清单01 一元一次方程（考点清单，知识导图+3个考点清单&14大题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

清单01 一元一次方程（3个考点梳理+14大题型解读+提升训练） 清单01 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 2. 含参一元一次方程 （1）次数含参：主要考察一元一次方程定义 （2）常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 （3）解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 清单02 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 清单03 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1.去分母：两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 清单03 一元一次方程的应用 解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下： ①审题；②设未知数:设未知数(通常为x)，并注明单位；③列方程；④解方程；⑤检验答案：将解代入原方程或实际问题，验证是否合理；⑥.写答句:完整写出答案，并注明单位。 【考点题型一】识别方程和一元一次方程（） 【例1】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中只有B选项中的式子是方程， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可．解题的关键是掌握方程的两个特征：方程是等式；方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：A．没有未知数，故此选项不符合题意； B．不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意； C．没有未知数，故此选项不符合题意； D．是方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义即含有一个未知数且未知数的指数为1的整式方程，判断即可． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，最高次数为2，不是1，不符合题意； B. ，不是整式方程，不符合题意；     C. ，是一元一次方程，符合题意； D. ，未知数的个数为2个，不是一个，不是一元一次方程，不符合题意；     故选：C． 【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数（） 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（　　） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值，解题的关键是根据一元一次方程的未知数的次数是及其系数不为零这两个条件； 根据一元一次方程的定义可知未知项的次数是1，未知项的系数不能等于零，即可列出，，从而确定的取值范围． 【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以，， 解得． 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次方程， ，， 解得：， 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的概念． 先利用未知数的次数为1得出的值，再根据一次项的系数进行取舍． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得，或， 当时，一次项系数，不符合题意，故舍去， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数．未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ． 故答案为：． 【考点题型三】方程的解（） 【例3】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等．本题的关键是正确理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把分别代入A，B，C，D四个选项． A中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意； B中，左边，右边，左边=右边，正确，符合题意； C中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意； D中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意． 答案：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，根据表格数据直接求解即可． 【详解】解：由表格数据，当时，，即， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将分别代入各项，计算左右两边是否相等，即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程得：左边右边，故A选项符合题意； B、把代入方程得：左边右边，故B选项不符合题意； C、把代入方程得：左边右边，故C选项不符合题意； D、把代入方程得：左边右边，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式3-3】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，将分别代入各选项中方程的左边并计算，若左边右边，则是该方程的解；否则，则不是该方程的解． 【详解】解：A.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴A不符合题意； B.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解， ∴B符合题意； C.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴C不符合题意； D.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴D不符合题意； 故选：B． 【考点题型四】等式的性质（） 【例4】（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【详解】、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 、如果，，那么，原选项错误，符合题意； 、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式4-1】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，两边都加3，则，故该选项不符合题意； B、若，两边都减2，则，故该选项不符合题意； C、若，两边都乘以，则，故该选项不符合题意； D、若，当时，两边都除以无意义，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）由可以得到用表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和二元一次方程的求解，熟练掌握求解的方法是解题的关键．利用等式的性质，变形计算即可． 【详解】解：方程， 移项，， ， 故选：B． 【变式4-3】（24-25七年级下·山西临汾·期中）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形错误，不符合题意； B、若，则，原式变形错误，不符合题意； C、，则，原式变形错误，不符合题意； D、若，则，原式变形正确，符合题意； 故选：D． 【考点题型五】解一元一次方程（） 【例5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． （2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，再移项，然后合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式5-2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过去括号，移项合并，系数化1，即可求解． （2）通过去分母，去括号，移项合并，系数化1，即可求解． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 【变式5-3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【考点题型六】已知一元一次方程的解，求参数（） 【例6】（24-25七年级上·陕西延安·期末）若关于x的方程与方程有相同的解，求a的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解方法是解题的关键．解方程得出的值，根据题意代入的值到方程，即可求出a的值． 【详解】解：解方程，得， 关于x的方程与方程有相同的解， 代入到方程，得， 解得：， a的值为3． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知是常数，如果方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法和解的定义，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键； 先解出，再把方程的解代入，即可求出k的值． 【详解】解：解方程，得 ． 将代入中，得 ， 解得， 的值是． 【变式6-2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于的方程的解与关于的方程 的解相同，求的值 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 分别解方程和，即可得到，进而求解即可； 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得， 由题意得，， 解得； 【变式6-3】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法． 先按步骤解方程，得到该一元一次方程的解后代入方程，即可求得字母的值． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把代入方程， 得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故字母的值为． 【考点题型七】一元一次方程的错解问题（） 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意得：方程的为，将代入可求得得出原方程为，即可求解； 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 【变式7-1】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境错解问题 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为，试求a的值，并正确地求出原方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，解一元一次方程等知识点，熟练掌握方程的解的定义以及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先按题意方式去分母，把代入计算，得到，再还原到原方程，然后按照解一元一次方程的一般步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可． 【详解】解：按方程左边的1没有乘以10，去分母，得：， 把代入，得：， 解得：， 把代入原方程，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【变式7-2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： 【考点题型八】一元一次方程的实际应用-销售问题（） 【例8】（2025·安徽宿州·三模）在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用（商场的实际售价旧家电的折合价）．张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为标价的九折，张强的旧电视折合200元．经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了．求这台电视机的标价是多少元． 【答案】8000元 【分析】本题考查了一元一次方程得应用，准确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键； 根据 “购买一台节能家电的实际费用 =（商场的实际售价 - 旧家电的折合价）×(1 - 20%)”，可得出实际费用为元．又已知实际费用比按标价出售便宜了，那么实际费用也可表示为元．根据上述两种方式表示的实际费用相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这台电视机的标价为元，由题意得， ，      解得． 答：这台电视机的标价是8000元． 【变式8-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 【变式8-2】（24-25七年级上·山西晋中·期末）国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【答案】(1)A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个 (2)七五折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个，根据“A款和B款冰箱贴总成本为1380元”列方程求解即可； （2）设B款冰箱贴按标价的m折出售，根据“共获利252元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个． 根据题意，得 解这个方程，得 ． 答：A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个． （2）解：设B款冰箱贴按标价的m折出售． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 答：B款冰箱贴按标价的七五折出售． 【变式8-3】（24-25七年级上·山东聊城·期末）为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． (1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ (2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 【答案】(1)A盲盒5人，B盲盒12人 (2)280 元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键； （1）设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒，根据每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，列出方程进行求解即可； （2）设每套礼盒的标价为元，根据利润等于售价减成本，等于成本乘以利润率，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人生产盲盒，则有名工人生产盲盒． 根据题意得 解得 ， ； 答：应分配 5 名工人生产 盲盒，12 名工人生产 盲盒． （2）设每套礼盒的标价为 元， 根据题意得： ， 解得：； 答：每套礼盒的标价为 280 元． 【变式8-4】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润售价进价） 进价/售价 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)甲种商品200件，购进乙种商品100件 (2)2000元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系列出等式是解题的关键． （1）设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，根据进价之和为7000元列一元一次方程，解方程即可； （2）利用（1）中结论，求出甲、乙两种商品的利润之和即可． 【详解】（1）解（1）设第一次购进乙种商品件，则购进甲种商品件， 根据题意，得 解得． 答：该超市第一次购进甲种商品200件，购进乙种商品100件． （2）解：（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润2000元． 【考点题型九】一元一次方程的实际应用-配套问题（） 【例9】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 【变式9-1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）贵州，不仅有着迷人的自然风光，还拥有着独特而丰富的饮食文化，贵州刺梨汁以其丰富的营养价值和独特的风味受到广大消费者的喜爱．某商家用刺梨汁制作出了刺梨饮品和刺梨蛋糕，并以“2个蛋糕+1杯饮品”的套餐进行推广销售．该商家现有店员8名，每位店员每日可制作蛋糕60份或饮品90份，每位店员每天只负责一种商品的制作，要使每天制作的蛋糕和饮品刚好配套，应安排制作蛋糕和饮品的店员各多少名？ 【答案】应该安排6名店员制作蛋糕，剩余的2名店员制作饮品 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排名店员制作蛋糕，则安排名店员制作饮品，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】设安排名店员制作蛋糕，则安排名店员制作饮品，根据题意得， ， 解得：， 答：应该安排6名店员制作蛋糕，剩余的2名店员制作饮品． 【变式9-2】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【答案】安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意 ，正确确定等量关系是解题的关键；设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件，根据“每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品”，可列方程求解． 【详解】解：设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， 根据题意列方程得：， 解得， ， 答：安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件． 【变式9-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意列方程并解方程即可解决，设用x块木料生产桌子，根据使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）列方程解决即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子． 由题意得：． ． ． ． 答：用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子． 【考点题型十】一元一次方程的实际应用-比赛积分问题（） 【例10】（24-25七年级上·广东广州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对道题得______分，答错道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者得分，他答对了几道题？ (4)参赛者说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)道题 (4)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设答对x道题，得分为y分，则答错道题，根据得分答对题目数答错题目，即可得出y关于x的函数关系式； （3）根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）根据得分为80分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【详解】（1）解：由题意得：答对题得：（分）， 答错题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设答对道题，得分为分，则答错道题， 由题意得：； （3）解： 由题意得：， 解得：， 答：他答对了道题； （4）解：不可能，理由如下： 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者说他得了分，是不可能的． 【变式10-1】（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）为落实国家“双减”政策，林芝市某中学举行知识竞赛，共出了25道题，评分标准如下：答对1题得4分；答错1题倒扣1分，拉姆答完了全部试题，共得70分，则她答对了多少道题？ 【答案】她答对了19道题 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是根据题意，正确列出一元一次方程．设她答对了道题，则答错了道题，根据得分70，列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错了道题，由题意可得： 解得 答：她答对了19道题． 【变式10-2】（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下． 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1 在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分19分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分11分 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、一元一次方程的实际应用等知识点，理解题意、正确列出算式和方程是解题的关键． （1）根据计分规则列式计算即可； （2）根据规则列出关于k的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 第一局的得分：（分）， 答：珍珍第一局的得分11分． （2）解：由题意可得：第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，脱靶． 第二次的分数为：， 由题意可得：，解得：． 【变式10-3】（24-25七年级上·江西南昌·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 【答案】(1)这9场比赛中胜6场，平3场 (2)这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设该队共胜了场，则平了场，根据共得20分，列方程求解； （2）由题意得，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设该队共胜了场，则平了场， 根据题意列出方程为， 解得． 答：这9场比赛中胜6场，平3场； （2）解：由题意得， 解得不符合实际意义， ∴这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【变式10-4】（23-24七年级上·河南郑州·期末）某校七年级组织知识竞赛，共设置25道选择题，各题分值相同，每题必答．表格记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小聪 25 0 150 小明 24 1 142 小颖 21 4 118 小亮 5 20 (1)答对一道题，加分______； (2)答错一道题，扣分______； (3)若某参赛者答对了道题，则该参赛者答错了______道题，答对题得______分，答错题扣______分，最终得______分；（用含的代数式表示） (4)若参赛者小强得102分，求他答对了几道题？ 【答案】(1)6 (2)2 (3)，，， (4)小强答对了19题 【分析】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）根据表格中的数据即可解决问题． （2）根据表格中的数据即可解决问题． （3）根据（1）（2）的结果即可解决问题． （4）根据题意，列出方程即可． 【详解】（1）解：因为小聪答对了25题，答错了0题，得分为150分， 所以答对一道题加分为（分）， 故答案为：6． （2）解：根据小明答对了24题，答错1题，得分为142分可知， （分）， 所以答错一道题扣分为2． 故答案为：2． （3）解：因为一共有25道选择题， 所以答对m道题时，答错道题． 则答对题的得分为：，答错的扣分为：． 所以最终的得分为：． 故答案为：，，，． （4）解：设小强答对了x题， 则， 解得， 所以小强答对了19题． 【考点题型十一】一元一次方程的实际应用-水费电费问题（） 【例11】（24-25七年级上·吉林·期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）根据收费标准列式求解即可； （3）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为x吨，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 即需交水费元； 故答案为： （2）解：根据题意得：元， 即需交水费元； 故答案为： （3）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元）； 如果一个月用水18吨，则需水费：（元）； ∵ ∴3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为x吨，依题意可得： ， 解得：． 答：小明家3月份用水量为25吨． 【变式11-1】（24-25七年级上·甘肃定西·期末）某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费．已知月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过24吨 超过24吨 备注：月用水量另收取污水处理费0.5元/吨． 水费单价 4元/吨 不超过24吨的部分仍按4元/吨计费，超过部分按a元/吨计费 例如：一用户二月份用水量为12吨，则该月应缴水费为（元）． (1)若用户五月份用水量为20吨，则该用户该月应缴水费_____元； (2)若用户六月份用水量为40吨，缴水费212元，求a的值； (3)在（2）的条件下，若用户七月份共缴水费342元，求该用户该月用水量． 【答案】(1)90 (2) (3)该用户该月用水量为60吨 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解分段收费的计算方法，正确列式求解是关键． （1）根据用水量为20吨，运用第一段的收费方式计算即可； （2）用水量为40吨，按照第二段的收费方式列式求解； （3）共缴水费342元，先判定该用户用水量，再根据分段收费的方法计算即可． 【详解】（1）解：五月份用水量为20吨， ∴该用户该月应缴水费：（元）， 故答案为：； （2）解：六月份用水量为40吨， ∴缴费为：， 解得，； （3）解：∵342元212元， ∴该用户七月份用水量大于40吨， 设该用户该月用水量为吨，由题意可得，， 解得，， 答：该用户该月用水量为60吨． 【变式11-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）小王要去复印一些文件，现在有，两家复印店可供选择，下列为这两家复印店收费标准： 复印店：复印页数不超过20页时，每页收费为元；复印页数超过20页时，超过的部分每页收费为元． 复印店：不论复印多少页，每页收费为元． (1)如果复印30页，哪家复印店的收费更少？ (2)当复印页数为多少时，选择两家复印店的收费一样？ 【答案】(1)B复印店收费更少； (2)复印页数为60页时，选择两家复印店的收费一样 【分析】本题考查了混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确表示出两家复印店的费用是解题的关键． （1）分别计算出A、B两家复印店复印30页的费用，再作比较即可判断； （2）首先可以肯定，复印页数不超过20页时，A复印店的费用高于B复印店的费用；设复印x页（），根据两家的收费相同，列出一元一次方程，再求解即可． 【详解】（1）解：A复印店的费用为：（元）； B复印店的费用为：（元）； 而3元元， 故若复印30页，B复印店收费更少； （2）解：复印页数不超过20页时，A复印店每页的费用高于B复印店每页的费用，从而A复印店的费用高于B复印店的费用，所以复印的页数超过20页； 设复印x页（）时，两家的收费相同， 由题意得：， 解得：； 答：当复印页数为60页时，选择两家复印店的收费一样． 【考点题型十二】一元一次方程的实际应用-工程问题（） 【例12】（24-25七年级上·辽宁·期末）学校准备利用寒假进行校舍维修，如果甲工程队单独进行维修需要10天，乙工程队单独进行维修需要15天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先维修5天，然后甲，乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为1700元，甲工程队每天的工程费比乙多300元，校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共多少工程费？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天； (2)校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共23300元工程费 【分析】本题考查了工程问题，解题的关键是将工作总量看成单位 “1”，并根据工作时间、工作效率和工作总量的关系来求解。 （1）设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，依据题意列出方程求解即可； （2）根据甲乙各自工作时间和每天工程费求出总工程费。 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，根据题意得， ， 解方程，得， 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天； （2）解：（元）， 答：校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共23300元工程费 【变式12-1】（24-25七年级上·河南安阳·期末）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．滑县某中学整理学生的劳技作品，由一名老师整理要完成．现计划由一部分老师先做，然后再增加4名老师与他们一起做，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，请问应先安排多少名老师整理？ 【答案】应先安排6名老师整理 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．根据题意，设应先安排x人工作，则x人先做完成这项工作的， 增加4人与他们一起做，完成这项工作的，由相等关系：x人先做完成的工作增加4人与他们一起做完成的工作，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设应先安排x老师整理，根据题意得： ， 解得，， 答：应先安排6人工作． 【变式12-2】（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟每天多粉刷的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积； (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积； (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少？ 【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为 (2)每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁 (3)一名徒弟一天的工钱是80元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用； （1）设每个房间需要粉刷的面积为，然后分别表示出师傅和徒弟每天粉刷的面积，然后根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面列方程解答即可； （2）结合（1）的结论计算即可； （3）设一名徒弟一天的工钱是元，则一名师傅一天的工钱是元，根据“全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为， 则每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁； 由题意得：， 解得：． 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为； （2）解：∵， 由（1）可知， 答：每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁； （3）解：设一名徒弟一天的工钱是元，则一名师傅一天的工钱是元， 由（1）、（2）可得：， 解得：． 答：一名徒弟一天的工钱是80元． 【变式12-3】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 【答案】(1)甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； (2)甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金 【分析】（）设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据“由甲工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元”建立方程求解即可得到，然后计算耗资即可； （）根据题意，有如下三种方案，方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资万元；方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元；方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月，分别计算出各自的耗资，再比较即可作出判断； 本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，建立适当方程求解，并结合题意进行方案设计是解题关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据题意： ， 解得， ∴， 答：甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； （2）解：根据题意，有如下三种方案： 方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资（万元）； 方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元； 方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月， 设甲、乙合作个月，剩下的由乙来完成， ， 解得， 此时耗资（万元）， 因为， 所以甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金 【考点题型十三】一元一次方程的实际应用-古代问题（） 【例13】（24-25七年级上·广东广州·期末）请用方程来解决下面问题： 【经典数学问题】元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？” 其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？ 【答案】快马20天追上慢马 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可． 【详解】解：设快马天追上慢马，则此时慢马走了天， 依题意，得， 解得， 答：快马20天追上慢马． 【变式13-1】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）列一元一次方程解应用题：我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问车有几何？”其意思是：“每车坐3人，空出来2车；每车坐2人，9人没车坐，问车有多少辆？” 【答案】15辆 【分析】本题考查一元一次方程的应用，能根据题意找出等量关系，并根据等量关系列出方程是解决此题的关键．设车有x辆，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设车为x辆，根据题意，得 解得， 答：车有15辆． 【变式13-2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：有多少户人家？大意为：有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完，问共有多少户人家？ 【答案】共有75户人家 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设共有x户人家，根据“有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设共有户人家， ， 解得， 答：共有75户人家． 【变式13-3】（24-25七年级上·广东佛山·期末）今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？（选自《孙子算经》） 题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？ 【答案】这根木材的长为尺 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示绳子的长度是解题的关键． 设这根木材的长为x尺，则绳子的长度为尺，也可表示为尺，于是列方程得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设这根木材的长为x尺， 根据题意得， 解得， 答：这根木材的长为尺． 【考点题型十四】一元一次方程与几何问题（） 【例14】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，小琪将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，求正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积. 【答案】正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原正方形的边长为，根据两次剪下的长条面积正好相等列出方程求解即可，进而求得空白部分的面积． 【详解】解：设正方形的边长为． 根据题意，得， 解得． ∴正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积为 【变式14-1】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，并且，满足． (1)点表示的数是_________，点表示的数是_________； (2)是线段的中点，求点表示的数； (3)数轴上的点从（2）问中的点开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点开始以每秒5个单位长度的速度沿数轴也向右移动，设运动时间为秒，当时，求运动时间的值． 【答案】(1)，5 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程，非负性问题等知识，解题的关键是找准等量关系列出方程． (1) 根据绝对值和偶次方的非负性求出、的值，即可得到答案； (2) 根据数轴上两点的距离和线段的中点的性质，得出点C表示的数为； (3) 当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，进而得出，，再结合，得到关于的绝对值方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可知， ， ， ， 即点表示的数是，点表示的数是5； 故答案为：，5． （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是5， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点表示的数是． （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表小的数为． ∴，． ∵， ∴， 即或， 解得或． ∴当时，运动时间的值为或． 【变式14-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，点O是直线上一点，直角三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时，射线从与重合的位置开始绕O点以每秒逆时针方向旋转至，两者有一个到达终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求的大小； (2)当运动停止时，求t的值； (3)当时，求t的值． 【答案】(1)； (2)12； (3)4或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用转过的度数转过的度数，即可求出结论； （2）利用时间=路程速度，可求出边旋转到及边旋转到所需的时间，比较后即可得出结论； （3）根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：秒，秒， ， 当运动停止时，t的值为12； （3）解：根据题意得：， 即或， 解得：或 答：t的值为4或 【变式14-3】（24-25七年级上·福建莆田·期末）根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【答案】 任务： 任务：点分 任务：点分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 任务：根据时针每分钟转，一大格之间是即可求解； 任务：设此时为点分，根据题意构建方程求解即可； 任务：设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作，时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数），根据题意列出，进而根据到的正整数求解即可． 【详解】解：任务： 时针每分钟转动， ， 又每一数字之间的角度为， 点分，钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务： 设此时为点分， 则， 解得：， 此时为点分； 任务： 设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作， 时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数）， ， 当，时，，此时重合，但不符合题意（舍去）； 当，时，，，即此时为点分． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 一元一次方程（3个考点梳理+14大题型解读+提升训练） 清单01 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 2. 含参一元一次方程 （1）次数含参：主要考察一元一次方程定义 （2）常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 （3）解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 清单02 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 清单03 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1.去分母：两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 清单03 一元一次方程的应用 解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下： ①审题；②设未知数:设未知数(通常为x)，并注明单位；③列方程；④解方程；⑤检验答案：将解代入原方程或实际问题，验证是否合理；⑥.写答句:完整写出答案，并注明单位。 【考点题型一】识别方程和一元一次方程（） 【例1】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数（） 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（　　） A．2 B．0 C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【考点题型三】方程的解（） 【例3】（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解是的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】等式的性质（） 【例4】（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式4-1】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）由可以得到用表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·山西临汾·期中）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型五】解一元一次方程（） 【例5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南南阳·期中）解方程： (1) (2) 【变式5-2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【变式5-3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【考点题型六】已知一元一次方程的解，求参数（） 【例6】（24-25七年级上·陕西延安·期末）若关于x的方程与方程有相同的解，求a的值． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知是常数，如果方程与关于的方程的解相同，求的值． 【变式6-2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于的方程的解与关于的方程 的解相同，求的值 【变式6-3】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 【考点题型七】一元一次方程的错解问题（） 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【变式7-1】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境错解问题 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为，试求a的值，并正确地求出原方程的解． 【变式7-2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【考点题型八】一元一次方程的实际应用-销售问题（） 【例8】（2025·安徽宿州·三模）在家电以旧换新的政策下，购买一台节能家电的实际费用（商场的实际售价旧家电的折合价）．张强借此政策为自己的婚房添加一台节能电视机，他与销售员协商后，电视机的实际售价为标价的九折，张强的旧电视折合200元．经计算，张强发现自己实际费用比这台电视机按标价出售便宜了．求这台电视机的标价是多少元． 【变式8-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【变式8-2】（24-25七年级上·山西晋中·期末）国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【变式8-3】（24-25七年级上·山东聊城·期末）为迎接元旦，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个． (1)应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套？ (2)若每套礼盒成本为200元，按标价的八折出售，所得利润率为，则每套礼盒的标价是多少元？ 【变式8-4】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润售价进价） 进价/售价 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 【考点题型九】一元一次方程的实际应用-配套问题（） 【例9】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式9-1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）贵州，不仅有着迷人的自然风光，还拥有着独特而丰富的饮食文化，贵州刺梨汁以其丰富的营养价值和独特的风味受到广大消费者的喜爱．某商家用刺梨汁制作出了刺梨饮品和刺梨蛋糕，并以“2个蛋糕+1杯饮品”的套餐进行推广销售．该商家现有店员8名，每位店员每日可制作蛋糕60份或饮品90份，每位店员每天只负责一种商品的制作，要使每天制作的蛋糕和饮品刚好配套，应安排制作蛋糕和饮品的店员各多少名？ 【变式9-2】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【变式9-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【考点题型十】一元一次方程的实际应用-比赛积分问题（） 【例10】（24-25七年级上·广东广州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对道题得______分，答错道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者得分，他答对了几道题？ (4)参赛者说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【变式10-1】（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）为落实国家“双减”政策，林芝市某中学举行知识竞赛，共出了25道题，评分标准如下：答对1题得4分；答错1题倒扣1分，拉姆答完了全部试题，共得70分，则她答对了多少道题？ 【变式10-2】（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下． 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1 在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分19分，求k的值． 【变式10-3】（24-25七年级上·江西南昌·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 【变式10-4】（23-24七年级上·河南郑州·期末）某校七年级组织知识竞赛，共设置25道选择题，各题分值相同，每题必答．表格记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小聪 25 0 150 小明 24 1 142 小颖 21 4 118 小亮 5 20 (1)答对一道题，加分______； (2)答错一道题，扣分______； (3)若某参赛者答对了道题，则该参赛者答错了______道题，答对题得______分，答错题扣______分，最终得______分；（用含的代数式表示） (4)若参赛者小强得102分，求他答对了几道题？ 【考点题型十一】一元一次方程的实际应用-水费电费问题（） 【例11】（24-25七年级上·吉林·期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 【变式11-1】（24-25七年级上·甘肃定西·期末）某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费．已知月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过24吨 超过24吨 备注：月用水量另收取污水处理费0.5元/吨． 水费单价 4元/吨 不超过24吨的部分仍按4元/吨计费，超过部分按a元/吨计费 例如：一用户二月份用水量为12吨，则该月应缴水费为（元）． (1)若用户五月份用水量为20吨，则该用户该月应缴水费_____元； (2)若用户六月份用水量为40吨，缴水费212元，求a的值； (3)在（2）的条件下，若用户七月份共缴水费342元，求该用户该月用水量． 【变式11-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）小王要去复印一些文件，现在有，两家复印店可供选择，下列为这两家复印店收费标准： 复印店：复印页数不超过20页时，每页收费为元；复印页数超过20页时，超过的部分每页收费为元． 复印店：不论复印多少页，每页收费为元． (1)如果复印30页，哪家复印店的收费更少？ (2)当复印页数为多少时，选择两家复印店的收费一样？ 【考点题型十二】一元一次方程的实际应用-工程问题（） 【例12】（24-25七年级上·辽宁·期末）学校准备利用寒假进行校舍维修，如果甲工程队单独进行维修需要10天，乙工程队单独进行维修需要15天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先维修5天，然后甲，乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为1700元，甲工程队每天的工程费比乙多300元，校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共多少工程费？ 【变式12-1】（24-25七年级上·河南安阳·期末）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．滑县某中学整理学生的劳技作品，由一名老师整理要完成．现计划由一部分老师先做，然后再增加4名老师与他们一起做，可完成这项整理工作．假设每位老师的工作效率相同，请问应先安排多少名老师整理？ 【变式12-2】（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟每天多粉刷的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积； (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积； (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少？ 【变式12-3】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 【考点题型十三】一元一次方程的实际应用-古代问题（） 【例13】（24-25七年级上·广东广州·期末）请用方程来解决下面问题： 【经典数学问题】元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？” 其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？ 【变式13-1】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）列一元一次方程解应用题：我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问车有几何？”其意思是：“每车坐3人，空出来2车；每车坐2人，9人没车坐，问车有多少辆？” 【变式13-2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：有多少户人家？大意为：有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户分一头，恰好分完，问共有多少户人家？ 【变式13-3】（24-25七年级上·广东佛山·期末）今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？（选自《孙子算经》） 题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？ 【考点题型十四】一元一次方程与几何问题（） 【例14】（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，小琪将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，求正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积. 【变式14-1】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，并且，满足． (1)点表示的数是_________，点表示的数是_________； (2)是线段的中点，求点表示的数； (3)数轴上的点从（2）问中的点开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点开始以每秒5个单位长度的速度沿数轴也向右移动，设运动时间为秒，当时，求运动时间的值． 【变式14-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，点O是直线上一点，直角三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时，射线从与重合的位置开始绕O点以每秒逆时针方向旋转至，两者有一个到达终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求的大小； (2)当运动停止时，求t的值； (3)当时，求t的值． 【变式14-3】（24-25七年级上·福建莆田·期末）根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$