专题06：动点产生的特殊三角形存在性【八大重难点题型专练】------ 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题06 动点产生的特殊三角形存在性 题型一：全等三角形的存在性 【例1】（2024建平中学期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P(x，y)是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为(6，0)，O是坐标原点，设△PCO的面积为S． （1）求S与x之间的函数关系式； （2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15； （3）过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F， 是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2】（2024金山区八年级期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD（点D落在第四象限）． （1）求点A，B，D的坐标； （2）联结OC，设正方形的边CD与x相交于点E，点M在x轴上，如果△ADE与△COM全等，求点M的坐标． 题型二：等腰三角形的存在性 【例3】（2023徐汇中学期末））如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 【例4】（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是边AD上一点，把△ABP沿BP所在的直线翻折后得到△EBP，直线PE与边BC相交于点F，点E在线段PF上． (1)如果点F和点C重合，求AP； (2)设AP＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出定义域； (3)连接DF，如果△PDF是以PF为腰的等腰三角形，求AP的长． 【例5】（2022春·上海·八年级校考期中）四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点． (1)如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接PC，求证：∠AEB=∠PCD； (2)如图1，若PA=PD且PC⊥BE时，求此时∠ABC的度数； (3)若∠ABC=90°且AB=6，如备用图，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE是等腰三角形，求线段BP的长． 【例6】（2023春•徐汇区校级期末）已知边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（与点，不重合），过点作，交射线于点，过点作，垂足为点． （1）当点落在线段上时（如图所示），设，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 【例7】（2024上海八年级期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，．E是边AB的中点，联结DE、CE，且DE⊥CE．设AD=x，BC=y． （1）如果∠BCD=60°，求CD的长； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）联结BD．如果△BCD是以边CD为腰的等腰三角形，求x的值． 题型三：直角三角形的存在性 【例8】在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【例9】（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连结DE，则AC∥ED． (1)如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论； (2)如图2，AD与CE相交于点O，若，，，求△AOC的面积； (3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC的长； (4)如果，，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长． 【例10】如图，四边形中，，是边的中点．已知，． (1)连接，求证； (2)如图，当时，求的度数； (3)当为直角三角形时，求边的长． 题型四：边的关系存在性 【例11】（2023春•奉贤区期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，联结并延长交的延长线于点． （1）证明：； （2）当时，求的面积； （3）当时，求的长． 【例12】（2024上海市西南模范中学八年级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5cm,BC=11cm,点P从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度移动（当点P到达点A时，点P与点Q同时停止移动），假设点P移动的时间为x（秒），四边形ABQP的面积为y（cm2）. (1)求y关于x函数解析式，并写出它的定义域； (2)在移动的过程中，PQ是否可能平分对角线AC？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)在移动的过程中，是否从在x使得PQ=AB，若存在求出所有x的值，若不存在请说明理由. 1．（2024上海市民办扬波中学）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=16，BC=12，CD=21．动点M从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度运动；动点N从B出发，在线段BA上，以每秒1个单位长的速度向点A运动，点M、N分别从C、B同时出发，当点N运动到点A时，点M随之停止运动．设运动时间为t(秒)． （1）设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围； （2）当t为何值时，以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 2．（2024上海市位育实验学校八年级月考）如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AD，联结BD（如图a所示），点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设P移动的距离为x，BP=y， (1）当点P从点A移动到点C，y与x的函数关系式如图b中的折线MNQ，求CD； (2）在（1）的情况下，点P从点A→B→C→D→A移动的过程中，△BDP为等腰三角形，求x的值 3．（2023春•黄浦区期末）在矩形中，，对角线、相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，联结、． （1）如图，求证：四边形是菱形； （2）当点、分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）如果是等腰三角形，直接写出的长度． 4．（2024春•闵行区校级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点． （1）当点与点重合时，求的长； （2）若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域； （3）联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 5．（2024松江区期末）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合），，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域； （3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长． 6．（2023春•闵行区期末）如图，梯形中，，，点是延长线上一点，，，，垂直于射线，垂足为点． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）联结，如果是等腰三角形，求线段的长度． 7．（2023春•静安区期末）（1）如图1，梯形中，，，，，．求证：四边形是等腰梯形； （2）点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图，设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 8．（2023春•普陀区期末）在梯形中，，，，，，点是射线上一点（不与点、重合），联结，过点作 交射线于点，联结．设，． （1）求的长； （2）如图，当点在线段上时，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果 是以为腰的等腰三角形，求的长． 9．（2024 上海市建平中学西校八年级月考）将一把三角尺放在边长为2的正方形ABCD上(正方形四个内角为90°,四边都相等),并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC交于点Q。 探究:(1)当点Q在边CD 上时,线段PQ 与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论； (2)当点Q在边CD 上时,如果四边形 PBCQ 的面积为1，求AP长度； (3)当点P在线段AC 上滑动时,△PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的AP的长；如果不可能,试说明理由。 10．如图，已知直角梯形，，，过点作，垂足为点，，，点是边上的一动点，过作线段的垂直平分线，交于点，并交射线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （3）如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长．          11．如图，在四边形中，，，，，，过点B作于点E．若动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P不与点A、B重合时，连结，作点B关于直线的对称点，连结、，设点P的运动时间为t秒．（） (1)的长为______； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值； (4)当与四边形的某条边平行时，直接写出t的值． 12．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 13．（2023春•长宁区期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 14．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 15．（2024上海市西南模范中学八年级期中）如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2. （1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数； （3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长. 16．（2023春•青浦区期末）如图，在梯形中，，平分，． （1）求证：； （2）作，垂足为点，． ①设，请用含的代数式表示梯形的面积； ②点为中点，联结并延长，交边于点，请你想一想， 能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题06 动点产生的特殊三角形存在性 题型一：全等三角形的存在性 【例1】（2024建平中学期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P(x，y)是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为(6，0)，O是坐标原点，设△PCO的面积为S． （1）求S与x之间的函数关系式； （2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15； （3）过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F， 是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【解析】（1）∵直线与x轴交于点A， ∴． ∵点P(x，y)是直线上一动点， ∴． 当时，， 当时，； （2） 令， 当时，，解得：，此时，P (3，5)， 当时，，解得：，此时，P (13，－5)； （3）∵△EOF≌△BOA，∴，， 当E(8，0)，F(0，－8)时，则直线EF的解析式为， 令， 解得：，∴； 当E(－8，0)，F(0，8)时，则直线EF的解析式为， 令， 解得：，∴． 综上，当△EOF≌△BOA时，点P 的坐标为或． 【总结】考察动点与面积的结合及全等三角形的性质的综合应用，注意进行分类讨论． 【例2】（2024金山区八年级期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD（点D落在第四象限）． （1）求点A，B，D的坐标； （2）联结OC，设正方形的边CD与x相交于点E，点M在x轴上，如果△ADE与△COM全等，求点M的坐标． 【答案】（1）A（-2，0），B（0，4），D（2，-2）；（2）M（5，0）． 【分析】(1)由于一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B，所以利用函数解析式即可求出A、B两点的坐标，然后作DF⊥x轴于点F，由四边形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AFD=90º，AB=AD，接着证明△BAO≌△ADF，最后利用全等三角形的性质可以得到DF=AO=2，AF=BO=4，从而求出点D的坐标； (2) 过点C作CG⊥y轴于G，连接OC，作CM⊥OC交x轴于M，用求点D的方法求得点C的坐标为（4，2），得出OC=2，由A、B的坐标得到AB=2，从而OC=AB=AD，根据△ADE与△COM全等，利用全等三角形的性质可知OM=AE，即OA=EM=2，利用C、D的坐标求出直线CD的解析式，得出点E的坐标，根据EM=2，即可求出点M的坐标. 【详解】解：（1）∵一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别相交于点A，B， ∴A（-2，0），B（0，4）， ∴OA=2，OB=4， 如图1，过点D作DF⊥x轴于F， ∴∠DAF+∠ADF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°， ∴∠DAF+∠BAO=90°， ∴∠ADF=∠BAO， 在△ADF和△BAO中，， ∴△ADF≌△BAO（AAS）， ∴DF=OA=2，AF=OB=4， ∴OF=AF-OA=2， ∵点D落在第四象限， ∴D（2，-2）； （2）如图2，过点C作CG⊥y轴于G，连接OC，作CM⊥OC交x轴于M， 同（1）求点D的方法得，C（4，2）， ∴OC==2， ∵A（-2，0），B（0，4）， ∴AB=2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=2=OC， ∵△ADE与△COM全等，且点M在x轴上， ∴△ADE≌△OCM， ∴OM=AE， ∵OM=OE+EM，AE=OE+OA， ∴EM=OA=2， ∵C（4，2），D（2，-2）， ∴直线CD的解析式为y=2x-6， 令y=0， ∴2x-6=0， ∴x=3， ∴E（3，0）， ∴OM=5， ∴M（5，0）． 故答案为(1)A(-2，0)，B(0，4)，D(2，-2)；(2)M(5，0). 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质. 题型二：等腰三角形的存在性 【例3】（2023徐汇中学期末））如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）证明，，，可得，．，由勾股定理可得，从而可得答案； （2）证明，结合，，可得．，再建立方程求解即可； （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，②当，如图，再分别画图，建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴． （2）∵四边形是等腰梯形， ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∴，解得，． 即的长题． （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，    ∵， ∴， ∴，解得． 即正方形的面积是1． ②当，如图，    ∵，则， 在中，， ∴，解得． 即正方形的面积是． 综上所述，当是等腰三角形时，正方形的面积是1或． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，等腰三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【例4】（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是边AD上一点，把△ABP沿BP所在的直线翻折后得到△EBP，直线PE与边BC相交于点F，点E在线段PF上． (1)如果点F和点C重合，求AP； (2)设AP＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出定义域； (3)连接DF，如果△PDF是以PF为腰的等腰三角形，求AP的长． 【答案】(1)2 (2)y＝（2≤x＜6） (3) 【分析】（1）首先证明PC＝BC，在Rt△PDC中，利用勾股定理求出PD即可解决问题； （2）先证明FB＝FP＝y，推出EF＝PF﹣PE＝y﹣x，Rt△BEF中，，构建关系式即可解决问题； （3）分两种情形分别构建方程求解即可； （1） 解：如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠D＝90°， 由翻折不变性可知：∠APB＝∠CPB， ∵ADBC， ∴∠APB＝∠PBC， ∴∠PBC＝∠CPB， ∴CB＝CP＝10， ∴， ∴PA＝AD﹣PD＝10﹣8＝2． （2） 如图2中， ∵由翻折不变性可知：∠APB＝∠FPB，∠A＝∠PEB＝90°，PA＝PE＝x，AB＝BE＝6， ∵ADBC，∠A＝∠PEB＝90°， ∴∠APB＝∠PBC， ∴∠PBF＝∠FPB， ∴FB＝FP＝y， ∴EF＝PF﹣PE＝y﹣x， 在Rt△BEF中，∵， ∴， ∴y＝（2≤x＜6）． （3） ①如图3中，当PF＝PD时， 由（2）可知BF＝PF＝PD， ∴x+y＝10， ∴x10， 整理得：3x2﹣20x+36＝0， ∵，此种情形不存在． ②如图4中，当FP＝FD时， 在Rt△DFC中，DF＝y，CD＝6，CF＝10﹣y， ∴， ∴y， ∴， 解得x＝10（舍弃）或． ∴PA， 综上所述，满足条件的AP的值为．          【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想解决问题． 【例5】（2022春·上海·八年级校考期中）四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点． (1)如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接PC，求证：∠AEB=∠PCD； (2)如图1，若PA=PD且PC⊥BE时，求此时∠ABC的度数； (3)若∠ABC=90°且AB=6，如备用图，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE是等腰三角形，求线段BP的长． 【答案】(1)见解析 (2)∠ABC=60°； (3)线段BP的长为3-3或9-3． 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形得AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC，证明△PAD≌△PCD，得∠PAD=∠PCD，因为∠PAD=∠AEB，所以∠AEB=∠PCD； （2）先证明△ABP≌△CBP，得∠PAB=∠PCB=90°，再推导出∠E=∠PBE=∠PBA，则3∠E=90°，得∠E=30°，所以∠ABC=90°-∠E=60°； （3）分两种情况，一是点E在边BC上，PE=CE，可推导出∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB，得∠PAB=30°，先求得BE=2，作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC，得PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°，∠FPE=∠PAB=30°，可求得EF=3-，则BP=BF=3-3；二是点E在边BC的延长线上，PC=EC，则∠CPE=∠E，先推导出∠E=30°，再求得BE=6，作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°，∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF，BF=PF，可求得BF=PF=9-3，则BP=BF=9-3． （1） 证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC， ∴∠PAD=∠AEB， ∵PD=PD， ∴△PAD≌△PCD（SAS）， ∴∠PAD=∠PCD， ∴∠AEB=∠PCD； （2） 解：如图2，∵AB=CB，∠PBA=∠PBC，PB=PB， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∵PC⊥BE， ∴∠PAB=∠PCB=90°， ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PAD=∠E，∠PDA=∠PBE， ∴∠E=∠PBE， ∴∠E=∠PBE=∠PBA， ∵∠E+∠PBE+∠PBA=90°， ∴3∠E=90°， ∴∠E=30°， ∴∠ABC=90°-∠E=60°； （3） 解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，AB=6， ∴四边形ABCD是正方形，AD=AB=BC=DC=6， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∴∠CBD=∠CDB=45°， ∴BD= ， 如图3，点E在边BC上，PE=CE， ∵△ABP≌△CBP， ∴∠PCB=∠PAB， ∵∠PCB=∠CPE， ∴∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB， ∵∠AEB+∠PAB=90°， ∴2∠PAB+∠PAB=90°， ∴∠PAB=30°， ∴AE=2BE， ∵AB2+BE2=AE2， ∴62+BE2=（2BE）2， ∴BE=2， 作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC， ∴PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°， ∴∠FPE=∠PAB=30°， ∴PE=2EF， ∴BF=PF=EF， ∴EF+EF=2， ∴EF=3-， ∴BF=PF=（3-）=3-3， ∴BP=BF=（3-3）=3-3； 如图4，点E在边BC的延长线上，PC=EC，则∠CPE=∠E， ∵△ABP≌△CBP， ∴∠PAB=∠PCB=∠CPE+∠E=2∠E， ∵∠PAB+∠E=90°， ∴2∠E+∠E=90°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=12， ∵AB2+BE2=AE2， ∴62+BE2=122， ∴BE=6， 作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°， ∴∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF， ∴BF=PF， ∴EF==PF=BF， ∴BF+BF=6， ∴BF=PF=9-3， ∴BP==BF=（9-3）=9-3， 综上所述，线段BP的长为3-3或9-3． 【点睛】此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、二次根式的混合运算等知识，此题难度较大． 【例6】（2023春•徐汇区校级期末）已知边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（与点，不重合），过点作，交射线于点，过点作，垂足为点． （1）当点落在线段上时（如图所示），设，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 【答案】（1）； （2）． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）过点作于，过点作于，如图1．证，得出，连接，证，则有，然后得出关系式即可； （2）可分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的的长． 【解答】解：（1）过点作于，过点作于，连接，交于点， 四边形是正方形，，， ， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， ． ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是边长为的正方形， ， ， ， ， 即与之间的函数关系式为； （2）①若点在线段上， ， ， ， ． 若为等腰三角形，则， ， ，与矛盾， 当点在线段上时，不可能是等腰三角形； ②若点在线段的延长线上， 若是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 【例7】（2024上海八年级期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，．E是边AB的中点，联结DE、CE，且DE⊥CE．设AD=x，BC=y． （1）如果∠BCD=60°，求CD的长； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）联结BD．如果△BCD是以边CD为腰的等腰三角形，求x的值． 【答案】（1）4；　（2）x＞0，且；　（3） 【解析】（1）首先过点D作DH⊥BC，垂足为点H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的长，然后设CH=x，则 CD=2x，利用勾股定理即可求得方程：x2+（2）2=4x2，解此方程即可求得答案； （2）首先取CD的中点F，连接EF，由梯形的中位线，可表示出EF的长，易得四边形ABHD是平行四边形，然后由勾股定理可得：（y﹣x）2+12=（x+y）2，继而求得答案； （3）分别从CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案． 解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H． ∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC， ∴DH=AB=2， 在Rt△DHC中， ∵∠BCD=60°， ∴∠CDH=30°． ∴CD=2CH， 设CH=x，则 CD=2x． 利用勾股定理，得 CH2+DH2=CD2． 即得：x2+（2）2=4x2． 解得 x=2（负值舍去）． ∴CD=4； （2）取CD的中点F，连接EF， ∵E为边AB的中点， ∴EF=（AD+BC）=（x+y）． ∵DE⊥CE， ∴∠DEC=90°． 又∵DF=CF， ∴CD=2EF=x+y． 由AB⊥BC，DH⊥BC，得∠B=∠DHC=90°． ∴AB∥DH． 又∵AB=DH， ∴四边形ABHD是平行四边形． ∴BH=AD=x． 即得 CH=|y﹣x|， 在Rt△DHC中，利用勾股定理，得 CH2+DH2=CD2． 即得 （y﹣x）2+12=（x+y）2． 解得， ∴所求函数解析式为． 自变量x的取值范围是x＞0，且； （3）当△BCD是以边CD为腰的等腰三角形时，有两种可能情况：CD=BD或CD=BC． （ i）如果CD=BD，由DH⊥BC，得 BH=CH．即得 y=2x． 利用，得． 解得，． 经检验：，，且不合题意，舍去． ∴； （ ii）如果CD=BC，则 x+y=y． 即得 x=0（不合题意，舍去）， 综上可得：． “点睛”此题属于四边形的综合题．考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识．注意掌握辅助线的作法，掌握方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键． 题型三：直角三角形的存在性 【例8】在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)或20 【分析】（1）①根据折叠得出，利用勾股定理求出的长即可； ②根据平行线的性质和翻折的性质可证，从而； （2）由是直角三角形，当时，则四边形是正方形，得；当时，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解，当时，点P在线段上，不符合题意，舍去． 【解析】（1）解：①根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵将沿直线翻折至的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，如图所示： ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴点E、D、C三点共线， 由翻折知，根据勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴； 当时，点P在线段上，不符合题意，舍去， 综上：或20． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【例9】（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，连结DE，则AC∥ED． (1)如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论； (2)如图2，AD与CE相交于点O，若，，，求△AOC的面积； (3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC的长； (4)如果，，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或2；图形见解析； (4)或或 【分析】（1）由平行四边形的定义可得AD∥BC， AD=BC，由折叠的性质可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用对顶角相等求得∠OCA和∠OED即可证明； （2）设OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折叠的性质可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，进而求得OA即可解答； （3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°两种情况作出图形，再根据正方形的性质计算求值即可； （4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三种情况，根据30°直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可； 【详解】（1）证明：∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC， ∴∠OAC=∠ACB， ∵∠ACB=∠ACE， ∴∠OAC=∠OCA， ∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC）， ∵BC=CE，BC=AD， ∴AD=CE， ∴AD-OA= CE-OC， ∴OE=OD， ∴∠OED=（180°-∠EOD）， ∵∠AOC=∠EOD， ∴∠OCA=∠OED， ∴AC∥DE； （2）解：设OD=x， 由（1）解答可得OD=OE=x， ∵CE=CB=2， ∴OC=2-x， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°， Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2， ∴（2-x）2=x2+2， ∴x=， ∴OA=AD-OD=， ∴△OAC面积=OA•CD=； （3）解：①如图，∠ACB=45°时，∠B=45°，AB=AC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，则∠BCD=135°， ∴∠ACD=90°， ∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED， ∴∠AED=90°，∠CDE=90°， ∴四边形ACDE是矩形， ∵AB=AC=AE， ∴四边形ACDE是正方形， ∵CE=CB=2， ∴AC2+AE2=CE2， ∴AC=； ②如图，∠ACB=90°时，∠B=∠BAC=45°， CA=CB， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，则∠BAD=135°， ∴∠CAD=90°， ∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°， ∴四边形ACDE是矩形， ∵BC=CE=CA， ∴四边形ACDE是正方形， ∴AC=2； ∴AC=或2； （4）解：①如图，∠ACB=60°时， ∠B=30°，则∠BAC=90°， ∴∠CAE=90°， ∵AC∥DE，∴∠AED=90°，则△AED是直角三角形， Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC， ∴BC2=AB2+AC2=9+BC2， BC=； ②如图，∠ACB=90°时， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=30°，则∠BAD=150°， ∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°， ∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，则△AED是直角三角形， Rt△ABC中，AB=3，AC=， ∴BC==， ③如图，∠ACB=30°时，作AH⊥BC于点H， 由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=30°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°， 由折叠的性质可得∠EAC=∠BAC=120°， ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，则△AED是直角三角形， Rt△ABH中，AB=3，AH=， ∴BH=， ∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，则BH=HC=BC， ∴BC=2BH=， 综上所述BC的长为：或或. 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°直角三角形，勾股定理等知识；正确作出图形并分类讨论是解题关键． 【例10】如图，四边形中，，是边的中点．已知，． (1)连接，求证； (2)如图，当时，求的度数； (3)当为直角三角形时，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接并延长交的延长线于，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，再判断出，即可求出答案； （3）分两种情况①当时，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出答案；②当时，过点D作DF⊥BC于点F，，设，根据勾股定理即可列出关于x的方程，即可求出答案． 【解析】（1）证明：如图， 连接并延长交的延长线于， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ≌， ， ， ， ； （2）解：，， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； （3）（3）是直角三角形， ①当时，如图， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ； ②当时，如图，过点D作DF⊥BC于点F， 设， 由题意，四边形ABFD是矩形， ∴AB=DF，BF=AD=2， ∴FC=x-2， 在Rt△DFC中，； ， 在Rt△BDC中，， 在Rt△ABD中，， ∴， ， （舍去负值）， ③∠DBM=时，不符合题意； 综上所述的长为或． 题型四：边的关系存在性 【例11】（2023春•奉贤区期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，联结并延长交的延长线于点． （1）证明：； （2）当时，求的面积； （3）当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）根据矩形的性质得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形三线合一得出，于是有，问题得证； （2）先证，再证是等边三角形，求出其边长，即可得出的面积； （3）先根据勾股定理求出的长，再证和相似，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， 即， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由（1）知， 是等边三角形， ， 过点作于点， ， 在中，， ， ， 由勾股定理得， 即， 解得， ， ； （3）解：，， ，， 在中，，，， 由勾股定理得， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，需认真思考． 【例12】（2024上海市西南模范中学八年级期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5cm,BC=11cm,点P从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度移动（当点P到达点A时，点P与点Q同时停止移动），假设点P移动的时间为x（秒），四边形ABQP的面积为y（cm2）. (1)求y关于x函数解析式，并写出它的定义域； (2)在移动的过程中，PQ是否可能平分对角线AC？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)在移动的过程中，是否从在x使得PQ=AB，若存在求出所有x的值，若不存在请说明理由. 【答案】（1）2x+10，（0≤x≤5）；（2）能，x=3;（3）存在，当x=或x=时，PQ=AB 【分析】（1）根据题意求出梯形的高，根据梯形的面积公式写出y关于x的函数解析式和定义域； （2）四边形ABQP的面积与四边形QCDP的面积相等时，四边形ABQP的面积=四边形ABCD的面积的一半列出算式解答即可； （3）根据平行四边形的性质和等腰梯形的性质解答即可． 【详解】（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC与F， ∵AB=CD=AD=5cm，BC=11cm， ∴BQ=CF=3， 由勾股定理得，AE=4， 则y=×（5-x+2x）×4=2x+10，（0≤x≤5）； （2）四边形ABQP的面积与四边形QCDP的面积相等时， 四边形ABQP的面积=四边形ABCD的面积的一半， 即2x+10=×（5+11）×4， 解得，x=3； （3）如图2，当四边形ABQP为平行四边形时，PQ=AB， 即AP=BQ，此时，5-x=2x， 解得，x=， 如图3，当四边形ABQP为等腰梯形时，PQ=AB， 此时四边形PQCD是平行四边形， x=11-2x， 解得，x=， ∴当x=或x=时，PQ=AB． 【点睛】考查的是等腰梯形的性质和平行四边形的性质，灵活运用数形结合思想和函数思想是解题的关键，注意分类讨论思想的运用和梯形面积公式的运用． 1．（2024上海市民办扬波中学）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=16，BC=12，CD=21．动点M从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度运动；动点N从B出发，在线段BA上，以每秒1个单位长的速度向点A运动，点M、N分别从C、B同时出发，当点N运动到点A时，点M随之停止运动．设运动时间为t(秒)． （1）设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围； （2）当t为何值时，以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）；（2）t=3.5或t= 【分析】（1）过点M作MH⊥AB，垂足为H，用含的代数式表示的长，再利用三角形面积公式即可得到答案．（2）先用含的代数式分别表示的长，进行分类讨论，利用腰相等建立方程求解． 【详解】（1）如图，过点M作MH⊥AB，垂足为H，则四边形BCMH为矩形． ∴MH=BC=12． ∵AN=16-t， ∴； （2）由（1）可知：BH=CM=2t，BN=t，． 以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若MN=AN．因为： 在Rt△MNH中，，所以：MN2=t2+122， 由MN2=AN2得t2+122=（16-t）2， 解得t=． ②若AM=AN． 在Rt△MNH中，AM2=（16-2t）2+122． 由AM2=AN2得：， 即3t2-32t+144=0． 由于△=， ∴3t2-32t+144=0无解， ∴． ③若MA=MN． 由MA2=MN2，得t2+122=（16-2t）2+122 整理，得3t2-64t+256=0． 解得，t2=16（舍去） 综合上面的讨论可知：当t=秒或t=秒时，以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考察的是梯形通过作辅助线化成直角三角形的问题与等腰三角形存在性问题，掌握分类讨论是解题的关键． 2．（2024上海市位育实验学校八年级月考）如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AD，联结BD（如图a所示），点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设P移动的距离为x，BP=y， (1）当点P从点A移动到点C，y与x的函数关系式如图b中的折线MNQ，求CD； (2）在（1）的情况下，点P从点A→B→C→D→A移动的过程中，△BDP为等腰三角形，求x的值 【答案】(1)1(2) 0或3或5−或或11或9＋． 【分析】（1）作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝＝4，得出CD＝BE＝AB−AE＝1； （2）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【详解】 （1）解：由图（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8， ∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如图1所示： 则DE＝BC＝3，CD＝BE， ∵AD＝AB＝5， ∴AE＝＝4， ∴CD＝BE＝AB−AE＝1； （2）解：可能；理由如下： 分情况讨论： ①点P在AB边上时， 当PD＝PB时，P与A重合，x＝0； 当DP＝DB时，BP＝2BE＝2， ∴AP＝3， ∴x＝3； 当BP＝BD＝＝时，AP＝5−， 即x＝5−； ②点P在BC上时，存在PD＝PB， 此时，x＝5＋＝； ③点P在AD上时， 当BP＝BD＝时，过点B作BH⊥AD于H，如图2所示： 则BH•AD＝DE•AB， 即×BH×5＝×3×5， ∴BH＝3， ∴DH＝＝1， ∴DP＝2， ∴x＝5＋3＋1＋2＝11； 当DP＝DB＝时，x＝5＋3＋1＋＝9＋； 综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的x的取值为：0或3或5−或或11或9＋． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 3．（2023春•黄浦区期末）在矩形中，，对角线、相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，联结、． （1）如图，求证：四边形是菱形； （2）当点、分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）如果是等腰三角形，直接写出的长度． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）． （3） 的值为3或1． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）由，推出，由，推出四边形是平行四边形即可解决问题． （2）由，求出即可解决问题； （3）分两种情形分别讨论求解即可； 【解答】（1）证明：如图1中， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． （2）由题意可知：，， ， ， ， 当，重合时，， 即． （3）①如图2中，当点在线段上时，，则， ， 在中，． 如图3中，当的在线段的延长线上时，， ，， ， ， ，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 是等边三角形， ， 综上所述，满足条件的的值为3或1． 【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 4．（2024春•闵行区校级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点． （1）当点与点重合时，求的长； （2）若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域； （3）联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）2或8或． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）连接，过作交于，在中，，，由勾股定理可得； （2）连接，过点作交于，在中，，，由勾股定理可得，整理得； （3）分两种情况讨论：当在线段上时，①当时，可证，过作交于，在中，，即可求；②当时，，设，可证，在中，，可求；当点在射线上时，此时，可证，过作交延长线于，在中，，可求． 【解答】解：（1）如图1，连接，过作交于， ，平分， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，； （2）如图2，连接，过点作交于， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ； （3）如图3，当在线段上时， ①当时， 是的垂直平分线， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， 过作交于， 在中，， ； ②当时，， 设， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 在中，， ； 当点在射线上时，此时， ， ， ， ， ， 过作交延长线于， 在中，， ， ； 综上所述：的长为2或8或． 【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角的性质，梯形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论，数形结合是解题的关键． 5．（2024松江区期末）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合），，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域； （3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或 【分析】（1）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，得到EN＝EM，通过证明△DEM≌△FEM，即可得到答案； （2）通过“SAS”可证△ADE≌△CDG，可得AE＝CG，证明∠ACG＝90°即可解决问题． （3）分两种情形：如图1中，当ED＝EH时，如图2中，当HD＝HE时，分别求解即可． 【解析】解：（1）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE． （2）∵四边形DEFG是矩形，EF＝DE， ∴矩形DEFG是正方形； ∵四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∵AD＝DC＝2，∠ADC＝90°， ∴AC＝， ∴y＝EC•CG＝•x•（﹣x）＝﹣x2+x（0＜x＜）； （3）如图1中，当ED＝EH时， ∵ED＝EH， ∴∠EDH＝∠EHD， ∵∠EHD＝∠HEC+∠ECH＝45°+∠CEH，∠CED＝∠CEH+∠DEG＝∠CEH+45°， ∴∠CDE＝∠CEH+45°， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝2， ∴AE＝AC﹣EC＝． 如图2中，当HD＝HE时，点C与F重合，此时AE＝EC＝， 综上所述， AE的值为或2． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 6．（2023春•闵行区期末）如图，梯形中，，，点是延长线上一点，，，，垂直于射线，垂足为点． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）联结，如果是等腰三角形，求线段的长度． 【答案】（1）见解析； （2）若是等腰三角形，线段的长度为或或． 【考点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；梯形 【分析】（1）证明梯形是等腰梯形，可得，根据等腰三角形的性质可得，可证明，进而可证明结论； （2）根据点的位置可以分两种情况：当点在线段上，易知此时为钝角，则只能，过点分别向，作垂线，垂足分别为，，由证明，设，则，，，于是在和在中，利用双勾股定理即可求解；当点在的延长线上，根据等腰三角形的性质可推出，则只能，，于是再分两种情况：①当时，由三角形内角定理求得，于是；②当时，过点作于点，则，设，则，，，在和中，利用双勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：在梯形中，，， 梯形是等腰梯形， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形为平行四边形， ， ， 为的中点， ， 当点在线段上时， 于， ， 为钝角， 为钝角三角形， 若要使为等腰三角形，只能， 当时，如图，过点分别向，作垂线，垂足分别为，， ，， ， ，，， ，，， ， 又， ， ，即， 在和中， ， ， ， 由，得， 设，则，，， 在中，， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ； 当点在的延长线上时， ， ， 又， ， ， ， 要使是等腰三角形，只能，， ①当时，如图， 则， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； ②当时，如图，过点作于点， 则， ，， ， 设，则，，， 在中，， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ． 综上，若是等腰三角形，线段的长度为或或． 【点评】本题主要考查梯形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 7．（2023春•静安区期末）（1）如图1，梯形中，，，，，．求证：四边形是等腰梯形； （2）点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图，设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）①，； ②或． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）过点作交于点，先证四边形是平行四边形，再证是等边三角形，于是问题得证； （2）①过点作的延长线于点，先根据平行线的性质得出，从而求出、的长，于是得出的长，最后在 中利用勾股定理求出与之间的关系即可； ②分三种情况讨论，若是等腰三角形，则或或，当时，先得出，过点作于点，求出、的长，即可求出的面积；当或时，根据三角形内角和定理判断这两种情况不成立． 【解答】（1）证明：如图1，过点作交于点， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是等腰梯形； （2）①如图2，过点作的延长线于点， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得， 关于的函数解析式，定义域； ②是等腰三角形， 或或， 当时， ， ， 点在的延长线上， ， 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去； 如图4，当点在的延长线上时， 是等腰三角形， 或或， ，， ， 一定是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作于点， ， ， ， 综上，的面积为或． 【点评】本题考查了等腰梯形的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想的运用． 8．（2023春•普陀区期末）在梯形中，，，，，，点是射线上一点（不与点、重合），联结，过点作 交射线于点，联结．设，． （1）求的长； （2）如图，当点在线段上时，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）如果 是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）； （2）与之间的函数解析式为，自变量的取值范围； （3）的长为2或4或8． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）过点作于点，得四边形是矩形，然后利用勾股定理即可解决问题； （2）结合（1）证明，得，进而可得与之间的函数解析式和自变量的取值范围； （3）当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：当，如图1，当，如图2，过点作于点，过点作于点，结合（2）的与之间的函数解析式，即可解决问题． 【解答】解：（1）在梯形中，，， ， 如图1，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）如图1，当点在线段上时， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 与之间的函数解析式为，自变量的取值范围； （3）当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： 当，如图1， ， ， ， 整理得， ，， 的长为2或4； 当，如图2，过点作于点，过点作于点， ，， 由（1）知：， ， ， ， ， 整理得， ，（不符合题意，舍去）， 的长为8， 综上所述：的长为2或4或8． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，二次函数，一元二次方程，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 9．（2024 上海市建平中学西校八年级月考）将一把三角尺放在边长为2的正方形ABCD上(正方形四个内角为90°,四边都相等),并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC交于点Q。 探究:(1)当点Q在边CD 上时,线段PQ 与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论； (2)当点Q在边CD 上时,如果四边形 PBCQ 的面积为1，求AP长度； (3)当点P在线段AC 上滑动时,△PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的AP的长；如果不可能,试说明理由。 【答案】（1）PQ=PB，证明见解析；（2）AP=；（3）当AP=0或2时，△PCQ为等腰三角形，理由见解析. 【分析】（1）过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，根据矩形的性质和直角三角形的性质，可证明△QNP≌△PMB，即可得PQ=PB； （2）设AP=x，结合（1）的结论可分别表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面积，从而表示出四边形PBCQ的面积，解方程即可得AP的长； （3）△PCQ可以成为等腰三角形．当点Q在DC边上时，利用勾股定理表示出PQ的长度，再由PQ2=CQ2建立方程求解；当点Q在DC的延长线上时，由PQ=CQ，建立方程求解；当Q与点C重合时，不满足条件；从而可求得满足条件的x的值. 【详解】 （1）PQ=PB，证明如下： 过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，如下图所示， 则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形， ∴NP=NC=MB ∵∠BPQ=90°， ∴∠QPN+∠BPM=90∘,而∠BPM+∠PBM=90°， ∴∠QPN=∠PBM. 在△QNP和△PMB中， ∵∠QPN=∠PBM，NP=MB，∠QNP=∠PMB=90°， ∴△QNP≌△PMB(ASA)， ∴PQ=PB； (2)由(1)知△QNP≌△PMB，得NQ=MP. 设AP=x,则AM=MP=NQ=DN=,BM=PN=CN=， ∴CQ=CD−DQ= ∴S△PBC=BC⋅BM= S△PCQ=CQ⋅PN= ∴S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=， ∵四边形 PBCQ 的面积为1 ∴，解得或 ∵点Q在边CD 上，即CQ， ∴ ∴不符合题意，舍去， 故AP的长度为; (3)△PCQ可能成为等腰三角形， ①当点Q在边DC上时， 设AP=x，由（2）可得PN=，NQ=，CQ=， 在Rt△PNQ中，PQ2=PN2+NQ2，即PQ2= 由PQ2=CQ2得：， 解得，（舍去） ②当点Q在边DC的延长线上时，如下图所示， 设AP=x，则PC=AC-AP=，由（2）可得NQ=, CN=， ∴CQ=NQ-CN= 由PC=CQ得：， 解得x=2； ③当点Q与C点重合，△PCQ不存在， 综上所述，当AP=0或2时，△PCQ为等腰三角形. 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的存在性问题，根据正方形的特点作辅助线构造全等三角形，运用分类讨论的思想是解题的关键. 10．如图，已知直角梯形，，，过点作，垂足为点，，，点是边上的一动点，过作线段的垂直平分线，交于点，并交射线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域； （3）如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长．          【答案】（1）BC=5；（2）；（3）的长为或3或． 【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，设，，在中用勾股定理求出，即可解答； （2）联结，，在中，，在中，，消去二次项即可得到与的函数关系式；根据点是边上的一动点结合（1）即可得出的定义域； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，根据相等的边用勾股定理列方程求解即可． 【解析】解：（1）∵梯形中，，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在中，， 又∵，，设，， ， ∴， ∴． （2）联结，， ∵是线段的垂直平分线， ∴ ∵，， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴ （3）在中，，， ∴， 当是等腰三角形时 ①∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ② 取中点，联结 ∵为的中点 ∴为梯形中位线 ∴ ∵ ∴为中点， ∴此时与重合 ∴ ③ 联结并延长交延长线于点 此时． ∴，， ∴， ∴在中，， ∵ ∴解得，（不合题意含去） ∴综上所述，当是等腰三角形时，的长为或3或 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、勾股定理解三角形、等腰三角形性质和判定、全等三角形性质和判定，灵活运用勾股定理求线段长是解题的关键． 11．如图，在四边形中，，，，，，过点B作于点E．若动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P不与点A、B重合时，连结，作点B关于直线的对称点，连结、，设点P的运动时间为t秒．（） (1)的长为______； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值； (4)当与四边形的某条边平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2)当，当 (3)或或 (4)或2或8或或 【分析】（1）证明是矩形，根据矩形性质和勾股定理则可得出答案； （2）分两种情况，当点在线段上时，当点在线段上时，由题意可得出答案； （3）分为当时，当时，两种情况分别画图解答； （4）分为当时，当时，当时，五种情况分别画图解答； 【解析】（1）解：根据题意可得 故是矩形， ， （2）当点在线段上时，， 当点在线段上时，； （3）如图，当时，或，解得：或； 当时，如图，过点E作， 则 解得：（舍去）或； 综上，或或； （4）如图1，当时，； 如图2，当时，， ； 如图3，当时， , 是平行四边形， 三点共线， 如图4，当时， 是正方形， ； ， 如图，当时，过点作，于点，则四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴ ∴， 综上，或或或或． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 12．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【答案】(1) (2) (3)6或或8． 【分析】（1）先说明与不可能垂直，只有，如图：过B作、过A作，然后运用等面积法可求得， 再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得到即可解答； （2）如图：过点A作，过点D作，根据勾股定理可得，进而得到，再在中利用勾股定理即可得到关系式； （3）分点P在C、D之间、点D与点P重合、点P在射线上三种情况，分别画出图形，然后根据图形解答即可． 【解析】（1）解：∵． ∴不可能是直角三角形，即与不可能垂直， ∵梯形是直角梯形， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴ ∴， 过A作， 则，即，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．   ； （2）解：如图：过点A作，过点D作，    由（1）可知，， ∴， ∵, ∴, ∴，即 在中，， ∴，整理得：． （3）解： ①当点P在C、D之间时，是以为腰的等腰三角形，则，如图：    过点A作，过点B作， 由题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴底边； ②如图：当点D与点P重合时，，是以为腰的等腰三角形，    此时底边； ③如图：当点P在射线上时，是以为腰的等腰三角形，则，连接，    ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 综上所述，底边的长为6或或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、掌数握形结合和分类讨论思想是解题关键． 13．（2023春•长宁区期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）见解答； （2）①；②的长为2或． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）根据已知条件得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，则，得出四边形是矩形，根据，即可得出四边形是正方形； （2）①如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， 中，勾股定理求得，取的中点，则，得出是等边三角形，则，根据角平分线的定义，即可求解； ②当 时，如图所示，过点作 交的延长线于点，则四边形是矩形，设，，在中，勾股定理求得，因为 中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当 时，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【解答】（1）证明：，，， 又， ， ， ， 平分，，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， 取的中点，连接，则， ， 是等边三角形， ， ， 平分， ； ②当 时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 中，，即， 解得：， ； 当 时，如图所示，过点作于点， 设，则， ， ， ，， ， 是的角平分线， ， 在和 中， ， ， ， 又是的角平分线， ，， ， 综上所述当 是直角三角形时，的长为2或． 【点评】本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 14．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为4或6 ． 【分析】（1）在上截取，连接，首先证明出四边形是平行四边形，然后由平分进而证明出平行四边形是菱形，然后利用得到，即可得到； （2）①设，在中利用勾股定理得到，进而得到，，然后利用梯形面积公式求解即可； ②根据题意分和时两种情况讨论，分别利用矩形和直角三角形的性质求解即可． 【解析】（1）如图所示，在上截取，连接    ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①如图所示，    ∵平行四边形是菱形 ∴设 ∴ ∴在中， ∴，解得 ∴， ∴； ②能成为直角三角形，理由如下∶ 当时，    ∵F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵F是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 又∵ ∴ 即，点A，G重合时，能成为直角三角形 综上所述，的长为4或6 ． 【点睛】此题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15．（2024上海市西南模范中学八年级期中）如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2. （1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数； （3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长. 【答案】（1）；（2）∠AEC=105°；（3）边BC的长为2或. 【详解】试题分析：（1）过A作AH⊥BC于H，得到四边形ADCH为矩形．在△BAH中，由勾股定理即可得出结论． （2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∠AET=∠B=70°． 又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，即可得到结论． （3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°， 解△ABH即可得到结论． ②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A作AH⊥BC于H．由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形． 在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，∴， 则 （2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∴∠AET=∠B=70°． 又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，∴∠AEC=70°＋35°=105°． （3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°， 则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2． ②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又， 则（舍负） 易知∠ACE<90°，所以边BC的长为． 综上所述：边BC的长为2或． 点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法． 16．（2023春•青浦区期末）如图，在梯形中，，平分，． （1）求证：； （2）作，垂足为点，． ①设，请用含的代数式表示梯形的面积； ②点为中点，联结并延长，交边于点，请你想一想， 能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）①；2 ②能，4或6，理由见解析 【考点】列代数式；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；梯形 【分析】（1）通过作平行，利用平行线的性质，推出四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形，再由直角三角形的性质易得，进而得证； （2）利用上面的结论与思路，通过勾股定理列出方程，表示出线段的长，然后代入梯形面积关系式化简求解即可； （3）由条件画出图形，再分类讨论，通过角的和差关系得出，或四边形是正方形，进而利用直角三角形，正方形的性质推导出边的关系，即得的长． 【解答】（1）证明：过点作，交于， 四边形是平行四边形，， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：①由（1）可知四边形是菱形， 设，则， 在中，， ， ，， ， ， ， 梯形的面积是， ②能成为直角三角形，理由如下： ， ， 第一种情况，当时， 是中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 第二种情况，当时， 是中点，， ， ， 垂直平分， ， ， 平分， ， 又， ， ， 即， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 又， ， 即点，重合时，能成为直角三角形， 综上所述，的长是4或6， 【点评】此题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$