专题02 一元一次方程（考题猜想，9大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版2024）

专题02 一元一次方程（9大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 选用合适的方法解一元一次方程 题型二 已知一元一次方程解的关系求参数 题型三 判断解方程的过程中的错误步骤 题型四 解绝对值方程 题型五 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型六 利用一元一次方程解决数轴上的动点问题 题型七 利用整体思想解一元一次方程 题型八 利用分类讨论思想解一元一次方程 题型九 一元一次方程与实际问题 题型一 选用合适的方法解一元一次方程 1．（22-23六年级上·山东东营·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．（21-22六年级上·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项进行解方程即可； （2）先将方程分母化为整数，再去分母、移项、合并同类项解方程即可． 【详解】（1）去分母得： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （2）方程整理得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． 3．（22-23六年级上·山东烟台·期末）当等于什么数时，代数式与的值互为相反数？ 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程等知识点．利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 即当时，代数式与的值互为相反数． 4．（22-23六年级上·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程， 根据解一元一次方程的步骤去括号、移项合并同类项以及系数化为1即可解得答案； 根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项合并同类项以及系数化为1即可解得答案； 根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项合并同类项以及系数化为1即可解得答案； 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1，； （2）去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1，； （3）去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1，． 题型二 已知一元一次方程解的关系求参数 5．（22-23六年级上·山东青岛·期末）已知：关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先解已知方程，再把方程的解代入，再求解m即可． 【详解】解： 去分母： 去括号： 移项： 解得： 将代入，得 所以． 【点睛】本题考查的是同解方程，一元一次方程的解法，理解同解方程的含义是解本题的关键． 6．（21-22七年级上·山西吕梁·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值． (2)若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值． (3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用一元一次方程的定义可知，，求解即可； （2）求出已知方程与方程的解，令其相加为0，求解即可； （3）求出知方程与的解，令其相等，求解即可． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴，，解之得：； （2）解：将代入，得，解之得：， 解方程，得， ∵它们的解互为相反数， ∴，解之得：； （3）解：由（2）知已知方程的解为， 解方程，得， ∵它们的解相同， ∴，解之得：． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解．解题的关键是根据一元一次方程的定义求出k的值，再解方程，比较方程的解． 7．（22-23七年级上·江苏·期末）已知关于x的一元一次方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和代数式的求值，熟练掌握一元一次方程的解法和整体代入是解题的关键． 本题分别解两个方程得到，，由解互为相反数得，利用整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 由题意得， 整理得：， ∴， ∴． 即代数式的值为． 题型三 判断解方程的过程中的错误步骤 8．（22-23六年级上·山东淄博·期末）（1）以下是圆圆解方程的解答过程． 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程（在对应步骤的后面改正）． （2）解方程：． 【答案】（1）有错误；见解析；（2） 【分析】（1）直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． （2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得， 合并同类项，系数化为1，得 （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法，正确计算． 9．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1：以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2：第_____步开始出现错误的，这一步错误的原因是_______； 问题3：请写出该方程的正确解答过程． 【答案】问题1：等式的性质2，；乘法分配律；问题2：三；移项没变号；问题3：见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程： 问题1：根据等式两边同时乘上6，以及结合乘法的分配律的性质，即可作答； 问题2：观察移项前后符号的变化情况，即可作答； 问题3：结合解一元一次方程的过程，先去分母再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：问题1：∵第一步是等式两边同时乘上6， ∴第一步是依据等式的性质2进行变形的； ∵第二步去括号过程中，括号前的数值与括号每项相乘， ∴第二步是依据乘法的分配律进行变形的； 故答案为：等式的性质2，；乘法分配律； 问题2：观察式子，第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号； 故答案为：三；移项没变号； 问题3： 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 10．（21-22七年级上·山东滨州·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解：      第①步       第②步       第③步       第④步       第⑤步 ．     第⑥步 乙同学： 解方程． 解：     第①步       第②步       第③步      第④步           第⑤步 ．         第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误，请回答以下问题： (1)甲同学的解答过程从第__________步开始出现错误（填序号）； (2)乙同学的解答过程从第__________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是_________________________． (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)①，错用等式的性质2（方程两边漏乘） (3) 【分析】准确运用一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，即可得出答案． 【详解】（1）去括号后是，故甲同学第③步错误； （2）乙同学第①步中的1漏乘，应为，故乙同学第①步错误，理由是错用等式的性质2（方程两边漏乘）． （3）解：方程两边同乘以12得： 去括号，得： 移项，得： 合并，得： 系数化1，得： 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法步骤，其中准确去括号、去分母是本题的关键点． 题型四 解绝对值方程 11．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 12．（2022七年级上·全国·专题练习）阅读理解： 在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为，解得：，符合． 当时，原方程可化为，解得：，符合． 原方程的解为：或． 解题回顾： 本题中，2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 尝试应用： (1)仿照上面方法解方程：． 迁移拓展： (2)运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． （提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？ 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分两种情况讨论，和； （2）分三种情况讨论，，，． 【详解】（1）分两种情况： 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 原方程的解为：或； （2）分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，不符合， 原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值，熟练准确的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 13．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【答案】探究：、1、或；应用：或；拓展： 【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可； 应用：由的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9，表示和两点之间的距离为4，可知表示x的点在左侧，或在1右侧；分当时，当时，解绝对值方程即可； 拓展：由题意知，，整理得，分当时，当时，当时，三种情况解绝对值方程即可． 【详解】探究：解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2， 上述两种方法，都可以求得方程的解是或； 故答案为：、1、或． 应用：解：的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9， ∵表示和两点之间的距离为4， ∴表示x的点在左侧，或在1右侧； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，或； 拓展：解：， ∴， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得，； 故答案为：． 题型五 与解一元一次方程有关的新定义问题 14．（23-24六年级上·山东济南·期末）定义一种新运算“”： ，比如：． (1)求的值： (2)已知，请根据上述运算，求值． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据“”列式计算即可； （2）先根据列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出的值即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， ， ， 解得． 15．（23-24六年级上·山东威海·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程等知识，理解新定义“美好方程”是解题关键． （1）先解方程解方程得，根据“美好方程”的定义得到，代入方程即可求解； （2）根据“美好方程”的定义得到另一个方程的解为，根据“美好方程”的两个解的差为7得到或，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， 因为关于的方程与方程是“美好方程”， 所以， 所以， 把代入方程得， 所以； （2）解：因为“美好方程”的两个解的和为1， 所以另一个方程的解为， 因为“美好方程”的两个解的差为7， 所以或， 所以或． 16．（22-23六年级上·山东淄博·期末）定义新运算“※”如下：当时（“≥”是指大于或等于），；当时，． (1)求的值； (2)若，求b的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据新运算法则求解即可； （2）首先得到然后利用新运算法则求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别利用新运算法则求解即可． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为，， 解得， ∴或． （3）当时，即时，， 即， 整理得，，解得，又， 因此不符合题意，舍去； 当时，即时，， 即， 整理得，， 解得，又， 因此符合题意． 【点睛】此题考查了代数式求值，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17．（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程 是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．根据题意，分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义验证即可求解；分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由解得； 由解得：． 方程与方程是“美好方程”． （2）解：由解得； 由解得． 方程与方程是“美好方程” ， 解得． 题型六 利用一元一次方程解决数轴上的动点问题 18．（24-25六年级上·山东济南·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在数轴上，若C点到A点的距离刚好是5，则C点叫做A点的“幸运点”；若C点到A、B两点的距离之和为10，则C点叫做A、B两点的“幸运中心”．点A所表示的数为0，点B表示的数为6． (1)如图1，点A的“幸运点”C所表示的数是____________； (2)如图2，若点C在点B的右边，且点C是A、B两点的“幸运中心”，求点C表示的数； (3)如图3，点C表示的数是10，若点C以1个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点C是点A、点B的“幸运中心”？ 【答案】(1)5或 (2)8 (3)2秒或12秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的两点之间距离，数轴上的动点问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）设点A的“幸运点”C所表示的数是，根据定义得到，即可求解； （2）设点C表示的数为,根据定义得到，解方程即可； （3）设经过秒后，点C是点A、点B的“幸运中心”，则点C表示的数为由题意得：，然后分类讨论，去绝对值，解方程即可． 【详解】（1）解：设点A的“幸运点”C所表示的数是， 由题意得：， 解得：， ∴点A的“幸运点”C所表示的数是5或， 故答案为：5或 （2）解：设点C表示的数为, 由题意得：， 解得：， ∴点C表示的数是8； （3）解：设经过秒后，点C是点A、点B的“幸运中心”，则点C表示的数为 由题意得：， 即， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：， 综上所述：经过2秒或12秒后，点C是点A、点B的“幸运中心”． 19．（20-21七年级上·福建漳州·期中）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值， ， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 【答案】(1)，2，5 (2)8或 (3)①5；②或6.5；③经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义，数轴动点问题，熟练的掌握求两点间距离的方法是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得答案； （2）分在3的左侧和右侧两种情况； （3）①由题意可得，化简绝对值可得答案； ②分或两种情况解答； ③分点在的左侧和的右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； 故答案为：，2，5． （2）解：， ， 或； 故答案为：8或． （3）解：①由题意得，， ， 故答案为：5； ②， 或， 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得； 故答案为：或6.5； ③秒后，点表示的数是，，， 当时，，解得， 当时，，解得， 答：经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8．所在的点到点M、点N的距离之和是8． 20．（23-24六年级上·山东泰安·期末）在学习了为数轴上表示数的点到原点的距离之后，爱思考和探究的小明同学想知道“数轴上，点到点与到点的距离相等时，表示点的数与表示点和点的两个数之间有怎样的数量关系”．小明采取了数学上常用的从特殊到一般的归纳法，请勤奋智慧的你和小明同学一起完成如下问题： （1）【选取特例】在数轴上，点到点与到点的距离相等，请填写下列表格： 数轴 点表示的数 点表示的数 点表示的数 （2）【归纳总结】若数轴上、两点表示的数分别为、，到点与到点的距离相等的点表示的数为，则______，请说明理由； （3）【迁移应用】如图，数轴上点、、表示的数分别为、、，且点到点与到点的距离相等，求的值． 【答案】（2）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查数轴和一元一次方程；熟练掌握数轴上两点的距离求法，并能结合一元一次方程求解是解题的关键． （1）根据数轴即可求出点表示的数； （2）根据数轴上两点间的距离的表示方法即可得到结果； （3）根据上述结论，得到方程求解即可. 【详解】解：（1）选取特例，点到点与到点的距离相等，填写表格如下： 数轴 点表示的数 点表示的数 点表示的数 （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵数轴上点、、表示的数分别为、、，且点到点与到点的距离相等， ， 解方程，得， 故的值为 21．（23-24六年级上·山东淄博·期末）【知识回顾】我们知道：数轴上某点表示的数是5，此点向右平移2个单位长度，表示的数是7；此点向左平移2个单位长度，表示的数是3． (1)若数轴上点A表示的数是，则在数轴上距离A点5个单位长度的点表示的数是__________． (2)若数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数就是__________，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是___________．（用字母表示） (3)假如在数轴上有两个点M，N，两点表示的数是，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是____________和____________．（用字母t表示） (4)在（3）条件下，当t为何值时，N点追上M点． 【答案】(1)或2 (2)， (3)； (4)4 【分析】（1）结合材料，分两种情况：点在距离点左侧或右侧5个单位长度，以此求解即可． （2）仿照（1）解答即可． （3）根据点M，N表示的数是分别为，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移， 秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合M起始数为，N起始数为6，故运动秒后点M表示的数，点N表示的数为，解答即可． （4）根据秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合题意，得到方程求解即可． 本题考查了数轴以及数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理清题意，正确找出等量关系列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，距离点A5个单位长度的点表示的数是；当点在点右侧时，距离点A5个单位长度的点表示的数是； 故答案为：或2； （2）解：数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数就是，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是． 故答案为：，． （3）解：∵点M，N表示的数是分别为，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移， 秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合M起始数为，N起始数为6， 故运动秒后点M表示的数，点N表示的数为， 故答案为：，． （4）解：根据秒过后，点M运动的路程为，点N运动的路程为，结合题意，得到方程， 解得， 故运动4秒后追上． 题型七 利用整体思想解一元一次方程 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 23．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法．先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】解：由绝对值的意义得或， 解得或． 24．（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． (2)已知，则 ． (3)已知，，，则 ． 【答案】(1) (2)26 (3) 【分析】本题主要考查代数式的求值及整式的加减计算，解一元一次方程，关键是根据题意利用整体思想进行求解问题； （1）先移项，再仿照题中所给方法解方程； （2）由得到，将化为，再整体代入求值； （3）先利用整式的加减将变形为，再变形为，最后利用整体的思想代入求值． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2）解：， ， ∴， 故答案为：26； （3）解：， ∴， 故答案为：． 题型八 利用分类讨论思想解一元一次方程 25．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）已知，．且，求表示的代数式． （2）阅读 方程 解 解的个数 无解 0个 1个 2个 或 3个 …… …… …… ①方程的解是_____________． ②请根据的不同取值，讨论关于x的方程的解的个数． 【答案】（1）；（2）①或；②见解析 【分析】（1）根据得，再将，代入计算即可得出答案； （1）根据绝对值的意义得或，再解方程和即可得出答案； ②对于方程，当时，方程有唯一的解；当且时，方程没有解；当且时，方程有无数个解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴ ； （2）①对于方程， 根据绝对值的意义得：或， 由，解得：， 由，解得：， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②对于方程， 当时，方程有唯一的解：； 当且时，方程没有解； 当且时，方程有无数个解． 【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，含绝对值符号的一元一次方程，含有字母系数的一元一次方程，理解绝对值的意义，熟练掌握整式的加减运算，解含绝对值符号的一元一次方程，含有字母系数的一元一次方程是解决问题的关键． 26．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）【问题提出】在解决数学问题时，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有．求x的值，在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得__________； ②当时，此时可以解得__________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题： （1）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求点E对应的数． （2）如图2，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E在线段之间且到点A、C的距离相等，，则线段的长为_________． 【答案】问题提出：①8②；知识迁移：（1）或7；（2）12或28 【分析】本题考查了含绝对值的方程的求解，以及利用数轴和图形解决问题，关键是在知识迁移部分，要结合题意进行分类讨论． ①②两题，解含绝对值的方程，先判断绝对值里面的式子的符号，如为正，则结果不改变符号，如为负，则需改变符号，从而通过解方程，得到结果； （1）通过数轴得到各点对应的数值，结合图形，得到相应的线段长，注意需分类讨论； （2）提出一个新的定义——折中点，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论． 【详解】解：问题提出： ， ①当时，， ； 故答案为：8； ②当时，， ∴， ∴， 故答案为：； 知识迁移：（1）如图： ∵点D是线段的中点， ∴ ∴D在数轴上对应的数为， ∵线段的长为6， 设E在数轴上对应的点为x， ∴点E到点C的距离恰好是线段的长表示为：， ①若E在C点左侧，则， ∴ ∴E在数轴上对应的点为； ②若E在C点右侧，则 ∴ ∴ ∴ ∴E在数轴上对应的点为7， 则点对应的数为或7； （2）如图3. ①D在上， ∵点E为线段的中点， ∴ ∵点D是折线的“折中点”， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； ②如图4，D在线段上， 同理，，，， ∴， ∴， 故答案为：12或28 题型九 一元一次方程与实际问题 27．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调入6名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读㯵题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得， ∴调入6名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 28．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 29．（24-25七年级上·山东德州·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元． (1)甲种商品每件的进价为______元． (2)若该商场问时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明购买了甲种商品，实际付款432元，求小明在该商场购买甲种商品多少件？ 【答案】(1)50 (2)10件 (3)6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设甲种商品每件的进价为元，根据题意可得，求解即可获得答案； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程并求解，即可获得答案； （3）设小明购买了甲种商品件，可分小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元和购买甲种商品的原售价超过500元两种情况，分别列方程并求解，并结合生活实际，即可获得答案． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价为元， 根据题意，可得， 解得（元）， 所以，甲种商品每件的进价为50元． 故答案为：50； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，可得 ， 解得 ， 所以，购进甲种商品10件； （3）根据题意，小明购买了甲种商品，实际付款432元， 设小明购买了甲种商品件，可分两种情况讨论， ①若小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元， 则有，解得 ， 即购买了甲种商品6件； ②若小明购买甲种商品的原售价超过500元， 则有，解得 ，不合题意，舍去． 综上所述，明购买了甲种商品6件． 30．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 【答案】(1)每支队伍比赛14场 (2)甲队胜6场乙队胜4场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设乙队胜场数场为x 场，则甲队胜场数为场，则甲队的平场数为，乙队的负场数为场，根据甲队比乙队多得2分，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：“任意两队之间比赛两场”可以理解为每支队伍需要与其他队伍分别比赛两场，由题意（场）． 答：每支队伍比赛14场． （2）解：设乙队胜场数场为x  则甲队胜场数为：， 所以甲队的平场数为， 乙队的负场数为， 由题意列方程， 解得， 则， 答：甲队胜6场乙队胜4场． 31．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）某校准备组织教师观看电影《杨梅成熟的季节》，由办公室主任负责买票，票价每张30元，据悉买团体票可以优惠，40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：（注：教师超过40人） 方案一：全体人员可打8折； 方案二：若打9折，有6人可以免票． (1)若有教师50人，则应该选择哪个方案？ (2)办公室主任购票时发现，无论选择哪种方案付的钱是一样的，你知道该校有多少名教师吗？（列方程解题） 【答案】(1)应该选择方案二 (2)该校有54名教师 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价＝单价×数量，求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论； （2）设该校有x名教师，根据选择两方案所需费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）． ∵， ∴若有教师50人，则应该选择方案二； （2）解：设该校有x名教师， 根据题意得：， 解得：． 答：该校有54名教师． 32．（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为13，如果把个位与十位上的数字对调，得到一个新的两位数，新的两位数比原数大27，求原来的两位数． 【答案】58 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设原数的十位数是，则个位数可表示为，原数可表示为，交换位置后的新数表示为，再建立方程求解即可． 【详解】解：设原数的十位数是，则个位数可表示为，原数可表示为，交换位置后的新数表示为，根据题意 ， 解得， 则个位数为， 原来的两位数是58． 33．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，掌握角平分线的定义并由平角定义列出关于的方程成为解题的关键． （1）由角平分线定义得到，然后进行计算即可解答； （2）设，由条件得到，求出x的值即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 34．（24-25六年级下·山东济南·期中）某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过8立方米 每立方米元 超过8立方米 超过的部分每立方米元 (1)写出每月用水量不超过8立方米和超过8立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过8立方米时，________； ②每月用水量超过8立方米时，________； (2)若某户居民某月用水量为立方米，则应交水费多少元？ 【答案】(1)①，② (2)应交水费元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关于的函数关系式，再根据函数关系式求值． （1）根据用水量是否超过立方米，分两种情况建立水费与用水量的关系式．对于超过的情况，需先计算不超过部分的费用，再计算超出部分的费用； （2）用水量立方米超过立方米，代入第二个关系式计算，即可求解． 【详解】（1）解：①当每月用水量不超过立方米时，， 故答案为：； ②当每月用水量超过立方米时，， 故答案为：； （2）当时，（元）， 答：应交水费元． 35．（24-25六年级下·山东泰安·期中）已知数轴上，两点表示的数分别为，．如图，若点和点分别从点，同时出发，都沿数轴的负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度，设运动的时间为秒． (1)运动2秒时，两点对应的数分别为_____，_____； (2)运动秒时，两点对应的数分别为_____，_____；（用含的代数式表示） (3)当，两点相遇时，求点在数轴上对应的数； (4)当，两点之间的距离为6时，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)点表示的数是 (4)的值为6或12 【分析】本题主要考查了数轴上动点的运动，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，熟练掌握数轴上两点之间的距离计算是解题关键． （1）运动2秒时，求得、，再根据，两点表示的数分别为，，即可求解； （2）运动秒时，求得、，再根据，两点表示的数分别为，，即可求解； （3）由（2）得点、对应的数，求得、两点之间的距离为，根据当、两点相遇时距离为时即可求解； （4）根据题意得，计算即可求解． 【详解】（1）解：运动2秒时，，， ，， 点对应的数为，点对应的数为． 故答案为：，． （2）解：点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度， ，， 点对应的数为，点对应的数为． 故答案为：，． （3）解：由（2）得：点对应的数为，点对应的数为， 、两点之间的距离为， 当、两点相遇时，， 解得：， 点在数轴上对应的数为． （4）解：由（3）得：、两点之间的距离为，且，两点之间的距离为6， ， 当时，解得：； 当时，解得：． 综上所述，当，两点之间的距离为6时，的值为或． 36．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图是2024年12月的月历，观察月历，解答下列问题： (1)小宝在该月外出旅行三天，三天日期之和是，小宝是星期几出发的？ (2)“十”字型阴影图形覆盖其中五个方格，设十字型阴影覆盖的最小数字为，五个数字之和为，的值能否等于？若能，求出值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)小宝是星期二出发的 (2)的值能等于；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是，根据题意得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外四个数为，，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小宝出发的日期是，则另外两天的日期分别是，， 根据题意得：，解得：， 月日是星期二， 小宝是星期二出发的； （2）解：的值能等于，理由如下： 假设的值能等于， “十型”阴影覆盖的最小数字为， “十型”阴影覆盖的另外四个数字分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 月日是星期二，在第三列，此时能形成“十型”阴影， 符合题意， 假设成立，即的值能等于． 37．（23-24六年级上·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 38．（24-25六年级下·山东济南·期中）微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动． 优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠； 优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠． 若用x（元）表示商品价格 (1)当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？ (2)若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，选择哪种优惠更省钱？ 【答案】(1)当商品价格为2000元时，两种优惠所花的钱数相同． (2)选择优惠方案二更省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的应用，正确理解题意列出方程和算式是解题的关键． （1）分别表示出两种优惠方案后的费用，根据二者相等建立方程求解即可； （2）分别表示出两种优惠方案后的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 答：当商品价格为2000元时，两种优惠所花的钱数相同． （2）解：方案一费用为元， 方案二费用为元， ∵， ∴选择优惠方案二更省钱， 答：选择优惠方案二更省钱． 39．（24-25七年级上·山东济南·期末）用一元一次方程解决下列问题： 如图，在同一水平桌面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．已知容器甲中盛满了水，而容器乙中目前的水位高度为．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．从容器甲开始向容器乙注水起，经过多长时间， (1)甲、乙两个容器中水位的高度相等？ (2)甲、乙两个容器中水位的高度相差？ 【答案】(1)经过分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相等 (2)经过分钟或分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相差 【分析】本题考查了容积计算，一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． （1）先求两容器开始时的水量：甲容器底面积，高，盛满水时水量为；乙容器底面积，水深，水量为，设开始注水后分钟时，甲、乙两容器的水深相等，根据题意列出方程即可； （2）设开始注水后分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相差，分类讨论，根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设开始注水后分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相等， 由题意可得， 解得， 答：经过分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相等； （2）解：设开始注水后分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相差， 当甲水位比乙水位高时，由题意可得， ， 解得， 当乙水位比甲水位高时，由题意可得， ， 解得， 答：经过分钟或分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相差． 40．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第1个图案需要8根火柴棒；第2个图案需要14根火柴棒；第3个图案需要20根火柴棒；……依据此规律拼下去． (1)第4个图案需要火柴棒________根，第个图案需要火柴棒________根（用含的式子表示）． (2)第几个图案中需要602根火柴棒？ 【答案】(1)26；（） (2)100个 【分析】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，一元一次方程的应用，本题的关键是每个图形的火柴总数与图形序号数的关系． （1）通过观察时，需要火柴的根数为：；时，需要火柴的根数为：；时，需要火柴的根数为：；进一步可得时，第n个图形需要火柴数为根； （2）按规律建立求解即可． 【详解】（1）解：时，需要火柴的根数为：； 时，需要火柴的根数为：； 时，需要火柴的根数为：； 时，需要火柴的根数为：． …… 归纳可得：第个图案需要火柴棒根； （2）解：当时， 解得， 所以第100个图案中需要602根火柴． $$专题02 一元一次方程（9大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 选用合适的方法解一元一次方程 题型二 已知一元一次方程解的关系求参数 题型三 判断解方程的过程中的错误步骤 题型四 解绝对值方程 题型五 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型六 利用一元一次方程解决数轴上的动点问题 题型七 利用整体思想解一元一次方程 题型八 利用分类讨论思想解一元一次方程 题型九 一元一次方程与实际问题 题型一 选用合适的方法解一元一次方程 1．（22-23六年级上·山东东营·期末）解方程： (1) (2) 2．（21-22六年级上·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 3．（22-23六年级上·山东烟台·期末）当等于什么数时，代数式与的值互为相反数？ 4．（22-23六年级上·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 题型二 已知一元一次方程解的关系求参数 5．（22-23六年级上·山东青岛·期末）已知：关于的方程与方程的解相同，求的值． 6．（21-22七年级上·山西吕梁·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值． (2)若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值． (3)若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值． 7．（22-23七年级上·江苏·期末）已知关于x的一元一次方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 题型三 判断解方程的过程中的错误步骤 8．（22-23六年级上·山东淄博·期末）（1）以下是圆圆解方程的解答过程． 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程（在对应步骤的后面改正）． （2）解方程：． 9．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1：以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2：第_____步开始出现错误的，这一步错误的原因是_______； 问题3：请写出该方程的正确解答过程． 10．（21-22七年级上·山东滨州·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解：      第①步       第②步       第③步       第④步       第⑤步 ．     第⑥步 乙同学： 解方程． 解：     第①步       第②步       第③步      第④步           第⑤步 ．         第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误，请回答以下问题： (1)甲同学的解答过程从第__________步开始出现错误（填序号）； (2)乙同学的解答过程从第__________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是_________________________． (3)请写出正确的解答过程． 题型四 解绝对值方程 11．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 12．（2022七年级上·全国·专题练习）阅读理解： 在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为，解得：，符合． 当时，原方程可化为，解得：，符合． 原方程的解为：或． 解题回顾： 本题中，2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 尝试应用： (1)仿照上面方法解方程：． 迁移拓展： (2)运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． （提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？ 13．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 题型五 与解一元一次方程有关的新定义问题 14．（23-24六年级上·山东济南·期末）定义一种新运算“”： ，比如：． (1)求的值： (2)已知，请根据上述运算，求值． 15．（23-24六年级上·山东威海·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为，求的值． 16．（22-23六年级上·山东淄博·期末）定义新运算“※”如下：当时（“≥”是指大于或等于），；当时，． (1)求的值； (2)若，求b的值； (3)若，求x的值． 17．（23-24七年级上·吉林松原·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程 是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 题型六 利用一元一次方程解决数轴上的动点问题 18．（24-25六年级上·山东济南·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在数轴上，若C点到A点的距离刚好是5，则C点叫做A点的“幸运点”；若C点到A、B两点的距离之和为10，则C点叫做A、B两点的“幸运中心”．点A所表示的数为0，点B表示的数为6． (1)如图1，点A的“幸运点”C所表示的数是____________； (2)如图2，若点C在点B的右边，且点C是A、B两点的“幸运中心”，求点C表示的数； (3)如图3，点C表示的数是10，若点C以1个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点C是点A、点B的“幸运中心”？ 19．（20-21七年级上·福建漳州·期中）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值， ， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8？ 20．（23-24六年级上·山东泰安·期末）在学习了为数轴上表示数的点到原点的距离之后，爱思考和探究的小明同学想知道“数轴上，点到点与到点的距离相等时，表示点的数与表示点和点的两个数之间有怎样的数量关系”．小明采取了数学上常用的从特殊到一般的归纳法，请勤奋智慧的你和小明同学一起完成如下问题： （1）【选取特例】在数轴上，点到点与到点的距离相等，请填写下列表格： 数轴 点表示的数 点表示的数 点表示的数 （2）【归纳总结】若数轴上、两点表示的数分别为、，到点与到点的距离相等的点表示的数为，则______，请说明理由； （3）【迁移应用】如图，数轴上点、、表示的数分别为、、，且点到点与到点的距离相等，求的值． 21．（23-24六年级上·山东淄博·期末）【知识回顾】我们知道：数轴上某点表示的数是5，此点向右平移2个单位长度，表示的数是7；此点向左平移2个单位长度，表示的数是3． (1)若数轴上点A表示的数是，则在数轴上距离A点5个单位长度的点表示的数是__________． (2)若数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数就是__________，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是___________．（用字母表示） (3)假如在数轴上有两个点M，N，两点表示的数是，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是____________和____________．（用字母t表示） (4)在（3）条件下，当t为何值时，N点追上M点． 题型七 利用整体思想解一元一次方程 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 23．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 24．（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． (2)已知，则 ． (3)已知，，，则 ． 题型八 利用分类讨论思想解一元一次方程 25．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）已知，．且，求表示的代数式． （2）阅读 方程 解 解的个数 无解 0个 1个 2个 或 3个 …… …… …… ①方程的解是_____________． ②请根据的不同取值，讨论关于x的方程的解的个数． 26．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）【问题提出】在解决数学问题时，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有．求x的值，在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得__________； ②当时，此时可以解得__________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题： （1）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求点E对应的数． （2）如图2，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E在线段之间且到点A、C的距离相等，，则线段的长为_________． 题型九 一元一次方程与实际问题 27．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 28．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 29．（24-25七年级上·山东德州·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元． (1)甲种商品每件的进价为______元． (2)若该商场问时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明购买了甲种商品，实际付款432元，求小明在该商场购买甲种商品多少件？ 30．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 31．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）某校准备组织教师观看电影《杨梅成熟的季节》，由办公室主任负责买票，票价每张30元，据悉买团体票可以优惠，40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：（注：教师超过40人） 方案一：全体人员可打8折； 方案二：若打9折，有6人可以免票． (1)若有教师50人，则应该选择哪个方案？ (2)办公室主任购票时发现，无论选择哪种方案付的钱是一样的，你知道该校有多少名教师吗？（列方程解题） 32．（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为13，如果把个位与十位上的数字对调，得到一个新的两位数，新的两位数比原数大27，求原来的两位数． 33．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 34．（24-25六年级下·山东济南·期中）某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过8立方米 每立方米元 超过8立方米 超过的部分每立方米元 (1)写出每月用水量不超过8立方米和超过8立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过8立方米时，________； ②每月用水量超过8立方米时，________； (2)若某户居民某月用水量为立方米，则应交水费多少元？ 35．（24-25六年级下·山东泰安·期中）已知数轴上，两点表示的数分别为，．如图，若点和点分别从点，同时出发，都沿数轴的负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度，设运动的时间为秒． (1)运动2秒时，两点对应的数分别为_____，_____； (2)运动秒时，两点对应的数分别为_____，_____；（用含的代数式表示） (3)当，两点相遇时，求点在数轴上对应的数； (4)当，两点之间的距离为6时，求的值． 36．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图是2024年12月的月历，观察月历，解答下列问题： (1)小宝在该月外出旅行三天，三天日期之和是，小宝是星期几出发的？ (2)“十”字型阴影图形覆盖其中五个方格，设十字型阴影覆盖的最小数字为，五个数字之和为，的值能否等于？若能，求出值；若不能，请说明理由． 37．（23-24六年级上·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 38．（24-25六年级下·山东济南·期中）微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动． 优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠； 优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠． 若用x（元）表示商品价格 (1)当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？ (2)若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，选择哪种优惠更省钱？ 39．（24-25七年级上·山东济南·期末）用一元一次方程解决下列问题： 如图，在同一水平桌面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．已知容器甲中盛满了水，而容器乙中目前的水位高度为．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．从容器甲开始向容器乙注水起，经过多长时间， (1)甲、乙两个容器中水位的高度相等？ (2)甲、乙两个容器中水位的高度相差？ 40．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第1个图案需要8根火柴棒；第2个图案需要14根火柴棒；第3个图案需要20根火柴棒；……依据此规律拼下去． (1)第4个图案需要火柴棒________根，第个图案需要火柴棒________根（用含的式子表示）． (2)第几个图案中需要602根火柴棒？ $$