清单01 二次根式（5个考点清单+9个题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

清单01 二次根式 清单01 二次根式的概念 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2.二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 清单02 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 清单03 最简二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 清单04 同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 清单05 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】判断是否为二次根式（） 例题：（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列是二次根式的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必是非负数成为解题的关键．根据二次根式的被开方数必是非负数逐项判定即可． 【详解】解：A、无意义，不符合题意； B、，当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、，当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、，a为任意实数，，是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·河南开封·期末）下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，根式无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的概念和有意义的条件“二次根式的被开方数是非负数”求解即可． 【详解】解：A、是二次根式，本选项不符合题意； B、，故是二次根式，本选项不符合题意； C、，故是二次根式，本选项不符合题意； D、当时，，故不是二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列式子中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 【考点题型二】根据二次根式有意义条件求范围（） 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据“时，二次根式有意义”求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，当时有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得． 故选：D． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：代数式有意义， ，． 解得∶且． 故选：D． 【考点题型三】根据二次根式有意义求值（） 例题：（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 【考点变式】 1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若，求的值是 ． 【答案】2 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则， ∴， 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若、都是实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出、的值是解题的关键，根据二次根式有意义列出，求出的值，即可求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ， ， 故答案为：． 【考点题型四】最简二次根式的判断（） 例题：（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、中含有因数9，不是最简二次根式，故不合题意； C、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； D、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查最简二次根式．根据最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意； C、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决问题的关键． 【详解】解：A、中被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：C． 【考点题型五】同类二次根式的判断（） 例题：（24-25八年级上·广东梅州·期末）下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，能与合并，不符合题意； B．，不能与合并，符合题意； C．，能与合并，不符合题意； D．，能与合并，不符合题意； 故选：B． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】解：A．，不能与合并，不符合题意； B． ，不能与合并，不符合题意； C．，不能与合并，不符合题意； D．，能与合并，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式，根据定义判断． 【详解】解：A、和被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不符合题意； C、和被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； D、和被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）下列各组二次根式，化简后可以合并的是（   ） A．与 B．与 C．和 D．与 【答案】B 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．根据同类二次根式的定义--化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，逐项分析即可． 【详解】解：A．与，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B．与，是同类二次根式，能合并，故B符合题意； C．与，整数和无理数不能合并，故C不符合题意； D．与，不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意． 故选：B． 【考点题型六】二次根式的混合运算（） 例题：（24-25八年级下·全国·期末）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点变式】 1．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算绝对值、乘方、二次根式的除法，再计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式、二次根式的化简、立方根，再去括号，计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式并注意运算顺序是解题关键． （1）直接化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，进而合并即可； （2）直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式除法运算求出即可； 【详解】（1）解： （2）解： 3．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解 【考点题型七】二次根式中的新定义型问题（） 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、新定义下的实数运算、实数与数轴 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 3．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 【考点题型八】二次根式中的分母有理化（） 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例：． 结合上述材料，解决问题： (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)利用分母有理化化简：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的步骤和方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）利用分母有理化进行化简即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；； （2）解： ． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）观察下列式式子的化简过程： ①； ②； ③；… (1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出是解题的关键． （1）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化； （2）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化； （3））由将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：第四个等式为， ； （2）∵ ∴ ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： (1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简） (2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________； (3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ； (4)试利用上面所提供的思路，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一） (4) 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． （1）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （2）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （3）根据分母有理化的方法即可求解； （4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：， ． （2） （3）①可以利用平方差公式进行分母有理化； ②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数； ③，等等.（结论合理、正确就行） 故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）． （4）解： 【考点题型九】二次根式中的规律探究问题（） 例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： (1)按照上述规律，直接写出的结果是___________ (2)针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1) (2)（n为自然数，且），证明见解析 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据规律，可得到答案． （2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：（n为自然数，且）， 证明： 【考点变式】 1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解； （）根据规律直接得出结果即可； （）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可； 本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键． 【详解】（1）∵； ； ； ； ； （2）； ； ； ； ； （3）由（）可得， ． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识． （1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案； （2）根据，，，，得出规律，从而得到答案． 【详解】（1）解：由第①个等式，得 由第②个等式，得 由第③个等式，得 ∴第⑤个等式应为：，得． （2）解：第1个等式中分母为， 第2个等式中分母为， 第3个等式中分母为， 第4个等式中分母为， 得第个等式中分母为应为： ∴第个等式为：， ∵左边， 右边， ∴左边右边． 3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次根式 清单01 二次根式的概念 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2.二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 清单02 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 清单03 最简二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 清单04 同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 清单05 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】判断是否为二次根式（） 例题：（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列是二次根式的是：（    ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·河南开封·期末）下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列式子中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据二次根式有意义条件求范围（） 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【考点变式】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【考点题型三】根据二次根式有意义求值（） 例题：（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若，求的值是 ． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若、都是实数，且，则 ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知，则 ． 【考点题型四】最简二次根式的判断（） 例题：（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】同类二次根式的判断（） 例题：（24-25八年级上·广东梅州·期末）下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）下列二次根式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）下列各组二次根式，化简后可以合并的是（   ） A．与 B．与 C．和 D．与 【考点题型六】二次根式的混合运算（） 例题：（24-25八年级下·全国·期末）计算题： (1)； (2)． 【考点变式】 1．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1) (2) 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【考点题型七】二次根式中的新定义型问题（） 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 3．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【考点题型八】二次根式中的分母有理化（） 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例：． 结合上述材料，解决问题： (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)利用分母有理化化简：． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）观察下列式式子的化简过程： ①； ②； ③；… (1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式； (2)求的值． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： (1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简） (2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________； (3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ； (4)试利用上面所提供的思路，解方程：． 【考点题型九】二次根式中的规律探究问题（） 例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： (1)按照上述规律，直接写出的结果是___________ (2)针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$