专题08：图形的运动【五大重难点题型专练】------- 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题08 图形的运动 题型一：图形的平移 1．（2024松江区八年级下·期末）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)． （1）求证：图中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长： （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由． 2．（2024普陀区校级练习）如图1，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD． （1）求证：四边形AEFD是菱形； （2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长； （3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ=67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由． 3．（2024上海尖子生训练）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒． (1)求点H与点D重合时t的值． (2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______． 题型二：图形的翻折 4．（2023徐汇区·八年级下期末）已知矩形纸片ABCD的边AB=1，AD=2，点M在边AD上（点M不与点A重合），联结BM，将△ABM沿BM翻折，点A落在E处，射线ME交射线BC于点P． (1)如图1，当点M与点D重合时，请求出PC的长； (2)当点P在边BC上时，设AM=x，BP=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)联结CE，△PCE是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有相应的AM的长度；如果不可能，试说明理由． 5．（2023上海崇明·八年级下期末）实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，交DE于点N，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是__________； （2）如图2，线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，，求线段DF的长． 6．（2024大同中学期末）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线、折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形. (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段______和______；______. (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长； (3)如图4，梯形纸片满足，，，，.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出、的长. 题型三：图形的旋转 7.（2024·上海青浦·八年级下期末）已知：在边长为的正方形中，点为对角线上一点，且．将三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与直线交于点，另一条直角边与射线交于点（点不与点重合），将三角板绕点旋转． （1）如图，当点、在线段、上时，求证：； （2）当时，求的面积； （3）当为等腰三角形时，求线段的长． 8．（2024春闵行区期末）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证． (1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． (2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． (3)图中若，，求的面积为______． 9．（2023八年级上·上海·阶段练习）如图1，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH． （1）求证：△ABH≌△HEF； （2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长； （3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长． 10．（2022八年级下·上海浦东新·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG． (1)当点E落在对角线AC上时，AF、EF分别交DC于点M、N． ①求证：MA＝MC； ②求MN的长； (2)在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，请直接写出线段PE的长度． 11．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形． (1)如图，连结、，判断与的位置关系和数量关系，并证明． (2)如图，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点，若，，求． (3)如图，将方形绕点旋转至如图的位置，且，连结，作的角平分线交于点，请写出、、之间的数量关系，并证明． 12．如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：，． (2)若，，求的长． (3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 题型四：动点问题 13．（2024八年级下·上海长宁·期末）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出与满足的数量关系式． 14．（2023八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 15．（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图1，梯形中，，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，且．      (1)当四边形是矩形时，求的长； (2)如果，求的长； (3)当时，求的长． 题型五：特殊平行四边形与平面直角坐标系 16．（2024八年级下·上海青浦·期末）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标； (3)当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标． 17．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m． （1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x＋6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为　 　，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标； （2）直线y＝2x＋b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（2024八年级下·上海·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，射线交轴的负半轴于点．当绕着点旋转时，的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围； （3）如图2，点是轴上的一个点，点是坐标平面内一点．若、、、四点能构成菱形，请写出满足条件的所有点的坐标（不要解题过程）． 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t(0＜t＜5)． （1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？ （2）设四边形OQCD的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到． (1)若； ①如图1，若点在边上，的长为　　； ②、、三点在同一直线上时，求的长； (2)如图3，当点是的中点时，此时点落在矩形内部，延长交于点，若点是的三等分点，求的长． 3.已知：如图．四边形是平行四边形，AB=BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系式，写出函数的定义域； (3)连接，如果以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长． 4．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为． (1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________； (2)如图2，G为的中点，且，求证：； (3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由． 5．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点． (1)连接、． ①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明： ②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明． (2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________． 6．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形． （1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）． （2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M． ①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例： ②连结MB，求证：MB平分． （3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系． 7．如图，在等腰中，，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． 请直接写出线段AF，AE的数量关系； 将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论； 若，，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度． 8.已知：如图，在矩形中，，，，垂足是点是点关于的对称点，连接、． (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为平移距离指点沿方向所经过的线段长度，当点分别平移到线段、上时，直接写出相应的的值． (3)如图，将绕点顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点，与直线交于点，是否存在这样的、两点，使为等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 9.如图，现有矩形和一个含内角的直角三角形按图所示位置放置和重合，其中，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，直线与边交于点，如图所示．    (1)求证：； (2)连接、，当时，求出此时的度数； (3)如图，以为边的矩形内部作正方形，直角边所在直线交线段于点，交于点设，，写出关于的函数解析式． 10．在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，． (1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______． (3)若垂足在对角线上，正方形的边长为． ①如图3，若，，则______； ②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题08 图形的运动 题型一：图形的平移 1．（2024松江区八年级下·期末）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合(如图)．其中，，．并进行如下研究活动：将图中的纸片沿方向平移，联结， (如图)． （1）求证：图中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形(如图)．求此时的长： （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以直接写出的长，如果不可以，说明理由． 【答案】（1）证明见解答；（2）AF=4cm；（3）AF=9cm 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm，由四边形ABDE为矩形，可得AE2+ED2=AD2，建立方程求解即可； （3）设AF=DC=x cm，根据AE=DE，建立方程求解即可． 【解析】解：（1）∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起， ∴ED=AB，∠EDF=∠BAC， ∴ED∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）∵将图1中的纸片DEF沿AC方向平移， ∴AF=DC， ∵BC=EF=6cm，AC=DF=9cm， ∴设AF=DC=x cm，则AD=AC+CD=（9+x）cm， ∵∠DFE=90°=∠AFE， ∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62， ∵四边形ABDE为矩形， ∴∠AED=90°， ∴AE2+ED2=AD2， 即x2+62+92+62=（9+x）2， 解得：x=4， 即AF=4cm； （3）纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形． ∵四边形ABDE能成为菱形， ∴AE=DE， ∴AE2=DE2， 设AF=DC=x cm， ∵∠DFE=∠AFE=90°， ∴AE2=AF2+EF2=x2+62，ED2=DF2+EF2=92+62， ∴x2+62=92+62， 解得：x=9或x=-9（舍去）， 即AF=9cm， ∴当AF=9cm时，四边形ABDE能成为菱形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2024普陀区校级练习）如图1，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，在BC边上取点E，使BE＝AB，将△ABE向左平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD． （1）求证：四边形AEFD是菱形； （2）如图2，将△DCF绕点D旋转至△DGA，连接GE，求线段GE的长； （3）如图3，设P、Q分别是EF、AE上的两点，且∠PDQ=67.5°，试探究线段PF、AQ、PQ之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）PQ2＝PF2+AQ2，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质得到AE∥DF，AE＝DF，则由此判断四边形AEFD是平行四边形，然后由：邻边相等的平行四边形是菱形，证得结论； （2）根据勾股定理，即可求解；（3）如下图，作辅助线，构建三角形全等，证明△PDQ≌△GDQ，得PQ＝GQ，在Rt△AGQ中，根据勾股定理可得结论． 【解析】（1）由平移，得AE∥DF，AE＝DF， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵矩形ABCD，∴∠B=90°，∵BE=AE＝， ∴AE＝4， 又∵AE＝AD＝4， ∴四边形AEFD是菱形． （2）由（1）得：△ABE是等腰直角三角形∴∠AEB=45°， ∵AE∥DF， ∴∠F=∠AEB=45°， ∵矩形ABCD，∴AD∥BC ∴∠DAE=∠AEB=45°， ∴∠GAE=90°， ∵△DCF绕点D旋转得到△DGA， ∴GA=CF＝， ∴． （3）PF、AQ、PQ之间的数量关系为： PQ2＝PF2+AQ2． 理由如下： 由（2）得：∠AEB=45°，∴∠ADF=∠AEF=135°，∵AD＝DF， ∴将△DFP绕点D逆时针旋转135°得△DAG， 连GQ，如图，∴GA＝PF，DG＝DP，∠GDA＝∠PDF，∠GAD＝∠F=45°， ∴∠GAQ＝∠GAD+∠DAE＝90°， ∴GQ2＝GA2+AQ2＝PF2+AQ2； 又∵∠ADF＝135°，而∠PDQ＝67.5°，∴∠PDF+∠ADQ＝135°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠GDA+∠ADQ＝∠GDQ=67.5°，∴∠PDQ＝∠GDQ 而DG＝DP，DQ为公共边，∴△PDQ≌△GDQ， ∴PQ＝GQ， ∴PQ2＝PF2+AQ2． 【点睛】本题目是四边形的综合题型，难度偏高，涉及的知识点有旋转、平移、菱形的判定、勾股定理、三角形全等等重要中考的考点，熟练掌握这些知识点的综合运用是解答本题的关键． 3．（2024上海尖子生训练）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒． (1)求点H与点D重合时t的值． (2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，可得GE＝AE＝2t，FH＝GE＝2t，AF＝AE＝t，EF＝＝，AH＝AF＋FH＝3t，点H与点D重合时，AH＝AD，有3t＝8，即得t＝； （2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，S＝EF•FH＝•2t＝2， ②当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，求出S△DHM＝DH•HM，S＝EF•FH−S△DHM即可得到答案； （3）当O∥AD时，证明O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，解可得到t＝4； 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°， ∵GE∥AD， ∴∠GEB＝∠BAD＝60°， ∴∠EGA＝∠GEB−∠BAC＝30°， ∴∠EGA＝∠BAC＝30°， ∴GE＝AE＝2t， ∵四边形EFHG是矩形， ∴FH＝GE＝2t， 在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝， ∴AH＝AF＋FH＝3t， 点H与点D重合时，AH＝AD， ∴3t＝8， ∴t＝； （2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，如图： 矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积， ∴S＝EF•FH＝， ②当H在边AD延长线上，即＜t≤4时，设HG交CD于M，如图： 在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH−AD＝3t−8， ∴DM＝2DH＝6t−16，HM＝＝， ∴S△DHM＝DH•HM＝， ∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积 S＝EF•FH−S△DHM＝ ， 综上所述，矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积： ， （3）当AD时，如图： ∵四边形EFHG是矩形， ∴是FG的中点， ∵∥AD， ∴是△AFG的中位线， ∴O是AG中点， ∴OA＝OG， 又∵O是AC中点，OA＝OC， ∴G与C重合，此时，E与B重合， ∴t＝ 故答案为：4 【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题． 题型二：图形的翻折 4．（2023徐汇区·八年级下期末）已知矩形纸片ABCD的边AB=1，AD=2，点M在边AD上（点M不与点A重合），联结BM，将△ABM沿BM翻折，点A落在E处，射线ME交射线BC于点P． (1)如图1，当点M与点D重合时，请求出PC的长； (2)当点P在边BC上时，设AM=x，BP=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)联结CE，△PCE是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有相应的AM的长度；如果不可能，试说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)0.5或2或 【分析】（1）根据AAS证明△CPD≌△EPB，设PC=a，则DP=2-a，由勾股定理PC2+ DC2 =PD2,即可求出PC的长； （2）过点M作MQ⊥BC，根据AAS证明△MPQ≌△BPE,即可得出关系式 （3）分情况讨论：P在BC延长线上CP=CE和P在BC上PC=PE 【解析】（1）解：在矩形ABCD 中  AB= CD =1，AD= CB =2，∠A=∠C=90° 由翻折可知 ED= AD=2 ∠E=∠A=90° 又∠DPC=∠BPE ∴△CPD≌△EPB ∴BP=DP，PC=PE 设PC=a， 则DP=2-a 由勾股定理PC2+ DC2 =PD2,得PC2+12 =（2-PC）2 解得PC= （2） 过点M作MQ⊥BC 易证△MPQ≌△BPE ∴BP=MP=y，PQ=PE=x-y 由勾股定理PQ2+ MQ2 =PM2,得(x-y)2+ 12 = y 2 解得 （3）能，理由如下： 当PC=PE时AM=0.5 过点M作MN⊥BC 由勾股定理MN2+ NP2 =MP2,得12+（-x）2=（2-+x）2 解得  x1=0.5 x2=-2（舍去） 同理可得：当PC=PE时AM=2 当CP=CE时AM= 综上可知，AM的长为5或2或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，借助勾股定理进行计算． 5．（2023上海崇明·八年级下期末）实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，交DE于点N，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是__________； （2）如图2，线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，，求线段DF的长． 【答案】（1）正方形．（2）证明见解析部分．（3）3cm 【分析】（1）由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形； （2）连接，证明△△，得，便可得结论； （3）设，则，由勾股定理求出的值即可． 【解析】 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键在于证明三角形全等，第（3）题关键证明利用勾股定理构建方程． 6．（2024大同中学期末）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线、折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形. (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段______和______；______. (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长； (3)如图4，梯形纸片满足，，，，.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出、的长. 【答案】（1）AE，GF，1：2 （2）AD=13 （3）7或或5 【分析】（1）由图可直接得到第一、二空答案，根据折叠的性质可得△AEH与△ABE面积相等、梯形HFGA与梯形FCDG面积相等，据此不难得到第三空答案； （2）对图形进行点标注，如图所示：首先根据勾股定理求得FH的长，再根据折叠的性质以及请到的知识可得AH=FN，HD=HN，然后根据线段和差关系即可得到AD的长； （3）根据题目信息，动手这一下，然后将结合画出来，再结合折叠的性质以及勾股定理的知识分析解答即可． 【解析】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF； 由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG， ∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积， ∴S矩形AEFG=S平行四边形ABCD， ∴S矩形AEFG：S平行四边形ABCD=1：2； 故答案为AE，GF，1：2； （2）∵四边形EFGH是矩形， ∴∠HEF=90°， ∴FH==13， 由折叠的性质得：AD=FH=13； 由折叠的对称性可知：DH=NH，AH=HM，CF=FN． 易得△AEH≌CGF， 所以CF=AH， 所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13． （3）有3种折法，如图4、图5、图6所示： ①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°， ∵四边形EFMB是叠合正方形， ∴BM=FM=4， ∴GM=CM==3， ∴AD=BG=BM-GM=1，BC=BM+CM=7； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC， ∴GH=CD=5， ∵四边形EMHG是叠合正方形， ∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25， ∵∠B=90°， ∴FM=BM==3， 设AD=x，则MN=FM+FN=3+x， ∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25， ∴AD+BC=， ∴BC=-x， ∴MC=BC-BM=-x-3， ∵MN=MC， ∴3+x=-x-3， 解得：x=， ∴AD=，BC=-=； ③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M， 则E、G分别为AB、CD的中点， 则AH=AE=BE=BF=4，CG=CD=5，正方形的边长EF=GF=4， GM=FM=4，CM==3， ∴BC=BF+FM+CM=11，FN=CF=7，DH=NH=8-7=1， ∴AD=5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识，本题综合性强，有一定难度． 题型三：图形的旋转 7.（2024·上海青浦·八年级下期末）已知：在边长为的正方形中，点为对角线上一点，且．将三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与直线交于点，另一条直角边与射线交于点（点不与点重合），将三角板绕点旋转． （1）如图，当点、在线段、上时，求证：； （2）当时，求的面积； （3）当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），或 【分析】（1）如图1，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，垂足分别为点G、H．由正方形的性质可证△PEH≌△PFG，即可证明PE=PF； （2）如图2，过点E作EM⊥BD于点M，当∠FPB=30°时，∠EPB=60°，在Rt△MPE中和Rt△MBE中，设MP=a，则EP=2a，EM=a．可分别表示出EM=BM=a，BP=a+a=3，解得a=，再根据三角形的面积公式求解； （3）分两大类情况讨论：(一)：当点E在射线BC上时，只有BE=BP，如图3，可证△EPH≌△FPG，从而可得BF的长；（二）：当点E在射线BC上时，又可再分三小类情况，①如图4，当EP=BE时，可得BF=BE=3；②当PE=PB时，易证△BPE为等腰直角三角形，F与B重合，舍去；③如图5，当PB=BE时，同理可证△EPH≌△FPG，FG=HE=，BF=BG-FG=． 【解析】解：（1）如图1，过点作，，垂足分别为点、． 四边形为正方形， ，． ． 四边形为正方形． ， ∵， ， 即． 在和中， ． ． （2）如图2，过点作，垂足为点， 当时，， 在中，设，则，． 在中，，． ， ． ． （3）（一）当点在延长线上时， 因为， 所以只有． 如图3，同理可证：， ． ， ． ． （二）当点在射线上时， ①如图4，， ， ， ． ②． ， ， 此时，点和点重合，舍去． ③如图5，．同理可证：， ． ． 综上所述，的长为，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积计算、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想的运用，综合运用这些性质、判定进行推理是解题的关键． 8．（2024春闵行区期末）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证． (1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． (2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． (3)图中若，，求的面积为______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）分别证明、，根据全等三角形的性质解答； （2）由（1）的证明方法相同，证明即可； （3）根据题意求出的面积，根据全等三角形的性质解答． 【解析】（1）解：猜想：，证明如下： 如图，在的延长线上，截取，连接， ∵在和中， ∴， ，， ，， ， ， ， ∵在和中， ， ， 又， ； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ∵和中， ， ，， ， 即， ， ， ∵在和中， ∴， ， ， ； （3）解：∵， ， 的面积为：， 则的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题为四边形的综合题，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得是解题的关键，在（2）中构造三角形全等是解题的关键． 9．（21-22八年级上·上海·阶段练习）如图1，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH． （1）求证：△ABH≌△HEF； （2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长； （3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据两个菱形中，点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上这一特殊的位置关系和CE＝BH可证明相应的边和角分别相等，从而证明结论； （2）由AB＝BC，∠ABC＝，可证明△ABC是等边三角形，从而证明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF中用勾股定理求出DF的长； （3）作FM⊥BG于点M，当EH⊥BC时，可证明CH＝CM＝CG＝BH，从而求出BM、FM的长，再由勾股定理求出BF的长． 【解析】解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形， ∴AB＝BC，CE＝EF， ∵CE＝BH， ∴BH＝EF， ∵BH+CH＝CE+CH， ∴BC＝HE， ∴AB＝HE； ∵点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上， ∴AB∥DG∥EF， ∴∠B＝∠E， 在△ABH和△HEF中， ， ∴△ABH≌△HEF（SAS）． （2）如图2，设FH交CG于点P，连结CF， ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵BH＝CH， ∴AH⊥BC， ∴∠AHB＝90°， 由（1）得，△ABH≌△HEF， ∴∠HFE＝∠AHB＝90°， ∵DG∥EF， ∴∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°， ∴PF⊥CG， ∵CG＝FG，∠G＝∠E＝∠B＝60°， ∴△GFC是等边三角形， ∴PC＝PG＝CG； ∵BC＝AB＝2， ∴CG＝EF＝BH＝BC＝1， ∴PC＝； ∵CD＝AB＝2， ∴PD＝+2＝， ∵CF＝CG＝1， ∴PF2＝CF2﹣PC2＝12﹣（）2＝， ∴． （3）如图3，作FM⊥BG于点M，则∠BMF＝90°， ∵EH⊥BC，即EH⊥BG， ∴EH∥FM， ∵∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴EF∥MH， ∴四边形EHMF是平行四边形， ∵∠EHM＝90°， ∴四边形EHMF是矩形， ∴EH＝FM； ∵EF＝EC，∠CEF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴CE＝CF， ∵∠EHC＝∠FMC＝90°， ∴Rt△EHC≌Rt△FMC（HL）， ∴CH＝CM＝CG； ∵CG＝CE＝BH， ∴CH＝BH， ∴CM＝CH＝BC＝×2＝， ∴CF＝CG＝2CM＝2×＝， ∴＝（）2﹣（）2＝， ∵BM＝2+＝， ∴． 【点睛】本题主要考查了几何综合，其中涉及到了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质等，熟悉掌握几何图形的性质和合理做出辅助线是解题的关键． 10．（2022八年级下·上海浦东新·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG． (1)当点E落在对角线AC上时，AF、EF分别交DC于点M、N． ①求证：MA＝MC； ②求MN的长； (2)在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，请直接写出线段PE的长度． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)8-或8+ 【分析】（1）①利用矩形性质和旋转性质证明∠MAC=∠MCA，再根据等腰三角形的等角对等边即可证得结论；②先利用勾股定理求得AM、AC，进而求得MF，再证明∠MFN=∠MNF得到MN=MF即可求解； （2）先利用勾股定理求得AP，分情况画图，由PE=AP+AE和PE=AE-AP进行求解即可． 【解析】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，CD=AB=8，BC=AD=6        , ∴∠MCA=∠CAB， 由旋转性质得∠CAB=∠MAC， ∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC； ②解：设MA=MC=x，则DM=8-x， 在Rt△ADM中，由勾股定理得：62+（8-x）2=x2， 解得：x=    ， 在Rt△ABC中，， 旋转性质得：AF=AC=10，∠AEF=∠B=90°， ∴FM=AF-AM=，∠MAC+∠AFE=90°，∠CNE+∠MCE=90°， ∵∠MAC=∠MCE，∠MNF=∠CNE， ∴∠AFE=∠MNF，即∠MFN=∠MNF， ∴MN=MF=． （2）解：分情况讨论， ①如图1，过点B作BH⊥AC于H，则∠GAP=∠BHP=90°, ∵点P为GB的中点， ∴GP=BP，又∠APG=∠HPB， ∴△APG≌△HPB（AAS）， ∴AP=HP，AG=BH=6， ∴在Rt△AHB中，， ∴AP=PH=AH=， ∴PE=AE-AP=8-； ②如图2，过点B作BK⊥EA交EA延长线于K，则∠GAP=∠BKP=90°， ∵点P为GB的中点， ∴GP=BP，又∠APG=∠KPB， ∴△APG≌△KPB（AAS）， ∴AP=KP，AG=BK=6， ∴在Rt△AKB中，， ∴AP=KP=AK=， ∴PE=AE+AP=8+， 综上，线段PE的长度为8-或8+ 【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键，注意分类讨论思想的运用． 11．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形． (1)如图，连结、，判断与的位置关系和数量关系，并证明． (2)如图，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点，若，，求． (3)如图，将方形绕点旋转至如图的位置，且，连结，作的角平分线交于点，请写出、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】延长交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出结论； 过点作于点，证明≌，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，，求出的长，由三角形面积公式可得出答案； 在上截取，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论． 【解析】（1）解：，． 证明：如图，延长交于点， 在正方形和正方形中，，，， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ； （2）过点作于点， ， ， ，， ， 又，， ≌， ， ，，， ≌， ，， ， ， ∴EG∥PB， ， ； （3）． 证明：在上截取，连接， 正方形和正方形中，， ，， ， ≌， ，， 平分， ， 又，， ≌， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 12．如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：，． (2)若，，求的长． (3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)与的面积之差不变，且． 【分析】（1）根据证明，得，再根据三角形内角和定理和对顶角相等可得； （2）由，在中求得，从而得和的长，最后利用勾股定理即可求得结果； （3）如图3，过A作于P，过C作于Q，先证明，得，可得，从而得结论． 【解析】（1）证明：如图1，∵四边形和是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接与交于点M， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：与的面积之差不变，且， 如图3，过A作于P，过C作交其延长线于Q， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，难度适中，证明三角形全等是解决问题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型四：动点问题 13．（2024八年级下·上海长宁·期末）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析，AF=10cm (2)①；②b=24-a 【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴//． ∴． ∵垂直平分，垂足为， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为菱形； 设菱形的边长，则， 在中，， 即， 解得x=10， ∴AF=10cm； （2）解：由（1）得，则． ①显然当点在上时，点在上， 此时A、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形． 因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点的速度为每秒5cm，点的速度为每秒4cm，运动时间为秒， ∴， ， ∴， 解得， ∴以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．分三种情况∶ i：如图1，当点在上、点在上时，， ∴，即， ∴b=24-a； ii：如图2，当点在上、点在上时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴b=24-a； iii：如图3，当点在上、点在上时，， ∴，即， ∴b=24-a； 综上所述，a与b满足的函数关系式是b=24-a． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，勾股定理等，解题的关键在于综合应用上述知识，利用分类讨论的思想进行求解． 14．（2023八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，得到BC=CD，，，根据全等三角形的判定得到△EBC≌△FCD，从而得出结论； （2）根据勾股定理，可得，再根据△EBC≌△FCD和正方形的性质，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：①当点E在线段DB上，②当点E在线段DB延长线上；根据正方形的性质，得到∠CEF=45°，根据三角形的内角和，得到的度数，再跟你讲三角形外角定理和等腰三角形的判定，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，BD平分∠ABC， ∴， 由题意得EC=FC，∠ECF=90°， ∴， 即， ∴△EBC≌△FCD， ∴； （2）∵∠BCD=90°，BC=CD=6， ∴， ∵△EBC≌△FCD，DF =y， ∴BE=DF= y， ∵DE=x， ∴， 函数定义域为； （3）联结AE，联结AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC， ∴AE=EC，∴∠AEB=∠CEB， ∵EC=FC，∠ECF=90° ，∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ①当点E在线段DB上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠BAE=180°－∠AEB－∠ABE=67.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6，∴， ②当点E在线段DB延长线上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠EAB=∠ABD－∠AED=22.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了动点问题，包含了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正方形的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的判定等，能够正确画图并综合运用所学相关知识是解题的关键． 15．（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图1，梯形中，，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，且．      (1)当四边形是矩形时，求的长； (2)如果，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1)当四边形是矩形时，. (2). (3) 【分析】（1）如图，设，则，证明，,可得，从而可得答案； （2）如图，过作于，证明，四边形为矩形，设，则，，，，建立，再解方程即可；第二种情况不符合题意，舍去； （3）如图，作的垂直平分线交于，交于，连接， 可得，作平分，交于，截取，连接，证明，可得，,证明，设，则，可得，从而可得答案. 【解析】（1）解：如图，设，则，    ∵，，矩形， ∴，， ∴， 解得：， ∴当四边形是矩形时，. （2）如图，过作于， ∵梯形，，， ∴，四边形为矩形，    设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴或（不符合题意舍去）. ∴. 如图，    同理可得：， 解得：或， 经检验都不符合题意，舍去. （3）如图，作的垂直平分线交于，交于，连接， ∴， ∴， ∴ ，    作平分，交于，截取，连接， ∴，而， ∴， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴. 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键. 题型五：特殊平行四边形与平面直角坐标系 16．（2024八年级下·上海青浦·期末）如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标； (3)当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据，求出点的坐标，利用待定系数法，求出直线的解析式即可． （2）分是正方形的边、是正方形的对角线两种情况，利用正方形性质即可求解． （3）当时，，利用两点间距离可求点坐标；当时，，此时，过点作交于，过点作轴交于，由是等腰直角三角形，求出，再由是的中点，求出的另一个点坐标即可． 【解析】（1）解：，点， ， ， ， ， 点在轴负半轴上， ， 设直线的解析式是， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①当是正方形的边时，对应的正方形为， ，，， ， ； ②当是正方形的对角线时，对应的矩形为， 、是正方形对角线， 线段和线段互相垂直平分， 点、的横坐标为， ， ， 综上所述：点的坐标为或； （3）解：设， ①当时，， ， ， ； ②当时，， 此时， 是等腰三角形， 过点作交于，过点作轴交于， ， ， 是等腰直角三角形， 是的中点， ， ， 是的中点， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角的判定与性质，等腰三角形的性质，数形结合解题是关键． 17．已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m． （1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x＋6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为　 　，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标； （2）直线y＝2x＋b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点D（4,14）；（2）存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形，点D的坐标或． 【分析】（1）过点D作DE⊥y轴于E，PF⊥y轴于F，设D点横坐标为n，点D在第一象限且是直线y＝2x＋6上的一点，可得点D（n,2n+6）,根据△APD是等腰直角三角形，可得∠EDA=∠FAP，可证△EDA≌△FAP（AAS），可得AE=PF，ED=FA，再证四边形AFPB为矩形，得出点D（n，14），根据点D在直线y＝2x＋6上，求出n=4即可； （2）直线y＝2x＋b过点（3，0），求出b =-6，设点D（x, 2x-6），分三种情况当∠ADP=90°，AD=DP，△ADP为等腰直角三角形，证明△EDA≌△FPD（AAS），再证四边形OCFE为矩形，EF=OC=8，得出DE+DF=x+2x-14=8；当∠APD=90°，AP=DP，△ADP为等腰直角三角形，先证△ABP≌△PFD（AAS），得出CF=CB+PF-PB=6+8-（x-8）=22-x=2x-6；当∠PAD=90°，AP=AD，△ADP为等腰直角三角形，先证四边形AFPB为矩形，得出PF=AB=8，再证△APF≌△DAE（AAS），得出求解方程即可 【解析】解：（1）过点D作DE⊥y轴于E，PF⊥y轴于F， 设D点横坐标为n，点D在第一象限且是直线y＝2x＋6上的一点， ∴x=n，y＝2n＋6， ∴点D（n,2n+6）, ∵△APD是等腰直角三角形， ∴DA=AP，∠DAP=90°， ∴∠DAE+∠FAP=180°-∠DAP=90°， ∵DE⊥y轴，PF⊥y轴， ∴∠DEA=∠AFP=90°， ∴∠EDA+∠DAE=90°， ∴∠EDA=∠FAP， 在△EDA和△FAP中， ， ∴△EDA≌△FAP（AAS）， ∴AE=PF，ED=FA， ∵四边形OABC为矩形，B的坐标为（8，6）， ∴AB=OC=8，OA=BC=6，∠FAB=∠ABP=90°， ∵∠AFP=90°， ∴四边形AFPB为矩形， ∴PF=AB=8， ∴EA=FP=8， ∴OE=OA+AE=6+8=14， ∴点D（n，14）， ∵点D在直线y＝2x＋6上， ∴14＝2n＋6,， ∴n=4， ∴点D（4,14）； （2）直线y＝2x＋b过点（3，0）， ∴0＝6＋b， ∴b =-6， ∴直线y＝2x-6， 设点D（x, 2x-6）， 过点D作EF⊥y轴，交y轴于E，交CB延长线于F， 要使△ADP为等腰直角三角形， 当∠ADP=90°，AD=DP，△ADP为等腰直角三角形， ∴∠ADE+∠FDP=180°-∠ADP=90°， ∵DE⊥y轴，PF⊥y轴， ∴∠DEA=∠AFP=90°， ∴∠EDA+∠DAE=90°， ∴∠EAD=∠FDP， 在△EDA和△FPD中， ， ∴△EDA≌△FPD（AAS）， ∴AE=DF=2x-6-8=2x-14，ED=FP=x， ∵四边形OABC为矩形，AB=OC=8，OA=BC=6， ∴∠OCF=90°， ∴四边形OCFE为矩形，EF=OC=8， ∴DE+DF=x+2x-14=8， 解得x=， ∴， ∴点D； 当∠APD=90°，AP=DP，△ADP为等腰直角三角形， ∴∠APB+∠DPF=90°， 过D作DF⊥射线CB于F， ∴∠DFP=90°， ∵四边形OABC为矩形， ∴AB=OC=8，OA=CB=6，∠ABP=90°， ∴∠BAP+∠APB=90°， ∴∠BAP=∠FPD， 在△ABP和△PFD中， ， ∴△ABP≌△PFD（AAS）， ∴BP=FD=x-8,AB=PF=8， ∴CF=CB+PF-PB=6+8-（x-8）=22-x=2x-6， 解得x=， ∴， ∴点D； 当∠PAD=90°，AP=AD，△ADP为等腰直角三角形， ∴∠EAD +∠PAF=90°， 过D作DE⊥y轴于E，过P作PF⊥y轴于F， ∴∠DEA=∠PFA=90°， ∴∠FAP+∠FPA=90°， ∴∠FPA=∠EAD， ∵四边形OABC为矩形， ∴AB=OC=8，OA=CB=6，∠ABP=∠BAO=90°， ∵∠PFA=90°， ∴四边形AFPB为矩形， ∴PF=AB=8， 在△APF和△DAE中， ， ∴△APF≌△DAE（AAS）， ∴FP=AE=8，AF=DE=6-m， ∴OE=OA+AE=6+8=14， ∴， 解得：， ∵PC＝m≥0， ∴AF=6-m≤6＜10， ∴此种情况不成立； 综合存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形，点D的坐标或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质，掌握等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质是解题关键． 18．（20-21八年级下·上海·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，射线交轴的负半轴于点．当绕着点旋转时，的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围； （3）如图2，点是轴上的一个点，点是坐标平面内一点．若、、、四点能构成菱形，请写出满足条件的所有点的坐标（不要解题过程）． 【答案】（1）y＝−x＋2；（2）OC−OD的值不发生变化，值为8；（3）（−8，2），（2，-2），（-2，-2），（，6） 【分析】（1）由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB的解析式； （2）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F，可证明△AEC≌△AFD，可得到EC＝FD，从而可把OC−OD转化为FD−OD，再利用线段的和差可求得OC−OD＝OE＋OF＝8； （3）分AM为对角线、AB为对角线和BM为对角线，分别利用菱形的性质，画出图形，求出M点的坐标，进而即可求出P的坐标． 【解析】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx＋b（k≠0）． ∵点A（−4，4），点B（0，2）在直线AB上， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为：y＝−x＋2； （2）不变．理由如下： 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，如图． 则∠AEC＝∠AFD＝90°， 又∵∠BOC＝90°， ∴∠EAF＝90°， ∴∠DAE＋∠DAF＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠DAE＋∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠DAF． ∵A（−4，4）， ∴OE＝AF＝AE＝OF＝4． 在△AEC和△AFD中 ， ∴△AEC≌△AFD（ASA）， ∴EC＝FD． ∴OC−OD＝（OE＋EC）−（FD−OF）＝OE＋OF＝8． 故OC−OD的值不发生变化，值为8； （3）①AM为对角线时，连接BP交AM于点H，连接PA、PM，如图， ∵四边形ABMP为菱形， ∴PB⊥AM，且AH＝HM，PH＝HB， ∵∵A（−4，4），B（0，2）， ∴P点坐标为（−8，2）； ②BM为对角线时，如图， 设M（m，0）， ∵四边形ABPM为菱形， ∴AM=AB，即：，解得：m=-6或-2， ∴M（-6，0）或（-2，0）， ∴P（2，-2）或（-2，-2）； ③AB为对角线时，如图， ∵四边形AMBP为菱形， ∴AM=BM，即：，解得：m=， ∴M（，0）， ∴P（，6）； 综上可知满足条件的所有点P的坐标为（−8，2），（2，-2），（-2，-2），（，6）． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t(0＜t＜5)． （1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？ （2）设四边形OQCD的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t＝时，四边形ABQP是平行四边形；（2）y＝t＋3；（3）存在，当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上 【分析】（1）根据ASA证明△APO≌△CQO，再根据全等三角形的性质得出AP＝CQ＝t，则BQ＝5－t，再根据平行四边形的判定定理可知当AP∥BQ，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5－t，求出t的值即可求解； （2）过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G，根据勾股定理求出AC＝4，由Rt△ABC的面积计算可求得AH＝，利用三角形中位线定理可得OG=，再根据四边形OQCD的面积y= S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG，代入数值计算即可得y与t之间的函数关系式； （3）如图2，若OE是AP的垂直平分线，可得AE＝AP＝，∠AEO＝90°，根据勾股定理可得AE2＋OE2＝AO2，由(2)知：AO＝2，OE＝，列出关于t的方程，解方程即可求出t的值． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠PAO＝∠QCO． 又∵∠AOP＝∠COQ， ∴△APO≌△CQO， ∴AP＝CQ＝t． ∵BC＝5， ∴BQ＝5－t． ∵AP∥BQ， 当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， 即t＝5－t， ∴t＝， ∴当t＝时，四边形ABQP是平行四边形； （2）如图1，过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G． 在Rt△ABC中， ∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4， ∴CO＝AC＝2， S△ABC＝AB·AC＝BC·AH， ∴3×4＝5AH， ∴AH＝． ∵AH∥OG，OA＝OC， ∴GH＝CG， ∴OG＝AH＝， ∴y＝S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG， ∴y＝×2×3＋×t×＝t＋3； （3）存在． 如图2， ∵OE是AP的垂直平分线， ∴AE＝AP＝，∠AEO＝90°， 由(2)知：AO＝2，OE＝， 由勾股定理得：AE2＋OE2＝AO2， ∴(t)2＋()2＝22， ∴t＝或－(舍去)， ∴当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上． 故答案为（1）当t＝时，四边形ABQP是平行四边形（2）y＝t＋3（3）存在，当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上． 【点睛】本题考查平行四边的判定与性质、勾股定理，三角形全等，解题的关键是掌握相应的判定定理． 2．已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到． (1)若； ①如图1，若点在边上，的长为　　； ②、、三点在同一直线上时，求的长； (2)如图3，当点是的中点时，此时点落在矩形内部，延长交于点，若点是的三等分点，求的长． 【答案】(1)①6；②2 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得、，；①由点在边上可得四边形是正方形，然后由正方形的性质可得即可解答；②由折叠的性质可得，，进而得到，根据三角形的面积求得，然后根据勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）如图3，连接，先证可得；设，则、，再根据勾股定理列方程求得x，进而求得． 【解析】（1）解：四边形是矩形， ，，， ①如图1，点在边上， ∴根据折叠有：， ∴四边形是正方形， ， 故答案为：6． ②如图2，由折叠得，， ， ， ， ， ， 的长为2． （2）解：如图3，连接， 点是的中点， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， 设， 点是的三等分点， ，， ， ，解得，（不符合题意，舍去）， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 3.已知：如图．四边形是平行四边形，AB=BC，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系式，写出函数的定义域； (3)连接，如果以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)（0＜x＜6） (3) 【分析】（1）连接AC，通过证明△ABE≌△ACF（ASA）即可得出BE＝CF； （2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，先根据勾股定理求出AH的长，又CF＝BE＝x，DF＝6−x，根据三角形的面积公式即可列出函数关系式； （3）根据题意画出图形，并连接BD，先根据四边形BDFA是平行四边形，证出∠BAE为直角，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∠BEA＝30°，AB＝6，继而即可求出BE的长． 【解析】（1）证明：连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC，AC平分∠BCD，∠BAD，，， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∠BAC＝∠DAC＝60°， 又∵∠BAE＋∠MAC＝60°，∠CAF＋∠MAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE＝CF． （2）解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，如图所示： 在Rt△ADH中，∠D＝60°，∠DAH＝90°−60°＝30°， ∴DH＝AD＝×6＝3，， 又∵CF＝BE＝x，DF＝6−x， ∵S△ADF＝DF•AH， ∴， 即（0＜x＜6）． （3）解：①当点F在CD的延长线上时，连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴，平分∠ADC和∠ABC， ∴∠ADB＝∠ADC＝30°， 当四边形BDFA是平行四边形时，， ∴∠FAD＝∠ADB＝30°， ∴∠DAE＝60°−30°＝30°，∠BAE＝120°−30°＝90°， 在Rt△ABE中，∠ABE＝60°， ∴∠BEA＝90°-60°=30°， ∵AB＝6， ∴BE＝2AB＝2×6＝12； ②当点F与C重合时，点E与点B重合（不合题意舍去）； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，是一道综合题，有一定难度，关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用． 4．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为． (1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________； (2)如图2，G为的中点，且，求证：； (3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)1，30 (2)见解析 (3)能，为或 【分析】（1）根据矩形的性质可知点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，可知点到边的距离为1；根据旋转的性质得，即可判定 ，然后根据平行线的性质即可得到 ； （2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS” 可判断，则； （3）根据正方形的性质得CB=CD，而，则 和为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当 和为钝角三角 形时，可计算出α=135°，当 和为锐角三角形时，可计算得到α=315°． 【解析】（1）解：由题意可知，当点恰好落在边上时，点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1， ∴点到边的距离为：1， ∵CE=1，， ∴在中，， ∵， ∴， 故答案为：1，30； （2）证明：∵G为中点， ∴， ∴， ∵长方形绕点C顺时针旋转至， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴； （3）能，理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴CB=CD， ∵， ∴和为腰相等的两等腰三角形， 当时，， 当和为钝角三角形时，则旋转角=， 当和为锐角三角形时， ， 则=， 即旋转角的值为135°或315°时，和全等． 【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键． 5．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点． (1)连接、． ①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明： ②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明． (2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证； ②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明； （2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解． 【解析】（1）①如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴,， ∴， ∵为的中点， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②， 证明：如图，延长交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵落在对角线的延长线上， ∴， ∴， ∴在的延长线上， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， , ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， 设，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （2）如图，连接， ∵ ∴当在上时，如图，此时最大，， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴ 当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形， 此时， 综上所述，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 6．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形． （1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）． （2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M． ①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例： ②连结MB，求证：MB平分． （3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系． 【答案】（1）AG=EC，AG⊥EC；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）CM=BN． 【分析】（1）由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证； （2）①利用SAS得出△ABG≌△CEB即可解决问题； ②过B作BP⊥EC，BH⊥AM，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线； （3）在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到BQ=BN，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【解析】解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为： ∵正方形BEFG，正方形ABCD， ∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°， 在△ABG和△BEC中， ， ∴△ABG≌△BEC（SAS）， ∴CE=AG，∠BCE=∠BAG， 延长CE交AG于点M， ∴∠BEC=∠AEM， ∴∠ABC=∠AME=90°， ∴AG=EC，AG⊥EC； （2）①满足，理由是： 如图2中，设AM交BC于O． ∵∠EBG=∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， 在△ABG和△CEB中， ， ∴△ABG≌△CEB（SAS）， ∴AG=EC，∠BAG=∠BCE， ∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM， ∴∠BCE+∠COM=90°， ∴∠OMC=90°， ∴AG⊥EC． ②过B作BP⊥EC，BH⊥AM， ∵△ABG≌△CEB， ∴S△ABG=S△EBC，AG=EC， ∴EC•BP=AG•BH， ∴BP=BH， ∴MB平分∠AME； （3）CM=BN， 理由为：在NA上截取NQ=NB，连接BQ， ∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=BN， ∵∠AMN=45°，∠N=90°， ∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN， ∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM， ∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠MBC=∠BAN， 在△ABQ和△BCM中， ， ∴△ABQ≌△BCM（SAS）， ∴CM=BQ， 则CM=BN． 【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键． 7．如图，在等腰中，，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． 请直接写出线段AF，AE的数量关系； 将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论； 若，，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度． 【答案】（1），证明见解析；（2）① ②或． 【分析】（1）如图①中，结论，只要证明是等腰直角三角形即可； （2）①如图②中，结论：，连接EF，DF交BC于K，先证明≌再证明是等腰直角三角形即可；②分两种情形a、如图③中，当时，四边形ABFD是菱形；、如图④中当时，四边形ABFD是菱形分别求解即可． 【解析】（1）如图①中，结论：． 理由：四边形ABFD是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． （2）①如图②中，结论：． 理由：连接EF，DF交BC于K． 四边形ABFD是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等腰直角三角形， ． ②如图③中，当时，四边形ABFD是菱形， 设AE交CD于H， ∵AC=AD，CE=DE，AE=AE， ∴△ADE≌△ACE（SSS）， ∴∠DEH=∠CEH， ∵ED=EC，EH=EH， ∴△DHE≌△CHE（SAS）， ∴∠EHD=∠EHC， ∴， ∴， ∴， 如图④中当时，四边形ABFD是菱形，同理可求， 综上所述，满足条件的AE的长为或． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型． 8.已知：如图，在矩形中，，，，垂足是点是点关于的对称点，连接、． (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为平移距离指点沿方向所经过的线段长度，当点分别平移到线段、上时，直接写出相应的的值． (3)如图，将绕点顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点，与直线交于点，是否存在这样的、两点，使为等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)3或 (3)存在，，，， 【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如答图所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出的值； （3）在旋转过程中，等腰有种情形，如答图所示，对于各种情形分别进行计算． 【解析】（1）解：在中，，， 由勾股定理得：． ， ． 在中，，，由勾股定理得：． （2）设平移中的三角形为，如答图所示： 由对称点性质可知，． 由平移性质可知，，，． 当点落在上时， ， ， ， ，即； 当点落在上时， ， ， ，， ， 又易知， 为等腰三角形， ， ∴，即． （3）存在．理由如下： 在旋转过程中，等腰依次有以下种情形： 如答图所示，点落在延长线上，且，易知， ，， ， ， ． 在中，由勾股定理得：． ； 如答图所示，点落在上，且，易知， ， ， ，则此时点落在边上． ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ； 如答图所示，点落在上，且，易知． ，， ． ， ． ， ， ， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得：， ； 如答图所示，点落在上，且，易知． ，，， ， ∴， ． 综上所述，存在组符合条件的点、点，使为等腰三角形； 的长度分别为、、或 【点睛】本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算． 9.如图，现有矩形和一个含内角的直角三角形按图所示位置放置和重合，其中，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，直线与边交于点，如图所示．    (1)求证：； (2)连接、，当时，求出此时的度数； (3)如图，以为边的矩形内部作正方形，直角边所在直线交线段于点，交于点设，，写出关于的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据矩形的性质与旋转的性质得出，即可得证； （2）当时，可知点在的垂直平分线上，过点作于点，于点， 可得四边形是矩形，根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的性质得出，取的中点，则，，即是等边三角形，得出是等边三角形，进而得出，，即可求解； （3）连接，证明，得出，在中，勾股定理得出，进而即可求解． 【解析】（1）解：连接，    四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ； （2）当时，可知点在的垂直平分线上， 过点作于点，于点，    ， 四边形是矩形， ， ，， ∴， ， 在中，，， 取的中点，则， ∴ 即是等边三角形， ∴， ， ； 此时旋转角为. （3）连接，    四边形是正方形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 整理得 【点睛】本题考查了矩形的性质于判定，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，求函数解析式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 10．在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，． (1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______． (3)若垂足在对角线上，正方形的边长为． ①如图3，若，，则______； ②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______． 【答案】(1)；理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论； （2）连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论； （3）①过点分别作垂足分别为，则，证明，设，根据，求得，即可得出； ②连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明得出，证明得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果． 【解析】（1）∵四边形是正方形， ，，， 过点作分别交、于点、，如图所示： 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； （2）连接，过点作，分别交、于点、，如图所示： 四边形是正方形， 四边形为矩形， ，，， 是正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形，，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． （3）①解：如图所示， 过点分别作垂足分别为，则 在正方形对角线上， ，是等腰直角三角形， ， ， 又， ， ， ， 设， ，， 解得：， 则， 故答案为：． 连接交于点，如图所示： 则的直角顶点在上运动， 设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为， ，， ， 当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接， 点在上， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折性质得：， 在和中， ， （）， ，'， 是正方形的对角线， ， 则， ， ， ，故， 点在线段上运动； 过点作，垂足为， 点为的中点， ，则的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$