专题05：图形运动中的函数关系确定【四大重难点题型专练】------ 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题05 图形运动中的函数关系确定 题型一：线段相等关系确定解析式 1.如图，已知：在△ABC中，∠CBA=90°，∠A=30°，BC=3，D是边AC上的一个动点，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且DE=DF，作FP⊥EF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线交于点G． （1）求证：AF=FP； （2）设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长． 【解析】（1），． ． ， ； （2） ． ， ． ，是等边三角形， ，即，； （3） 若点到的距离等于线段的长，则为的中点， ，即，解得：，即线段的长为． 【总结】考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识的综合运用，综合性较强，有一定难度，要注意分析． 2．（2023八年级下·上海黄浦·期末）在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设． （1）求边的长； （2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式； （3）如果的长为，求梯形的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）或 【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长； （2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式； （3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积． 【解析】解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、， 梯形中，， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ． （2），， ， ， ， ，， ， ， 如图2，过点作，与、分别相交于、， ，， ，， ， ， 关于的函数解析式为； （3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，， ， 当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，， ， 综上所述，梯形的面积为或． 【点睛】本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解． 题型二：线段和积关系确定解析式 4.在等边△ABC中，AB=8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形．且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G． （1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）设BD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AD的长为7时，求线段FG的长． 【解析】（1）证明：和是等边三角形， ， ． ，， ，四边形是平行四边形； （2） 解：． 四边形是平行四边形，． 是等边三角形， 是等边三角形， ． ， ； （3） 解：过作交于， 可得为的中点，即，． ，，解得：． 当时，；当，， 故或． 【总结】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的综合运用，解题时注意进行分析． 5.如图，在边长为1的正方形中，与相交于点，点是AB延长线上一点，联结CE，AF⊥CE，垂足为点F，交BD、BC于点H、G．设BE＝x，CG＝y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域； （2）当点F是EC的中点时，证明：CG＝2OH． 【解析】（1）正方形，， ， 易证≌，， 又， ； （2） 取中点，联结 正方形，， 是中点，且，垂直平分． ，，． 【总结】考查正方形的性质应用以及线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质的综合运用． 6.如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC．交线段CB的延长线与点Q． （1）当BP=BC时，求证：BQ=BP； （2）当∠A=30°，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【解析】（1）证明：． （2） 过作，垂足为 【总结】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质的综合运用，解题时注意从多个角度 进行分析． 7．（2024八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，得到BC=CD，，，根据全等三角形的判定得到△EBC≌△FCD，从而得出结论； （2）根据勾股定理，可得，再根据△EBC≌△FCD和正方形的性质，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：①当点E在线段DB上，②当点E在线段DB延长线上；根据正方形的性质，得到∠CEF=45°，根据三角形的内角和，得到的度数，再跟你讲三角形外角定理和等腰三角形的判定，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，BD平分∠ABC， ∴， 由题意得EC=FC，∠ECF=90°， ∴， 即， ∴△EBC≌△FCD， ∴； （2）∵∠BCD=90°，BC=CD=6， ∴， ∵△EBC≌△FCD，DF =y， ∴BE=DF= y， ∵DE=x， ∴， 函数定义域为； （3）联结AE，联结AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC， ∴AE=EC，∴∠AEB=∠CEB， ∵EC=FC，∠ECF=90° ，∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ①当点E在线段DB上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠BAE=180°－∠AEB－∠ABE=67.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6，∴， ②当点E在线段DB延长线上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠EAB=∠ABD－∠AED=22.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了动点问题，包含了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正方形的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的判定等，能够正确画图并综合运用所学相关知识是解题的关键． 8．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 【答案】(1)不变，∠MND=30°； (2)AM的长为2-2或4-4； (3) 【分析】（1）联结DM，设∠MBO=α，可表示出∠DMN，∠CDM，∠CMD，∠CMB，∠CMN，进而计算求得∠DMN=120°，从而求得结果； （2）分点N在边BC上和点N在CB延长线上时两种情况讨论，进而求得结果； （3）作ME⊥AB于E，MF⊥DN，在△ABM中表示出MB，进而表示出MN，进一步表示出DN，从而求得结果． 【解析】（1）解：如图1， 联结DM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=2，BD=2OD=2OB，AD=AB， ∴DM=BM，OD=OB==2， ∴BD=4， ∴AD=AB=BD， ∴∠BCD=∠BAD=60°，∠CBD=60°， ∴∠ACD=∠BCD=30°， 设∠MBO=α， ∵MN=MB， ∴∠MBN=∠MNB=∠DBC+∠MBO=60°+α， 在△CBM中， ∠CMB=180°-∠ACB-∠CBM=180°-30°-（60°+α）=90°-α， ∴∠CMD=∠CMB=90°-α， 在△MND中， ∠BMN=180°-∠MBN-∠MNB=180°-2（60°+α）=60°-2α， ∴∠CMN=∠CMB-∠BMN=90°-α-（60°-2α）=30°+α， ∴∠DMN=∠CMN+∠CMD=（30°+α）+（90°-α）=120°， ∵BM=DM=MN， ∴∠MND=∠MDN==30°； （2）解：当点N在边BC上时， 在△MBN和△CBM中， ∠BMN=∠ACB=30°， ∠CBM=∠MBN， ∴∠CMB=∠MBN， ∵MB=MN， ∴∠MBN=∠MNB， ∴∠CBM=∠MBN， ∴CM=CB=4， ∴AM=AC-CM=4-4； 当点N在CB延长线上时， 过点M作MG⊥BN于点G， ∵MB=MN， ∴∠NMG=∠BMG=×30°=15°， ∴∠GMC=180°-90°-30°=60°， ∴∠BMO=45°， ∴△OBM是等腰直角三角形， ∴OB=OM=2， ∴AM=AO-OM=2-2； 综上，AM的长为2-2或4-4； （3）解：如图2， 作ME⊥AB于E，MF⊥DN， ∵∠CAB=30°， ∴EM=AM=x， ∴AE=， ∴BE=AB-AE=4-x， 在Rt△BEM中， BM=， 在Rt△MNF中， 同理可得：NF=MN=， ∴DN=2NF， ∴． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，等腰三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是设角，通过计算寻找角的数量关系． 9．如图1，在正方形中，，点E在的延长线上，点F在边上（点F与C、D不重合），且，联结． （1）求的度数； （2）联结交于点M， ①如图2，如果，求的长； ②设，，直接写出y关于x的函数解析式及定义域． 【答案】（1）45°；（2）①；② 【分析】（1）证明可得，从而是等腰直角三角形，即可得； （2）①过作交于，证明，可得，在中，可得，即可求出； ②过作交于，过作于，先证明是的中位线，得，再由已知得，，而是等腰直角三角形，，即可得，由可得． 【解析】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）①过作交于，如图： ，， ，， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知：， ， ， 在和中， ， ， ， 而，， ，， ， 中，， ； ②过作交于，过作于，如图： 由①知：，， 为的中点， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查正方形性质的综合应用，涉及三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、中位线． 题型三：勾股定理确定解析式 10.如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC．交线段CB的延长线与点Q． （1）当BP=BC时，求证：BQ=BP； （2）当∠A=30°，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【解析】（1）证明：． （3） 过作，垂足为 【总结】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质的综合运用，解题时注意从多个角度 进行分析． 11．（2020春•崇明区期末）已知：如图，在矩形中，，，点为边上一动点，把沿翻折后得到． （1）当点恰好落在矩形对角线上时，求线段的长； （2）当直线与边相交于点时，是否一定是等腰三角形？请给出你的结论，并证明你的结论； （3）当直线与边相交于点，且点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域． 【答案】（1）； （2）一定是等腰三角形，证明见解析； （3）．函数定义域为． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）设，根据折叠的性质得，，，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可解决问题； （2）由折叠得，根据矩形的性质得，可得，则，等角对等边得，即可得是等腰三角形； （3）由（2）知，推出，在中，，构建关系式即可解决问题． 【解答】解：（1）设， 在矩形中，，，，将沿翻折后得到，点恰好落在矩形对角线上， ，，，， ， 在中，． ． 解得， 即； （2）一定是等腰三角形． 证明：将沿翻折后得到，且直线与边相交于点， ， 矩形中，， ， ， ， 是等腰三角形； （3）由折叠得：，，，， ， ， 在中，， ， ． 当点与点重合时，如图： 由折叠得：，，，， ， 当点与点重合时，如图： 由折叠得：，，，， ， ， ， 函数定义域为． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 12．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【答案】(1) (2) (3)6或或8． 【分析】（1）先说明与不可能垂直，只有，如图：过B作、过A作，然后运用等面积法可求得， 再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得到即可解答； （2）如图：过点A作，过点D作，根据勾股定理可得，进而得到，再在中利用勾股定理即可得到关系式； （3）分点P在C、D之间、点D与点P重合、点P在射线上三种情况，分别画出图形，然后根据图形解答即可． 【解析】（1）解：∵． ∴不可能是直角三角形，即与不可能垂直， ∵梯形是直角梯形， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴ ∴， 过A作， 则，即，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．   ； （2）解：如图：过点A作，过点D作，    由（1）可知，， ∴， ∵, ∴, ∴，即 在中，， ∴，整理得：． （3）解： ①当点P在C、D之间时，是以为腰的等腰三角形，则，如图：    过点A作，过点B作， 由题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴底边； ②如图：当点D与点P重合时，，是以为腰的等腰三角形，    此时底边； ③如图：当点P在射线上时，是以为腰的等腰三角形，则，连接，    ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 综上所述，底边的长为6或或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、掌数握形结合和分类讨论思想是解题关键． 13．（2024八年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）证明，，，可得，．，由勾股定理可得，从而可得答案； （2）证明，结合，，可得．，再建立方程求解即可； （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，②当，如图，再分别画图，建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴． （2）∵四边形是等腰梯形， ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∴，解得，． 即的长题． （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，    ∵， ∴， ∴，解得． 即正方形的面积是1． ②当，如图，    ∵，则， 在中，， ∴，解得． 即正方形的面积是． 综上所述，当是等腰三角形时，正方形的面积是1或． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，等腰三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型四：面积关系确定解析式 14．（2023八年级上·上海·期中）如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，则，在中有两的角，根据等边三角形的判定即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质易得，，则，，利用三角形的面积公式得到，代值即可得到； （3）由得到，则，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，即，解方程即可． 【解析】（1）在中，，， ， ，， ， ， 而， 为等边三角形； （2），过点P作，    ，， ，， ∴， ∴， ∴， 而， ； （3）， ， 而 ， ，即， ．    【点睛】本题考查了梯形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15．（2023春•宝山区期末）平行四边形中，是边上的动点，过点作，垂足为点，是边的中点，联结、． （1）如图1，当是边的中点时，如果四边形的面积为10，求 的面积； （2）如图2，点移动至点处，试判断形状，并说明理由； （3）如图3，如果，，设，，求与的函数关系式，并写出定义域． 【答案】（1）； （2）是等腰三角形；理由见解析； （3）． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得出答案； （2）取的中点，连接与交于点，证出，则可得出结论； （3）过点作于点，过点作于点，由勾股定理及直角三角形的性质求出点到的距离，由可求出答案． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， 是边的中点，是边的中点， ， 四边形是平行四边形， 设平行四边形边上的高为， ； （2）是等腰三角形， 理由：取的中点，连接与交于点， 由（1）可知， ， 是的中点，， 垂直平分， ， 是等腰三角形； （3）过点作于点，过点作于点， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 点到的距离为， ， 是边上的动点，， ． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上的一点，且AE＝CF，联结EF交对角线AC于点G． （1）求证：DE＝DF； （2）联结DG，求证：DG⊥EF； （3）设AE＝x，AG＝y，求y关于x的函数解析式及定义域． 【解析】（1）∵正方形， ∴ ∵AE＝CF， ； （2） 如图，过点作与的延长线交于点 ， ∵是正方形的对角线， ； （3） 在中，， 同理： ． 【总结】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等综合应用，解题时注意从多个角度进行分析． 2.如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G． （1）求证：GD=DC； （2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BH=时，求CG的长． 【解析】（1），是的中点， ， ； （2） ． ， ． 若交线段的延长线于点，有， ，； 若交线段于点，有， ，； （3） 若交线段的延长线于点， ，， ； 若交线段于点， ，， ； 综上所述，CG的长为或． 【总结】本题主要考查对三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线性质，以及含角的直角三角形性质的综合应用，此题中还要注意分类讨论思想的运用． 3.如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E； （1） 若∠A=30°，求线段CE的长； （2） 当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3） 若CE=1，求BC的长． 【解析】（1）联结， 又垂直平分， 又 ， 线段的长为； （2） 垂直平分， 在中，，即， ∴； （3） 当点在线段上时，由（2）得，解得：， 当点在延长线上时，， 在中，， 即，解得：， 综上所述，若，的长为或． 【总结】考查学生对勾股定理、线段垂直平分线的性质及直角三角形性质的综合运用，综合性较强，第（3）小问注意要分类讨论． 4.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边CD上的任意一点（不与C、D重合），将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，联结AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）若设DE＝x，BG＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）联结CF，若AG∥CF，求DE的长． 【解析】（1）证明：由翻折易证≌ ． ． ∵正方形ABCD， ∴． ∵, ≌； （2） ≌，， ，． ， ； （3） ， ． 【总结】考查图形运动及动点问题结合全等三角形的综合应用能力，解题时注意对基本图形 的寻找． 5.如图，三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10．将纸片折叠使B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F． （1）设BE=x，DC=y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （2）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长． 【解析】解：（1）在中，， ． 由折叠可知：． 在中，由勾股定理得：， ； （2） 当． 过点作于，， ， ； 当． ，是等腰直角三角形， ； ③当不符合题意． 综上所述，的长为或． 【总结】考查直角三角形性质及勾股定理的综合运用，注意分类讨论思想的运用． 6.已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点D是AB边中点，将一块直角三角板的直角顶点放在D点旋转，直角的两边分别与边AC、BC交于E、F． （1） 取运动过程中的某一瞬间，画出△ADE关于D点的中心对称图形，E的对称点为，试判断BC与B的位置关系，并说明理由； （2） 设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 【解析】解：（1）延长至，联结 ． 是中点， ， ； （2） 联结， ，垂直平分，． ， ． ， ． ，， ． 当时，解得：；当时，解得：， 故定义域为：． 【总结】本题主要考查图形的旋转，注意与勾股定理的综合运用． 7．（2024八年级下·上海·期中）正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H． (1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE； (2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y； (3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长． 【答案】(1)见解析 (2)y=x2-3x+18（0＜x＜6） (3) 【分析】（1）如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．只要证明四边形CMGF是平行四边形，△ADE≌△DCM即可解决问题； （2）根据S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB计算即可解决问题； （3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，联结EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根据EN2=EB2+BN2，构建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解决问题． 【解析】（1）证明：如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°， ∵CM∥FG，DE⊥FG， ∴四边形CMGF是平行四边形，CM⊥DE， ∴CM=FG，∠CKD=90° ∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠ADE=∠DCM， ∴△ADE≌△DCM（ASA）， ∴CM=DE， ∴DE=FG． （2）如图2中， ∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴AE=BF， ∵AB=BC， ∴BE=CF=x， ∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB =×（x+6）×6-×6×x-×x（6-x） =3x+18-3x+x2-3x =x2-3x+18（0＜x＜6）． （3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，联结EN． 则四边形DGFN是平行四边形， ∴∠EDN=∠GHD=45°， ∵∠ADC=90°， ∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°， ∴∠NDE=∠NDM， ∵DN=DN，DE=DM， ∴△NDE≌△NDM（SAS）， ∴EN=NM， ∵AB=6，BE=2AE， ∴AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x， 在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2， ∴（x+2）2=（6-x）2+42， ∴x=3， 在Rt△DCN中，DN=， ∴FG=DN=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题05 图形运动中的函数关系确定 题型一：线段相等关系确定解析式 1.如图，已知：在△ABC中，∠CBA=90°，∠A=30°，BC=3，D是边AC上的一个动点，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且DE=DF，作FP⊥EF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线交于点G． （1）求证：AF=FP； （2）设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长． 2．（2023八年级下·上海黄浦·期末）在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设． （1）求边的长； （2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式； （3）如果的长为，求梯形的面积． 题型二：线段和积关系确定解析式 4.在等边△ABC中，AB=8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形．且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G． （1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）设BD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AD的长为7时，求线段FG的长． 5.如图，在边长为1的正方形中，与相交于点，点是AB延长线上一点，联结CE，AF⊥CE，垂足为点F，交BD、BC于点H、G．设BE＝x，CG＝y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域； （2）当点F是EC的中点时，证明：CG＝2OH． 6.如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC．交线段CB的延长线与点Q． （1）当BP=BC时，求证：BQ=BP； （2）当∠A=30°，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 7．（2024八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 8．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 9．如图1，在正方形中，，点E在的延长线上，点F在边上（点F与C、D不重合），且，联结． （1）求的度数； （2）联结交于点M， ①如图2，如果，求的长； ②设，，直接写出y关于x的函数解析式及定义域． 题型三：由勾股定理确定解析式 10.如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC．交线段CB的延长线与点Q． （1）当BP=BC时，求证：BQ=BP； （2）当∠A=30°，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 11．（2020春•崇明区期末）已知：如图，在矩形中，，，点为边上一动点，把沿翻折后得到． （1）当点恰好落在矩形对角线上时，求线段的长； （2）当直线与边相交于点时，是否一定是等腰三角形？请给出你的结论，并证明你的结论； （3）当直线与边相交于点，且点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域． 12．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 13．（2024八年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 题型四：由面积关系确定解析式 14．（2023八年级上·上海·期中）如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 15．（2023春•宝山区期末）平行四边形中，是边上的动点，过点作，垂足为点，是边的中点，联结、． （1）如图1，当是边的中点时，如果四边形的面积为10，求 的面积； （2）如图2，点移动至点处，试判断形状，并说明理由； （3）如图3，如果，，设，，求与的函数关系式，并写出定义域． 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上的一点，且AE＝CF，联结EF交对角线AC于点G． （1）求证：DE＝DF； （2）联结DG，求证：DG⊥EF； （3）设AE＝x，AG＝y，求y关于x的函数解析式及定义域． 2.如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G． （1）求证：GD=DC； （2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BH=时，求CG的长． 3.如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E； （1） 若∠A=30°，求线段CE的长； （2） 当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3） 若CE=1，求BC的长． 4.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边CD上的任意一点（不与C、D重合），将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，联结AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）若设DE＝x，BG＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）联结CF，若AG∥CF，求DE的长． 5.如图，三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10．将纸片折叠使B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F． （1）设BE=x，DC=y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （2）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长． 6.已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点D是AB边中点，将一块直角三角板的直角顶点放在D点旋转，直角的两边分别与边AC、BC交于E、F． （1） 取运动过程中的某一瞬间，画出△ADE关于D点的中心对称图形，E的对称点为，试判断BC与B的位置关系，并说明理由； （2） 设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 7．（2024八年级下·上海·期中）正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H． (1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE； (2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y； (3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$