专题03：一次函数与几何综合【六大重难点题型专练】------ 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题03 一次函数与几何图形综合 题型一：与图形面积有关的问题 1．（2023·上海金山·八年级期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图象上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且．    (1)求正比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标，请说明理由． 2．（2024黄浦区八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点、点，过原点的直线交直线于点P． (1)当直线的解析式为时，求点P的坐标和的面积； (2)当时，求直线的解析式； (3)当（n为正整数）时，那么直线的解析式是 ． 3．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（0,6），点P是直线AB上的一个动点，已知点P的坐标为（m,n）. (1)当点P在线段AB上时（不与点A、B重合） ①当m=2,n=3时，求△POA的面积. ②记△POB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出定义域. （2）如果S△BOP：S△POA=1:2,请直接写出直线OP的函数解析式.（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）. 4．(23-24八下·上海闵行区·期中)如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型二：一次函数与全等三角形的综合 5．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三：等腰三角形与直角三角形存在性 6．（22-23八年级下·上海·阶段练习）如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上． (1)求的值； (2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围； (3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 7．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 8．（20-21八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A坐标为，，将x轴所在的直线沿直线翻折交y轴于点C，点F是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)若，求的长： (3)若是等腰三角形，写出点F的坐标． 9．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第二象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 题型四：一次函数与平行四边形的综合 10．已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点 (1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积； (2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标； 11．如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当为等腰三角形时，求的长； (3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______． 题型五：一次函数与特殊平行四边形 12．如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点； ①求出所在直线的解析式及点F坐标； ②在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，有一点，连接． (1)如图，以为边，在上方构造正方形，边交直线于点，边交轴于点． ①的长为_____，点的坐标_____，直线的函数表达式______，的长为_____； ②如图2，连接对角线交轴于点，交直线于点，连接，请你判断的形状且说明理由，并求的面积； (2)如图3，以为边，过点在的上方作，且，连接，点是线段的中点，是线段上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当最小时，求此时的长． 题型六：一次函数与反比例函数的综合 14．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 15．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．    (1)求点的坐标； (2)将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值； (3)如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值． 16．（20-21八年级下·上海·期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 1．（2023下·上海·八年级期中）已知，直线：与直线：平行，且经过点，常值函数的图象与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 2．（2023下·上海普陀·八年级统考期中）已知直线与直线平行，且直线过点．求： (1)直线的表达式； (2)直线与坐标轴围成的三角形面积. 3．（2023下·上海宝山·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．    (1)求直线的解析式． (2)试在直线上找一点P，使得，请求出点P的坐标． 4．(23-24八下·上海普陀区·期中)如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 5．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，直线与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的解析式； (2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标． 6．(23-24八下·上海黄浦区部分学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 7．(23-24八下·上海闵行区民办复旦万科实验学校·期中)已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．    (1)求点的坐标和的度数． (2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标． (3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 8．（24-25上海八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点，点D，直线与交于点E，已知点E的横坐标为． (1)求直线的函数解析式； (2)若直线上存在点P，使得，请求出点P的坐标； (3)已知M是线段上的动点，过点M作直线平行于y轴，交直线于点N，过点M作y轴的垂线，交y轴于点Q，是否存在点M，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9． 10． 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 11．（2023下·上海·八年级名校名卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）． (1)求直线AB的表达式； (2)将直线AB向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的表达式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题03 一次函数与几何图形综合 题型一：与图形面积有关的问题 1．（2023·上海金山·八年级期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图象上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且．    (1)求正比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或，理由见解析 【分析】本题考查的是一次函数综合应用，面积的计算、点的坐标得确定； （1）由待定系数法即可求解； （2），则，即可求解； （3）由的面积，即可求解． 【详解】（1）解：设正比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则正比例函数的表达式为：； （2）， 则，即， 解得：， 即点的坐标为：； （3）存在，直线的表达式为 由点，， ∴ ∴ 直线的表达式为：， 当时，，则点， 则的面积 过点作轴交于点，设点，则点，    则， 则的面积 解得：或， 则点的坐标为：或． 2．（2024黄浦区八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点、点，过原点的直线交直线于点P． (1)当直线的解析式为时，求点P的坐标和的面积； (2)当时，求直线的解析式； (3)当（n为正整数）时，那么直线的解析式是 ． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】（1）求出直线的解析式，与联立方程组，即可得出点P的坐标；边上的高线为：6，，即可得出的面积； （2）分为点P在上和的延长线上，当点P在上时，作于C，作于D，可推出，代入求得；当点P在的延长线上时，作于E，作于F，求得，进而求得结果． （3）由（n为正整数），得出，分两种情况作答即可． 【详解】（1）解： 设直线的解析式为：， ∵点、点， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线的解析式为， ∴，解得：， ∴点P的坐标为：， ∴中，边上的高线为：6， ∵直线的解析式为：， ∴， ∴ （2）解：分两种情况： ①设点， 当点P在上时， 作于C，作于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴，， ∴， ∴直线的解析式是：； ②设点， 当点P在的延长线上时， 作于E，作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴，， ∴， ∴直线的解析式是：； 综上，直线的解析式是：或． （3）∵（n为正整数）， ∴， 分两种情况： ①如图，过P作PC⊥OA于C， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式是：； ②如图，过P作于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式是：； 综上，直线的解析式是：或． 【点睛】本题考查了一次函数及其图象性质，一次函数与二元一次方程组的关系，解决问题的关键是熟练掌握一次函数等基础知识． 3．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（0,6），点P是直线AB上的一个动点，已知点P的坐标为（m,n）. (1)当点P在线段AB上时（不与点A、B重合） ①当m=2,n=3时，求△POA的面积. ②记△POB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出定义域. （2）如果S△BOP：S△POA=1:2,请直接写出直线OP的函数解析式.（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）. 【答案】（1）6；（2）S=3m，0<m<4；（3）y=3x或y= -3x 【分析】（1）根据点坐标可得△POA的底和高，根据三角形面积公式计算；（2）根据点坐标可得△POB的底和高，根据三角形面积公式列出S与m的解析式；（3）分别讨论当P在第二、第一、第四象限内，根据题意列出等式求P点坐标，确定直线OP解析式. 【解析】解：（1）如图，过P作PM⊥x轴，垂足为M， ∵A（4,0），P（2,3）， ∴S△POA==. （2）如图，过P作PN⊥y轴，垂足为N， ∵B（0,6），P（m,n）， ∴S ==. ∵P在线段AB上（不与点A、B重合） ∴0<m<4 ∴S关于m的函数解析式为S=3m，0<m<4. （3）如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（4,0），B（0,6）代入， ， 解得， ， ∴直线AB的解析式为 ， ∴P（m, ）. ∵S△BOP：S△POA=1:2，∴S△POA=2 S△BOP ①当m≤0，即点P在第二象限时， 根据题意得， 解得，m= -4， ∴P（-4,12）， 设直线OP解析式为y=ax，将P点代入， -4a=12, 解得，a= -3， ∴直线OP解析式为y= -3x； ②当0<m≤4，即点P在第一象限时， 根据题意得， 解得，m= ， ∴P（,4）， 设直线OP解析式为y=ax，将P点代入， a=4, 解得，a= 3， ∴直线OP解析式为y= 3x； ③当m>4，即点P在第四象限时， 根据题意得， 解得，m= -4（不符合题意，舍去） . 综上所述，直线OP的解析式为：y=3x或y= -3x 【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，利用数形结合的思想，按照“表达式坐标线段长几何图形的性质及应用”的思路思考是解答此题的关键. 4．(23-24八下·上海闵行区·期中)如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 题型二：一次函数与全等三角形的综合 5．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点． 点在直线上，且在第二象限内，过点作轴，交直线于点． (1)分别求直线和直线的表达式； (2)若点的坐标为，作的平分线，交轴于点． ①求点的坐标； ②是否存在点，使得与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：；直线： (2)的坐标；，， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于，令交轴于，则，由角平分线的性质得出，由得出，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当时；当时，作轴于，连接交于；当时；分别画出图形，利用全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案． 【解析】（1）解：直线：与直线：相交于点， ，， 解得：，， 直线：；直线：； （2）解：①如图，作于，令交轴于，则， 点的坐标为， ，， ， 平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ； ②如图，当时， 此时，， 轴， ， ； 如图，当时，作轴于，连接交于， ， ，， 垂直平分， 设，则，，， 将代入得：， 解得：， 由勾股定理得出， ， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时， 故； 如图，当时， 由（1）可得：， ， ， ， ，， 设，则， 解得：或（舍去）， 故； 综上所述：，，． 题型三：等腰三角形与直角三角形存在性 6．（22-23八年级下·上海·阶段练习）如图，直线经过点，与轴交于点，点在轴上． (1)求的值； (2)动点在线段上运动，连接、．设的面积为，求出与之间函数关系式，并写出的取值范围； (3)能否为等腰三角形；若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，点坐标为或或或 【分析】（1）将点的坐标代入直线中，即可求出； （2）利用三角形的面积公式即可得出与之间函数关系式，并写出的取值范围； （3）利用等腰三角形的性质分三种情况，建立方程求解即可得出结论． 【解析】（1）解：直线经过点， ， ； （2）点，点， 的面积为 ， ， 直线与轴交于点， ， ； （3）点，点， 则 ，，， Ⅰ、当时，， 解得：或， 或； Ⅱ、当时，， 解得：， ； Ⅲ、当时，， 解得：（舍去）或， ； 综上所述，能为等腰三角形，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 7．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质以及勾股定理，分及两种情况，求出点M的坐标是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线l的解析式及点A，P的坐标，分及两种情况考虑：①当时，轴，结合点P的坐标可得出点M的坐标；②当时，设点M的坐标为，利用勾股定理，可求出a的值，进而可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为． 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， 即，； （2）分两种情况考虑： ①当时，轴， ∴点M的坐标为； ②当时，设点M的坐标为， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为． 综上所述，点M的坐标为或． 8．（20-21八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A坐标为，，将x轴所在的直线沿直线翻折交y轴于点C，点F是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)若，求的长： (3)若是等腰三角形，写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或或或． 【分析】 （1）先求出B点的坐标，将A和B的坐标代入即可求出的解析式； （2）先求出的长，再通过，可求出的长； （3）当，，分别为等腰三角形的底边的时候进行分类讨论． 【解析】（1）解：∵点A坐标为，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设的解析式：， 将和分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式：． （2）解：如图，过点F作轴于点G，延长交x轴于P点， ∵直线沿直线翻折交y轴于点C， ∴，，， 在中，， ∴，（对顶角相等）， 同理（1）可得， ∴， ∴在中，，则，， ∴在中，，则，， 同理（1）可得，， ∴F点的横坐标为， ∵F在直线上， ∴把代入中，F点的纵坐标为， ∴， ∴． （3）解：①如图，当： 在（2）的情况下， ∴此时， ∴在（2）的点F，点A，点O组成的三角形为等腰三角形， ∴当时，， ②如图，当时： 过点F作于点H， 则， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴此时， ③如图，当时： 过点F作于点K， 可得，中，，， ∵，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴F点的横坐标为，， ∴此时， 点F在点A左侧，x轴下方时，点F的坐标为， 综上所述：满足条件的点F的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠、含角的直角三角形和等腰三角形，第三问的重难点在于分类讨论，属于中等题． 9．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第二象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）可先求得A、B坐标，再求得，从而可证得轴，则可求得C点坐标； （2）由对称性可知点D在y轴上，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）可设，可表示出和的长，分和三种情况，可分别得到关于t的方程，则可求得t的值，可求得E点坐标． 【详解】（1）解：在中，令可解得，令可得， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴轴， ∴； （2）解：∵将沿着直线翻折，点C落在点D处， ∴， ∴点D在y轴上，且， ∴， ∴可设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （3）解：假设存在E点，使为等腰三角形，其坐标为， ∵， ∴，，且， 若为等腰三角形，则有和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时E点坐标为； ②当时，则有，即，解得或，此时E点坐标为或； ③当时，则有，即，解得（与A点重合，舍去）或，此时E点坐标为； 综上可知存在满足条件的E点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中证得轴是解题的关键，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用E点坐标分别表示出的长是解题的关键． 题型四：一次函数与平行四边形的综合 10．已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点 (1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积； (2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标； 【答案】(1)，平行四边形面积8； (2)或． 【分析】本题考查了根据图形求点的坐标，一次函数与几何，分类讨论是解题的关键． （1）过，分别作于，于，由四边形是平行四边形，得到，，，证得，推出即可得到结果； （2）分多种情况讨论，即当点在线段上时，；当点在线段上时，，逐一计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过，分别作于，于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，当点在线段上时，过点作于，则， 直线将平行四边形的面积分成两部分， 当时， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作于， 直线将平行四边形的面积分成两部分， 当， ， 设直线的解析式为， 将，代入可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，可得， 解得 ， 综上所述，或． 11．如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当为等腰三角形时，求的长； (3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)或4 (3) 【分析】（1）只需证明即可． （2）分三种情况求解即可． （3）先证明，得到，确定直线的解析式为，设点，则，其中， 求得直线的解析式，根据面积差为4，得到求解即可． 【详解】（1）证明：∵D是中点 ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， ∴．设， （I）当时，则， ， ， 根据题意，得， 解得：， 故； （II）当时，则，则， 根据题意，得， 解得：，（均舍去）； （III）当时，则 ，故， 根据题意，得， 解得：，（舍去）， 故， 所以或4． （3）如图，，点D是的中点，点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则直线的解析式为， 设点，则，其中， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， ∵点是直线上的点， ， 解得． ，， 且四边形与的面积差为4， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ， 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法，熟练掌握平行四边形的判定，灵活进行等腰三角形的边的分类待定系数法是解题的关键． 题型五：一次函数与特殊平行四边形 12．如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点； ①求出所在直线的解析式及点F坐标； ②在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)①，点F坐标为；②存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）对运用勾股定理求解即可； （2）先证明，设，则，， 在中，由勾股定理得，求出点，而点，即可求直线的表达式； （3）①待定系数法求直线表达式，交点只需联立两条直线表达式，解方程组即可； ②分类讨论：以为边；以为对角线，两种情况，根据菱形的四条边相等即对角线垂直的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题知，在矩形中，点B的坐标是， ∴，，， ∴； （2）解：解：过点E作， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； （3）解：①在矩形中，点B的坐标是， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线和直线交于点F， ∴， 解得：， ∴， ②当、都为菱形的边时，如图： ， ∴或； ②当为菱形的边，为菱形对角线时，如下图， ∴， ∴， 综上，满足条件的点m的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题，涉及矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，以及用待定系数法求解析式等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，有一点，连接． (1)如图，以为边，在上方构造正方形，边交直线于点，边交轴于点． ①的长为_____，点的坐标_____，直线的函数表达式______，的长为_____； ②如图2，连接对角线交轴于点，交直线于点，连接，请你判断的形状且说明理由，并求的面积； (2)如图3，以为边，过点在的上方作，且，连接，点是线段的中点，是线段上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当最小时，求此时的长． 【答案】(1)①5；；；；②等腰直角三角形， (2) 【分析】（1）①过点作轴于点，过点作轴于点，首先利用勾股定理解得的值；证明，由全等三角形的性质可得，，即可确定点坐标；利用待定系数法求得直线的解析式，结合，可设直线的函数表达式为，进而确定直线的函数表达式；在确定，然后计算的长度即可； ②过点作轴于点，首先利用待定系数法求得直线的解析式为，联立和并求解，即可确定点，进而证明，，即可确定的形状为等腰直角三角形，然后计算其面积即可； （2）首先证明点的运动轨迹在过点，且与垂直的直线上， 作点关于直线的对称点，连接，过点作轴于点，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，求得直线的解析式为，进而确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式为，联立和并求解，即可确定点坐标，然后利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】（1）解：①如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 将点代入，可得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，可得，即， ∴； 故答案为：5；；；； ②的形状为等腰直角三角形，理由如下： 如下图，过点作轴于点， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立和，可得， 解得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线解析式为， ∴， ∴，， ∴的形状为等腰直角三角形， ∴； （2）解：如下图，当点与点重合时， 此时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为正方形， 如下图，当点到达中点时， 此时，且， 即点与点重合， ∴点的运动轨迹在过点，且与垂直的直线上，即， 如下图，作点关于直线的对称点，连接，过点作轴于点， 此时，则， ∴当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， 结合（1）可知，，，直线解析式为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵，即， 解得或（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立和， 可得，解得， ∴此时， ∴， 即当最小时，此时的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，运用数形结合的思想分析问题． 题型六：一次函数与反比例函数的综合 14．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把代入得；设直线的解析式为把代入即可求解； （2）设，则，，推出，即可求解； （3）由题意得；，设点到直线的距离为h，根据，即可求解； 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ 设直线的解析式为 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：∵点P在上，点Q在线段上，轴， ∴设，则， ∴， ∴ 即：， 解得：或（舍去） ∴； （3）解：∵ ∴； ∴， 设点P到直线的距离为 ∴， ∴； ∴点P到直线的距离为 15．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且．    (1)求点的坐标； (2)将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值； (3)如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值． 【答案】(1)点坐标为； (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，易证，根据全等三角形的性质可得点坐标； （2）设沿轴向右平移距离为，则，，根据点、都落在双曲线上，列方程求出的值，进一步可求出的值； （3）联立直线解析式与反比例函数解析式可得点和点坐标，根据可求出的面积． 【解析】（1）解：过点作轴于点，如图所示：    则， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ，， 点坐标为； （2）解：设沿轴向右平移距离为， 则，， 点、都落在双曲线上， ， 解得， 点， ； （3）解：联立， 解得或， 点坐标为，点坐标为， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积等，本题综合性较强，构造全等三角形是解题的关键． 16．（20-21八年级下·上海·期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【分析】（1）根据题意为等腰直角三角形，过点分别作轴于，轴于，则设，根据一次函数的图像经过点,求得的值，进而求得的坐标,即可求得反比例函数解析式； （2）根据在中，①，在中，②，①－②即可求得； （3）分三种情况讨论①若，，如图，连接，证明，进而求得，从而求得的坐标，即可求得点的坐标；②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，证明，设，由，可得，解方程即可求得点坐标；③若，如图，过点作轴于，过作轴于，证明，设，则，由，可得，解方程即可求得点坐标；综合①②③即可求得所有的坐标． 【解析】（1）过点分别作轴于，轴于，如图， 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ， 设， 点在直线上， ， 解得， ， 反比例函数（）的图像经过点， ， ， 反比例函数的解析式为； （2） , 把代入，解得， ， ， 在中，①， 在中，②， ①-②,得， （3）①若，，如图，连接， 在与中， ， ， ， 又， ， 即， ， ， 把代入，得， ， ②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为， 在与， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， ③若，如图，过点作轴于，过作轴于， 在与中， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， 综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关 1．（2023下·上海·八年级期中）已知，直线：与直线：平行，且经过点，常值函数的图象与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直线：中，把点代入即可求得，从而求得直线的函数表达式； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【详解】（1）解：直线与直线平行， ， 把点代入直线中，得到， 解得， 直线的解析式为； （2）把代入求得， ， ， 【点评】本题考查了两条直线平行或相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合思想的运用是解题的关键． 2．（2023下·上海普陀·八年级统考期中）已知直线与直线平行，且直线过点．求： (1)直线的表达式； (2)直线与坐标轴围成的三角形面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与直线平行易得，设解析式为，将代入解析式，解得b，可得表达式； （2）令，可得直线与y轴的交点，利用三角形的面积公式可得结果． 【详解】（1）∵直线与直线平行， ∴设直线表达式为：， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）设直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， 令，则， 解得，， ∴, ∴OB=10； 令，则， ∴C（0，2）, ∴OC=2， ∴. 【点睛】本题主要考查了两直线相交与平行问题，求得直线与两坐标轴的交点坐标是解答此题的关键． 3．（2023下·上海宝山·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．    (1)求直线的解析式． (2)试在直线上找一点P，使得，请求出点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)点P的坐标为或； 【分析】（1）先根据求出A、B两点坐标，从而求出点M，用待定系数法求解即可； （2）过点O作直线，为与的交点，可得；根据题意把沿y轴向上平移8个单位长度得到直线，直线沿y轴向上平移8个单位长度得到直线，联立方程即可求出坐标． 【详解】（1）解：∵函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵点M为线段的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点O作直线，为与的交点，如图所示，    此时， ∵直线：， ∴直线：， 由（1）得：直线的解析式为， ∴，解得：， ∴， ∴； 根据题意把沿y轴向上平移8个单位长度得到直线，直线沿y轴向上平移8个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为：， 作与交与， 此时， ∴，解得：， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； 【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式，注意“数形结合”数学思想的应用 4．(23-24八下·上海普陀区·期中)如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分． (1)求点A，B的坐标； (2)求直线的表达式； (3)当时，试在直线上找一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）对于，分别令和，求出y值和x值，即得出答案； （2）结合（1）可求出，由题意可知或．设，直线的解析式为，即得出．分类讨论：当时和当时，分别列方程求出t的值，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意结合（2）可知直线的解析式为．过点作x轴垂线，交直线于点C．设，则，即可求出，再根据三角形面积公式可求出，可求得，再分别求出即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， ∴； 令，则， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． ∵过点B的直线交x轴正半轴于点M，且直线把分成面积之比为的两部分， ∴或． 设，直线的解析式为， ∴． 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为； 当时，即， 解得：． ∴，即． 将，代入， 得：，解得：， ∴此时直线的解析式为． 综上可知直线的表达式为或； （3）解：∵， ∴由（2）可知，即此时直线的解析式为． 如图，过点作x轴垂线，交直线于点C． 设，则， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， 解得：． 当时，，即； 当时，，即． 综上可知点P的坐标为或． 5．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，直线与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的解析式； (2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据点在直线l1上求出m的值，再根据点C和点B求出直线的解析式； （2） 先分别计算出的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴点C的坐标为， 设直线的的解析式为， ∵点和点在直线上， ∴， 解方程组得， ∴直线的解析式为：； （2）解：直线上，当时，；当时，， ∴，， 当点M在轴下方时，设点M的坐标为，如下图所示，    当时，， ∵点M在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点满足条件， 当时，， 得， ∵， ∴点不满足题意，舍去； 当点M在轴上方时，设点M的坐标为，如下图所示， 当时，， ∵点M在直线l2上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点不满足题意，舍去； 当时，， ∵点M在直线l2上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点满足条件， ∴满足条件的点M的坐标为． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征和全等三角形的性质，涉及分类讨论思想的运用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式． 6．(23-24八下·上海黄浦区部分学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，4或或或8 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；①设，则，过作于，由三角形面积S与t之间的函数关系式； ②过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过作于，如图1所示： 则， ∴， ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 、当时，， ， ； 、当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 、当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 7．(23-24八下·上海闵行区民办复旦万科实验学校·期中)已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．    (1)求点的坐标和的度数． (2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标． (3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3)当为等腰三角形时，点的坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点坐标的计算方法可求出点的坐标，根据直角三角形中勾股定理可求出，由此可求出的度数； （2）如图所示，过点作于点，设，在中，根据含角的直角三角形的特点可求出的，根据列式求解即可； （3）根据等腰三角形的判定和性质，动点的运动规律，分类讨论：①，为等腰三角形；②如图所示，，是等腰三角形；③如图所示，，是等腰三角形；根据等腰三角形的性质，含特殊角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点， ∴令时，；令时，； ∴，， ∵， ∴在，，即， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作于点，    ∵点在一次函数的图像上，设， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，，， ∴，， ∵，即是等腰三角形，且， ∴点是中点， ∴，则，且， ∴，则是等边三角形，即， ∵， ∴，整理得， ∴，， 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由（1）可知，，则， ∵点分别是射线上一动点，如图所示，    ①，为等腰三角形， 取的中点，则，过点作，交与点， ∴是的中位线， ∴是的中点，则，即是等腰三角形， ∵是中位线，且，，， ∴，则， ∴根据（2）中的证明过程可得，是等边三角形， ∴， ∴点与原点重合，即； ②如图所示，，是等腰三角形，    ∴， ∴， ∴； ③如图所示，，是等腰三角形，过点作轴于点，作轴于点，    ∴，， ∴，且， 在中，，， ∴，， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴四边形是矩形，则，且是等边三角形，即， 在中，， ∴，则， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握一次函数图像的性质，勾股定理，几何图形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 8．（24-25上海八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点，点D，直线与交于点E，已知点E的横坐标为． (1)求直线的函数解析式； (2)若直线上存在点P，使得，请求出点P的坐标； (3)已知M是线段上的动点，过点M作直线平行于y轴，交直线于点N，过点M作y轴的垂线，交y轴于点Q，是否存在点M，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为； (2)点P的坐标为或； (3)点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答； （1）将点的横坐标，代入求得点E的坐标为，再利用待定系数法求得直线的函数表达式； （2）根据，解出或，将其代入即可解答； （3）设点，则，，表示出，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答； 【详解】（1）解：对于，当时，． 所以点E的坐标为． 将，代入， 得， 解得． ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 解得或． 当时，， 解得； 当时，， 解得． ∴点P的坐标为或； （3）解：存在． 设点，则，． 所以，． 分两种情况： ①当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为； ②当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为． 综上，满足条件的所有点M的坐标为或． 9． 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）过点B作轴的对称点，连接，显然由对称得,，故，当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点，可求直线的表达式为，令，即可求解； （3）画出图形，分类讨论利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 代入点得，， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点B作轴的对称点，连接， 当时，， ∴ 由对称得,， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点， 设直线的表达式为， 代入点坐标得，， 解得：， ∴设直线的表达式为， 当是，， 解得， ∴此时． （3）解：①为平行四边形时，则， ∴； ②为平行四边形时，则， ∴， ③为平行四边形时， ∵， ∴点B向点P的平移方式与点A向点的平移方式一样， ∵， ∴点B向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P 而， ∴， 综上所述，点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，“将军饮马”求最值，平行四边形的性质 ，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问题等； （1）把分别代入与即可求出a，b的值，分别令与即可得到点A，C的坐标； （2）过作交于，则，再求出的面积，根据是的面积的2倍列方程求解即可； （3）过作于，过作于，当四边形是正方形时，可证得设，，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标． 【详解】（1）把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴， 把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴； （2）过作交于， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的面积的2倍， ∴， ∴，解得或， ∴或； （3）根据题意设，， 当在第一象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； 当在第四象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； 当在第二象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得不合题意； 综上所述，或． 11．（2023下·上海·八年级名校名卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）． (1)求直线AB的表达式； (2)将直线AB向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的表达式． 【答案】(1)y＝x﹣2 (2)y＝x+7 【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，即可得到B的坐标，然后把B的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得直线AB的解析式； （2）设平移后的直线表达式为：y＝x+b，记它与y轴的交点为D，根据CDAB可得，然后利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵点B（m，2）在的图象上， ∴， ∴m＝4． ∴点B（4，2）． 把点B（4，2）代入y＝kx﹣2， 得：4k﹣2＝2， ∴k＝1． ∴直线AB的表达式为：y＝x﹣2． （2）设平移后的直线表达式为：y＝x+b． 记它与y轴的交点为D， 当x＝0时,y＝b， ∴点D（0，b）． 对于y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2， ∴点A（0，﹣2）． ∴AD＝b+2． 连接BD． ∵CDAB． ∴． 即：． ∴b＝7． ∴平移后的直线表达式为：y＝x+7． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求函数的解析式以及函数图象的平移，是关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$