7.3.1离散型随机变量的方差课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 第七章 随机变量及其分布 精 讲 听 学 整体感知 [学习目标]　 1．理解离散型随机变量的方差的概念．(重点) 2．会计算离散型随机变量的方差．(难点) 3. 掌握离散型随机变量的方差的性质并会应用．(重点) 探究 甲、乙两名同学在同一条件下射击，所得环数和的分布列如下表所示： 问题1：如何评价两名同学的射击水平？ 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 由于E()= 9，E()=9；所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. E()=8×0.2＋9×0.6＋10×0.2=9 E()=8×0.4＋9×0.2＋10×0.4=9 探究 甲、乙两名同学在同一条件下射击，所得环数X 和 Y的分布列如下表所示： 问题2：除了均值外，还可以从哪个角度来评价射击水平呢？ X 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 稳定性，即击中环数的离散程度. 如何来刻画它们的离散程度呢? 和的概率分布图如下图，分析甲乙两名击中环数的离散程度： 问题3：怎么从数据上定量反映甲同学射击成绩更稳定？ 同学的射击成绩更集中于9环， 即 同学的射击成绩更稳定. 概率分布图 甲 甲 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来体现的，所以我们可以用能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度. 样本平均数： 样本方差： 已知一组样本数据：x1，x2，…，xn 离散型随机变量取值的方差： 所有可能取值与的偏差的平方，，，. 取每个值的概率不同，故可用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.我们称： 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. 类比 离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 为随机变量的方差，有时也记为， 并称为随机变量的标准差，记为. 方差或标准差越小， 随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大， 随机变量的取值越分散. 探究 甲、乙两名同学在同一条件下射击，所得环数和的分布列如下表所示： 问题1：如何评价两名同学的射击水平？ 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 D()=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2 = 0.4 D()=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4 = 0.8 D()>D()， 可得随机变量的取值相对更集中，即甲同学的射击成绩相对更稳定. 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. 证明： E(X )＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5 D(X )＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2× ＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2× [解法1]抛出点数X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 例：随机抛一枚均匀的骰子，求抛出的点数X的方差 ＝ 例：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. [解法2]抛出点数X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 1 4 9 16 25 36 P E()=1×＋4×＋9×＋16×＋25×＋36× E(X )＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝ 独 学 内 化(10min) （1）类比均值完成方差性质的推导 （2）完成独学内化习题 小 组 合 学(8min) 离散型随机变量方差的性质： 1.离散型随机变量X加上一个常数b方差会有怎样的变化? 离散型随机变量X乘上一个常数ɑ, 方差又有怎样的变化? 一般地，可以证明下面的结论成立： 2.ABD 3.(1)a＝0.3 , b＝0.4 (2)E(X)＝E(Y)＝1.1 , D(X)＝0.49 , D(Y)＝0.69 , D(X)<D(Y)，即甲比乙得分稳定，所以选甲参加较好. 展 学 解 惑 2．(多选)下列说法中错误的是(　　) A．离散型随机变量X的均值E(X )反映了X取值的概率的平均值 B．离散型随机变量X的方差D(X )反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量X的均值E(X )反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量X的方差D(X )反映了X取值的概率的平均值 √ √ √ E(X )反映了X取值的平均水平， D(X )反映了X取值的离散程度． 3．以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为 X1 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？ E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1， E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69. ∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 即甲比乙得分稳定，选甲参加较好． 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示， 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 为随机变量的方差，有时也记为， 并称为随机变量的标准差，记为. 方差的性质: 若X，Y 是两个随机变量, 且Y＝aX+b, 则：D(Y )=D(aX＋b)=a2D(X ) 方差的计算方法: 迁 移 检 学 2 4 3 题号 √ 1．已知随机变量X满足D(X )＝2，则D(3X＋2)等于(　　) A．6 B．8 C．18 D．20 D(3X＋2)＝9D(X )＝18 2．(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值E(X )和方差D(X )，下列说法正确的是(　　) A．E(X )是反映随机变量取值的平均水平 B．D(X )越小，说明X越集中于E(X ) C．E(aX＋b)＝aE(X )＋b D．D(aX＋b)＝a2D(X )＋b ABC　 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平， 方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度， 方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A，B正确； 由均值和方差的性质，E(aX＋b)＝aE(X )＋b，D(aX＋b)＝a2D(X ) 2 3 题号 1 3．已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 1 P a b c 若a，b，c成等差数列，且E(ξ)＝，则b的值是________，D(ξ)的值是_____． 由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，　① 又由分布列得a＋b＋c＝1，　② E(ξ)＝－a＋c＝，　③ 联立①②③解得a＝，b＝，c＝， 则D(ξ)＝＝. 4．已知随机变量X的分布列如下表所示． X －2 1 3 P 0.16 0.44 0.40 求E(X )，E(2X＋5)，D(X )，D(2X＋5)． [解]由分布列可得，E(X )＝－2×0.16＋1×0.44＋3×0.40＝1.32. 所以E(2X＋5)＝2E(X )＋5＝2×1.32＋5＝7.64. D(X )＝(－2－1.32)2×0.16＋(1－1.32)2×0.44＋(3－1.32)2×0.40 ＝2.937 6. 所以D(2X＋5)＝4D(X )＝4×2.937 6＝11.750 4. 5．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下表所示． X 1 2 3 P a 0.1 0.6 Y 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)计算X，Y的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． [解](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a＋0.1＋0.6＝1， ∴a＝0.3 同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4 X 1 2 3 P a 0.1 0.6 Y 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (2)计算X，Y的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3 E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2 D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81 D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6 由于E(X)>E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高， 但D(X)>D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙， 因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣． a＝0.3. b＝0.4. $$