专题08 一次函数的实际问题及与几何的综合问题（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末好题汇编（山东专用）
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内容正文：
专题08 一次函数的实际问题及与几何的综合问题
题型概览
题型01行程问题
题型02分配方案问题
题型03最大利润问题
题型04梯度计价问题
题型05一次函数与三角形的综合
题型06一次函数与平行四边形的综合
题型07一次函数与矩形的综合
题型08一次函数与菱形的综合
题型09一次函数与正方形的综合
(
题型01
)行程问题
1．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）“十一”黄金周期间，乐乐一家自驾游去了离家的某地，下面是他们离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象，乐乐一家出发时，离目的地还有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设所对应的y与x的关系式为：，把，代入得，
，
解得，
线段所对应的y与x的关系式为：，，
时，代入得，，
千米，
即他们出发小时，离目的地还有22千米．
故选：A．
2．（2023-24八年级下·山东济南·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
(1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值．
(2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？
(3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？
【答案】(1)，
(2)甲的速度为，乙的速度为
(3)或或或
【详解】（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为，
由直线可得，，
当时，；
（2）由（1）得，
∵直线过点， ，
∴，
∴甲的速度为，乙的速度为；
（3）由（2）可得，直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距．
3．（2023-24八年级下·山东威海·期末）两地在一条笔直的公路上，一辆货车从A地出发匀速驶向B地，后一辆小轿车从B地出发匀速驶向A地，如图是它们离B地的路程与货车行驶时间之间的函数图像．
(1)求货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式；
(2)求两车之间相距不超过时，货车行驶时间x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式是，
代入点，，
得，
解得，
所以，货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式是；
（2）解：设小轿车从B地出发匀速驶向A地的函数关系式是：，
代入点，，
得，
解得：，
∴小轿车从B地出发匀速驶向A地的函数关系式是：，
当时，
，即，
解得：或，
∴两车之间相距不超过时，货车行驶时间x的取值范围为：.
4．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示．
(1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米；
(2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米；
(3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围．
【答案】(1)9；40
(2)第20天时整个工程已完成580米
(3)完成这次任务的工期范围是27天至35天
【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天）
每天挖隧道：（米），
故答案为:9，40．
（2）解：由题意，当时
∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为
∴（米/天），（米/天），
又设直线的解析式为
把点B坐标代入解析式得
解得
∴直线的解析式为
令，则
∴第20天时整个工程已完成580米；
（3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），
∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队，
∴，
解得，
∵，
∴，
当时，
由（2）得直线的解析式为
∴当时，则，
解得；
当时，
依题意，则，
∴（米/天），（米/天），
设直线的解析式为
把代入得
解得，
∴直线的解析式为
∴当时，
由（2）得直线的解析式为
∴当时，则，
解得，
即
∴完成这次任务的工期范围是27天至35天．
5．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：
(1)分别求出小轿车和大客车速度；
(2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义；
(3)求出发后经过多少小时两车相距？
【答案】(1)小轿车的速度为：，大客车的速度为：；
(2)，两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地；
(3)小时或小时或小时
【详解】（1）解：由图象可得，
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
（2）解：线段所在直线的函数关系式为，
线段所在直线的函数关系式为，
根据题意，得，
解得，
点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地．
（3）解：所在直线的函数关系式为，
小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为
，
当，两车相距时，得，解得；
当，两车相距时，得，解得(舍去)；
当，两车相距时，得，解得或；
∴出发后经过或或两车相距．
6．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是______，图中______；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？
【答案】(1)70，300
(2)
(3)或
【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
∴A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍．
7．（2023-24八年级下·山东日照·期末）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)A，B两地之间距离是 ， ；
(2)结合图象，求线段所在直线的解析式？
(3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案）
【答案】(1)60，1
(2)
(3)或或
【详解】（1）解：一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地，
根据图示可得，货车从的时间为，
∴两地之间的距离为，
∴，
∴货车从的时间为，
故答案为：，；
（2）解：一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车开始出发，
∴直线经过点，且，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴线段所在直线的解析式为；
（3）解：设线段的解析式为，，
∴，
解得，，
∴线段的解析式为，
货车去时与巡逻车相遇前，两车相距，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）；
货车去时与巡逻车相遇后，两车相距，
∴，
解得，，即时，两车相距；
设线段的解析式为，且，
∴，
解得，，
∴线段的解析式为，
∴当货车返回时未相遇时，两车相距，
∴，
解得，，即时，两车相距；
∴当货车返回时相遇后，两车相距，
∴，
解得，，即时，两车相距；
综上所述，当或或时，两车相距．
(
题型0
2
)分配方案问题
8．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况．
(1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为，元，请你直接写出两个草莓园付款金额，于采摘草莓的重量千克的函数表达式及自变量的取值范围．
(2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？如果不正确请通过计算说明．
【答案】(1)，
(2)佳佳妈妈的说法不正确，见解析
【详解】（1）解：由题意得：当时，，
当时，，
∴，
．
（2）解：佳佳妈妈的说法不正确．
当时，，
∴
∴去乐乐草莓园摘草莓更划算．
当时，当时，，解得
所以，当采摘草莓小于4千克时，去乐乐草莓园划算；
当时，，解得
所以，当采摘草莓大于4千克时，去欣欣草莓园摘草莓更划算．
当时，，解得
所以，当采摘草莓4千克时，两家一样划算．
综上，佳佳妈妈的说法不正确．
9．（2023-24八年级下·山东德州·期末）课题学习
已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择：
方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元；
方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨．
请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）．
【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高
【详解】解：根据题意可得：
方案一的利润为：
，得；
方案二的利润为：
，得．
∵当时，
，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高．
10．（2023-24八年级下·山东济南·期末）某公司在两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从地运往甲地台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为元．
(1)请填写下表，并写出与之间的函数关系式；
运往地
运出地
甲
乙
总计
A
台
______台
16台
B
______台
______台
12台
总计
15台
13台
28台
(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省？
【答案】(1)表见解析，
(2)A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机运往甲地12台，运往乙地0台
【详解】（1）解：根据题意填表如下：
运往地
运出地
甲
乙
总计
A
x台
台
16台
B
台
台
12台
总计
15台
13台
28台
；
（2）解：∵且，
∴，
又∵，y随x增大而增大，
∴当时，能使运这批挖掘机的总费用最省，
运送方案：A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机运往甲地12台，运往乙地0台．
11．（2023-24八年级下·山东济南·期末）长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往农场和农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往农场和农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知农场需要化肥1100吨，农场需要化肥1400吨．
(1)如果设从长城化工厂运往农场吨化肥，求此时所需的总运费（元）与（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
(2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
【答案】(1)
(2)当从长城化工厂运往农场1000吨，从安秦化工厂运往农场肥料100吨，从安秦化工厂运往农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元．
【详解】（1）解：从长城化工厂运往农场吨化肥，
从长城化工厂运往农场吨化肥，
从安秦化工厂运往农场化肥吨，则从安秦化工厂运往农场吨，
（2）由于是一次函数，，
随的增大而减小．
，当时，运费最少，最少运费是114600元，
当从长城化工厂运往农场1000吨，从安秦化工厂运往农场肥料100吨，从安秦化工厂运往农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元．
12．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当和时，与之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？
②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围．
【答案】(1)
(2)①购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少 ②
【详解】（1）当时, 设,
根据题意得，
解得，
∴；
当时, 设，
根据题意得解得 ，
∴，
；
（2）①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克
∴，
当时,
，
当时. 元；
当时,
，
当时, 元，
∵
∴当时, 总费用最少, 最少总费用为元此时乙种水果(千克)，
答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少．
②当时,，
解得，不符合题意；
当时，，解得：，
∴甲种水果购进量的取值范围为：．
13．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）某学校是乒乓球体育传统项目学校．为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须购买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买15副直拍球拍和10副横拍球拍共花费5400元；购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费800元．
(1)求两种球拍每副各多少元？
(2)若学校购买球拍共30副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求该方案所需费用．
【答案】(1)直拍球拍每副200元，横拍球拍每副240元
(2)购买直拍球拍20副，则横拍球拍10副，最少费用为6400元
【详解】（1）解：设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副x元，
根据题意，得，
解得，
答：直拍球拍每副200元，横拍球拍每副240元；
（2）解：设购买直拍球拍m副，则横拍球拍副，
根据题意，得，
∴，
设总费用为w元，
则
，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w有最小值，最小值为，
此时方案为：购买直拍球拍20副，则横拍球拍10副．
14．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表：
两乡
两城
C/（元/吨）
D/（元/吨）
A
20
24
B
15
17
设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元．
(1)分别直接写出，与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值．
【答案】(1)，；
(2)调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城，最小费用为元．
【详解】（1）解：A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为吨； B城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨，
∴，
，
∴与x之间的函数关系式为：，
与x之间的函数关系式为： ；
（2）解：依题意，
解得：，
设两城总费用和为元，则
，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，
此时调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城，最小费用为元．
(
题型0
3
)最大利润问题
15．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元．
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？
【答案】(1)香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元
(2)总利润的最大值是元
【详解】（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元；
（2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，
根据题意得：，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为（元）．
答：总利润的最大值是元．
16．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示：
甲种材料（件）
乙种材料（件）
道具
3
4
道具
5
2
经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元．
(1)求与的函数表达式，并求出的取值范围；
(2)问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)，
(2)当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元
【详解】（1）解：
．
根据题意，得
．
解得
∴的取值范围是．
（2）解：由（1）得
∵是的一次函数，且
∴随着的增大而增大．
∴当时，
答：当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元．
17．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）为了缓解环境污染的问题，某地禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划购进A，B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆，其中A型电动自行车不少于10辆，A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车x辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式．
(2)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)购进A型电动自行车10辆、B型电动自行车20辆才能获得最大利润，此时最大利润是13000元
【详解】（1）解：根据题意，得，
与x之间的函数关系式为；
（2）解：，
随x的减小而增大，
，
当时，y值最大，，
（辆）；
答：购进A型电动自行车10辆、B型电动自行车20辆才能获得最大利润，此时最大利润是13000元．
18．（2023-24八年级下·山东济南·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)5500元
【详解】（1）解：由题知，
与的函数表达式为．
（2）解：由题知
由（1）知
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，（元）．
19．（2023-24八年级下·山东威海·期末）某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格类型
进价（元/件）
售价（元/件）
30
50
50
75
(1)若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？
(2)若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】(1)种服装件，种服装件
(2)购进种服装件、种服装件时获利最多，此时利润为元
【详解】（1）解：设购进种服装件，种服装件，
根据题意得：
，
解得：，
答：购进种服装件，种服装件；
（2）解：设种服装进货为件，则种服装进货为件，总利润为元，
由题意得：
，
，
随的增大而减小，
商场规定种服装进货不少于件，购进，两种服装共件，
，
当时，取得最大值，，
，
答：当购进种服装件、种服装件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为元．
20．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）某博主在一段时间内制作并上传甲、乙两种作品共70篇，甲作品平均每篇获利110元，乙作品平均每篇获利150元，设该博主制作并上传甲作品篇，制作并上传这70篇作品共获利元．
(1)求与之间的关系式．
(2)若乙种作品的数量不超过甲种作品数量的，则该博主制作甲、乙两种作品各多少篇时获利最大？最大利润是多少？
(3)由于网络管理需要，有的乙种作品需要再进行处理，每篇的处理费用是元．若总获利随的增大而减小，请求出的取值范围．
【答案】(1)
(2)该博主制作甲篇、乙篇时获利最大，最大利润元
(3)
【详解】（1）解：由题意得
，
故与之间的关系式：；
（2）解：由题意得
，
解得：，
，且为整数，
，
当时，
（元），
（篇），
该博主制作甲篇、乙篇时获利最大，最大利润元；
（3）解：由题意得
，
总获利随的增大而减小，
，
解得：，
．
21．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．
(1)，两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本．
①求关于的关系式．
②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)，两类图书每本的进价分别为32元，24元
(2)①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元
【详解】（1）解：设，两类图书每本的进价分别为元，元．
，解得
答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元．
（2）①依题意；
∴
②解得
设利润为元．
因为小于0，所以随的增大而减小，
当取501时，
，
所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元．
(
题型0
4
)梯度计价问题
22．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元．
【答案】
【详解】解：由函数图象可知，当时，费用相差(元)，
当时，费用相差小于元，
当时，两种收费方式的函数关系式分别是，，
(元)，
这两种方式所收的费用最多相差元．
故答案为： ．
23．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章．
(1)求每盒挂件和每盒印章的价格；
(2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发；
(3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？
【答案】(1)40元，30元
(2)
(3)，元
【详解】（1）解：设每盒挂件 元，每盒印章 元．
根据题意得： ，
解得 ．
答：每盒挂件 40 元，每盒印章 30 元．
（2）解：∵给每位学生分发1个挂件和1个印章，
∴购买挂件盒，则购买印章盒恰好能够配套分发；
（3）解：当，即
解得：，
∴．
当，即时，
．
当有660名学生参加活动，则需购买挂件（盒）．
当时，
∴（元）．
24．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准．某用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数如图所示．
(1)观察图象，求出函数在不同范围内的解析式；
(2)若某用户该月交水费63元，求该用户用了多少吨水？
【答案】(1)
(2)14.5
【详解】（1）解：当时，设函数解析式为，
则，
∴，
∴；
当时，设函数解析式为，
则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴该用户用水超过12吨，
∴，
解得，
∴该用户用了14.5吨水．
25．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过200元的按原价计费，超过200元后的部分打6折．
以x（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额．
(1)就两家书店的优惠方式，分别求，关于x的函数表达式；
(2)“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？
【答案】(1)，
(2)详见解析
【详解】（1）解：根据题意可得：
甲书店：，
乙书店：，即．
（2）解：当时，由，即甲店比较实惠；
当时，
令，解得：，
当时，选择甲书店更省钱，
当，甲乙书店所需费用相同，
当，选择乙书店更省钱．
综上所述：当时，选择甲书店更省钱；当，甲乙书店所需费用相同；当，选择乙书店更省钱．
(
题型0
5
)一次函数与三角形的综合
26．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵，，
∴．
27．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则为此函数的坐标三角形．
(1)求函数的坐标三角形的面积；
(2)若函数（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．
【答案】(1)4.5
(2)
【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴函数的坐标三角形的面积为；
（2）解：直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，
根据勾股定理，得坐标三角形的斜边的长为，
当时，，得，此时，坐标三角形面积为；
当时，，得，此时，三角形面积．
综上，当函数的坐标三角形周长为16时，面积为．
28．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)求的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)7
(3)或或
【详解】（1）解：将点代入一次函数得：，
解得；
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
由（1）已得：，
∴的边上的高为4，的边上的高为6，
∴．
（3）解：∵一次函数的图象为，且不能围成三角形，
∴①当经过点时，则，解得；
②当时，则；
③当时，则；
综上，的值为或或．
29．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的表达式：
(2)若直线交轴负半轴于点，求的面积：
(3)在轴负半轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)在轴负半轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，
∴，解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：设，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：存在，
由题意得，
∴可分两种情况考虑，
如图所示．当时，
∴点的坐标为；
当时， ，
∴点的坐标为．
综上所述：在轴负半轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键．
30．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线l：为点P的“关联直线”．例如，点的“关联直线”l的解析式为．
(1)若点，写出点P的“关联直线”l的解析式，并求l与坐标轴围成的三角形面积；
(2)若点在第一象限，其“关联直线”l交x轴于点A，连接，过点P作的垂线，交l于点B．当时，求点P的坐标．
【答案】(1)，6
(2)
【详解】（1）解：∵点，
∴点P的“关联直线”l的解析式为，
∵当时，，当时，，
∴点P的“关联直线”l过，，
∴l与坐标轴围成的三角形面积为．
（2）解：∵点在第一象限，
∴点P的“关联直线”l的解析式为，
∵点“关联直线”l交x轴于点A，
∴当时，，则，
∵点在第一象限，则，
如图：过点P作轴于点D，过点B作于点C，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入，即，解得：，
∴．
31．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)点在直线上，使得，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使得，，三点构成的三角形与全等，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在；
【详解】（1）解：设直线的表达式：，将点和点代入
，
解得：，
∴，
联立：，
解得，
∴．
（2）解：连接，，
∵直线的函数表达式为，分别与轴，轴交于点，
∴，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或．
（3）解：∵点和点，
∴，
∵点点，
∴，
∴
当以，，三点构成的三角形与全等时，只有，
∴，
∴，
∴
设的解析式为，
根据题意，得，
解得：，
∴，
由题意得直线，
∴，
∴直线表达式：
联立，
解得：，
∴点．
【点睛】本题考查了函数交点坐标的计算，方程组的构造，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，全等的判定和性质是解题的关键．
32．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，直线的表达式为，且与x轴交于点A，直线的表达式为，且与轴交于点，直线，交于点C．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)求三角形的面积；
(3)在直线上存在一点P，使得，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，
，
，
，
直线，交于点C
，
解得：，
；
（2）如图，过点C作轴，
，
，
，
；
（3）设点，如图过点P作轴，
，
，
，
，
，
或
当时，，解得：，
当时，，解得：，
或．
(
题型0
6
)一次函数与平行四边形的综合
33．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（ ）
A．10 B．8 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，
∴，，
∴，
∴，
∵点C坐标为，
∴，
∴平行四边形的面积，
如图所示，过作于，
由平行四边形的性质可得，
∴，
解得：，
∴直线和直线的距离是为；
故选：D．
34．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【详解】解：由图象可知，直线经过时移动距离为3，经过时移动距离为7，经过时移动距离为8，
，
如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点，
由图2可知，
∵轴，直线
∴直线与夹角为，，
，
∴面积为．
故选：B．
35．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、．
(1)点坐标为________，点坐标为________；
(2)求直线的表达式；
(3)若的面积为4，求点坐标；
(4)在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)或或
【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
时，，
点，
当时，，
，
，
故答案为：，；
（2）解∶∵点，
，
∵点C为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式：，
将点，点代入直线解析式
得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为；
（3）解：设点，
， ，
的面积，
， ，
的面积，
的面积，
的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
，
解得，
，
∴点E坐标为 ；
（4）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴设点，点，
①当四边形以， 为对角线时，
∵点，，
∴，
解得，
，
∴点；
②当四边形以， 为对角线，
∵点，，
，
解得，
，
∴点，
③当四边形以， 为对角线，
，
解得，
，
∴点，
综上，满足条件的点Q坐标为或或；
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，图象上点的坐标特征，三角形的面积，平行四边形的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
36．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，．
(1)求直线的表达式．
(2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【详解】（1）设直线的表达式为，
∵直线与直线，x轴分别交于点，，
∴解得
∴直线的表达式为；
（2）解：存在.
∵与x轴交于点B，
∴.
设，，
①当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴解得
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴
解得
∴.
综上所述，点D的坐标为或．
37．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，．
(1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式；
(2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形
【详解】（1）解：∵点的横坐标为，过作轴的垂线，分别与直线，交于，，
把代入中可得，即，
把代入中可得，即，
当时，；
当时，；
（2）由题意可知，
若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
则，
，解得或，
即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
(
题型0
7
)一次函数与矩形的综合
38．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，，点D，E分别是线段上一点，连接．若，，则点E的坐标为
【答案】/
【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，
∵矩形，
∴轴，，，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴，
∵，
∴，
当时，；
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键．
39．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
【答案】(4,14)
【详解】解：当时，，
∴，
过点作轴于点，过点作轴于点，则，如图所示，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在矩形中，，
，
，
在和中，
，
，，，
当时，，
解得：，
点的坐标是．
故答案为：．
40．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A、B．
(1)直接写出A、B两点的坐标．
(2)点P是第一象限内直线l上一点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：令，则，
将代入线，则，
∴；
（2）解：由题意得：，
∵轴，轴，
∴，
∵矩形的一边长是另一边长的2倍，
∴或，
∴或，
解得：或．
41．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使得点落在边上的点处，为折痕与的交点．
(1)尺规作图找到点的位置；
(2)求折痕的长；
(3)画，交于点，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【详解】（1）解：以点为圆心，为半径，作圆交于点，
分别以点，点为圆心，大于为半径，交于一点，连接，交于点；
（2）解：连接，；
∵长方形沿直线折叠(点是折痕和边的交点)，使落在边上的点处，
；，
在长方形中，，，
，
，
设，则，
，
，即，
解得，
；
故；
（3）解：根据题意，作图如下，以直线为轴，以直线为轴，建立平面直角坐标系：
，，
则直线的函数解析式为；
将，代入；
可得：；
解得：，
所以的函数解析式为；
当时，；
故．
42．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．
(1)点的坐标为_____；点的坐标为_____；
(2)求，的值；
(3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【详解】（1）解：∵点坐标为，四边形是矩形，边在轴上，
∴，则，
由函数图象可知：当时，直线经过点，
沿轴的负方向平移个单位后与矩形相交于点，
∵沿x轴的负方向平移个单位后直线的解析式是：，
∴当时，，
∴点的坐标为．
∵，
∴；
故答案为：，．
（2）解：令得：，
解得：，
∴点的坐标为．
∵点的坐标为．
∴，
∴当直线经过点时，；
如图所示，当直线经过点时，直线交轴于点．
∵点的坐标为，点的坐标为．
设平移后的的解析式为，
将代入得：，解得．
∴平移后的直线的解析式为．
当时，得，解得．
∴点的坐标为．
∴；
（3）∵矩形的面积；
∴当直线扫过矩形部分的面积为时，，
如图，过点作．
设直线的解析式为，
将点的坐标代入得：，
∴，
∴直线的解析式为．
将代入得：，解得，
∴点的坐标为．
∴，
∴；
即，
解得：．
(
题型0
8
)一次函数与菱形的综合
43．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，四边形是正方形．点M是线段上的一个动点（点A、B除外），点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为 ．
【答案】或
【详解】解：把点代入得：
，解得：，
∴直线得解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为，
如图，当四边形为菱形时，
∴垂直平分，
∴点M，N的纵坐标均为，且点M，N关于y轴对称，
把代入得：
，解得：，
∴点M的坐标为，
此时点N的坐标为；
如图，当四边形为菱形时，延长交x轴于点P，此时，轴，
设点M的坐标为，则，
∵轴，
∴轴，
∴点N的坐标为，即
在中，，
∴，
解得：，
∴点N的坐标为．
综上所述，点N的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，主要掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
44．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 ．
【答案】或或
【详解】解：连接，
在中，，
， ，，
，
，
设直线的解析式为，把， 代入，
，
解得：，
直线的解析式为，
①是邻边，点F在射线上时，，
所以点F与B重合，
即，由题意舍去
②是邻边，点F在射线上时，
∴M在射线上，且垂直平分，
∴，
∴；
③是对角线时，作垂直平分线交射线于点，
设
的中点
在中，
，
解得：，
④是对角线时，的垂直平分线经过点，
设
的中点
在中，
，
解得：或（不合题意舍去）
综上所述，所有符合条件的点F的坐标为或或或．
故答案为：或或
45．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，直线图象与轴、轴分别交于两点，点分别是射线、射线上一动点（点与点不重合），且，．
(1)求点坐标；
(2)点在线段、上时（不与端点重合），设的长度为，用含的代数式表示的面积，并写出的取值范围；
(3)若为坐标平面内的一点，当以为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)当以为顶点的四边形为菱形时，的坐标为或或
【详解】（1）解：直线图象与轴、轴分别交于两点，
当时，，则，
当时，，
解得，，则；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，则，
设的长度为，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在线段、上时（不与端点重合），
∴，
∴；
（3）解：以点为顶点的四边形为菱形，
第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则，
∴，则，
∵，
∴点与点重合，则；
第二种情况，如图所示，四边形是菱形，，
∴，
由上述证明可得，，
∴，
∴；
第三种情况，如图所示，四边形是菱形，，连接交于点，
∴，且，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当以为顶点的四边形为菱形时，的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数与菱形性质的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
46．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，点为平面直角坐标系的原点，边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线将菱形分成面积比为的两部分，求该直线的解析式．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：作于点，则，
∵四边形是菱形，边长为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点坐标为；
（2）解：如图， 连接，作于点 ，于，
设菱形 的面积为，
∵四边形是边长为的菱形， ，
∴和都是等边三角形，点的坐标为，
∴ ，分别是 的中点，
∴，，，，
∴点的坐标为，，，
∴直线和均将菱形分成面积比为的两部分， 且直线的解析式为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
综上，该直线的解析式为或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质，一次函数的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键．
47．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为．
(1)求直线的表达式；
(2)在点，点运动过程中，当点，分别在，上时，求证：四边形是矩形；
(3)点是平面内一点，在点的运动过程中，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：直线的表达为：，
由，可得：，
解得：，
∴直线的表达为：，
（2）证明：由题意得：
∴
∴
由轴、轴可得：
由点、点的运动速度可知：
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形
（3）解：若以点，，，为顶点的四边形是菱形，,则为等腰三角形
时，如图所示：
则
∵且，
∴
时，如图所示：
此时点与点重合，关于轴对称
∴
时，如图所示：
此时：
∵
∴
解得：
∴
∵
∴
即：
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数与动点问题，涉及了一次函数的解析式求解、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的证明、一次函数与特殊四边形问题，掌握相关结论是解题关键．
(
题型0
9
)一次函数与正方形的综合
48．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）正方形的顶点均在坐标轴上，且．若平面内的点满足：射线与正方形的边或交于点（点可以与点重合），且，则称点为点关于正方形的“生长点”．已知直线上存在点关于正方形的“生长点”，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，
点运动轨迹为图中阴影区域，
把代入，得
把代入，得
故的取值范围为
故选：D．
49．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴；
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故③正确；
如图所示，过点E作轴于T，
同理可证明，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，故④正确；
∴，故⑤错误；
∴正确的是①②③④，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键．
50．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，当点的对应点落在直线上时，的值为 ，当点的对应点落在直线上时，的值为 ．
【答案】
【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点B作于点F，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点C平移后的点为，点B平移后的点为，
①当在l上时，，
解得：，
∴，
∴，
②当在l上时，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤．
51．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是正方形，则k的值为 ．
【答案】/
【详解】解：根据题意，设，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点在直线的图象上，
∴，
∴，
故答案为： ．
52．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，直角坐标系中，点是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以为边向右侧作正方形，当点在正方形内部时，t的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】解：当轴，点是轴正半轴上的一个动点，
，，
，
点C的横坐标为，
点在正方形内部，
，且，
解得或，
故答案为：或．
53．（2023-24八年级下·山东东营·期末）如图，点是正方形的边的中点，正方形的边长为，点按的顺序在正方形的边上以每秒的速度做匀速运动，设点的运动时间为，的面积为．
(1)直接写出点运动时，的面积；
(2)在点P运动2至4这段时间内，求y与x的函数关系式．
【答案】(1)4
(2)
【详解】（1）解：点运动时，，点还在线段上，如图所示：
∴，
．
（2）解：由题意得，当时，
，，
如图所示：点在上运动，
．
1．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，连接交于点，
四边形是菱形，
点C与点A关于对称，
最短时，点位 于点处，
四边形是菱形，,
设直线的解析式为,
解得
直线的解析式为,
设的解析式为,
直线的解析式为,
联立
解得，
故选：B.
2．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为．若直线恰好将矩形分成面积比为的两部分．则此直线与y轴交点的纵坐标最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，当直线与分别交于K、T时，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵矩形的顶点B的坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵直线恰好将矩形分成面积比为的两部分，
∴或，
解得或，
经检验，或都是对应方程的根，
∴或；
如图所示，当直线与分别交于K、T时，
∵，
∴直线经过定点，
∴此时直线与y轴的交点纵坐标一定比直线与有交点时的纵坐标大，
综上所述，此直线与y轴交点的纵坐标最小值为1，
故选：B．
3．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点C作轴，垂足为点F，交于点E，连接，则三角形的周长为 ．
【答案】16
【详解】解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
过点B作平行于，交于N，
∵轴
∴轴
∴，
∴；
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴ ，
∵，
∴四边形为矩形，
∴矩形为正方形，
∴，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴周长．
故答案为：16．
4．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系，
则，，，
设，则，
过点作于M，过点作于N，
则，四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
，
∴H的运动轨迹为直线，
∵，
∴当时，，当时，，
∴H运动的路径长为，
故答案为：
5．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）某游泳馆推出了两种收费方式：
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为次（），选择方式一的总费用为元，选择方式二的总费用为元．
(1)请分别写出，与之间的函数关系式．
(2)小亮选择哪种收费方式更省钱？
【答案】(1)；
(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意，
方式一总费用是：，
方式一总费用是：，
答： ，．
（2）解：当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
答：小亮在一年内来此游泳馆的次数少于20次时，选择收费方式二省钱；当顾客一年内游泳次数等于20次时，选择两种收费方式费用相同；当顾客一年内游泳次数多于20次时，选择收费方式一省钱．
6．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）绿茵场！闪电突破！篮筐下！精准投射！热血在奔跑中沸腾！团队在配合中闪光！从2025年春季学期起，云南省义务教育学校课间休息时间全面调整为15分钟，为给学生们丰富课间活动资源，某校计划购买一批足球和篮球．若购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元．
(1)求每个足球、篮球的价格？
(2)若该校计划购买足球和篮球共120个，购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的，为使购买的总费用最低，应购买足球和篮球各多少个？最低总费用为多少元？
【答案】(1)每个足球70元，每个篮球125元
(2)购买足球53个、篮球67个时，购买的总费用最低，最低总费用为12085元
【详解】（1）解：（1）设每个足球、篮球的价格分别为，元，
由题意得：，
解得：，
答：每个足球70元，每个篮球125元．
（2）设购买篮球的数量为个，则购买足球的个数为个，
购买的总费用．
由题意得：，
解得：，
，
随的增大而增大，
又是整数，
当，即时，购买的总费用最低，
最低总费用为（元）．
答：当购买足球53个、篮球67个时，购买的总费用最低，最低总费用为12085元．
7．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同．
(1)求生产商每天单独生产两类手办的个数；
(2)两种手办某商家的购进价和售价如下表：
进价
售价
类/个
80
100
类/个
100
150
根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润；
(3)商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表：
第一天
第二天
第三天
第四天
日销售单件利润（元）
20
30
40
50
日销售量（个）
300
200
150
120
根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价．
【答案】(1)生产商每天生产类手办600个，类手办400个
(2)当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元
(3)110元
【详解】（1）解：设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，并符合题意，
所以，生产商每天生产类手办600个，类手办400个；
（2）解：设购进个种手办，则购进个种手办，
根据题意得：，
解得：．
设这200个手办全部售完获得的总利润为元，
则，即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时（个）．
所以，当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元；
（3）解：由表中数据得：，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴利润至少为10元
∴单价至少为元．
8．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义；
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；
(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
【答案】(1)，m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间
(2)
(3)或
【详解】（1）解：；
由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间；
（2）设，
由题意，图象经过点，即，
则：，解得：，
∴；
（3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：，
当时，；
当时，，解得：；
综上：或．
9．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元．
(1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元；
(2)请求出当时，与之间的函数解析式；
(3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
【答案】(1)120
(2)
(3)当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元．
【详解】（1）解：当时，甲种绿植的种植费用为每平方米元．
故答案为：120．
（2）解：当时，设，
根据题意得：，解得：
∴，
∴当时，与之间的函数解析式．
（3）解：设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米，
由题意可得：，
解得不等式组的解集为．
设种植总费用为w元．
当时，．
∵，
∴w随x的增大而增大．
∴当时，．
当时，．
∵，
∴当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元．
10．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离h（）与水流时间t（）的函数图象如图所示．
(1)点B坐标的实际意义是 ；
(2)求线段的函数表达式；
(3)经过 后，净水区水面与蓄水区水面重合．
【答案】(1)水流时间3 时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9
(2)
(3)6.5
【详解】（1）解：由图象可知：点B坐标的实际意义是水流时间3时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9；
（2）设，把代入，得：
，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，水流速度为：，
∴经过后，净水区水面与蓄水区水面重合．
11．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求：
(1)求、两点坐标；
(2)求坐标；
(3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或
【详解】（1）解：，
令，则；，则；
，；
（2）解：，，
，，
，
由折叠的性质可知，，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
解得，
；
（3）解：由（2）知，，
；
以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时，
；
；
以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时，
或，
或；
如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
解得，
；
综合上述，点P的坐标为或或或．
12．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．
(1)请求出点的坐标；
(2)已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标；
(3)已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）解：点坐标是，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点坐标是，
∴；
（2）解：∵点是线段上一个动点，
∴设，
①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
②当时，三角形是等腰三角形，
则点在的垂直平分线上，
∴，
③时，根据勾股定理得，
∴，
∴（不合题意舍去），（不合题意舍去），
综上所述，或；
（3）解：如图，连接，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点坐标是，点坐标是，
∴，
∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分，
∴直线过，
∴
∴，
即与的函数关系式为．
13．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形．
(1)求点、点的坐标．
(2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式：
(3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点的坐标为或
【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点
∴当时，
∴；
当时，
解得
∴
∵点关于点的对称点为点，
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为16
∴；
（2）解：如图所示，点E为的中点，连接，，
∵四边形是平行四边形
∴
∵点E为的中点
∴
∴
∵直线把平行四边形分成面积为的两部分，如图交于点F
∴当时，
∴
∴
∵，
∴点F的纵坐标为
∴将代入得，
解得
∴
设表达式为
根据题意得，
解得
∴的表达式为；
∴当时，如图交于点G
∴
∵，
∴点G的纵坐标为
∴将代入得，
解得
∴
同理利用待定系数法求出表达式为
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：如图所示，
∵直线与轴交于点（当点在点的下方），
∴点M为直线直线与y轴的交点
∴当时，
∴
当点Q在y轴左边时，
∵，
∴
∴
∴所在直线表达式为
∴将代入得，
解得
∴；
当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点
∴
∴
∴
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
14．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点
(1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积；
(2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标；
【答案】(1)，平行四边形面积8；
(2)或．
【详解】（1）解：如图，过，分别作于，于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图，当点在线段上时，过点作于，则，
直线将平行四边形的面积分成两部分，
当时，
，
；
如图，当点在线段上时，过点作于，
直线将平行四边形的面积分成两部分，
当，
，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，可得，
解得
，
综上所述，或．
15．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或或
【详解】（1）解：根据，解方程组得，得，
分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，．
（2）解：设，
且，
，
，
，
令直线解析式为，
把，代入得：
，
，
，
直线的函数表达式为．
（3）解：①当四边形为菱形时，如图，
，得四边形为正方形；
，
即．
②当四边形为菱形时，如图
得，带入直线的解析式，得
解得，
∴，
∵四边形为菱形，
∴、关于对称，即、关于y轴对称，
．
③当四边形为菱形时，如图，
，
设，
则，
解得（负值舍去），
∴，
，
④当四边形为菱形时，如图，
同③可求，，
综上得点的坐标为或或或．
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$$
专题08 一次函数的实际问题及与几何的综合问题
题型概览
题型01行程问题
题型02分配方案问题
题型03最大利润问题
题型04梯度计价问题
题型05一次函数与三角形的综合
题型06一次函数与平行四边形的综合
题型07一次函数与矩形的综合
题型08一次函数与菱形的综合
题型09一次函数与正方形的综合
(
题型01
)行程问题
1．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）“十一”黄金周期间，乐乐一家自驾游去了离家的某地，下面是他们离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象，乐乐一家出发时，离目的地还有（ ）
A． B． C． D．
2．（2023-24八年级下·山东济南·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
(1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值．
(2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？
(3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？
3．（2023-24八年级下·山东威海·期末）两地在一条笔直的公路上，一辆货车从A地出发匀速驶向B地，后一辆小轿车从B地出发匀速驶向A地，如图是它们离B地的路程与货车行驶时间之间的函数图像．
(1)求货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式；
(2)求两车之间相距不超过时，货车行驶时间x的取值范围．
4．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示．
(1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米；
(2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米；
(3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围．
5．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：
(1)分别求出小轿车和大客车速度；
(2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义；
(3)求出发后经过多少小时两车相距？
6．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是______，图中______；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？
7．（2023-24八年级下·山东日照·期末）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)A，B两地之间距离是 ， ；
(2)结合图象，求线段所在直线的解析式？
(3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案）
(
题型0
2
)分配方案问题
8．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况．
(1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为，元，请你直接写出两个草莓园付款金额，于采摘草莓的重量千克的函数表达式及自变量的取值范围．
(2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？如果不正确请通过计算说明．
9．（2023-24八年级下·山东德州·期末）课题学习
已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择：
方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元；
方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨．
请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）．
10．（2023-24八年级下·山东济南·期末）某公司在两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从地运往甲地台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为元．
(1)请填写下表，并写出与之间的函数关系式；
运往地
运出地
甲
乙
总计
A
台
______台
16台
B
______台
______台
12台
总计
15台
13台
28台
(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省？
11．（2023-24八年级下·山东济南·期末）长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往农场和农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往农场和农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知农场需要化肥1100吨，农场需要化肥1400吨．
(1)如果设从长城化工厂运往农场吨化肥，求此时所需的总运费（元）与（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
(2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费．
12．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当和时，与之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？
②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围．
13．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）某学校是乒乓球体育传统项目学校．为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须购买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买15副直拍球拍和10副横拍球拍共花费5400元；购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费800元．
(1)求两种球拍每副各多少元？
(2)若学校购买球拍共30副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求该方案所需费用．
14．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表：
两乡
两城
C/（元/吨）
D/（元/吨）
A
20
24
B
15
17
设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元．
(1)分别直接写出，与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值．
(
题型0
3
)最大利润问题
15．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元．
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？
16．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示：
甲种材料（件）
乙种材料（件）
道具
3
4
道具
5
2
经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元．
(1)求与的函数表达式，并求出的取值范围；
(2)问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？
17．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）为了缓解环境污染的问题，某地禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划购进A，B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆，其中A型电动自行车不少于10辆，A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车x辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式．
(2)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
18．（2023-24八年级下·山东济南·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
19．（2023-24八年级下·山东威海·期末）某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
价格类型
进价（元/件）
售价（元/件）
30
50
50
75
(1)若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？
(2)若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
20．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）某博主在一段时间内制作并上传甲、乙两种作品共70篇，甲作品平均每篇获利110元，乙作品平均每篇获利150元，设该博主制作并上传甲作品篇，制作并上传这70篇作品共获利元．
(1)求与之间的关系式．
(2)若乙种作品的数量不超过甲种作品数量的，则该博主制作甲、乙两种作品各多少篇时获利最大？最大利润是多少？
(3)由于网络管理需要，有的乙种作品需要再进行处理，每篇的处理费用是元．若总获利随的增大而减小，请求出的取值范围．
21．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．
(1)，两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本．
①求关于的关系式．
②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
(
题型0
4
)梯度计价问题
22．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元．
23．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）2024年6月25日，我国“嫦娥六号”携克的月球背面土壤样品荣耀归来，为激发学生对航天事业的兴趣，学校组织航天知识问答活动，并打算购买“嫦娥六号”装饰挂件和限量航天印章送给参加活动的学生作为纪念（给每位学生分发1个挂件和1个印章）．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；花费170元可以买2盒挂件和3盒印章．
(1)求每盒挂件和每盒印章的价格；
(2)如果购买挂件盒，则购买印章_______盒（用含有的式子表示）恰好能够配套分发；
(3)累计购买超过1700元后，超出1700元的部分有8折优惠，学校以（2）中配套的方式购买，共花费元，求关于的函数关系式．若有660名学生参加活动，共需要多少费用？
24．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准．某用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数如图所示．
(1)观察图象，求出函数在不同范围内的解析式；
(2)若某用户该月交水费63元，求该用户用了多少吨水？
25．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过200元的按原价计费，超过200元后的部分打6折．
以x（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额．
(1)就两家书店的优惠方式，分别求，关于x的函数表达式；
(2)“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？
(
题型0
5
)一次函数与三角形的综合
26．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求三角形的面积．
27．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则为此函数的坐标三角形．
(1)求函数的坐标三角形的面积；
(2)若函数（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．
28．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)求的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值．
29．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的表达式：
(2)若直线交轴负半轴于点，求的面积：
(3)在轴负半轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
30．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线l：为点P的“关联直线”．例如，点的“关联直线”l的解析式为．
(1)若点，写出点P的“关联直线”l的解析式，并求l与坐标轴围成的三角形面积；
(2)若点在第一象限，其“关联直线”l交x轴于点A，连接，过点P作的垂线，交l于点B．当时，求点P的坐标．
31．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)点在直线上，使得，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使得，，三点构成的三角形与全等，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，直线的表达式为，且与x轴交于点A，直线的表达式为，且与轴交于点，直线，交于点C．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)求三角形的面积；
(3)在直线上存在一点P，使得，请直接写出点P的坐标．
(
题型0
6
)一次函数与平行四边形的综合
33．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（ ）
A．10 B．8 C． D．
34．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．10
35．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、．
(1)点坐标为________，点坐标为________；
(2)求直线的表达式；
(3)若的面积为4，求点坐标；
(4)在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，．
(1)求直线的表达式．
(2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，．
(1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式；
(2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
(
题型0
7
)一次函数与矩形的综合
38．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，，点D，E分别是线段上一点，连接．若，，则点E的坐标为
39．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
40．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A、B．
(1)直接写出A、B两点的坐标．
(2)点P是第一象限内直线l上一点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值．
41．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使得点落在边上的点处，为折痕与的交点．
(1)尺规作图找到点的位置；
(2)求折痕的长；
(3)画，交于点，求的长．
42．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．
(1)点的坐标为_____；点的坐标为_____；
(2)求，的值；
(3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值．
(
题型0
8
)一次函数与菱形的综合
43．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，四边形是正方形．点M是线段上的一个动点（点A、B除外），点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为 ．
44．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 ．
45．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，直线图象与轴、轴分别交于两点，点分别是射线、射线上一动点（点与点不重合），且，．
(1)求点坐标；
(2)点在线段、上时（不与端点重合），设的长度为，用含的代数式表示的面积，并写出的取值范围；
(3)若为坐标平面内的一点，当以为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标．
46．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，点为平面直角坐标系的原点，边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线将菱形分成面积比为的两部分，求该直线的解析式．
47．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒1个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为．
(1)求直线的表达式；
(2)在点，点运动过程中，当点，分别在，上时，求证：四边形是矩形；
(3)点是平面内一点，在点的运动过程中，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ．
(
题型0
9
)一次函数与正方形的综合
48．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）正方形的顶点均在坐标轴上，且．若平面内的点满足：射线与正方形的边或交于点（点可以与点重合），且，则称点为点关于正方形的“生长点”．已知直线上存在点关于正方形的“生长点”，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
49．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④
50．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，当点的对应点落在直线上时，的值为 ，当点的对应点落在直线上时，的值为 ．
51．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是正方形，则k的值为 ．
52．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，直角坐标系中，点是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以为边向右侧作正方形，当点在正方形内部时，t的取值范围是 ．
53．（2023-24八年级下·山东东营·期末）如图，点是正方形的边的中点，正方形的边长为，点按的顺序在正方形的边上以每秒的速度做匀速运动，设点的运动时间为，的面积为．
(1)直接写出点运动时，的面积；
(2)在点P运动2至4这段时间内，求y与x的函数关系式．
1．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为．若直线恰好将矩形分成面积比为的两部分．则此直线与y轴交点的纵坐标最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点C作轴，垂足为点F，交于点E，连接，则三角形的周长为 ．
4．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 ．
5．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）某游泳馆推出了两种收费方式：
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为次（），选择方式一的总费用为元，选择方式二的总费用为元．
(1)请分别写出，与之间的函数关系式．
(2)小亮选择哪种收费方式更省钱？
6．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）绿茵场！闪电突破！篮筐下！精准投射！热血在奔跑中沸腾！团队在配合中闪光！从2025年春季学期起，云南省义务教育学校课间休息时间全面调整为15分钟，为给学生们丰富课间活动资源，某校计划购买一批足球和篮球．若购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元．
(1)求每个足球、篮球的价格？
(2)若该校计划购买足球和篮球共120个，购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的，为使购买的总费用最低，应购买足球和篮球各多少个？最低总费用为多少元？
7．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同．
(1)求生产商每天单独生产两类手办的个数；
(2)两种手办某商家的购进价和售价如下表：
进价
售价
类/个
80
100
类/个
100
150
根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润；
(3)商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表：
第一天
第二天
第三天
第四天
日销售单件利润（元）
20
30
40
50
日销售量（个）
300
200
150
120
根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价．
8．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义；
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）；
(3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值．
9．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元．
(1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元；
(2)请求出当时，与之间的函数解析式；
(3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
10．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离h（）与水流时间t（）的函数图象如图所示．
(1)点B坐标的实际意义是 ；
(2)求线段的函数表达式；
(3)经过 后，净水区水面与蓄水区水面重合．
11．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求：
(1)求、两点坐标；
(2)求坐标；
(3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标．
12．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．
(1)请求出点的坐标；
(2)已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标；
(3)已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式．
13．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形．
(1)求点、点的坐标．
(2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式：
(3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标．
14．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点
(1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积；
(2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标；
15．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
(1)分别求出点、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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