清单02 相交线和平行线（考点清单，知识导图+7个考点清单&12大题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版2024）

清单02相交线和平行线（7个考点梳理+12大题型解读+提升训练） 清单01 余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 清单02 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 清单03 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 清单04 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 清单05 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 清单06 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 清单07 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【考点题型一】余角和补角（） 【例1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式1-1】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，时钟显示1点整．若将分针记为线段，时针记为线段，则的补角的大小为 ． 【考点题型二】对顶角、邻补角（） 【例2】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，直线交于点O，是的平分线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，A，O，B在同一条直线上，射线与正东方向的夹角为，则射线的方向是南偏西 ． 【变式2-3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点O，则 ．    【考点题型三】点到直线的距离（） 【例3】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式3-1】（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【变式3-2】（2024·贵州黔南·一模）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【考点题型四】垂线段最短（） 【例4】（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【变式4-1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 【考点题型五】平行线公理（） 【例5】（23-24七年级·全国·课后作业）下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式5-1】（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【考点题型六】同位角，内错角和同旁内角（） 【例6】（2023·河北唐山·二模）下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（     ） A．B．C． D． 【变式6-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　） A． B．或 C．或 D．或或 【变式6-2】（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【考点题型七】两直线平行的条件（） 【例7】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的有（   ） A． B． C． D．且 【变式7-1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（    ） A． B． C．且 D． 【考点题型八】利用平行线的性质求角（） 【例8】（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，，的平分线交于点，且平行于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，点、分别在、上，连接，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】平行线与折叠综合（） 【例9】（24-25七年级下·全国·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将一张长方形纸片折成如图所示的形状，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】（22-23七年级下·河南平顶山·期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的有（　　）      A． B． C． D． 【变式9-4】（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】平行线的生活中的实际应用（） 【例10】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025七年级下·浙江·专题练习）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于（　　） A．101° B．102° C．103° D．104° 【考点题型十一】平行线的性质与判定综合（） 【例11】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式11-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，中，点E在边上，，垂足分别是D，F，． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，求的度数． 【变式11-2】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【变式11-3】（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，．求的度数． 【考点题型十二】平行线中常考模型（） 【例12】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，求的度数．（提示：过点作） 【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． （1）如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【变式12-1】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【变式12-2】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 【变式12-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02相交线和平行线（7个考点梳理+12大题型解读+提升训练） 清单01 余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 清单02 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 清单03 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 清单04 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 清单05 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 清单06 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 清单07 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【考点题型一】余角和补角（） 【例1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出的度数，再利用角平分线的定义即可求出的度数； （2）根据余角的定义得到，结合（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， ， 又平分， ， 的度数为． （2）解：与互余， ， ， 由（1）得，，， ， 的度数为． 【变式1-1】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了补角，根据补角的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴的补角， 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，根据和为的两个角互为余角，结合，求出的余角即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：24． 【变式1-3】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，时钟显示1点整．若将分针记为线段，时针记为线段，则的补角的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角和补角，解题关键是熟练掌握互为补角的定义．根据如果两个角的和是，那么这两个角是互为补角，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴的补角为：， 故答案为：． 【考点题型二】对顶角、邻补角（） 【例2】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义次进行判断即可得；掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； B、是对顶角，选项说法正确，符合题意； C、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； D、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，直线交于点O，是的平分线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查与角平分线相关的角的计算，对顶角的性质．求得是解题的关键． 根据，，求得，从而求得，再由角平分线的定义得，即可由求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，A，O，B在同一条直线上，射线与正东方向的夹角为，则射线的方向是南偏西 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查余角，对顶角和方位角，找到题中互余的角和对顶角是解题的关键．根据题意作出如下图形，利用余角可求出的度数，再利用对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：根据题意，， ， ， 即射线的方向是南偏西． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点O，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型三】点到直线的距离（） 【例3】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题主要考查点到直线的距离，解答的关键是明确点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离可得结论． 【详解】解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故选：A． 【变式3-1】（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离判断．根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是5， 故选：C． 【变式3-2】（2024·贵州黔南·一模）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可． 【详解】解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，， 点P到直线l的距离是， 故答案为：4． 【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键． 根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：． 【考点题型四】垂线段最短（） 【例4】（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点作于，利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分，， ∴， ∵点是边上一动点， ∴根据垂线段最短得， 故选：． 【变式4-2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是解题的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【考点题型五】平行线公理（） 【例5】（23-24七年级·全国·课后作业）下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误； ②若直线，直线，那么直线，故原说法正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误． 错误的有3个， 故选：A． 【变式5-1】（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可． 【详解】解：因为， ∴． 所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 故选：C． 【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键． 【考点题型六】同位角，内错角和同旁内角（） 【例6】（2023·河北唐山·二模）下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角，熟练掌握同位角的特征是解题的关键．根据同位角的特征逐一判断即可． 【详解】解：A．与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意 B. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； C. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； D. 与的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意． 故选：． 【变式6-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题的关键． 根据同位角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意可知，的同位角为，或者． 故选：B． 【变式6-2】（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【考点题型七】两直线平行的条件（） 【例7】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的有（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一排除即可求解，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、由， 不能判定，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，原选项符合题意； 故选：． 【变式7-1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A 【变式7-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，不能判断，本选项不符合题意； B、，则，不能判断，本选项不符合题意； C、，则，不能判断，本选项不符合题意； D、，则，本选项符合题意； 故选：D． 【变式7-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行可得答案．关键是掌握平行线的判定定理． 【详解】解：A、当时，可得，不合题意； B、当时，无法得到，不合题意； C、当且时，可得，可得，符合题意； D、当时，可得，不合题意． 故选：C． 【考点题型八】利用平行线的性质求角（） 【例8】（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，再根据平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式8-1】（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，，的平分线交于点，且平行于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得到，，进而利用角平分线的定义和等量代换求得，再利用平行线的性质求得即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式8-2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，点、分别在、上，连接，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质，首先根据两直线平行内错角相等可知，根据角平分线的性质可知，根据两直线平行同旁内角互补可求． 【详解】解：如下图所示， ，， ， 平分交于点， ， 又， ， ． 故选： D． 【变式8-3】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，根据三角形内角和得到，根据平行线的性质，即可求解， 此题考查了平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【考点题型九】平行线与折叠综合（） 【例9】（24-25七年级下·全国·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质． 方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片， ，， ， 由题意知， ， ； 方法二：由题意知， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式9-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将一张长方形纸片折成如图所示的形状，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到E，先利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得：，然后利用平行线的性质可得：，即可解答． 【详解】解：如图：延长到E， ∵， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， 故选：A． 【变式9-2】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，折叠的性质推出，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片 ∴， ∴， 由折叠的性质得出， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 【变式9-3】（22-23七年级下·河南平顶山·期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的有（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，可得A不符合题意；由折叠的性质可得：，证明，可得B不符合题意；，可得C不符合题意；求解，由折叠的性质可得：，可判断D符合题意； 【详解】解： 由长方形的性质可得：，而， ∴，故A不符合题意； 由折叠的性质可得：， ∵， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是平行线的性质，折叠的性质，熟记轴对称的性质与平行线的性质是解本题的关键． 【变式9-4】（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【考点题型十】平行线的生活中的实际应用（） 【例10】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键． 分和，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图1所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由反射定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2所示，过点C作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 故选B． 【变式10-1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式10-2】（2025七年级下·浙江·专题练习）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质，以及平行公理推论，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作，得到，以及结合平行公理推论证明，得到，最后根据运算求解，即可解题． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式10-3】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于（　　） A．101° B．102° C．103° D．104° 【答案】C 【分析】过B作BD∥AE，根据AE∥CF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到BD∥CF，利用两直线平行内错角相等，同旁内角互补，根据∠ABD+∠DBC即可求出∠ABC度数． 【详解】解：过B作BD∥AE， ∵AE∥CF， ∴BD∥CF， ∴∠A=∠ABD=76°，∠DBC+∠C=180°， ∵∠C=153°， ∴∠DBC=27°， 则∠ABC=∠ABD+∠DBC=103°． 故选C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 【考点题型十一】平行线的性质与判定综合（） 【例11】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：，，，， ，， ， ． 【变式11-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，中，点E在边上，，垂足分别是D，F，． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，求的度数． 【答案】(1)与平行，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先判断出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）过点C作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵，， ， ， ∵， ， ∴． （2）如图，过点C作， ∵， ， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【变式11-2】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式11-3】（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角度的和差，角平分线，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知，得到，于是问题得证； （2）过点作，于是有，根据两直线平行，同旁内角互补得出，，两式相加即可证明； （3）先得出，由，求出，，则可求出，利用角平分线定义求出，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由： 如图，过点作， 由（1）知， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交的延长线于点， ∴， ∵， ∴． 【考点题型十二】平行线中常考模型（） 【例12】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，求的度数．（提示：过点作） 【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． （1）如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【答案】；（1）；（2） 【分析】过点作，则，根据平行线的性质可知，进而可求解； （1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结果； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结论． 【详解】解：过点作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， 即， 故答案为：． （1）， 理由如下：过点作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）， 理由如下：过点作，则， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． 【变式12-1】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． （1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 【变式12-2】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 【答案】（1），；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． （1）过点A作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）过点C作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点E作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数． 【详解】 解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴． 【变式12-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：． 证明：如图②，过点作， ， ，即． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知，求的度数． （2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键． （1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解； （2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论； （3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图③，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图④，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$