结合第二问研究的的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的，求出最后结果 【小问1详解】 当时，，定义域为， 令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值 【小问2详解】 ，定义域为 因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减. 综上：单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有 由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以 当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故. 当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为 令 因为，所以，则，即，不满足题意，舍去 综上所述：a的取值范围为 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市滨海新区汉沽第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 在的二项展开式中，中间一项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 3. 下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） 3 4 5 A. B. C. D. 4. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A. 324 B. 328 C. 360 D. 648 5. 若函数在上为增函数，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为（ ） A. 15 B. 30 C. 35 D. 42 7. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减 C. 为函数的极大值点 D. 是函数的最小值 8. 在的展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 9. 某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.现从仓库中任抽取1个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（ ） A. 0.046 B. 0.90 C. 0.952 D. 0.954 10. 若离散型随机变量，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每题5分，共40分. 13. 在展开式中，的系数为______. 14. 某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为______． 15. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有______种不同涂色方法；（用数字作答） 16. 袋子中装有个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为______，若从中任取3个球，用表示取出3球中黑球的个数，则随机变量的数学期望______． 17. 已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________． 18. 所有项系数和为32，则__________；则__________． 19. 若对于任意，函数都有，则的最小值为____________. 20. 已知函数有零点，则实数取值范围是___________． 三、解答题：本题共4小题，共50分. 21. 已知二项式，求： （1）二项展开式第3项二项式系数； （2）二项展开式第8项的系数． 22. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列和期望； （2）求小明至少答对一道题的概率. 23. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数单调区间和极值； （2）当时，求函数的最小值． 24. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$