精品解析：2025届河南省驻马店市新蔡县高三三模数学试卷

2025年河南省驻马店市新蔡县高三三模数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部. 【详解】由题意，得，所以的虚部为， 故选：B． 2. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 3. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合A和B，即可得出答案. 【详解】由题意，， 得，，所以． 故选：C． 4. 已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合数量积的运算律计算可得结果. 【详解】由，得， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 5. 定义在上的奇函数满足时，若在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数求出时的解析式，从而发现，再利用函数单调性将恒成立问题转化成不等式组，求解即可. 【详解】易求当时，，所以，故． 所以． 由的图象知在上递增，所以在上恒成立，即在上恒成立． 所以解得． 故选：C． 6. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据的极值点、的零点相同列方程，由此求得. 【详解】， 由，得①， 对于， 由，得， 依题意，所以②， 由于函数的极值点与的零点完全相同， 对比①②可得. 故选：B 7. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先设，，再根据二面角得出，最后应用，应用数量积化简结合基本不等式计算求最小值. 【详解】 设，， 在平面直角坐标系中，过作轴于点，过作轴于点， 则，，，， 折叠后即有， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以最小值为. 故选:C. 8. 若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性与导数的关系得到恒成立即可求解； 【详解】， 依题意，恒成立， 令，， 由，可得：，由，可得：， 所以在单调递减，在单调递增； 所以的最小值为， 所以，解得， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有2个零点 B. 若，则的解集为 C. 在上有极小值 D. 在上有极大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】解方程可得选项A正确；根据时解不等式可得选项B正确；讨论的范围，结合函数的零点及函数的连续性判断选项C正确；求导，讨论的范围，利用导数判断函数极值点，即可得判断D. 【详解】对于选项A：当时，由得，， 解得或0，所以有且仅有2个零点，故A正确； 对于选项B：当时，，且， 由得，解得， 所以的解集为，故B正确. 对于选项C：当时，且，由得或， 当时，；当时，. ①若，则，当时，； 可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； ②若，则， 当时，则，可知， 可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； ③若，当时，；当时，； 可知在的右侧附近单调递增，在左侧附近单调递减， 所以有极小值； ④若，则， 当时，则，可知， 可知在右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增， 所以在内有极小值； 综上所述：在上有极小值，故C正确. 对于选项D：因为， 构建，可知， 构建，可得， 可知在上单调递增，则， ①若，则，即，可知在上单调递增， 则，且， 可知在上存在唯一零点， 当，，即；当，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有极小值，无极大值； ②若，且，可知在上存在唯一零点， 当，，即；当，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，且， 可知在上存在唯一零点， 当，，即；当，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有极小值，无极大值； 综上所述：在上无极大值，故D错误 故选：ABC. 10. 已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（ ） A. B C. D. 对于任意的正数t，恒有 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定正态曲线，结合平均数和标准差的意义，逐项分析判断即可． 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由两个正态分布密度曲线知，则，B正确； 对于C，由两个正态分布密度曲线知，则，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知，表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 11. 法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为．下列结论中，正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 原点始终在曲线的内部 C. 当时，面积的最大值为 D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由题意求得轨迹方程，将代入方程可判断A；当时，将代入方程计算可判断B；令，则，求得，可求得最大面积判断C；令，可得，利用二次函数的性质可求得最大值. 【详解】设，由，得． 将代入上式，等式仍成立，知曲线关于轴对称，所以选项A正确； 当时，将代入等式成立，知原点在曲线上，所以选项B错误； 当时，方程整理得． 令，则， 若方程有两个负根，则，推出无解，故方程至少有一个正根， 由得，面积的最大值为，所以选项C正确． 由，得． 令，得，所以． 所以．所以．所以选项D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线的切线为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，进而对照系数即可. 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得 所以，． 所以． 所以． 故答案为：1. 13. 已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，先由重心坐标公式求出弦的中点坐标，再由，在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解. 【详解】设，， 因为，，由重心坐标公式得，， 所以弦的中点坐标为，，即． 又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则， 故，作差得， 将中点坐标代入得． 故答案为： 14. 已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型公式结合组合数及乘法原理计算即可. 【详解】依题意可知事件A为与同号，与异号， 则，，的符号有2种情况，剩下的，，，任意选有， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的值； （2）若，，的中点为，求的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化简，再结合角的范围得出，再利用计算； （2）先利用面积公式求出，进一步得出，再在中利用余弦定理即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理，得， 所以． 所以． 又因为为的内角，所以， 所以，从而． 又因为，则， 所以． 【小问2详解】 由题意，，所以． 又，所以． 所以． 因为，所以，从而． 在中，由余弦定理得， 所以． 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过的直线交椭圆于点（其中点在轴上方），为椭圆的左顶点．若与的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可； （2）当斜率不存在时，易知；当直线斜率存在时，设点设直线，联立，韦达定理，然后将面积比表示出来，转换成函数值域问题，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意，得，解得， 故椭圆方程为． 【小问2详解】 ①当斜率不存在时，易知； ②当斜率存在时，可设，，， 由，得，显然， 所以，． 因为，， 所以． 因为， 又， 设，则，，解得且， 所以． 综上所述，的取值范围为． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得，同理得，即可利用线面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 如图，取为内一点，作，交于点，作，交于点． 因为平面平面且平面平面，平面， 所以平面． 因为平面， 所以，同理得． 因为，且平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意，得，，，， 则，，，． 设平面的法向量为，则 令，则，，所以． 设平面的法向量为，则 令，则，，所以． 设二面角的平面角为，则由图可得． 故二面角的余弦值为． 18. 已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”. （1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求； （2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由； （3）已知，且集合A为“完美集”，求A. 【答案】（1）－2 （2）不存在，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可求得结果. （2）根据“完美集”的定义得到等式，解得，不符合题意，得到结果. （3）根据题干，设，若集合A为“完美集”， 则，再对n分情况讨论即可. 【小问1详解】 依题意，， ，解得； 【小问2详解】 设数列的公比为q，依题意， ，， 因为集合A为“完美集”，所以， 整理得，解得，不符题意， 所以不存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”； 【小问3详解】 设，若集合A为“完美集”， 则， 易知，，，当时，， 当时，显然不符题意； 当时，不妨设，，故，所以； 当时，因为，所以，符合题意； 当时，，不符题意； 综上，或. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运 算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息 的迁移，达到灵活解题的目的. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若，讨论方程的根的个数. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 【小问2详解】 由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省驻马店市新蔡县高三三模数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A B. C. D. 2. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 定义在上的奇函数满足时，若在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有2个零点 B. 若，则解集为 C. 在上有极小值 D. 上有极大值 10. 已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（ ） A. B. C. D. 对于任意的正数t，恒有 11. 法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为．下列结论中，正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 原点始终在曲线的内部 C. 当时，面积的最大值为 D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线切线为，则______． 13. 已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为______． 14. 已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的值； （2）若，，的中点为，求的长． 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过的直线交椭圆于点（其中点在轴上方），为椭圆的左顶点．若与的面积分别为，，求的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面． （1）求证：平面； （2）若，，，求二面角余弦值． 18. 已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”. （1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求； （2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由； （3）已知，且集合A为“完美集”，求A. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若，讨论方程的根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $