山东省枣庄市2024-2025学年北师大版九年级数学初中学业水平模拟卷

山东省枣庄市2024-2025年北师大版九年级数学初中学业水平模拟卷 一．选择题（共10小题） 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a+b＞0 D．ab＞0 2．下列计算正确的是（　　） A．a+2a＝3a2 B．a5÷a2＝a3 C．（﹣a）2•a3＝﹣a5 D．（2a3）2＝2a6 3．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（　　） A．自 B．立 C．科 D．技 4．水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为1.674×10﹣27kg，一个氧原子的质量约为2.657×10﹣26kg，一个水分子的质量大约是（　　） A．3.6137×10﹣25kg B．2.8244×10﹣26kg C．2.9918×10﹣26kg D．3.6137×10﹣27kg 5．在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D．＝ 6．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 7．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则＞ 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 9．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．3 10．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象只经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜ 二．填空题（共6小题） 11．若多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　 　 ． 12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　 ． 13．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 　 　 ． 14．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 　 　 ． 16．在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF． 如图①当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝； 如图②当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝； 如图③当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝； … 直接写出，当＝时，S△DEF＝　 　 ． 3． 解答题（共7小题） 17.（1）计算：﹣（﹣）﹣3+tan60°+|﹣2|+（π﹣2024）0． （2）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°． 18．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题： （1）表格中的a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 　 　 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 　 　 分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 19．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 20．在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点． （1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有 　 　 ； （2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值； （3）已知，双曲线y1＝和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1＝上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标． 21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F． （1）求证：BC∥EF； （2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3． （1）问题发现 如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是 　 　 ，AD与BE的位置关系是 　 　 ； （2）类比探究 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长． 23．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表： a … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … x … * 2 0 ﹣2 ﹣4 … y的最小值 … * ﹣9 ﹣3 ﹣5 ﹣15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值” （2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C D C A C A A 一．选择题（共10小题） 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a+b＞0 D．ab＞0 【分析】由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，进一步得出|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，即可作出判断． 【解答】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3， ∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0， 故选：C． 2．下列计算正确的是（　　） A．a+2a＝3a2 B．a5÷a2＝a3 C．（﹣a）2•a3＝﹣a5 D．（2a3）2＝2a6 【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a+2a＝3a，则A不符合题意； a5÷a2＝a3，则B符合题意； （﹣a）2•a3＝a5，则C不符合题意； （2a3）2＝4a6，则D不符合题意； 故选：B． 3．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（　　） A．自 B．立 C．科 D．技 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “强”与“科”是对面， 故选：C． 4．水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为1.674×10﹣27kg，一个氧原子的质量约为2.657×10﹣26kg，一个水分子的质量大约是（　　） A．3.6137×10﹣25kg B．2.8244×10﹣26kg C．2.9918×10﹣26kg D．3.6137×10﹣27kg 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：2×1.674×10﹣27+2.657×10﹣26 ＝0.3348×10﹣26+2.657×10﹣26 ＝2.9918×10﹣26（kg）， 故选：C． 5．在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D．＝ 【分析】直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，再利用平行线的性质证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝3，则AD＝5，所以BC＝5，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明∠DEF＝∠F得到DE＝DF＝2，则可对C选项进行判断；由于DE∥BC，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断． 【解答】解：由作法得BO平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∵AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴AD＝AE+DE＝3+2＝5， ∴BC＝5，所以B选项不符合题意； ∵AB∥CD， ∴∠F＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠F， ∴DE＝DF＝2，所以C选项不符合题意； ∵DE∥BC， ∴＝＝，所以D选项符合题意． 故选：D． 6．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵第2图和第4图既是轴对称图形又是中心对称图形， ∴小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率＝． 故选：C． 7．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则＞ 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【解答】解：由题意得，a＞b， ∴a+c＞b+c， ∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c． 故选：A． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此先求出m﹣2n＝3，再求出Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）的符号即可得到结论． 【解答】解：∵m﹣2n＝3， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1） ＝m2+4n2﹣4mn﹣4 ＝（m﹣2n）2﹣4 ＝32﹣4 ＝9﹣4 ＝5＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 9．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．3 【分析】作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H，设正六边形ABCDEF的边长为a，根据正六边形性质和含30°角的直角三角形性质可得点E、H坐标，列出方程求出a值，即可推出k值． 【解答】解：如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H， ∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴， ∴∠EDO＝＝＝60°， ∴∠EDG＝30°， ∴EG＝ED，GD＝， 设正六边形ABCDEF的边长为a，则E（，），H（a，）， ∵点E、H都在反比例函数图象上， ∴， 解得a＝4， ∴H（4，）， ∴k＝4． 故选：A． 10．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象只经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜ 【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限， ∴﹣， ∴， ∴a﹣1≥0，Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＞0， 解得1≤a＜， ∴a的取值范围为1≤a＜． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．若多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　±12　 ． 【分析】根据题意可得﹣m＝±2×2×3，解得m的值即可． 【解答】解：∵多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解， ∴﹣mxy＝±2×2x×3y， 则﹣m＝±2×2×3＝±12， 解得：m＝±12， 故答案为：±12． 12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　x＞1　 ． 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x﹣1＞0， 解得：x＞1， 故答案为：x＞1． 13．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 　m≥﹣5且m≠﹣3　 ． 【分析】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解． 【解答】解：， 去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x， 去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6， 合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m， 系数化为1得：x＝5+m， ∵x﹣2≠0， ∴x≠2，即5+m≠2， ∴m≠﹣3， ∵解为非负数， ∴x＝5+m≥0， ∴m≥﹣5， ∴m≥﹣5且m≠﹣3． 故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3． 14．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　6　 ． 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n， ∴2m2﹣4m＝1，m+n＝﹣＝2，mn＝﹣， ∴3m2﹣4m+n2 ＝2m2﹣4m+m2+n2 ＝1+（m+n）2﹣2mn ＝1+22﹣2×（﹣） ＝6． 故答案为：6． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 　（2，1）　 ． 【分析】先求出直线AB解析式和反比例函数解析式，联立两个函数解析式求出交点坐标即可． 【解答】解：点A与B关于直线y＝x对称， 设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，将点A（1，2）坐标代入得， 2＝﹣1+b，解得b＝3， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+3， ∵点A（1，2）在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为y＝， 联立方程组，解得或． ∴B（2，1）． 故答案为：（2，1）． 16．在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF． 如图①当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝； 如图②当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝； 如图③当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝； … 直接写出，当＝时，S△DEF＝　　 ． 【分析】探究规律，利用规律解决问题． 【解答】解：如图①当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝1﹣3×＝； 如图②当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝1﹣3×＝； 如图③当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝1﹣3×＝； … 当＝时，S△DEF＝1﹣3×； 故当＝时，S△DEF＝1﹣3×＝． 三．解答题（共8小题） 17.（1）计算：﹣（﹣）﹣3+tan60°+|﹣2|+（π﹣2024）0． 【分析】根据负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数幂的性质，进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝11． （2）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°． 【分析】依据题意，先化简分式，然后化简x后代入计算可以得解． 【解答】解：由题意，原式＝•﹣• ＝﹣ ＝ ＝ ＝． 又x＝2cos30°﹣tan45° ＝2×﹣1 ＝﹣1， ∴原式＝＝． 19．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题： （1）表格中的a＝　5　 ；b＝　2　 ；c＝　75　 ； （2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 　78　 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 　80　 分； （3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【分析】（1）根据数据可直接得出a，b，c的值． （2）根据平均数、众数、中位数的意义可得答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及A，B两名队员恰好同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，a＝5，b＝2，c＝75． 故答案为：5；2；75． （2）∵样本数据的中位数为78， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分． ∵平均数、众数、中位数这三个数据中，平均数最大，为80， ∴如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分． 故答案为：78；80． （3）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中A，B两名队员恰好同时被选中的结果有：（A，B），（B，A），共2种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为＝． 20．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可； （2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm； （2）由题可知ON＝EC＝AC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm． 21．在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点． （1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有 　N1（4，2），N3（0，﹣2）　 ； （2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值； （3）已知，双曲线y1＝和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1＝上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标． 【分析】（1）依据题意，根据等和点的意义逐个进行判断即可得解； （2）依据题意，设点N的横坐标为a，又点N是点M（3，﹣2）的等和点，从而可得点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5，故点N的坐标为（a，a+5），结合点N在直线y＝x+b上，可得a+5＝a+b．进而可以得解； ∴b＝5． （3）依据题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限，再设直线与双曲线的交点分别为点A、B，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0，故A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2，再把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，求出A（4，2）可得反比例函数解析式，进而可设P（m，），点Q的横坐标为n，又点Q是点P的等和点，则点Q的纵坐标为m+n﹣，故Q（n，m+n﹣），又点Q在直线y2＝x﹣2上，可得m+n﹣＝n﹣2，从而m﹣+2＝0，求出m后即可判断得解． 【解答】解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得， ∴x1+x2＝y1+y2＝5． ∴点N1（4，2）是点M的等和点． 由M（1，3），N2（3，﹣1）得， x1+x2＝4，y1+y2＝2， ∴x1+x2≠y1+y2． ∴N2（3，﹣1）不是点M的等和点． 由M（1，3），N3（0，﹣2）得， ∴x1+x2＝y1+y2＝1． ∴点N3（0，﹣2）是点M的等和点． 故答案为：N1（4，2），N3（0，﹣2）． （2）由题意，设点N的横坐标为a， ∵点N是点M（3，﹣2）的等和点， ∴点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5． ∴点N的坐标为（a，a+5）． 又∵点N在直线y＝x+b上， ∴a+5＝a+b． ∴b＝5． （3）由题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限． 设直线与双曲线的交点分别为点A、B， 如图，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0， ∴A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2． 把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2， ∴A（4，2）． 把A（4，2）代入y1＝得，2＝． ∴k＝8． ∴反比例函数的解析式为y＝． 设P（m，），点Q的横坐标为n， ∵点Q是点P的等和点， ∴点Q的纵坐标为m+n﹣． ∴Q（n，m+n﹣）． ∵点Q在直线y2＝x﹣2上， ∴m+n﹣＝n﹣2． ∴m﹣+2＝0． ∴m＝﹣4或m＝2． 经检验，m＝﹣4，m＝2是方程m﹣+2＝0的解． ∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）或（2，4）． 22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F． （1）求证：BC∥EF； （2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 【分析】（1）连接OE，交BC于点G，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，由D为△ABC 的内心，得到∠OAE＝∠CAE，求得OE∥AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BGO＝90°，根据切线的性质得到∠FEO＝90°，根据平行线的判定定理得到结论； （2）连接BE，根据三角函数的定义得到∠AEC＝30°，求得∠ABC＝∠AEC＝30°，求得EF＝OE•tan60°＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OE，交BC于点G， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， 又∵D为△ABC 的内心， ∴∠OAE＝∠CAE， ∴∠OEA＝∠CAE， ∴OE∥AC， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BGO＝90°， 又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径， ∴∠FEO＝90°， ∴∠BGO＝∠FEO， ∴BC∥EF； （2）解：∵， ∴∠AEC＝30°， ∴∠ABC＝∠AEC＝30°， ∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°， ∴EF＝OE•tan60°＝2， ∴S阴影部分＝S△EFO﹣S扇形BOE ＝ ＝． 23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3． （1）问题发现 如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是 　BE＝3AD　 ，AD与BE的位置关系是 　AD⊥BE　 ； （2）类比探究 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由； （3）迁移应用 如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长． 【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AD＝，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°，可证AD⊥BE； （2）通过证明△BCE∽△ACD，可得＝＝，∠CDA＝∠CEB，可证BE＝3AD，AD⊥BE； （3）由勾股定理可求AB的长，通过证明△ACN∽△ABC，可求AN的长，由等腰三角形的性质可求AD的长，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，延长DA交BE于H， ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE， ∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD＝90°， ∴AD＝，BE＝3，∠CAD＝∠ADC＝45°，∠CBE＝∠CEB＝45°， ∴BE＝3AD，∠CAD＝∠EAH＝45°， ∴∠EHA＝90°， ∴AD⊥BE， 故答案为：BE＝3AD，AD⊥BE； （2）线段AD与BE的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由如下： 如图2，延长DA交BE于H， ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE， ∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD， ∴＝， ∴△BCE∽△ACD， ∴＝＝，∠CDA＝∠CEB， ∴BE＝3AD， ∵∠CEB+∠ENH＝∠CDA+∠CND＝90°， ∴∠EHD＝90°， ∴AD⊥BE； （3）如图3，过点C作CN⊥AB于N， ∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3， ∴AB＝＝＝， ∵CN⊥AB， ∴∠ANC＝90°＝∠ACB， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACN∽△ABC， ∴， ∴AN•＝1， ∴AN＝， ∵AC＝DC，CN⊥AB， ∴AD＝2AN＝， 由（2）可知：BE＝3AD＝． 24．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表： a … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … x … * 2 0 ﹣2 ﹣4 … y的最小值 … * ﹣9 ﹣3 ﹣5 ﹣15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值” （2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【分析】（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7； ②当抛物线在对称轴即x＝4时，y取得最小值，即可求解； （2）1＞0，故函数有最小值，即可求解 （3）当x＝﹣a时，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3，﹣1＜0，故y有最大值，即可求解． 【解答】解：（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7； ②当抛物线在对称轴即x＝4时，y取得最小值为：16﹣32﹣7＝﹣23； （2）合理，理由： ∵1＞0，故函数有最小值， 当x＝﹣a（对称轴）时，y取得最小值， 故甲同学的说法合理； （3）正确，理由： 当x＝﹣a时，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3， ∵﹣1＜0，故y有最大值， 当a＝时，y的最大值为：﹣+﹣3＝﹣． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/19 11:18:49；用户：陈明霞；邮箱：15063278385；学号：27423091 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$