清单02 一次方程组（考点清单，知识导图+4个考点清单&13大题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

清单02 一次方程组（4个考点梳理+13大题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 清单02 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 清单03 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 清单04 三元一次方程组的解及应用 1.定义：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。常用的未知数有x、y、Z。 2.三元一次方程组的解题思路：主要是应用消元法。 【考点题型一】二元一次方程(组)的定义（） 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列方程中，不是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23七年级下·四川内江·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）写出一个以为解的二元一次方程组 ． 【考点题型三】已知二元一次方程组的解求参数（） 【例3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【变式3-1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 【变式3-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【变式3-3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【考点题型四】解二元一次方程组（） 【例4】（24-25七年级下·山东德州·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解方程组： (1) (2) 【变式4-2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）解下列方程组： (1) (2) 【变式4-3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式4-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解下列方程组 (1) (2) 【考点题型五】二元一次方程组的特殊解法（） 【例5】（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解是求方程组的解． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【变式5-3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【考点题型六】解二元一次方程组的应用（） 【例6】（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解． 【变式6-1】（24-25七年级下·北京西城·期中）关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 【变式6-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【变式6-3】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【考点题型七】二元一次方程组的应用-方案问题（） 【例7】（24-25七年级上·湖南永州·期末）某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【变式7-1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）途经武冈境内的新新高速预计2025年底可完工通车，为了加快施工进度， 施工方将引进A，B两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用2辆A型车和1辆B型车装满施工材料一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满施工材料一次可运11吨． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ (2)现有80吨施工材料需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆 至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料、若A型车每辆需费用100元/次，B型车每辆需费用120元/次，请你设计出所有用车方案并选出最省钱的用车方案，求出此时最少费用． 【变式7-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元． (1)问排球和跳绳的单价各是多少？ (2)元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 【考点题型八】二元一次方程的实际应用-分配问题（） 【例8】（24-25七年级下·河北邢台·期中）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【变式8-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【变式8-3】（24-25八年级上·河北保定·期中）工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【考点题型九】二元一次方程的实际应用-销售经济问题（） 【例9】（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【变式9-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 【变式9-2】（22-23七年级上·广东河源·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【变式9-3】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元． (1)补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？ (2)若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？ 【变式9-4】（23-24七年级下·湖南永州·期末）某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． (1)求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ (2)该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 【变式9-5】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）为了抓住商机，某商店决定购进两种纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进件，那么该商店共有几种进货方案？若销售每件种纪念品可获利润元，每件种纪念品可获利润元，在各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？ 【考点题型十】二元一次方程的实际应用-几何问题（） 【例10】（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【变式10-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，八块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的宽等于 ． 【变式10-3】（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为 ． 【考点题型十一】二元一次方程的实际应用-古代问题（） 【例11】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【变式11-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·天津·模拟预测）古代数学题：“一些人共同买鸡，如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱，问人数和鸡的价格各是多少？”设人数为，鸡的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）.观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为 . ． 【考点题型十二】解三元一次方程组（） 【例12】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）解方程组 (1) (2) 【变式12-1】（23-24七年级下·广东东莞·期末）解方程组 【考点题型十三】三元一次方程组的实际应用（） 【例13】（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【变式13-1】（23-24七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【变式13-2】（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【变式13-3】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由① ②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一次方程组（4个考点梳理+13大题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 清单02 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 清单03 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 清单04 三元一次方程组的解及应用 1.定义：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。常用的未知数有x、y、Z。 2.三元一次方程组的解题思路：主要是应用消元法。 【考点题型一】二元一次方程(组)的定义（） 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的变形，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键． 通过移项，等式两边同时除以2，即可求解． 【详解】解： ， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列方程中，不是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数是1次；（3）都是整式方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 未知数的项最高次数是2次，不是二元一次方程，故本选项符合题意； B． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； C． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； D． 是二元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意． C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案． 【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意； B、把代入方程组得：，符合题意； C、把代入方程组得：，不符合题意； D、把代入方程组得：，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（22-23七年级下·四川内江·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 【变式2-2】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列方程组中，以为解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 【变式2-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）写出一个以为解的二元一次方程组 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，是开放题，根据方程组的解的定义，应满足所写方程组的每一个方程．选取两组适当的m和n值求出的值，即可建立这样的方程组． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个方程组可以是 故答案为： (答案不唯一)． 【考点题型三】已知二元一次方程组的解求参数（） 【例3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．先把代入中求出的值，然后把和的值代入中求出▲表示的数，即可得到答案． 【详解】解：把代入中，得：，解得：， ■， ， ▲． 故选：A ． 【变式3-1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组得到一个关于的方程组，求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， 则． 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及已知含参数二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组等知识，先由是方程组的解，代入得到新的方程组求解即可得到的值，代值求解即可得到答案．熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程组的解， ，解得， ， 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 【考点题型四】解二元一次方程组（） 【例4】（24-25七年级下·山东德州·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）代入消元法，解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①，得：，解得：， 把代入②，得：； ∴方程组的解为：； （2） ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2）原方程组可化为：， 把代入②，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由①式得：， 把代入②式得：， 解得：， 把代入， 解得：， ∴方程组的解为： （2）解： 由①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 原方程组的解为； （2）解：， 把，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 原方程组的解是． 【变式4-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 【考点题型五】二元一次方程组的特殊解法（） 【例5】（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解是求方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 【变式5-3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【考点题型六】解二元一次方程组的应用（） 【例6】（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组； 根据二元一次方程组的解的定义，将分别代入，可以求出的值，再将 代入求出的值，进而得出，再代入原方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：将分别代入得：， 解得：， 将，代入后，左右两边不相等， 故：，将，代入后可得： ，解得：， 原方程组为 ①+②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： 【变式6-1】（24-25七年级下·北京西城·期中）关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解“美好”方程组的定义是解题的关键； （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：． 【变式6-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得 把代入，得 解得 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．先求得此方程组的解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【考点题型七】二元一次方程组的应用-方案问题（） 【例7】（24-25七年级上·湖南永州·期末）某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． (2)有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】（1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意列出二元一次方程组即可得解； （2）结合两型号车的运量列出，再由，都是正整数进行方案设计即可； （3）根据（2）中的三个方案，分别计算，比较后即可得解． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，，解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． （2）解：由（1）得，， ， ，都是正整数， 或或， 有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． （3）解：型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， 方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ， 最省钱的租车方案是方案三，租车费用是元． 答：租型车辆，型车辆最省钱，最少租车费为元． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 【变式7-1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）途经武冈境内的新新高速预计2025年底可完工通车，为了加快施工进度， 施工方将引进A，B两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用2辆A型车和1辆B型车装满施工材料一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满施工材料一次可运11吨． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ (2)现有80吨施工材料需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆 至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料、若A型车每辆需费用100元/次，B型车每辆需费用120元/次，请你设计出所有用车方案并选出最省钱的用车方案，求出此时最少费用． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨 (2)租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结果； （2）利用一次性装运货物的总重量=1辆A型车装满货物一次可运货重量×租用A型车的数量+1辆B型车装满货物一次可运货重量×租用B型车的数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数且A型车数量少于B型车，即可得出各租车方案，利用租车费=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可分别求出各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意得： ， 解得：． 答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨． （2）解：依题意得：， ∴． ∵a，b均为正整数， ∴解得：或或或或或， ∵， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用4辆A型车，17辆B型车； 方案2：租用8辆A型车，14辆B型车； 方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆， 答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元． 【变式7-2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元． (1)问排球和跳绳的单价各是多少？ (2)元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠． 【答案】(1)排球的单价是80元，跳绳的单价20元 (2)方案更优惠 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）设排球的单价是元，跳绳的单价是元，根据两次订购的数量和费用建立方程组，解方程组即可得； （2）结合（1）的结果，分别计算出两种方案的费用，由此即可得． 【详解】（1）解：设排球的单价是元，跳绳的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：排球的单价是80元，跳绳的单价20元． （2）解：方案：（元）， 方案：（元）， 因为， 所以方案更优惠． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 【答案】(1)(1)班有48人，2班有56人 (2)的值为9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用等知识点， (1)设(1)班有x人，2班有y人，根据总人数为104人，共花费1240元购票，列方程组求解； (2)根据题意，列出方程求解的值即可； 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】（1）解：设(1)班有x人，2班有y人， 由题意得，， 解得：， 答：(1)班有48人，2班有56人； （2）解：由题意得，， 解得：， 即的值为9． 【考点题型八】二元一次方程的实际应用-分配问题（） 【例8】（24-25七年级下·河北邢台·期中）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个 (3)18个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张， 故答案为：7，3； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个； （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片）， ∴可做铁盒（个）． 【变式8-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【答案】饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶， 根据题意得：， 解得：， 答：饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶． 【变式8-3】（24-25八年级上·河北保定·期中）工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元 (2)360面 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元， 由题意得， 解得， 答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元； （2）解：面， 答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗． 【考点题型九】二元一次方程的实际应用-销售经济问题（） 【例9】（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 (2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型， 根据题意得， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，， 有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 【变式9-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 【答案】(1)，两种玩具各进20件，10件 (2)共有三种购进方案，其中购进A种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元 【分析】本题主要二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设A种玩具进件，种玩具件，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得：，即；然后列举出a、b的可能取值进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种玩具进件，种玩具件，根据题意得： ，解得：． 答：A、两种玩具各进20件，10件． （2）解：设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得： ，化简得： 因为，只能取正整数，所以采购方案共有三种，分别是 方案一：A种17件，种5件，利润为：元； 方案二：A种10件，种10件，利润为：元； 方案三：A种3件，种15件，利润为：元． 答：共有三种购进方案，其中购进种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元． 【变式9-2】（22-23七年级上·广东河源·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【答案】(1)一个暖瓶70元，一个水杯30元 (2)到乙商场购买更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分别求出到两商城购买所需费用． （1）设一个暖瓶x元，一个水杯y元，根据“购买一个暖瓶、一个水杯共需100元，购买两个暖瓶、三个水杯共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据两商城的促销方案，分别求出到两商城购买所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个暖瓶元，一个水杯元，根据题意， 得 解得 答：一个暖瓶70元，一个水杯30元． （2）解：若到甲商场购买，则所需的钱数为（元）； 若到乙商场购买，则所需的钱数为（元）． ， 到乙商场购买更合算． 【变式9-3】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元． (1)补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？ (2)若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？ 【答案】(1)补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元 (2)一共能获得元的国家补贴 【分析】（）设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元，根据题意列出方程组即可求解； （）根据（）及题意算出每台电脑和空调以旧换新的补贴，再列式计算即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． 【详解】（1）解：设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元， 由题意得，， 解得， 答：补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元； （2）解：∵，， ∴电脑以旧换新每台补贴为元，空调以旧换新每台补贴为元， ∴元， 答：一共能获得元的国家补贴． 【变式9-4】（23-24七年级下·湖南永州·期末）某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． (1)求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ (2)该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 【答案】(1)5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克 (2)7折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克，根据题意列二元一次方程组，即可解答； （2）设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，即得打折后甲水果每千克利润为元，再列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克， 由题意可知， 解得， 答：5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克． （2）解：设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，所以打折后甲水果每千克利润为元， 由题意可知， 解得， 答：甲种水果打了7折． 【变式9-5】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）为了抓住商机，某商店决定购进两种纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进件，那么该商店共有几种进货方案？若销售每件种纪念品可获利润元，每件种纪念品可获利润元，在各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)购进种纪念品每件元，购进种纪念品每件元； (2)购进种纪念品件，种纪念品件获利最大，最大利润是元． 【分析】（）设购进种纪念品每件元，购进种纪念品每件元，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设购进种纪念品件，种纪念品件，根据题意，列出二元一次方程，再根据均为不小于的正整数，求出二元一次方程的解，即可得到进货方案，求出每一种进货方案的利润即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件元，购进种纪念品每件元， 由题意得，， 解得， 答：购进种纪念品每件元，购进种纪念品每件元； （2）解：设购进种纪念品件，种纪念品件， 由题意得，， ∴， ∵均为不小于的正整数， ∴时，；时，；时，； ∴该商店共有种进货方案； 方案一：购进种纪念品件，种纪念品件，利润为元； 方案二：购进种纪念品件，种纪念品件，利润为元； 方案二：购进种纪念品件，种纪念品件，利润为元； ∵， ∴购进种纪念品件，种纪念品件获利最大，最大利润是元． 【考点题型十】二元一次方程的实际应用-几何问题（） 【例10】（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【答案】（1）；；20； （2） （3）边长 【分析】本题主要考查整式的运算与图形，一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解图示中线段的关系，由数量关系正确列式求解是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，根据周长计算方法列方程求解即可； （2）由题意可得，设图2中长方形的长为，宽为，由此列二元一次方程组求解即可； （3）设，，则，，根据 ，，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为， ∴列方程， 解得，， ∴正方形的边长为， 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∴， 设图2中长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴ ∴图2中每块小长方形的面积； （3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙）， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴小正方形的边长为． 【变式10-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形对边相等得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【变式10-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，八块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的宽等于 ． 【答案】15 【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，结合图形找到两组等量关系是关键．假设小长方形的长、宽分别为、，通过图形中大长方形的边长关系，可列出二元一次方程组，求得a、b的值即可． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为、． 由题意可列方程组：， 解得：， 每块小长方形地砖的宽为：， 故答案为：． 【变式10-3】（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找出等量关系是解题关键．设每个小长方形的长和宽分别为和，根据题意长方形的对边相等列二元一次方程组即可． 【详解】解：设每个小长方形的长和宽分别为和， 由题意得：， 故答案为：． 【考点题型十一】二元一次方程的实际应用-古代问题（） 【例11】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】个客人，个盘子 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有个客人，个盘子． 根据题意，得 ， 解得 ， 答∶有个客人，个盘子． 【变式11-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．根据两种测量方式各列一个方程，组成方程组即可． 【详解】解：设木长x尺，绳子长y尺， 根据题意有：， 故选：D 【变式11-2】（2025·天津·模拟预测）古代数学题：“一些人共同买鸡，如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱，问人数和鸡的价格各是多少？”设人数为，鸡的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，根据如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱列方程组即可． 【详解】解：每人出9钱的情况得到，每人出6钱的情况得到， 所以方程组为， 故选B． 【变式11-3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）.观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为 . ． 【答案】、． 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值． 【详解】解：由图可知： , ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 、的值分别为、． 故答案为：、． 【考点题型十二】解三元一次方程组（） 【例12】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用消元法解三元一次方程组即可； 本题考查解二元一次方程组、解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组的解法步骤是解答的关键． 【详解】（1）解： ①×2+②得：， 即， 将代入①得：， 即， 则方程组的解为． （2） 由②①得： 由③②得： 两式联立解 ∴ 把代入①中得： ∴ ∴原方程组的解为 【变式12-1】（23-24七年级下·广东东莞·期末）解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】 ②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 则方程组的解为． 【考点题型十三】三元一次方程组的实际应用（） 【例13】（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 【变式13-1】（23-24七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；； (2)3 (3)元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； （3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由①②得：， 整理得：， 由①②得：， 整理得：， 则． （3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元， 由题意得：， ∴②①得，， ∴． 将代入①整理得，． ∴． ∴． 答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元． 【变式13-2】（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)150 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【详解】（1）解： 得，． 故答案为：2 （2）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 【变式13-3】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由① ②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$