专题07：动点产生的特殊四边形存在性【六大重难点题型专练】　2024-2025学年沪教版（上海）数学八年级第二学期

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题07 动点产生的特殊四边形存在性 题型一：平行四边形的存在性 1．（2024西南位育中学期末）已知，平行四边形中，，，，点，分别是线段和上的动点，点以的速度从点出发沿向点运动，同时点以的速度从点出发，在上沿方向往返运动，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，．设运动时间为，请回答下列问题：    (1)当为何值时，平分？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接并延长，交的延长线与点，连接．设的面积为，求与之间的关系式． 【答案】(1) (2)当时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，当平分，可得是等腰三角形，即，由此即可求解； （2）以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，则，分别用含的式子表示的长度，根据题意，分类讨论，即可求解； （3）如图所示，过点作交于点，作交于点，根据平行四边形的性质，可得是等腰直角三角形，由此可求出，，再根据，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，    ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵点以的速度从点出发沿向点运动， ∴， ∴． （2）解：假设存在合题意的，便得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的速度为，点的速度为， ∴点从点运动到点的时间为，点从点运动到点的时间为，点从点返回运动到点的时间为， ∴①当时，，， ∵， ∴，解得（不符合题意，舍去）， ②当时，，， ∵， ∴，解得， 综上所述，当时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． （3）解：如图所示，过点作交于点，作交于点，    在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，，同理可得，， ∵点的速度为， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，掌握动点运动的规律，平行四边形的性质及判定，等腰三角形的性质，勾股定理，不规则图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 2．（2023春建平中学期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． (1)用含t的代数式表示：QB＝ ，PD＝ ； (2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． (3)如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M经过的路径长． 【答案】(1)8-2t，t (2)t=2.4 (3) 【分析】（1）根据题意得到CQ=2t，AP=t，AD=t，利用勾股定理可求出PD； （2）根据平行四边形的判定方法列出关于t的方程，解方程即可； （3）以点C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出直线M′M′′的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征得到PQ的中点M在直线M′M′′上，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：CQ=2t，AP=t，AD=t， ∴BQ=8-2t，CP=6-t． 又∵PD⊥AC， ∴PD==t． 故答案为：8-2t，t； （2）解：存在． 若四边形BQPD为平行四边形，则BQ与PD平行且相等， ∵BC⊥AC，PD⊥AC， ∴BQ∥PD， 由BQ＝PD可得：t=8-2t， 解得t=2.4． 答：存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形，此时t=2.4； （3）解：以点C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系， 由题意得，0≤t≤4， 当t=0时，点M′的坐标为（3，0）， 当t=4时，点M′′的坐标为（1，4）， 设直线M′M′′的解析式为：y=kx+b， 则， 解得，， ∴直线M′M′′的解析式为：y=-2x+6， 由题意得，点P的坐标为（6-t，0），点Q的坐标为（0，2t）， ∴在运动过程中PQ的中点M的坐标为（，t）， 当x=时，y=-2×+6=t， ∴点M在直线M′M′′上， 作M′′N⊥x轴于N， 则M′′N=4，M′N=2， 由勾股定理得，M′M′′=＝， ∴线段PQ中点M所经过的路径长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、待定系数法求一次函数解析式、点的运动路径问题，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、正确确定点的运动路径是解题的关键． 题型二：矩形的存在性 3．（2023春文来中学期末）在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P运动的时间为ts． (1)若点P和点Q同时运动了7秒，与有什么数量关系？并说明理由； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据点P、点Q的运动时间和运动速度，证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）当时，四边形是矩形，即． 【详解】（1）解：， 由题意得：，， ∵，，， ∴，， 当时，，， ∴， ∵即 ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：存在 理由：∵在四边形中，，， ∴当时，四边形是矩形， ∴，解得：， ∴当时，四边形是矩形． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解一元一次方程，灵活运用学知识是解题关键． 4．（2024松江区期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为 ，的取值范围为 ． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）根据列方程可得时；由；根据，可得，可得出结论； 【详解】（1）如图1，过点D作于E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：； ∵点P从点A出发，以的速度向点D运动，， ∴点P运动到D的时间为：， 同理得：点Q运动到点B的时间为：， ∴； 故答案为：，； （2）解：如图所示，当是矩形时，， ∵ ∴ 解得：； （3）如图2，过点P作于F，过点D作于E， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵∠， ∴四边形矩形， ∴， ∴，即， ∴， 如图3，∵， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即当时，，此时； 综上所述，当或时，； 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键． 题型三：菱形的存在性 5．（2024黄浦区校级模拟 ）已知，如图O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒3个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，△BDP的面积为10？ (2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，△BDP的面积为10 (2)t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（−3，4）或t＝1，点Q（8，4） 【分析】（1）根据点的坐标以及由三角形的面积公式可求解； （2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵B（10，4），点D是OA的中点， ∴BC＝10，OC＝4，OD＝DB＝5， ∵△BDP的面积为10， ∴×BP×4＝10， ∴BP＝5， ∴CP＝5， ∴t＝； ∴当时，△BDP的面积为10 （2）①当点Q在线段BC上时，如图1， 若四边形ODPQ是菱形， ∴OQ＝OD＝5， 在Rt△OCQ中，CQ＝＝3， ∴CP＝3＋5＝8， ∴t＝，点Q的坐标为（3，4）； 若四边形ODQP是菱形， 同理可得点P（3，4），PQ＝5， ∴t＝＝1，点Q（8，4）； ②当点Q在射线BC上时，如图2， ∵四边形ODPQ是菱形， ∴OQ＝OD＝5， 在Rt△OCQ中，CQ＝＝3， ∴CP＝5−3＝2， ∴t＝，点Q的坐标为（−3，4）． 综上所述：t＝，点Q的坐标为（3，4）或t＝，点Q的坐标为（−3，4）或t＝1，点Q（8，4）． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 6．（2024黄浦区校级模拟 ）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ (2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段PB上有一点M，且PM=10，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并在图②画出点M的位置． 【答案】(1)当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形； (2)存在，当t=3时，Q（16,8），t=8时，Q（6,8），t=2时，Q（﹣6,8）； (3)2.5 【分析】（1）由四边形OABC为矩形，A（20,0），C（0,8），可知BC=OA=20，AB=OC=8，由点D是OA的中点，可得，由运动可知，PC=2t，则BP=BC－PC=20－2t，由于四边形PODB是平行四边形，则PB=OD=10，解得t＝5，故当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形； （2）分三种情况讨论①当Q点在P点右边时，当Q在P左侧，且在BC上时，当Q在P的左侧，且在BC的延长线上时，分别计算即可； （3）由（1）知，OD=10，由于PM=10，则OD=PM，由于BCOA，则四边形OPMD是平行四边形，则OP=DM，根据四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=20+AM+10+DM=30+AM+DM，可知AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，则作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于点M，则AB=EB，由BCOA，可知，进而可知PC=BC－BM－PM=20－10－5=5，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形OABC为矩形，A（20,0），C（0,8）， ∴BC=OA=20，AB=OC=8， ∵点D是OA的中点， ∴， 由运动知，PC=2t， ∴BP=BC－PC=20－2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB=OD=10， 解得t＝5， ∴当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形； （2）解：分为三种情况： 当Q点在P点右边时，如下图， ∵四边形ODQP是菱形， ∴OD=OP=PQ=10， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理可得：， ∴2t=6， 解得t=3， ∴Q（16,8）； 当Q在P左侧，且在BC上时，如图所示， 同理①得PC=16， 即2t=6， 解得t=8， ∴Q（6,8）； 当Q在P的左侧，且在BC的延长线上时，如图， 同理①求出QC=6， PC=10-6=4， 即2t=4， 解得：t=2， ∴Q（﹣6,8）， 综上所述，t=3时，Q（16,8），t=8时，Q（6,8），t=2时，Q（﹣6,8）； （3）如下图所示： 由（1）知，OD=10， ∵PM=10， ∴OD=PM， ∵BCOA， ∴四边形OPMD是平行四边形， ∴OP=DM， ∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=20+AM+10+DM=30+AM+DM， ∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小， ∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于点M， ∴AB=EB， ∵BCOA， ∴， ∴PC=BC－BM－PM=20－10－5=5， 即2t=5， 解得：t=2.5， 故答案为2.5． 【点睛】本题考查平行四边形的动点问题，菱形的判判定，勾股定理，能够分析出实际的运动情况是解决本题的关键． 6．（2024闵行区校级模拟 ）如图，平行四边形中，，，．动点E、F分别从点B、D同时出发以的速度运动．动点E沿边向终点C运动，动点F沿边向终点A运动，设点E的运动时间为． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)当 时四边形是矩形； (3)是否存在某个时刻，四边形是菱形，若存在求t的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)2； (3)存在，； 【分析】（1）按照平行四边形的判定计算出，即可求证； （2）利用矩形的判定得到垂直，再按照勾股定理进行计算即可； （3）利用菱形的判定得到边长的关系，再按照勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ， 由平行四边形可知，， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）当时，平行四边形是矩形， ，， ， ， 时，四边形是矩形， 故答案为：2； （3）存在，，理由如下： 作于点，当时，平行四边形是菱形， 由（2）中可知，， 中，， ∵， ∴， 解得， ∴当时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定，利用动点进行不同形状的构造，熟悉特殊四边形的判定条件和正确的利用勾股定理进行计算是解题的关键． 题型四：正方形的存在性 7．（2024普陀区校级模拟 ）如图，在四边形中，，，，动点P从A开始沿边向D以的速度运动；Q从点C开始沿边向B以的速度运动 P 、Q分别从点A 、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长： ， ； (2)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)四边形有可能是正方形吗？若可能，求出此时点P的运动时长；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)t ；； (2)当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； (3)可能，当运动时间为8秒时，四边形为正方形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及正方形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）根据题意可直接得出； （2）由在梯形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在梯形中，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵动点P从A开始沿边向D 以的速度运动， ， ∵ Q从点C开始沿边向B以的速度运动，， ∴， 故答案为：t, ； （2）解：由题意可得：， ， ， 设当运动时间为t秒时, ， 此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得， ∴当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形． （3）解：四边形有可能是正方形， ， ， 设当运动时间t秒时， 四边形为平行四边形． 由得：， 解得：，即， ， ∴平行四边形为菱形， ∵， ∴平行四边形为矩形， ∴平行四边形为正方形， ∴当运动时间为8秒时，四边形为正方形． 8．（2024金山区校级模拟 ）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别落在轴、轴上，点在边上，点在边上，且，已知点，点．    (1)求点的坐标； (2)若动点同时从点出发，点以每秒1个单位的速度向点运动，点以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点运动到点停止，点也同时停止运动．设的面积为，点的运动时间为，用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，点是射线上的一点，点为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的值与点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点，点，四边形为矩形， ∴，，，， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）①如下图，当点在点右侧时，    根据题意，，， ∴， ∴； ②如下图，当点在点左侧时，    根据题意，，， ∴， ∴． 综上所述，； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形， 可分情况讨论： ①如下图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作于点，    易知四边形、均为矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， 解得； ③如下图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，综合性强，难度较大，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 题型五：梯形的存在性 9．（2024春•静安区期末）如图，点是边长为2的正方形对角线上一个动点与不重合），以为圆心，长为半径画圆弧，交线段于点，联结，与交于点．设的长为，的面积为 （1）判断的形状，并说明理由； （2）求与之间的函数关系式，并写出定义域； （3）当四边形是梯形时，求出的值 【考点】四边形综合题 【分析】（1）证明，得出，由题意可得：，得出，过点作，与、分别交于点、，证出，证明，得出证出，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得出，得出，在中，由勾股定理得出，由等腰直角三角形的性质得出； （3）由等腰直角三角形的性质得出，当四边形是梯形时，只有可能，由平行线的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，得出，证出，得出，得出，求出，即可得出结果． 【解答】解：（1）为等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由题意可得：， ， 过点作，与、分别交于点、，如图所示： ， ， 在正方形中，， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形； （2）在中，， ，， 在中，， 为等腰直角三角形， ； （3）在等腰直角三角形中，，， ， 当四边形是梯形时，只有可能是四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 10.。如图14所示.在平面直角坐标系中,已知点A(0，2).点P是x轴上一动点.以线段AP为一边.在其一侧作等边△APQ.当点P运动到原点O处时.点Q的位置为点B. (1)求点B的坐标. (2) 求证:当点P在x轴上运动(点P不与点Q重合)时，∠ABQ为定值. (3)是否存在点P.使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在.请求出点P的坐标;若不存在.请说明理由. 思路分析 (1)△ABO和△APQ都是以A为顶点的等边三角形，可证△APO和△AQB全等，所以∠ABQ和∠AOP的度数始终都等于90°. (2)以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形，字母顺序没有要求,梯形四个顶点中的A、O、B三个顶点已固定.由(2)可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行.所以只存在AB//OQ和AQ//OB这两种情况. 图14 方法点睛 第(3)小题要找到以A、O、B、Q为顶点的四边形是梯形的点Q需进行分类讨论.梯形四个顶点中的A、O、B三个顶点已固定，则AO、BO、AB三边都有可能成为梯形的底边.第4个顶点Q在另一条与这三条底边平行的直线上.由(2)可知，点Q总在过点. B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行,故排除一种可能 1．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒．    (1)的长为 　 　 (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2)当点在线段上时，，当点在线段的延长线上时，； (3)或； (4)或． 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）垂直平分于点， ，， ， ， 故答案为：8； （2）当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）当点在上，点在上时，则， ， ， 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，不等式的应用，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)填空：点C的坐标为　 　；平行四边形的对称中心的点的坐标为　 　； (2)动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)或或，或，或，或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可； （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点的坐标为，点的坐标为，， 点的坐标为，，平行四边形的对称中心的点的坐标为，． 故答案为：，，，； （2）根据题意得：， ， 解得：， 即当点运动4秒时，的面积是平行四边形的一半． 而当秒时，的面积也是平行四边形的一半． 综上所述，或时，的面积是平行四边形的一半． （3）①时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，    根据平行四边形的性质，可知点的坐标为，，，． 时，同法可得：，或，或． 综上所述，点的坐标为或或，或，或，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．（2023春•徐汇区期末）在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； （2）若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是 　　． 【答案】（1）或； （2）①； ②． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，则当时，四边形是矩形，即可求解； （2）①如图2，连接，，由菱形的性质可得，得是的垂直平分线，则，由勾股定理可求解； ②由线段垂直平分线和勾股定理可求，由面积和差关系可求解． 【解答】解：（1）矩形， ，， ， 、分别是，中点， ， 、分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 如图1，连接， 矩形，，分别是，中点， 四边形是矩形， 矩形中，，， ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， 或， 解得：或； （2）①由（1）知：， 如图2，连接，， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图3，连接， 由①同理得：，， 由①知：， ， 、分别从点、沿折线，运动， ， 又， ， ， 同理可证， 四边形是平行四边形， 四边形的面积是矩形面积的， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．如图，在平行四边形中，，，，点E，F分别是线段和上的动点，点E以的速度从点D出发沿向点C运动，同时点F以的速度从点B出发，在上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动．连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：    (1)当t为何值时，平分？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接并延长，交的延长线与点P，连接．设的面积为，求S与t之间的关系式． 【答案】(1)8 (2)存在，8 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，进而得出，再根据角平分线的定义得出，可得出，进而得出答案； （2）假设存在合题意的t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，则，①当时，，②当时，，由①②可得当时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形； （3）过点B作交于点M，作交于点N，在中，，得出，，进而得出，同理可得，，再求出，，根据可得出答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，   ∴；    （2）假设存在合题意的t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，则， ①当时，， ， 解得（舍） ②当时，， ， 解得 由①②可得当时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点B作交于点M，作交于点N． 在中，， ∴，， ∴， 同理可得，， ， ， ∴．    【点睛】本题考查平行四边形的动点问题，勾股定理，三角形的面积，平行线的性质，角平分线的定义，掌握平形四边的性质是解题的关键． 6．如图，在平行四边形中，，，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间做往返运动．两个动点同时出发，当点到达点时两点同时停止运动．设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段及的长度； (2)在点，的运动过程中，为何值时，四边形为平行四边形？ (3)在点，的运动过程中，是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据的速度为每秒，可得，是速度为每秒，可得，从而得到； （2）由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时，由此构建方程，可得结论； （3）先算出的时间为秒，再算出秒运动了，此时，，由此即可判断． 【详解】（1）解：的速度为每秒， ， 是速度为每秒， ， ； （2）解：四边形为平行四边形， ， 当时，四边形是平行四边形， 或，解得或， 综上所述：满足条件的的值为或； （3）解：不存在． 理由：若以、、、为顶点的四边形为菱形，则必有， ，此时运动了， ， ， 不存在的值，使四边形为菱形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键． 7．（2023春•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为20．点在双曲线上． （1）求点的坐标以及的值； （2）联结，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【考点】反比例函数综合题 【分析】（1）先求出的坐标，根据三角形的面积公式得到的纵坐标，把的坐标代入即可得到结论； （2）先求出的坐标，再求出直线的解析式为，设点，根据菱形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）设，分两种情况：①当点在点的下方时，②当点在点的上方时，分别求解即可． 【解答】解：（1）把代入，得， 点的坐标为， ， ， 点在第二象限， ， 把代入，得， ， 把点的坐标代入中得； （2）由（1）知，双曲线的解析式为， 把代入得，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 四边形是菱形， ， 设， 则， 解得，（不合题意舍去）， ； （3）设， ①当点在点的下方时， 如图，过作轴，过于，过作于， 则， 点的坐标为， ，， 四边形是正方形，，， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， 把代入直线得， 解得，， ； ②当点在点的上方时，同理可得， 代入直线可得， 点， 综上所述，或． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式等知识，综合性强，熟练掌握相关性质并灵活掌握，正确作出图形添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题07 动点产生的特殊四边形存在性 题型一：平行四边形的存在性 1．（2024西南位育中学期末）已知，平行四边形中，，，，点，分别是线段和上的动点，点以的速度从点出发沿向点运动，同时点以的速度从点出发，在上沿方向往返运动，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，．设运动时间为，请回答下列问题：    (1)当为何值时，平分？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接并延长，交的延长线与点，连接．设的面积为，求与之间的关系式． 2．（2023春建平中学期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． (1)用含t的代数式表示：QB＝ ，PD＝ ； (2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． (3)如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M经过的路径长． 题型二：矩形的存在性 3．（2023春文来中学期末）在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P运动的时间为ts． (1)若点P和点Q同时运动了7秒，与有什么数量关系？并说明理由； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 4．（2024松江区期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为 ，的取值范围为 ． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 题型三：菱形的存在性 5．（2024黄浦区校级模拟 ）已知，如图O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（10，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒3个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，△BDP的面积为10？ (2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024黄浦区校级模拟 ）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ (2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段PB上有一点M，且PM=10，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并在图②画出点M的位置． 6．（2024闵行区校级模拟 ）如图，平行四边形中，，，．动点E、F分别从点B、D同时出发以的速度运动．动点E沿边向终点C运动，动点F沿边向终点A运动，设点E的运动时间为． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)当 时四边形是矩形； (3)是否存在某个时刻，四边形是菱形，若存在求t的值，若不存在，请说明理由. 题型四：正方形的存在性 7．（2024普陀区校级模拟 ）如图，在四边形中，，，，动点P从A开始沿边向D以的速度运动；Q从点C开始沿边向B以的速度运动 P 、Q分别从点A 、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长： ， ； (2)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)四边形有可能是正方形吗？若可能，求出此时点P的运动时长；若不可能，请说明理由． 8．（2024金山区校级模拟 ）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别落在轴、轴上，点在边上，点在边上，且，已知点，点．    (1)求点的坐标； (2)若动点同时从点出发，点以每秒1个单位的速度向点运动，点以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点运动到点停止，点也同时停止运动．设的面积为，点的运动时间为，用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，点是射线上的一点，点为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的值与点的坐标． 题型五：梯形的存在性 9．（2024春•静安区期末）如图，点是边长为2的正方形对角线上一个动点与不重合），以为圆心，长为半径画圆弧，交线段于点，联结，与交于点．设的长为，的面积为 （1）判断的形状，并说明理由； （2）求与之间的函数关系式，并写出定义域； （3）当四边形是梯形时，求出的值 10.如图14所示.在平面直角坐标系中,已知点A(0，2).点P是x轴上一动点.以线段AP为一边.在其一侧作等边△APQ.当点P运动到原点O处时.点Q的位置为点B. (1)求点B的坐标. (2) 求证:当点P在x轴上运动(点P不与点Q重合)时，∠ABQ为定值. (3)是否存在点P.使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在.请求出点P的坐标;若不存在.请说明理由.图14 1．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒．    (1)的长为 　 　 (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)填空：点C的坐标为　 　；平行四边形的对称中心的点的坐标为　 　； (2)动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 3．（2023春•徐汇区期末）在矩形中，，，、是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； （2）若、分别从点、沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、，当四边形的面积是矩形面积的，则的值是 　　． 4．如图，在平行四边形中，，，，点E，F分别是线段和上的动点，点E以的速度从点D出发沿向点C运动，同时点F以的速度从点B出发，在上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动．连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：    (1)当t为何值时，平分？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接并延长，交的延长线与点P，连接．设的面积为，求S与t之间的关系式． 6．如图，在平行四边形中，，，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间做往返运动．两个动点同时出发，当点到达点时两点同时停止运动．设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段及的长度； (2)在点，的运动过程中，为何值时，四边形为平行四边形？ (3)在点，的运动过程中，是否存在的值，使四边形为菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 7．（2023春•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为20．点在双曲线上． （1）求点的坐标以及的值； （2）联结，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； （3）点为轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$