专题02：一次函数的应用题【六大重难点题型专练】------ 【强基篇+重难点篇】2024-2025学年沪教版（上海）八年级数学第二学期

2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题02 一次函数的应用题 题型一：工程类问题 1.（2021春•杨浦区期中）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费（万元）与修建天数（天之间在时具有一次函数关系，如表所示： （天 60 80 100 （万元） 45 40 35 （1）直接写出关于的函数解析式是　　； （2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天，求原计划每天的修建费？ 2.（2023市北中学期中）有甲乙两个均装有进水管和出水管的容器，初始时，两容器同时开进水管，甲容器到分钟时，关闭进水管打开出水管；到分钟时，又打开了进水管，此时既进水又出水，到分钟时，同时关闭两容器的进水管．两容器每分钟进水量与出水量均为常数，容器的水量（升）与时间（分）之间的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）甲容器的进水管每分钟进水_________升，出水管每分钟出水_________升． （2）求乙容器内的水量与时间的函数关系式． （3）求从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间． 题型二：方案选择类问题 3．（2023春•长宁区期中）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用（元与绿化面积（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求如图所示的与的函数解析式：（不要求写出定义域）； （2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 4.（2023春•静安区期中）2011年4月28日，以“天人长安，创意自然一一城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种： 票的种类 夜票（A） 平日普通票（B） 指定日普通票（C） 单价（元张） 60 100 150 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中种票的张数是种票张数的3倍还多8张，设购买种票张数为，种票张数为 （1）写出与之间的函数关系式； （2）设购票总费用为元，求出（元与（张之间的函数关系式； （3）若每种票至少购买1张，其中购买种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买，，三种票的张数． 5.（2022春•杨浦区期中）上海浦东某瓜果合作社有一批黄金瓜需要装入某一规格的纸箱投入市场．这种特定的纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买这种纸箱，每个纸箱价格为4元； 方案二：由瓜果合作社租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元； （1）若需要这种规格的纸箱个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用（元和瓜果合作社自己加工制作纸箱的费用（元关于（个的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 6．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 7．（2024·上海嘉定·二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数（） 1 2 3 利润数（）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； (2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 8. 9. 通程电器商城购台空调、台彩电需花费万元.购台空调、台彩电需花费万元. (1)计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？ (2)已知一次性购进空调、彩电共台，购进资金不超过万元，购进空调不少于台，写出符合要求的进货方案. (3)在(2)的情况下，原每台空调的售价为元，每台彩电的售价为元，根据市场需要，商城行“庆五一优惠活动”，每台空调让利元设商城计划购进空调台，空调和彩电全部销售完商城获得的利润为元，试写出与的函数关系式，选择哪种进货方案，商城获利最大？ 题型三：最大利润问题 9．某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 10.夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调.已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同.请解答下列问题： (1)求甲、乙两种空调每台的进价； (2)若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写所获利润（元）与甲种空调（台）之间的函数关系式； (3)在(2)的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的型按摩器和700元/台的型按摩器.直接写出购买按摩器的方案. 11.由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆． （1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价； （2）经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车4.2万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的3倍，设再次购进甲型据销售情况汽车a辆，这100辆汽车的总销售利润为W万元. ①求W关于a的函数关系式； ②若每辆汽车的售价和进价均不变，该如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 12.某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：该商场计划购进两种手机若干部，共需万元，预计全部销售后获毛利润共万元(毛利润=(售价-进价)×销售量) 甲 乙 进价(元/部) 4000 2500 售价(元/部) 4300 3000 (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润. 13.近段时间共享单车风靡全国，从而刺激了自行车生产厂家，某厂家准备生产、两种型号的共享单车，已知生产6辆型单车与5辆型单车的成本相同，生产3辆型单车与2辆型单车共需1080元. (1)求生产一辆A型车和生产一辆型单车的成本各为多少元？ (2)由于共享单车公司需求量加大，生产厂家需要再生产、两种型号的单车共10000辆，恰逢原料商对基本原料的价格进行调整，调整后，型单车每辆成本价比原来降低10%，型单车每辆的成本价不变，如果厂家准备投入的总成本不超过216万元，那么至少要生产多少辆型单车？ (3)在(2)的条件下，该生产厂家发现，销售过程中每辆型单车可获利100元，每辆型单车可获利120元，求全部销售完这批单车获得的利润与型单车辆数之间的函数关系式，并求获利最大的方案及最大利润． 14．某体育用品商店计划一共购进600套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过250套，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 75 100 羽毛球拍（元/套） 80 120 该商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）． (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)该商店实际采购时，恰逢“双11”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元，羽毛球拍的进价不变，若商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，请你利用函数的性质进行分析：如何购货才能获利最大？最大利润是多少（用含有c的代数式表示）？ 15．（2022春·上海·八年级专题练习）某校运动会需购买、两种奖品．若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品5件和种关品3件，共需95元． （1）求、两种奖品单价各是多少元？ （2）学校计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍．设购买种奖品件，购买费用为元，写出（元）与（件）之间的函数表达式，并求最少费用的值． 题型四：费用最值问题 16. （2023市北中学期中）某次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种： 票得种类 夜票（A） 平日普通票（B） 指定日普通票（C） 单价（元/张） 60 100 150 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票张数是A种票张数的3倍还多8张，设需购买A种票张数为x，C种票张数为y （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）设购票总费用为w元，求出W（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数． 17．（2024·上海长宁·二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 所购商品按原价每满300元减80元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）； (2)购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值； (3)顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 18.某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元． (1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用， 题型五：货物调运问题 19．（2022春·上海·八年级专题练习）某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元． (1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式； C D 总计 A x吨 200吨 B 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 (2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； (3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 20．（2021秋·上海·八年级期中）无锡阳山地区有A、B两村盛产水蜜桃，现A村有水蜜桃200吨，B村有水蜜桃300吨．计划将这些水蜜桃运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的水蜜桃重量为x吨，A、B两村运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为yA元和yB元． （1）请先填写下表，再根据所填写内容分别求出yA、yB与x之间的函数关系式； 收地运地 C D 总计 A x吨 ______ 200吨 B ______ ______ 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 （2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； （3）考虑到B村的经济承受能力，B村的水蜜桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值． 21.. （2020宝山区二模）在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到A、B两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往A、B两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往A、B两城镇的运费分别为每辆400元和600元. （1）求这15辆车中大小货车各多少辆? （2）现安排其中10辆货车前往A城镇，其余货车前往B城镇，设前往A城镇的大货车为辆，前往A、B两城镇总费用为y元，试求出y与的函数解析式，若运往A城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用. 题型六：分段函数的应用题 22.《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我市通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）． （1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费　 　元．若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则停车场按　 　小时（填整数）计时收费． （2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数解析式． 1．为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同． (1)求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率； (2)2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案． 2．已知商品的单价比商品少60元，且用3600元购买商品的数量比购买商品的数量多5件． (1)求，两种商品的单价； (2)甲、乙两家商场以同样的价格出售，两种商品．甲商场的优惠方案是：购买商品享受七折优惠，商品无优惠；乙商场的优惠方案是：每购买10件商品，赠送1件商品．现需到同一家商场购买40件商品和件商品（为10的倍数），求到哪个商场购买更优惠． 3．进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资； (2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数w和m的关系式． 4．某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需26元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需28元． (1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的跳绳共40根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 5．某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需430元；购买2个红外线测温计和3包口罩共需840元． (1)求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元： (2)学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．设购买口罩x包，选择活动一的总费用为元，选择活动二的总费用为元，请分别求出，与x的函数关系式； (3)学校购买口罩多少包时，选择优惠活动一与活动二费用一样． 6．我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 7．为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同． (1)求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率； (2)2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案． 8．已知商品的单价比商品少60元，且用3600元购买商品的数量比购买商品的数量多5件． (1)求，两种商品的单价； (2)甲、乙两家商场以同样的价格出售，两种商品．甲商场的优惠方案是：购买商品享受七折优惠，商品无优惠；乙商场的优惠方案是：每购买10件商品，赠送1件商品．现需到同一家商场购买40件商品和件商品（为10的倍数），求到哪个商场购买更优惠． 9．进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资； (2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数w和m的关系式． 10．某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需26元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需28元． (1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的跳绳共40根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 11．某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需430元；购买2个红外线测温计和3包口罩共需840元． (1)求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元： (2)学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．设购买口罩x包，选择活动一的总费用为元，选择活动二的总费用为元，请分别求出，与x的函数关系式； (3)学校购买口罩多少包时，选择优惠活动一与活动二费用一样． 12．我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 13．2022年底因疫情原因，我国很多城市的中小学启动网上授课模式，打印机的销量快速增长，淘宝上一家办公耗材专营店准备用不超过18万元的资金再购进A，B两种型号的打印机共200台，其中A型打印机的进价为600元/台，售价为780元/台，B型打印机的进价为1000元/台，售价为1260元/台．设购进A型打印机x台，销售这200台打印机的总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)求这家网店销售这200台打印机的最大利润． 14．2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价） 类别价格 A款纪念品 B款纪念品 进货价（元/件） 20 15 销售价（元/件） 35 27 (1)该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数； (2)第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少? (3)成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？ 15．某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润（元）与甲种羽毛球进货量（筒）之间的函数关系式，并说明当为何值时所获利润最大？最大利润是多少？ 16．习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 17．（2022·河南）为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买论语和弟子规两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如表： 论语数量本 弟子规数量本 总费用元 (1)论语和弟子规每本的价格分别是多少元？ (2)若学校计划购买论语和弟子规两种图书共本，弟子规的数量不超过论语数量的倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 18．学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元． (1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ (2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 19.某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨． (1)求A、B两厂各运送多少吨水泥? (2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由 20.北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台．求： (1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？ (2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？ 21.某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 车型 运费 运往甲地/（元/辆） 运往乙地/（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆； （2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版八年级数学下同步培优课程（重难点篇） 专题02 一次函数的应用题 题型一：工程类问题 1.（2021春•杨浦区期中）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费（万元）与修建天数（天之间在时具有一次函数关系，如表所示： （天 60 80 100 （万元） 45 40 35 （1）直接写出关于的函数解析式是　　； （2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天，求原计划每天的修建费？ 【答案】（1）；（2）46万元． 【分析】（1）根据题意设出函数解析式，由表格中的数据可以求得函数的解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，求出原计划修路用的天数，从而可以求得原计划每天修建的费用． 【解答】解：（1）设关于的函数解析式为， 图象过点，， ， 解得， 关于的函数解析式为． 故答案为：； （2）设原计划修完这条路需要天， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的根， ， （万元）， 答：原计划每天的修建费是46万元． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用待定系数法求出关于的函数解析式． 2.（2023市北中学期中）有甲乙两个均装有进水管和出水管的容器，初始时，两容器同时开进水管，甲容器到分钟时，关闭进水管打开出水管；到分钟时，又打开了进水管，此时既进水又出水，到分钟时，同时关闭两容器的进水管．两容器每分钟进水量与出水量均为常数，容器的水量（升）与时间（分）之间的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）甲容器的进水管每分钟进水_________升，出水管每分钟出水_________升． （2）求乙容器内的水量与时间的函数关系式． （3）求从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间． 【答案】（1） （2）； （3）分钟． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象及一次函数的性质即可得到解答； （2）根据函数图象及待定系数法即可得到函数解析式； （3）根据图象得到两直线的解析式进而列方程求解． 【小问1详解】 解：∵根据甲容器水量与时间的函数图象可知：当时间为分钟时，水量为升， ∴甲容器的进水管每分钟进水升， ∵根据甲容器水量与时间的函数图象可知：当水量下降升时，时间为分， ∴甲容器出水管每分钟出水升， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵根据乙容器水量与时间的函数图象可知，直线经过，， ∴设乙容器水量与时间的函数解析式为：， ∴ ， ∴解得：， ∴乙容器内的水量与时间的函数关系式：； 【小问3详解】 解：第28分钟时甲容器的水量为40-20+（5-）×（28-16）=50（升） ∴甲容器分钟后水量与时间的函数图象经过，， ∴设分钟后甲容器水量与时间的函数解析式为：， ∴， ∴解得：， ∴甲容器内的水量与时间的函数关系式：， ∵乙容器内的水量与时间的函数关系式：， ∴从初始时刻到两容器最后一次水量相等得到：， 解得：， ∴从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间分钟； 【点睛】本题考查了一次函数图象及解析式，从函数图象中获取信息，读懂函数图象是解题的关键． 题型二：方案选择类问题 3．（2023春•长宁区期中）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用（元与绿化面积（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求如图所示的与的函数解析式：（不要求写出定义域）； （2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断； 【解答】解：（1）设，则有， 解得， ． （2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为元， 选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键． 4.（2023春•静安区期中）2011年4月28日，以“天人长安，创意自然一一城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种： 票的种类 夜票（A） 平日普通票（B） 指定日普通票（C） 单价（元张） 60 100 150 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中种票的张数是种票张数的3倍还多8张，设购买种票张数为，种票张数为 （1）写出与之间的函数关系式； （2）设购票总费用为元，求出（元与（张之间的函数关系式； （3）若每种票至少购买1张，其中购买种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买，，三种票的张数． 【分析】（1）根据、、三种票的数量关系列出与的函数关系式； （2）根据三种票的张数、价格分别算出每种票的费用，再算出总数，即可求出（元与（张之间的函数关系式； （3）根据题意求出的取值范围，根据取值可以确定有三种方案购票，再从函数关系式分析随的增大而减小从而求出最值，即购票的费用最少． 【解答】解：（1）由题意得，种票数为： 则化简得，． 即与之间的函数关系式为：； （2）化简得， 即购票总费用与（张之间的函数关系式为： （3）由题意得， 解得， 是正整数， 可取20、21、22 那么共有3种购票方案． 从函数关系式 ， 随的增大而减小， 当时，的最值最小，即当票购买22张时，购票的总费用最少． 购票总费用最少时，购买、、三种票的张数分别为22、74、4． 【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 5.（2022春•杨浦区期中）上海浦东某瓜果合作社有一批黄金瓜需要装入某一规格的纸箱投入市场．这种特定的纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买这种纸箱，每个纸箱价格为4元； 方案二：由瓜果合作社租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元； （1）若需要这种规格的纸箱个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用（元和瓜果合作社自己加工制作纸箱的费用（元关于（个的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 【答案】（1），；（2）答案见解答． 【分析】（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式，． （2）使得，，解得，讨论的取值范围来比较来比较两个方案的优缺点． 【解答】解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：， 瓜果合作社自己加工纸箱费用：； （2）， 由得，， 解得， 当时，， 选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低． 当时，， 选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低． 当时，， 选择两个方案的费用相同． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式． 6．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 7．（2024·上海嘉定·二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数（） 1 2 3 利润数（）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； (2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【答案】(1)2月份的利润为98万元 (2)这个企业利润数的月平均增长率为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数解析式，根据等量关系，列出方程． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入求值即可； （2）设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据经过两个月后的5月份获得利润为121万元，列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意设利润数y与月份数x一次函数关系式为，根据题意得： ， 解此方程组得：， ∴利润数y与月份数x一次函数关系式为：， 当时，， 答：2月份的利润为98万元； （2）解：设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据题意得： ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 答：这个企业利润数的月平均增长率为． 8. 通程电器商城购台空调、台彩电需花费万元.购台空调、台彩电需花费万元. (1)计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？ (2)已知一次性购进空调、彩电共台，购进资金不超过万元，购进空调不少于台，写出符合要求的进货方案. (3)在(2)的情况下，原每台空调的售价为元，每台彩电的售价为元，根据市场需要，商城行“庆五一优惠活动”，每台空调让利元设商城计划购进空调台，空调和彩电全部销售完商城获得的利润为元，试写出与的函数关系式，选择哪种进货方案，商城获利最大？ 【解答】解：（1）设每台空调与彩电的进价分别是x元、y元，，得， 答：每台空调与彩电的进价分别是0.54万元、0.35万元； （2）设购进空调m台，则购进彩电（30﹣m）台，， 解得，10≤m≤，∵m为整数，∴m＝10，11，12，∴共有三种进货方案， 方案一：购进空调10台，购进彩电20台，方案二：购进空调11台，购进彩电19台， 方案三：购进空调12台，购进彩电18台； （3）由题意可得，y＝（6100﹣5400﹣a）x+（3900﹣3500）（30﹣x）＝（300﹣a）x+12000， ∵0＜a＜350，x＝10，11，12，∴当0＜a＜300时，x＝12时，y取得最大值，此时y＝﹣12a+15600， 当a＝300时，三种方案获利一样多，当300＜a＜350时，x＝10时，y取得最大值，此时y＝﹣10a+15000， 答：y与x的函数关系式是y＝（300﹣a）x+12000，当0＜a＜300时，选择方案三：购进空调12台，购进彩电18台，商场获利最大；当a＝300时，三种方案商场获利一样；当300＜a＜350时，选择方案一：购进空调10台，购进彩电20台，商场获利最大． 题型三：最大利润问题 9．某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元 【分析】 （1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】 解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解. 答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶， 则购进乙品牌洗衣液瓶， 由题意可得，， 解得， 由题意可得，， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值，. 答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元． 【点睛】 本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10.夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调.已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同.请解答下列问题： (1)求甲、乙两种空调每台的进价； (2)若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写所获利润（元）与甲种空调（台）之间的函数关系式； (3)在(2)的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的型按摩器和700元/台的型按摩器.直接写出购买按摩器的方案. 【解答】解：（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为（x+500）元， 根据题意得：＝，去分母得：40000x＝30000x+15000000，解得：x＝1500， 经检验x＝1500是分式方程的解，且x+500＝2000， 则甲、乙两种空调每台进价分别为2000元，1500元； （2）根据题意得：y＝（2500﹣2000）x+（1800﹣1500）（20﹣x）＝200x+6000； （3）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（20﹣n）台，根据题意得：2000n+1500（20﹣n）≤36000，且n≥10，解得：10≤n≤12，当n＝12时，最大利润为8400元， 设购买A型按摩器a台，购买B型按摩器b台，则1100a+700b＝8400（a，b都为正整数）， 有两种购买方案：①A型0台，B型12台；②A型7台，B型11台． 11.由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆． （1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价； （2）经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车4.2万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的3倍，设再次购进甲型据销售情况汽车a辆，这100辆汽车的总销售利润为W万元. ①求W关于a的函数关系式； ②若每辆汽车的售价和进价均不变，该如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设甲种型号汽车的进价为元、乙种型号汽车的进价为元， ，得，即甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为7万元、3万元； （2）①， ②乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的3倍，，解得，，， 随着的增大而增大，为整数，当时，取得最大值，此时，， 答：获利最大的购买方案是购买型汽车25辆，型汽车74辆，最大利润是135万元． 12.某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：该商场计划购进两种手机若干部，共需万元，预计全部销售后获毛利润共万元(毛利润=(售价-进价)×销售量) 甲 乙 进价(元/部) 4000 2500 售价(元/部) 4300 3000 (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润. 【解答】解：（1）设该商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意得， 解得．答：该商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部； （2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，由题意得4000（20﹣a）+2500（30+3a）≤172500 解得a≤5，设全部销售后的毛利润为w元．则w＝300（20﹣a）+500（30+3a）＝1200a+21000． ∵1200＞0，∴w随着a的增大而增大，∴当a＝5时，w有最大值，w最大＝1200×5+21000＝27000 答：当商场购进甲种手机15部，乙种手机45部时，全部销售后毛利润最大，最大毛利润是2.7万元． 13.近段时间共享单车风靡全国，从而刺激了自行车生产厂家，某厂家准备生产、两种型号的共享单车，已知生产6辆型单车与5辆型单车的成本相同，生产3辆型单车与2辆型单车共需1080元. (1)求生产一辆A型车和生产一辆型单车的成本各为多少元？ (2)由于共享单车公司需求量加大，生产厂家需要再生产、两种型号的单车共10000辆，恰逢原料商对基本原料的价格进行调整，调整后，型单车每辆成本价比原来降低10%，型单车每辆的成本价不变，如果厂家准备投入的总成本不超过216万元，那么至少要生产多少辆型单车？ (3)在(2)的条件下，该生产厂家发现，销售过程中每辆型单车可获利100元，每辆型单车可获利120元，求全部销售完这批单车获得的利润与型单车辆数之间的函数关系式，并求获利最大的方案及最大利润． 【解答】解：（1）设生产一辆A型单车成本为x元，生产一辆B型单车的成本y元，根据题意得： 解得：，答：生产一辆A型单车成本为200元，生产一辆B型单车的成本240元． （2）设生产m辆A型单车，则生产B型单车（10000﹣m）辆，由题意得： 200（1﹣10%）m+240（10000﹣m）≤2160000，9m+120000﹣12m≤108000，∴﹣3m≤﹣12000， ∴m≥4000，答：至少要生产4000辆A型单车． （3）设该厂获得的总利润为w元，由题意得：w＝100m+120（10000﹣m）＝﹣20m+1200000， ∵﹣20＜0，∴w的值随m的增大而减小．∴当m＝4000时，w取最大值，最大值为w＝1200000﹣80000＝1120000，答：生产4000辆A型单车、6000辆B型单车时，获得的利润最大，最大值为112万元． 14．某体育用品商店计划一共购进600套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过250套，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 75 100 羽毛球拍（元/套） 80 120 该商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）． (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)该商店实际采购时，恰逢“双11”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元，羽毛球拍的进价不变，若商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，请你利用函数的性质进行分析：如何购货才能获利最大？最大利润是多少（用含有c的代数式表示）？ 【答案】(1)， (2)购进乒乓球拍200套，羽毛球拍400套时，利润最大，为元 【分析】（1）结合表格，利用总获利等于乒乓球拍的获利加上羽毛球拍的获利，列出解析式，根据购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，购进乒乓球拍的套数不超过250套，求出x的取值范围即可； （2）求出进价降低后y与x的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设购进乒乓球拍x（套），则购进羽毛球拍套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：， 又购进乒乓球拍的套数不超过250套， ∴； （2）解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∴当时，此时，取得最大值，最大值为：； 答：购进乒乓球拍200套，羽毛球拍400套时，利润最大，为元． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．根据题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 15．（2022春·上海·八年级专题练习）某校运动会需购买、两种奖品．若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品5件和种关品3件，共需95元． （1）求、两种奖品单价各是多少元？ （2）学校计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍．设购买种奖品件，购买费用为元，写出（元）与（件）之间的函数表达式，并求最少费用的值． 【答案】（1）奖品的单价是10元，奖品的单价是15元．（2）；1125． 【分析】（1）根据所花费用等于A的费用加上B的费用，找到等量列出方程组，即可得到结论； （2）根据总费用等于A的费用加上B的费用，列出W与m之间的函数解析式，并通过不等式组找到m的取值范围，再由一次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）设奖品的单价是元，奖品的单价是元，由题意，得 ，解得． 答：奖品的单价是10元，奖品的单价是15元． （2）由题意得 ， 且，解得，， ，，， ， ∵为整数， ，71，72，73，74，75， ，， 随的增大而减小，即当时，有最小值， （元）． 【点睛】 本题考查二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，一元一次不等式的应用，解决的关键是读懂题意，找到数量之间的关系． 题型四：费用最值问题 16. （2023市北中学期中）某次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种： 票得种类 夜票（A） 平日普通票（B） 指定日普通票（C） 单价（元/张） 60 100 150 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票张数是A种票张数的3倍还多8张，设需购买A种票张数为x，C种票张数为y （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）设购票总费用为w元，求出W（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数． 【答案】（1） （2） （3）共有3种购票方案；购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为：22、74、4 【解析】 【分析】（1）根据A、B、C三种票的数量关系列出y与x的函数关系； （2）根据三种票的张数、价格分别算出每种票的费用，再算出总数w，即可求出购票总费用W（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）根据题意求出x的取值范围，根据取值可以确定有三种方案购票，再从函数关系式分析w随x的增大而减小从而求出最值，即购票的费用最少． 【小问1详解】 解：由题意得，B种票数为：，则， 化简得：， 即y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 化简得，， 即购票总费用W（元）与x（张）之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得：， ∵x是正整数， ∴x可取20、21、22，即共有3种购票方案， 从函数关系式， ∵， ∴w随x的增大而减小， 当时，w的值最小，即当A票购买22张时，购票的总费用最少， ∴购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为：22、74、4． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，根据一次函数的性质和自变量的取值范围确定最值是解题的关键． 17．（2024·上海长宁·二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 所购商品按原价每满300元减80元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）； (2)购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值； (3)顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)x的值是400元； (3)当或时，选择乙商店更合算． 【分析】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． （1）根据付款y等于原价乘以折扣； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得选择甲商店所需付款为元，选择乙商店当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵所购商品在甲商店按原价打八折销售， ∴； （2）解：设这种商品的原价是元， 则， 解得， 答：x的值是400元； （3）解：这种商品的原价为x元， 则选择甲商店所需付款为：元， 选择乙商店的付款，当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是选择甲商店更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，选择乙商店更合算， ③当时，，解得， 即：当时，选择乙商店更合算， 综上：当或时，选择乙商店更合算． 18.某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元． (1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用， 【详解】（1）解：设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元， 依题意，得：，解得：， 答：每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元； （2）解：购买甲消毒液a桶，则购买乙消毒液(30-a)桶，依题意，得：(30-a)+5≤a≤2(30-a)， 解得17.5≤a≤20，∵a为正整数，∴a取18、19、20，而W=45a+35(30-a)=10a+1050，∵10＞0， ∴W随a的增大而增大，∴当a=18时，W取得最小值，最小值为10×18+1050=1230，此时30－18＝12， 答：当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元． 题型五：货物调运问题 19．（2022春·上海·八年级专题练习）某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元． (1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式； C D 总计 A x吨 200吨 B 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 (2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； (3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 【答案】(1)(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨；yA＝5000－5x(0≤x≤200)，yB＝3x＋4680(0≤x≤200) (2)当x＝40时，两村的运费一样多；以当0≤x＜40时，B村的运费较少；当40＜x≤200时，A村的运费较少； (3)调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9580元． 【分析】（1）由A村共有柑橘200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可； （2）由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元，由表格中的代数式求得总费用即可； （3）由B村的柑橘运费不得超过4830元，得到不等式，求出x的取值范围．再求出两村运费之和w，由一次函数的性质即可得出结论． (1) 解：由A村共有柑橘200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库， 故运往D仓库为（200﹣x）吨； 由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨， 故B村应往C仓库运（240﹣x）吨； 剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x）=x+60； 从左往右，从上往下依次填：(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨． yA＝20x＋25(200－x)＝5000－5x(0≤x≤200)， yB＝15(240－x)＋18(x＋60)＝3x＋4680(0≤x≤200)． (2) 解：当yA＝yB，即5000－5x＝3x＋4680时， 解得：x＝40， 所以当x＝40时，两村的运费一样多； 当yA＞yB，即5000－5x＞3x＋4680时， 解得：x＜40， 所以当0≤x＜40时，B村的运费较少； 当yA＜yB，即5000－5x＜3x＋4680时， 解得：x＞40， 所以当40＜x≤200时，A村的运费较少． (3) 由B村的柑橘运费不得超过4830元，得3x＋4680≤4830， 解得：x≤50． 两村运费之和w＝yA＋yB＝5000－5x＋3x＋4680＝9680－2x． ∵－2＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝50时，两村的运费之和最小， ∴调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9680－2×50＝9580(元)． 【点睛】本题考查了列代数式，以及代数式求值，一次函数的应用，利用题目蕴含的基本数量关系解决问题是解题关键． 20．（2021秋·上海·八年级期中）无锡阳山地区有A、B两村盛产水蜜桃，现A村有水蜜桃200吨，B村有水蜜桃300吨．计划将这些水蜜桃运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的水蜜桃重量为x吨，A、B两村运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为yA元和yB元． （1）请先填写下表，再根据所填写内容分别求出yA、yB与x之间的函数关系式； 收地运地 C D 总计 A x吨 ______ 200吨 B ______ ______ 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 （2）试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少； （3）考虑到B村的经济承受能力，B村的水蜜桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值． 【答案】（1），，，，；（2）当时，B村运费较少；当时，A、B村运费一样；当时，A村运费较少；（3）A村运50吨到C仓库，运150吨到D仓库，B村运190吨到C仓库，运110吨到D仓库；9580元． 【分析】（1）先设从A村运往C仓库的水蜜桃重量为x吨，就可以分别表示出A村到D处，B村到C处，B村到D处的数量．利用运送的吨数×每吨运输费用=总费用，列出函数解析式即可解答； （2）由（1）中的函数解析式联立方程与不等式解答即可； （3）首先由B村的水蜜桃的运费不得超过4830元得出不等式，再由两个函数和，根据自变量的取值范围，求得最值． 【详解】解：（1）A，B，两村运输水蜜桃情况如表， 收地运地 C D 总计 A x吨 (200-x)吨 200吨 B (240-x)吨 (60+x)吨 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 根据上表及题意，得 ， ； （2）①当时，即5000−5x=3x+4680， 解得：x=40， 当x=40，两村的运费一样多； ②当，即5000−5x>3x+4680， 解得：x<40， 当0<x<40时，A村运费较高； ③当，即5000−5x<3x+4680， 解得：x>40， 当40<x≤200时，B村运费较高； （3） ∵B村的水蜜桃运费不得超过4830元， ， 解得x≤50， 两村运费之和为， 要使两村运费之和最小，所以x的值取最大时，运费之和最小， 故当x=50时，最小费用是9680−2×50=9580（元）． 此时的调运方案为： A村运50吨到C仓库，运150吨到D仓库， B村运190吨到C仓库，运110吨到D仓库． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的运用，一元一次不等式的运用，利用基本数量关系：运送的吨数×每吨运输费用=总费，用列出函数解析式，进一步由函数解析式分析解决问题． 21.. （2020宝山区二模）在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到A、B两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往A、B两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往A、B两城镇的运费分别为每辆400元和600元. （1）求这15辆车中大小货车各多少辆? （2）现安排其中10辆货车前往A城镇，其余货车前往B城镇，设前往A城镇的大货车为辆，前往A、B两城镇总费用为y元，试求出y与的函数解析式，若运往A城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用. 22、（1）大货车8台，小货车7台；（2）（），最少费用为元 题型六：分段函数的应用题 22.《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我市通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）． （1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费　 　元．若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则停车场按　 　小时（填整数）计时收费． （2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数解析式． 【解析】 （1）若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3+2×2＝7（元）； 若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），所以停车场按5小时计时收费． 故答案为：7；5； （2）当x取整数且x≥1时，该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数解析式为：y＝3+（2（x﹣1）， 即y＝2x+1． 1．为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同． (1)求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率； (2)2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案． 【解答】（1）解：设每套A型健身器材年平均下降率为，由题意，得： ， 解得：（不合题意，舍掉）； ∴每套A型健身器材年平均下降率为； （2）解：∵每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同， ∴2022年每套B型健身器材售价为：万元， 设购买型器材套，则购买型器材套，由题意，得： ，解得：， ∵为正整数， ∴的值为：， 设所需经费为， 则：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，所需经费最小， ∴所需经费最少的采购方案为：购买型器材44套，则购买型器材36套． 2．已知商品的单价比商品少60元，且用3600元购买商品的数量比购买商品的数量多5件． (1)求，两种商品的单价； (2)甲、乙两家商场以同样的价格出售，两种商品．甲商场的优惠方案是：购买商品享受七折优惠，商品无优惠；乙商场的优惠方案是：每购买10件商品，赠送1件商品．现需到同一家商场购买40件商品和件商品（为10的倍数），求到哪个商场购买更优惠． 【解答】（1）解：设商品单价为元，则商品单价为元，由题意可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验是原分式方程的解，且符合实际， 元， 商品的单价为180元，商品的单价为240元； （2）解：设在商场花费为元，在商场的花费为元，由题意可得： ， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，选择乙商场更优惠；当时，甲乙商场花费一样；当时，选择甲商场更优惠． 3．进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资； (2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数w和m的关系式． 【解答】（1）解：设甲种货车每次装满能运输x吨物资，乙种货车每次装满能运输y吨物资， 依题意得， 解得，， 答：甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资； （2）解：甲种货车m辆，则乙种货车辆， ， 即w与m之间的函数关系式为． 4．某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需26元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需28元． (1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的跳绳共40根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【解答】（1）设一根型跳绳售价是元，一根型跳绳的售价是元， 根据题意，得：，解得：， 答：一根型跳绳售价是8元，一根型跳绳的售价是10元； （2）设购进型跳绳根，总费用为元， 根据题意，得：， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵，解得：，而为正整数， ∴当时，最小， 此时， 答：当购买型跳绳30根，型跳绳10根时，最省钱． 5．某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需430元；购买2个红外线测温计和3包口罩共需840元． (1)求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元： (2)学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．设购买口罩x包，选择活动一的总费用为元，选择活动二的总费用为元，请分别求出，与x的函数关系式； (3)学校购买口罩多少包时，选择优惠活动一与活动二费用一样． 【解答】（1）解：设一个红外线测温仪的售价是元，一包口罩的售价是元， 根据题意得： ， 解得 ， ∴一个红外线测温仪的售价是390元，一包口罩的售价是20元； （2）解：由题意可得，，， 即，； （3）当时， 即， 解得， 答：当购买口罩超过包时，选择优惠活动一与活动二费用一样． 6．我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【解答】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y， ∴装运C种水果的车辆数为， ∴， 整理得． （2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x， 由题意得， 解得， ∵， ∴． ∵x为整数， ∴x的值为，，，，， ∴安排方案共有种． （3）设利润为W元， ∴ ， 因为，且x的值为，，，，， ∴W的值随x的增大而减小， ∴当时，销售利润最大． 当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大． 最大利润（元）． 7．为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同． (1)求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率； (2)2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案． 【解答】（1）解：设每套A型健身器材年平均下降率为，由题意，得： ， 解得：（不合题意，舍掉）； ∴每套A型健身器材年平均下降率为； （2）解：∵每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同， ∴2022年每套B型健身器材售价为：万元， 设购买型器材套，则购买型器材套，由题意，得： ，解得：， ∵为正整数， ∴的值为：， 设所需经费为， 则：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，所需经费最小， ∴所需经费最少的采购方案为：购买型器材44套，则购买型器材36套． 8．已知商品的单价比商品少60元，且用3600元购买商品的数量比购买商品的数量多5件． (1)求，两种商品的单价； (2)甲、乙两家商场以同样的价格出售，两种商品．甲商场的优惠方案是：购买商品享受七折优惠，商品无优惠；乙商场的优惠方案是：每购买10件商品，赠送1件商品．现需到同一家商场购买40件商品和件商品（为10的倍数），求到哪个商场购买更优惠． 【解答】（1）解：设商品单价为元，则商品单价为元，由题意可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验是原分式方程的解，且符合实际， 元， 商品的单价为180元，商品的单价为240元； （2）解：设在商场花费为元，在商场的花费为元，由题意可得： ， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，选择乙商场更优惠；当时，甲乙商场花费一样；当时，选择甲商场更优惠． 9．进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资； (2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数w和m的关系式． 【解答】（1）解：设甲种货车每次装满能运输x吨物资，乙种货车每次装满能运输y吨物资， 依题意得， 解得，， 答：甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资； （2）解：甲种货车m辆，则乙种货车辆， ， 即w与m之间的函数关系式为． 10．某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需26元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需28元． (1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的跳绳共40根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【解答】（1）设一根型跳绳售价是元，一根型跳绳的售价是元， 根据题意，得：，解得：， 答：一根型跳绳售价是8元，一根型跳绳的售价是10元； （2）设购进型跳绳根，总费用为元， 根据题意，得：， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵，解得：，而为正整数， ∴当时，最小， 此时， 答：当购买型跳绳30根，型跳绳10根时，最省钱． 11．某学校准备购进一批红外线测温仪和口罩若干包．已知购买1个红外线测温仪和2包口罩共需430元；购买2个红外线测温计和3包口罩共需840元． (1)求一个红外线测温仪和一包口罩的售价各是多少元： (2)学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）．某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折．设购买口罩x包，选择活动一的总费用为元，选择活动二的总费用为元，请分别求出，与x的函数关系式； (3)学校购买口罩多少包时，选择优惠活动一与活动二费用一样． 【解答】（1）解：设一个红外线测温仪的售价是元，一包口罩的售价是元， 根据题意得： ， 解得 ， ∴一个红外线测温仪的售价是390元，一包口罩的售价是20元； （2）解：由题意可得，，， 即，； （3）当时， 即， 解得， 答：当购买口罩超过包时，选择优惠活动一与活动二费用一样． 12．我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） (1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； (2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【解答】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y， ∴装运C种水果的车辆数为， ∴， 整理得． （2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x， 由题意得， 解得， ∵， ∴． ∵x为整数， ∴x的值为，，，，， ∴安排方案共有种． （3）设利润为W元， ∴ ， 因为，且x的值为，，，，， ∴W的值随x的增大而减小， ∴当时，销售利润最大． 当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大． 最大利润（元）． 13．2022年底因疫情原因，我国很多城市的中小学启动网上授课模式，打印机的销量快速增长，淘宝上一家办公耗材专营店准备用不超过18万元的资金再购进A，B两种型号的打印机共200台，其中A型打印机的进价为600元/台，售价为780元/台，B型打印机的进价为1000元/台，售价为1260元/台．设购进A型打印机x台，销售这200台打印机的总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)求这家网店销售这200台打印机的最大利润． 【解答】（1）解：设购进A型打印机x台，则购进B型打印机台， 由题意得 ； （2）解：由题意得， ∴， ∴， ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最大，最短为， ∴这家网店销售这200台打印机的最大利润为元． 14．2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价） 类别价格 A款纪念品 B款纪念品 进货价（元/件） 20 15 销售价（元/件） 35 27 (1)该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数； (2)第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少? (3)成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？ 【解答】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款纪念品分别购进20件和30件． （2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元． （3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元， 由题意可知：， 解出： ，， 当时，元；当时，元 故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元． 15．某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润（元）与甲种羽毛球进货量（筒）之间的函数关系式，并说明当为何值时所获利润最大？最大利润是多少？ 【解答】（1）解：设甲种羽毛球每筒的售价为元，乙种羽毛球每筒的售价为元， 根据题意可得， 解得， 答：甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元． （2）解：若购进甲种羽毛球筒，则乙种羽毛球为筒， 根据题意可得：， 解得， 由（1）知利润， ， 随的增大而增大，且， 又为整数， 当时，最大，， 答：当为78时，所获利润最大，最大利润为1390元． 16．（2022·四川）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【详解】（1）解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得： ，解得：，∴1.25x=5， 答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元； （2）解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得： ，解得：，∵a为正整数，∴a取20，21，22，23，24，25， ∴有6种购买方案，设总费用为w元，∴，∵-1＜0，∴w随a的增大而减小， ∴当a=25时，w最小，最小值为475，此时100-a=75， 答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 17．（2022·河南）为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买论语和弟子规两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如表： 论语数量本 弟子规数量本 总费用元 (1)论语和弟子规每本的价格分别是多少元？ (2)若学校计划购买论语和弟子规两种图书共本，弟子规的数量不超过论语数量的倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【详解】(1)设每本论语的价格为元，每本弟子规的价格为元， 依题意得：，解得：． 答：每本论语的价格为元，每本弟子规的价格为元． (2)设购买《论语》本，则购买弟子规本，依题意得：，解得：． 设学校购买论语和弟子规的总费用为元，则．， 随的增大而增大，又且为正整数， 当时，取得最小值，最小值，此时． 答：当购买论语本，弟子规本时，总费用最少，最少总费用为元． 18．学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元． (1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ (2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 【详解】（1）解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元， 根据题意，得，解得，答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元； （2）根据题意，得，解得，∵m为整数，∴m可取23，24，25． ∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根； （3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得，∵， ∴w随m的增大而减小，∴当时，w有最小值，即w（元） 答：方案三需要费用最少，最少费用是550元． 19.某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨． (1)求A、B两厂各运送多少吨水泥? (2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由 【详解】（1）解：根据题意，设A厂运送x吨，B厂运送y吨，则 ，解得，∴A厂运送了250吨，B厂运送270吨； （2）解：根据题意，则， 整理得：；∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，∴，∴； 当时，总运费最低；此时的方案是： A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨． 20.北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台．求： (1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？ (2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？ 【详解】（1）解：设上海运往汉口x台，则：北京运往汉口台，北京运往重庆台，上海运往重庆台，由题意得：300x+500（4﹣x）+400（6﹣x）+800（4+x）＝8400，解得：x＝4， 答：上海运往汉口应是4台． （2）解：设上海运往汉口x台，总运费为y元，由（1）知：总费用为： y＝300x+500（4﹣x）+400（6﹣x）+800（4+x）＝200x+7600 ∵y≤8200，即200x+7600≤8200，∴x≤3，而x≥0，∴x＝0或1或2或3，即共有4种调运方案． （3）解：∵y＝200x+7600，k＝200＞0，∴y随x的增大而增大，故当x＝0时y取最小值，此时y＝7600， 答：总运费最低的调运方案为：上海运往重庆4台，北京运往汉口6台，运往重庆4台，最低总运费是7600元． 21.某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 车型 运费 运往甲地/（元/辆） 运往乙地/（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆； （2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得： 14x+8（18﹣x）=192，解得：x=8，18﹣x=18﹣8=10． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），w=720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]=70a+11400（0≤a≤8且为整数）； （3）14a+8（10﹣a）≥96，解得：a≥．又∵0≤a≤8，∴3≤a≤8  且为整数． ∵w=70a+11400，k=70＞0，w随a的增大而增大， ∴当a=3时，W最小，最小值为：W=70×3+11400=11610（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$