精品解析：山东省青岛第二中学分校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

山东省青岛第二中学分校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 命题人：马娜 审核人：王晓霞 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简复数，即可由虚部定义求解. 【详解】由可得， 故虚部为， 故选：D 2. 已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果. 【详解】若，，则可能，故A错误； 若，，则可能，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则，故D错误. 故选：C . 3. 已知向量、满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算、定义可计算出，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值. 【详解】因为， 可得， 又因为，所以，即与的夹角为. 故选：A. 4. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点A和，现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高OT为（ ） A. 15m B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，， ，即，解得. 在中，， 即. 故选：D 5. 已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，再结合三点共线的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为A，B，C三点共线，所以， 即， 所以解得，． 故选：C． 6. 已知圆锥轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出圆锥的底面圆半径及圆锥的高，进而求出圆锥母线即可求出侧面积. 【详解】由轴，得是圆锥轴截面边上的高，由， 得，则圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. 故选：B 7. 在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 8. 在直角梯形ABCD中，已知，点是BC边上的中点，点是CD边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，    设，，则，， 所以， 因为，所以. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据纯虚数概念判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据复数模的计算公式判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】对于A：若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 对于B：若，则，得，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故D正确. 故选：BD. 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到 C. 的对称轴为 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：根据函数的部分图象，可得，. 再根据五点法作图可得，，因为，， 又最大值为，∴. 的最小正周期为，故A正确； 的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确； 令，则，所以的对称轴为，故C不正确； 时，，区间上单调递增，故当时，，故D正确， 故选：ABD． 11. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动过程中，直线与始终异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与直线所成的角为定值 D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合异面直线的定义，可判定A准确；根据三棱锥的体积，可判定B正确；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据线面平行的性质，可判定D不正确，即可得到答案. 【详解】对于A：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故A正确； 对于B：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故C正确； 对于D：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项B的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故D错误. 故选：ABC 第II卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 13. 已知向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，根据向量平行可得结果. 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴，解得. 故答案为：. 14. 已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】由正弦定理得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，所以，故， 所以周长的取值范围. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据虚根成对原理可知也是方程的根，利用韦达定理计算出、，即可得解； （2）由（1）可得，利用复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【小问1详解】 因为是关于的方程的一个根， 所以这个方程的另一个根是， 由韦达定理可知：，解得，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以. 16. 如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. （1）求证：； （2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． 【小问1详解】 在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 【小问2详解】 在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解； （2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理可得，整理得， 又，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18. 已知向量，向量与向量的夹角为，且． （1）求向量的坐标； （2）设向量，向量，其中，若，试求的取值范围． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）令，根据题意列出关于的方程组，解此方程组，即可求得向量； （2）由（1）及已知可将表示成x的三角函数，然由三角函数的有界性，可求得的取值范围. 【小问1详解】 令，则 ， 即，故或，∴或； 【小问2详解】 （2） ∵，，∴；，； 因为，所以，令， 则，对称轴，又抛物线开口向下， 所以当时，取到最大值，当时，取到最小值0， 所以 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由，得， 故. 由正弦定理可得，故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）可得，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设， 由，得， 整理得， 则. 【小问3详解】 如图，点为的费马点，则， 设， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 故由，得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立. 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用面积法得到，最后根据向量数量积的定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省青岛第二中学分校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 命题人：马娜 审核人：王晓霞 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 3. 已知向量、满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底在同一水平面内两个测量点A和，现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高OT为（ ） A. 15m B. C. D. 5. 已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 6. 已知圆锥轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角梯形ABCD中，已知，点是BC边上的中点，点是CD边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到 C. 的对称轴为 D. 在区间上的最大值为 11. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与直线所成的角为定值 D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 第II卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分 12. __________． 13 已知向量，，若，则________． 14. 已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数模． 16. 如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. （1）求证：； （2）若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 18. 已知向量，向量与向量的夹角为，且． （1）求向量的坐标； （2）设向量，向量，其中，若，试求的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$