精品解析：山东省济宁市曲阜夫子学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

曲阜夫子学校高一年级5月份周测 数学试题 命题人：贾正军 审核人：高一数学组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 6. 如图，矩形中，，，与相交于点，过点作，垂足为，则（ ）． A B. 3 C. 6 D. 9 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义：为向量与的外积，且，其中θ为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A B. C. D. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 11. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，则______． 13. 在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为__________. 14. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若存在最大值，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. （1）求a的值； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 16. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求取值范围． 17. 定义向量“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为. （1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M； （2）求函数的伴随向量的模. 18. 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 19. 已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． （1）判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由． （2）求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲阜夫子学校高一年级5月份周测 数学试题 命题人：贾正军 审核人：高一数学组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算写出进而写出的值. 【详解】因为，所以， 所以 故选：A 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式求出，由正弦定理即可求. 【详解】因为，， 所以，解得， 由正弦定理可得， 故选：A 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦和差公式得到方程，求出，利用同角三角函数关系得到答案. 【详解】， ， 联立可得， 所以. 故选：B 4. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥与其展开图的关系计算即可. 【详解】设底面半径为， 易知圆锥展开图对应扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的母线， 所以. 故选：B 5. 如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的性质定理确定为中点，为中点，进而逐个计算每个面的面积即可. 【详解】由题意得平面平面， 又平面平面 ， 平面平面，， 正方体中易知， 所以，为中点，为中点， 同理， 为中点， 所以， 所以四边形的面积等于， 所以四边形的面积等于， 易知四边形为等腰梯形，其中， 如图，过作，易得， 所以四边形面积为， 同理四边形的面积为， 所以多面体的表面积为， 故选：C 6. 如图，矩形中，，，与相交于点，过点作，垂足为，则（ ）． A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】把用表示后再由数量积的定义计算． 【详解】， ． 故选：B． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用表示，然后根据向量数量积定义计算． 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以 ， 令，则， 解得， 即， 所以. 故选：D. 8. 定义：为向量与的外积，且，其中θ为向量与向量的夹角，已知在中，若，，则的最大值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故， 则，故， 又因为，， 即，， 设，则，， 所以， 所以， 所以， 所以，故， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可. 【详解】根据题意知，所以， 不妨令，， 则，， ，而， 故A、B、C正确，D错误. 故选：ABC 10. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A. 利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换求解；B.利用正弦定理求解；C.利用余弦定理，结合基本不等式求解；D.利用余弦定理，结合基本不等式求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，则，即，故A错误； 由正弦定理得外接圆的半径为，即， 所以外接圆的面积为，故B正确； 由余弦定理得，即，则， 当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确； 由，得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以三角形的周长为，故D错误， 故选：BC 11. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后结合诱导公式、两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. . 故答案为： 14. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若存在最大值，则实数的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】先利用余弦定理结合可得，再利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理，求出的关系，从而可将都用表示，再根据三角形为锐角三角形求出的范围，再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得， 则 . 因为为锐角三角形，则，，所以， 又因为函数在内单调递增，所以，可得， 则 . 由于为锐角三角形，因此，即，解得， 所以，则. 因为存在最大值， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. （1）求a的值； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应复数分别是，，若，求实数c的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由复数除法以及纯虚数的概念即可列式求解； （2）由复数的几何意义得出，结合向量减法及模长公式即可得解 【小问1详解】 复数，，， 则. 因为是纯虚数，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，. 由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，， 所以，，因为， 所以，解得或. 16. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. （2）令，，利用结合向量线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. 【小问1详解】 依题意，，，， 而是边的中点，，则， 因此，又，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：令，，则， ， 则有， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. 17. 定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为. （1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M； （2）求函数的伴随向量的模. 【答案】（1），，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先得到伴随函数，由辅助角公式得到最大值； （2）利用三角恒等变换得到，得到伴随向量，利用模长公式得到答案. 【小问1详解】 向量的伴随函数为， ，当， 即时，取得最大值，最大值； 【小问2详解】 ， 故伴随向量，故. 18. 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台的表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【小问1详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． 【小问2详解】 在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以的面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 19. 已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． （1）判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由． （2）求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 【答案】（1）村庄在村庄的正西方向，理由见解析 （2）千米 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，由正弦定理求得，知村庄在村庄的正西方向； （2）由题意得出，再用余弦定理可求得，从而得距离之和． 【小问1详解】 由题意可得，，， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 即村庄，之间的距离为干米， 在中，由正弦定理可得， 则，从而， 故村庄在村庄的正西方向； 【小问2详解】 因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 解得或（舍去），则， 故， 即农贸市场到村庄､的距离之和为千米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $