期末复习登顶手册：三维突破指南 专题4 勾股定理的逆定理 讲义（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）2024-2025学年人教版数学八年级下册

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题4 勾股定理的逆定理 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.互逆命题与互逆定理 两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。 （1）写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论互换; （2）每个命题都有逆命题，但每一个定理不一定有其逆定理。只有定理的逆命题经过证明也是正确的，才称为逆定理。 （3）正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。命题有真有假，而定理都是真命题。要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可；但要判断一个命题是真命题，则要经过推理论证得出。 （4）互逆命题、互逆定理都是相对的，只有先确定了原命题，才有相应的逆命题. （5）写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，有些命题不容易确定题设和结论，可以借助“如果···那么·…···”的形式分清题设和结论。 【例1】（24-25八年级上·上海·期末）下列命题中，逆命题不正确的是（  ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 【变式1-1】．（21-22八年级上·河南南阳·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上； C．如果，那么； D．在△ABC中，如果，那么． 知 识知 点知 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 区别 （1）勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，从而得到这个直角三角形三边长的关系， 即“a2+b2=c2（c为斜边）”的结论； （2）勾股定理是根据直角三角形探索边的关系，体现了由“形”到“数”的转化 （1）勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边长满足a2+b2=c2（c为最长边）” 为题设，从而得到“这个三角形是直角三角形”的结论； （2）勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由“数”到“形”的转化 联系 （1）两个定理的题设和结论相反，勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定； （2）两个定理都与直角三角形有关 勾股定理的逆定理是直角三角形的又一重要的判定方法，从这个定理开始，对直角三角形 的判定就不再仅用角，也可以用边。 利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的一般步骤如下： （1） 确定三角形的最长边（不妨设为c）； （2） 计算c2与a2+b2的值，若a2+b2=c2则此三角形为直角三角形；若a2+b2<c2，则此三角形为钝角三角形；若aa2+b2>c2，则此三角形为锐角三角形。 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 【变式2-1】．（2025八年级下·新疆·专题练习）在中，，，的对边分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B．，， C．，， D． 【变式2-2】．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 知 识知 点知 3.勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数， 常见的勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6,8,10；（4）8,15,17；（5）7,24,25;（6）9,12, 15；（7）9,40,41。 勾股数的求法： （1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数。如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61； …… （2）如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n≥1）为自然数。例如 3，4，5是一组勾股数，那么6，8，10也是一组勾股数，9，12，15也是→组勾股数，个大于1的奇数， （3）对于任意两个正整数m，n（m>n>0）， m2+n2，m2一n2，2mn这三个数就是一组勾股数；对于任意正整数m（m>1），m2-1，2m，m2 +1这三个数也是一组勾股数，可见勾股数有无数组。 【例3】（23-24八年级下·湖南株洲·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【变式3-1】．（21-22八年级上·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.6，0.8，1 B．， ， C．6，8，10 D．1，2， 第2部分 题型透视镜 题型一 图形上与已知两点构成直角三角形的点 【例1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式1-1】．（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）并解答问题． (1)在图1中画出一个以为底边的等腰三角形，并直接写出腰长． (2)在图2中画出一个以为直角边的，并直接写出度数． 题型二 利用勾股定理逆定理判断三角形形状 【例2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）若的三边长分别是，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为上一点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，，垂足为．，，．求证：是直角三角形． 题型三 勾股定理与逆定理的综合应用 【例3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到． (1)请判断小路是否与垂直，并说明理由； (2)求劳动场地的面积． 【变式3-1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，决定在河边新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得：，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【变式3-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 题型四 在网格中判断三角形的形状 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)判断的形状，并说明理由． 【变式4-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． (1)填空：_______，_____，_____； (2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 【变式4-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中， ． 题型五 利用勾股定理逆定理求解 【例5】（24-25八年级上·山东威海·期末）已知，在中，，，的对边分别是a，b，c，满足，则的面积为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【变式5-2】（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【变式5-4】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，，，，，， (1)设，求；（用表示） (2)求四边形的面积． 题型六 勾股定理逆定理的拓展 【例6】（20-21八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【变式6-1】（20-21八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【变式6-2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（22-23八年级下·山西吕梁·阶段练习）下列各组数为边长构成的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．5，11，12 D．12，16，20 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在中，若，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D．， 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．等边对等角 B．两直线平行，同旁内角互补 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．全等三角形的对应角相等 4．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，是公园一块四边形草坪．已知，，，，，这块草坪的面积是（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 二、填空题 5．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习），， 三地的两两距离如图所示，地在地的正西方向，那么地在地的 方向上． 6．（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，已知是边上的中线，若，求的度数． 提高训练场 四、单选题 8．（21-22八年级下·贵州遵义·阶段练习）适合下列条件的中，直角三角形的个数为（   ） ①,,；②；③；④；⑤．⑥ A．个 B．个 C．个 D．个 9．（24-25八年级上·广东佛山·期中）三角形的三条边长为5，12，13，则它最长边上的高的长为（　） A．12 B．5 C． D． 10．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是1 B．三角形的外角大于该三角形的任一内角 C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．三边之比为的三角形为直角三角形 11．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 五、填空题 12．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，和的顶点都是格点，则的度数为 ． 13．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为 ． 六、解答题 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别是E、F． (1)求证：； (2)求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题4 勾股定理的逆定理 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.互逆命题与互逆定理 两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。 （1）写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论互换; （2）每个命题都有逆命题，但每一个定理不一定有其逆定理。只有定理的逆命题经过证明也是正确的，才称为逆定理。 （3）正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。命题有真有假，而定理都是真命题。要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可；但要判断一个命题是真命题，则要经过推理论证得出。 （4）互逆命题、互逆定理都是相对的，只有先确定了原命题，才有相应的逆命题. （5）写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，有些命题不容易确定题设和结论，可以借助“如果···那么·…···”的形式分清题设和结论。 【例1】（24-25八年级上·上海·期末）下列命题中，逆命题不正确的是（  ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】B 【分析】本题考查写一个命题的逆命题的方法及平行线的判定，全等三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，注意要分清命题的条件与结论，难度适中．首先写出各个命题的逆命题，然后根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确，故本选项不符合题意； B、逆命题是：如果两个三角形对应角相等，那么它们全等三角形，错误，故此选项符合题意； C、逆命题是：如果一个三角形两个锐角互余，那么这个三角形为直角三角形，正确，故本选项不符合题意； D、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】．（21-22八年级上·河南南阳·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上； C．如果，那么； D．在△ABC中，如果，那么． 【答案】C 【分析】先写出各个命题的逆命题，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理、有理数的平方、勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：A.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的逆命题是线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等，是真命题，不符合题意； B.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，不符合题意； C.如果a=b，那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=±b，故逆命题是假命题，符合题意； D.在△ABC中，如果BC2+AC2=AB2，那么∠C=90°的逆命题是在△ABC中，∠C=90°，那么BC2+AC2=AB2，是真命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 知 识知 点知 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 区别 （1）勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，从而得到这个直角三角形三边长的关系， 即“a2+b2=c2（c为斜边）”的结论； （2）勾股定理是根据直角三角形探索边的关系，体现了由“形”到“数”的转化 （1）勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边长满足a2+b2=c2（c为最长边）” 为题设，从而得到“这个三角形是直角三角形”的结论； （2）勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由“数”到“形”的转化 联系 （1）两个定理的题设和结论相反，勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定； （2）两个定理都与直角三角形有关 勾股定理的逆定理是直角三角形的又一重要的判定方法，从这个定理开始，对直角三角形 的判定就不再仅用角，也可以用边。 利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的一般步骤如下： （1） 确定三角形的最长边（不妨设为c）； （2） 计算c2与a2+b2的值，若a2+b2=c2则此三角形为直角三角形；若a2+b2<c2，则此三角形为钝角三角形；若aa2+b2>c2，则此三角形为锐角三角形。 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、， 设，，， ， ， ，，， 不是直角三角形，符合题意． B、，，， ，即, 为直角三角形．不符合题意； C、， ， ， ， ， 为直角三角形．不符合题意； D、， ， ， 为直角三角形．不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】．（2025八年级下·新疆·专题练习）在中，，，的对边分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B．，， C．，， D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴能判定为直角三角形，不符合题意； 、∵，，， ∴， ∴不能判定为直角三角形，符合题意； 、∵，，， ∴，，， ∴ ∴能判定为直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴能判定为直角三角形，不符合题意； 故选：． 【变式2-2】．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，计算各个角的度数，根据边之间的等量关系，结合勾股定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，，∴，∴能判定为直角三角形； B．∵，∴，∴能判定为直角三角形； C．∵，∴，∴能判定为直角三角形；     D．∵，∴，∴不能判定为直角三角形． 故选D． 知 识知 点知 3.勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数， 常见的勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6,8,10；（4）8,15,17；（5）7,24,25;（6）9,12, 15；（7）9,40,41。 勾股数的求法： （1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数。如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61； …… （2）如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n≥1）为自然数。例如 3，4，5是一组勾股数，那么6，8，10也是一组勾股数，9，12，15也是→组勾股数，个大于1的奇数， （3）对于任意两个正整数m，n（m>n>0）， m2+n2，m2一n2，2mn这三个数就是一组勾股数；对于任意正整数m（m>1），m2-1，2m，m2 +1这三个数也是一组勾股数，可见勾股数有无数组。 【例3】（23-24八年级下·湖南株洲·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： 若三个正整数a、b、c满足，则称a、b、c为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】A．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B．， 是“勾股数”，故本选项符合题意； C．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】．（21-22八年级上·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.6，0.8，1 B．， ， C．6，8，10 D．1，2， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可． 【详解】A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； B、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 第2部分 题型透视镜 题型一 图形上与已知两点构成直角三角形的点 【例1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【变式1-1】．（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 【变式1-2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）并解答问题． (1)在图1中画出一个以为底边的等腰三角形，并直接写出腰长． (2)在图2中画出一个以为直角边的，并直接写出度数． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确作出图形． （1）根据等腰三角形的定义以及勾股定理求解； （2）根据直角三角形的定义，画一个等腰直角三角形即可 【详解】（1）解：如图，即为所求， 腰长； （2）解：如图，即为所求，的度数． 题型二 利用勾股定理逆定理判断三角形形状 【例2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）若的三边长分别是，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的运用，三角形内角和定理；判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：①，可得：，是直角三角形； ②由，可得：，是直角三角形； ③由，可得：，不是直角三角形； ④由，可得：，是直角三角形； 所以不能判定是直角三角形的个数有个， 故选：． 【变式2-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将整式因式分解是解题的关键．将等式左边分解因式可求得或，进而判定三角形的形状． 【详解】解： 或 或， 或，即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为上一点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）勾股定理逆定理直接证明即可； （2）设，则，在中，由勾股定理得，解得，则，即可求解周长． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， 即 ∴是直角三角形，； （2）解：设，则， 由（1），得， ∴， 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ∴． ∴的周长为． 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，，垂足为．，，．求证：是直角三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出和，求出，再利用勾股定理的逆定理进行证明． 【详解】证明：， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ． ， ． 是直角三角形． 题型三 勾股定理与逆定理的综合应用 【例3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到． (1)请判断小路是否与垂直，并说明理由； (2)求劳动场地的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判定即可； （2）利用勾股定理先求解，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ，， ， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴劳动场地的面积为． 【变式3-1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，决定在河边新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得：，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄到河边最近的路，见解析； (2)原来的路线的长为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）利用勾股定理的逆定理证明，根据垂线段最短，即可得出结论； （）先求出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的路，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴是村庄到河边最近的路； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为． 【变式3-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 【答案】(1)无人机飞行路径的长为 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； （2）证明：，， ， 是直角三角形，且， 题型四 在网格中判断三角形的形状 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据，，的坐标确定平面直角坐标系即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，连接即可； （3）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， ， 是直角三角形． 【变式4-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． (1)填空：_______，_____，_____； (2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式4-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中， ． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键．连接，运用勾股定理可得，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，，，，， ∵，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 题型五 利用勾股定理逆定理求解 【例5】（24-25八年级上·山东威海·期末）已知，在中，，，的对边分别是a，b，c，满足，则的面积为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理．由非负数的性质，求得a、b、c的值，再判断三角形的形状，进一步求得该三角形的面积． 【详解】解：， ∴，，， 解得：，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴的面积是． 故选：A． 【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发，沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接，根据题意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，从而得，再利用平角的定义计算，最后根据方向角的概念可得答案． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：（海里），（海里），（海里），， ∵，即， ∴， ∴， ∴乙船航行的方向是南偏西方向， 故选：A． 【变式5-2】（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 【变式5-3】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 【变式5-4】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，，，，，， (1)设，求；（用表示） (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键， （1）由，，，根据勾股定理可得，再根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形，利用，即可得到的度数； （2）由（1）中可知，都为直角三角形，四边形的面积等于，面积的和，利用三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， 由勾股定理可得：， ∵，， ∴，满足勾股定理， ∴是直角三角形， ∵， ∴； （2）解：由图可得：四边形的面积， 由（1）可知，，都为直角三角形， ∴四边形的面积． 题型六 勾股定理逆定理的拓展 【例6】（20-21八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 【变式6-1】（20-21八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 【变式6-2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（22-23八年级下·山西吕梁·阶段练习）下列各组数为边长构成的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．5，11，12 D．12，16，20 【答案】C 【分析】先计算各选项较小的两个数的平方和，再计算最大的平方，若二者相等，则是直角三角形，若不相等，则不是，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴以3，4，5为边可以构成直角三角形，故A不符合题意； ∵ ， ∴以8，15，17为边可以构成直角三角形，故B不符合题意； ∵ ， ∴以5，11，12为边不可以构成直角三角形，故C符合题意； ∵ ， ∴以12，16，20为边可以构成直角三角形，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理的逆定理是解本题的关键． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在中，若，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴是直角三角形，且，故选项不符合题意； B. ∵ ∴， ∵ ∴ ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C.∵，，， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； D.∵，， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．等边对等角 B．两直线平行，同旁内角互补 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查了逆命题的定义以及真、假命题的判定． 通过分析每个选项的逆命题，判断其是否为真命题，从而得出答案． 【详解】解：A、逆命题为：等角对等边，正确，是真命题，故A选项不符合题意； B、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，故B选项不符合题意； C、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在角平分线上，正确，是真命题，故C选项不符合题意； D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，故D选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，是公园一块四边形草坪．已知，，，，，这块草坪的面积是（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：连接， 在中，，， 由勾股定理得， 因为， 所以， 所以． 这块草坪的面积． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习），， 三地的两两距离如图所示，地在地的正西方向，那么地在地的 方向上． 【答案】正南 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，能够利用直角三角形判断方向角．由题中数据可得为直角三角形，所以点，在一条垂线上，进而可得出其方向角． 【详解】解：， 为直角三角形， 地在地的正南方向上， 故答案为：正南． 6．（22-23八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于 ． 【答案】90 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据，求出，再根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：90． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，已知是边上的中线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质和勾股定理的逆定理，解此题的关键是注意数形结合思想的应用．已知是边上的中线，可求出的长度．由根据勾股定理可以确定为直角三角形，从而得出． 【详解】解： 是边上的中线，， ． ，， ． 为直角三角形． ． 提高训练场 四、单选题 8．（21-22八年级下·贵州遵义·阶段练习）适合下列条件的中，直角三角形的个数为（   ） ①,,；②；③；④；⑤．⑥ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义和三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：，故①不是直角三角形； ∵，∴，∴，故②是直角三角形； ，故③是直角三角形； ，故④是直角三角形； ∵，∴由三角形的三边关系可知，⑤不能构成三角形； 令， ，，可知，故⑥是直角三角形； 综上，有4个是直角三角形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键． 9．（24-25八年级上·广东佛山·期中）三角形的三条边长为5，12，13，则它最长边上的高的长为（　） A．12 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可． 【详解】解：， ∴此三角形是直角三角形， 设最长边上的高为h， ， 解得： 故选：C． 10．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是1 B．三角形的外角大于该三角形的任一内角 C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．三边之比为的三角形为直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理，根据平方根的概念、外角的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理等知识逐项判定即可． 【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故A选项命题是假命题，不符合题意； B．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故B选项命题是假命题，不符合题意； C．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故C选项命题是假命题，不符合题意； D．三边之比为，则可设三边分别为、、，所以，所以三角形为直角三角形，故D选项命题是真命题，符合题意． 故选：D． 11．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 五、填空题 12．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，和的顶点都是格点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】连接，，先利用证明，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，从而可得，最后利用角的和差关系以及等量代换，即可解答． 【详解】解：如图：连接，， 在和中， ， ， ， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先证明△ABD≌△ECD，推出EC=AB=6，DE=AD=4，由AE2+EC2=AC2，推出△AEC是直角三角形，在Rt△CDE中，求出CD，根据BC=2CD即可解决问题． 【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD，连接CE， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴EC=AB=6，DE=AD=4， ∵AE=8，AC=10 ∴AE2+EC2=AC2 ∴△AEC是直角三角形， ∴CD==， ∴CB=2CD=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 六、解答题 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别是E、F． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)5． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、．利用证明即可得证； （2）证明，由等腰直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图连接、． ∵，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$