专题7 函数（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）-2024-2025学年八年级下学期数学人教版期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题7 函数 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量， （1）常量和变量是相对而言的，同一个量在某一变化过程中是常量,而在另一变化过程中可能是变量，所以常量和变量是由问题的条件决定的如在汽车行驶的过程中，有三个量：路程s行驶时间t速度v，当速度一定时，路程S与时间t是变量，速度v是常量；当汽车行驶的时间t一定时，路程s与速度v 是变量，时间t是常量；当路程s一定时，速度与时间t是变量，路程s是常量， （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如不是变量，而是常量. （3）变量、常量与字母的指数没有关系：如S=r2中，不能说r2是变量，也不能说2是常量. （4）在一个变化过程中，变量或常量有时不止一个 【例1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键．根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断． 【详解】解：根据题意，可知5是常量，a是变量， 故选：C． 【变式1-1】．（23-24八年级下·广东韶关·期末）“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是 (   ) A．r是常量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S， π， r都是变量 【答案】B 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解，掌握其概念是解题的关键． 【详解】解：A、r是自变量，故选项不符合题意； B、π是常量，故选项符合题意； C、S是因变量，故选项不符合题意； D、π是常量，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）下列说法不正确的是（    ） A．正方形面积公式中有两个变量：S，a B．圆的面积公式中的是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果，那么a，b都是常量 【答案】D 【分析】根据常量和变量的定义判断． 【详解】解：A. 正方形面积公式中有两个变量：S，a；正确，本选项不合题意； B. 圆的面积公式中的是常量；是无理数，正确，本选项不合题意； C. 在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量；正确，本选项不合题意； D. 如果，那么a，b都是常量；错误，a，b的值不确定，是变量，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查常量、变量的定义；理解相关定义是解题的关键． 知 识知 点知 2.函数的概念与函数值 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是的函数.如果当x=a时y=b，那么b 叫做当自变量的值为a时的函数值. 理解函数的概念应重点把握以下几点： （1）函数描述的是一个变化过程，在这一过程中必须有且只有两个变量， （2）一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化. （3）函数的实质是两个变量之间的对应关系：x在允许的取值范围内每取一个值，y都有一个且只有一个确定的值与之对应，否则y就不是的函数，含有一个变量的代数式可以看成是这个变量的函数，如2x+1，我们可以将x和2x+1看做是两个变量，2x+1随x的变化而变化，在实数范围内x每取一个值，2x+1都有唯一确定的值与之对应，所以2x+1是x的函数 （1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是对变量而言的，函数值是对具体数值而言的。 （2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指是自变量为多少时的函数值。 （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可. （4）当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以有多个.如y=4x2中，当x=2时，y=0；而当 y=0时，x=±2. 【例2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解， 本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】．（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 【变式2-2】．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数概念； 对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A.对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数； B.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； C.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； D.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）在函数中，当函数值为时，自变量的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出的值是解题的关键．代入，求出的值即可． 【详解】解：当时，， 解得：． 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）函数，当时，函数值 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，把代入求值即可． 【详解】当时，， 故答案为：． 知 识知 点知 3.函数中自变量的取值范围 在函数关系式中，自变量的取值要使函数关系式有意义.在实际同题中，自变量x的取值必须使实际问题有意义.如在圆的面积公式S=πr2中，r表示圆的半径，则r>0. （1）当函数关系式只含有关于自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数： （2）当函数关系式含有分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当函数关系式含有开平方时，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的实数； （4）当自变量出现在零次幂的底数中时，自变量的取值范围是使底数不为零的实数； （5）若函数关系式包含上述两种或两种以上情况，则分别求出使各式有意义的自变量的取值范围，再取这些“范围”的公共部分， 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的自变量取值范围．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选：C． 【变式4-1】．（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 【变式4-2】．（24-25八年级上·上海·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域、二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以函数的定义域是， 故答案为：． 知 识知 点知 4.函数的表示方法 写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数，这三种表示函数的方法分别称为解析式法、列表法、图象法：解析式法应用较多，有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种表示. 解析式法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法叫做解析式法。这种式子叫做函数的解析式。在函数解析式中，把自变量的值代人后求得的结果叫做函数值。解析式法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算.在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来。 列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.列表法一目了然，可由表格中已有自变量的每一个值，不需计算直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便但列表法有一定的局限性，因为列出的对应值只能是有限对，而且在表格中也不容易看出函数值随自变量的变化而变化的规律 图象法：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象：这种表示函数的方法叫做图象法，函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线，它能够直观地表示自变量与函数的对应关系，从而便于我们直观地研究函数的一些性质，图象法虽然直观、形象，但不精确，只能反映变量间的部分对应关系而不是全体.对于函数图象，读图和识图的关键是弄清图象上的点的横、纵坐标的意义。 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法。 并不是所有的函数都可以用解析式法，列表法和图象法这三种方法表示出来. 例如，气温与时间的函数关系只可用列表法和图象法表示，而不能用解析式法表示。 【例5】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 高度（） 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度． 【答案】(1)碗的数量是自变量，高度是因变量 (2) 【分析】本题考查了利用表格、关系式表示变量之间的关系．理解题意是解决问题的关键． （1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断； （2）求出每只碗增加的高度可得，代入求值即可． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，碗的高度随着碗的数量变化而变化，则碗的数量是自变量，高度是因变量； （2）由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ， ； 当时， 这摞碗的高度为． 【变式5-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的性质，长方形的周长等知识点， （1）根据长方形的周长公式和函数的定义解答即可； （2）根据长方形的周长公式列式即可得解； （3）把代入函数解析式即可求出x的值； 熟练掌握长方形的周长的综合应用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵相邻的两边长分别是和， ∴长方形的周长为， ∴随的变化而变化， ∴自变量为，因变量为， 故答案为：，； （2）解：根据长方形的周长公式得， ∴与之间的关系式， （3）解：∵长方形周长为时， ∴， 解得． 【变式5-2】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为0.1km/h，从图书馆到家骑行的速度为0.32 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为0.1，从图书馆到家骑行的速度为0.32． 知 识知 点知 5.函数图象的画法 通常用描点法来画函数图象，描点法画函数。 图象的一般步骤如下： （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； （2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点，描出的点大小要适中，位置要准确； （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用光滑曲线连接起来。 （1）列表时，自变量的取值应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况。 （2）通常判断一个点是否在某函数图象上的方法：将这个点的横坐标代入此函数的解析式，如果函数值与纵坐标相等，那么这个点就在此函数的图象上；如果不相等，那么这个点就不在此函数的图象上。 【例6】（23-24八年级上·江西萍乡·期末）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 0 k … （1）直接填空： ______； (2)描点并正确地画出该函数图象； (3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为______； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：______． 【答案】(1)1 (2)函数图象见解析 (3)①； ②第一条：图象关于直线对称； 第二条：当时，y随着x的增大而增大． 【分析】本题考查了求函数值，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）①观察图形可知是该函数图象的最低点，即可解答， ②观察图象可从该图象的对称性，增减性解答即可． 【详解】（1）当时，， ∴， 故答案为：1； （2）描点、连线画出该函数图象如图； （3）①根据函数图象可得，该函数的最小值为：； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质： 第一条：图象关于直线对称； 第二条：当时，y随着x的增大而增大． 【变式6-1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： 0 1 3 2 1 0 1 2    (1)列表：直接填空：___________． (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：①___________________②________________________ (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①函数有最小值为，②当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小 (4)4 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可； （4）观察图象即可解答． 【详解】（1）当 时, ， ， 故答案为: ； （2）描点、连线画出该函数图象如图：    （3）写出该图象的两条性质： ①函数有最小值为， ②当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小， 故答案为：函数有最小值为； 当时,随着的增大而增大；时，随着的增大而减小； （4）如图，    该函数图象与直线 围成的区域内 (不包括边界) 整点的个数为， 故答案为: ． 第2部分 题型透视镜 题型一 求自变量取值范围 【例1】（24-25八年级上·重庆巫山·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握求复合函数自变量的取值范围的方法是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：函数， ，即， 故选：B． 【变式1-1】（2020·河南许昌·一模）函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且， 故答案为：且． 【变式1-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再进一步解答即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴函数中自变量的取值范围是； 故答案为： 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在函数中，自变量x的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围以及二次根式有意义的条件，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 点与函数的关系 【例2】（21-22八年级下·湖北宜昌·期末）下列函数的图象，经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别检验当x＝2时，y是否是−2即可． 【详解】解：A、当x＝2时，y＝−2×2＋1＝−3≠-2，故A不符合题意； B、当x＝2时，y＝＝−1≠-2，故B不符合题意； C、当x＝2时，y＝22−2＝2≠-2，故C不符合题意； D、当x＝2时，y＝−2，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【变式2-1】（23-24八年级下·广东湛江·期末）下列函数中，经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上点的坐标满足函数解析式进行逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，，故函数图象经过点，此选项符合题意； B、当时，，故函数图象不经过点，此选项不符合题意； C、当时，，故函数图象不经过点，此选项不符合题意； D、当时，，故函数图象不经过点，此选项不符合题意， 故选：A． 【变式2-2】（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）下面各点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把各点坐标代入函数解析式中，验证即可． 【详解】解：当时，，点在函数图象上； 当时，，点不在函数图象上； 当时，，点不在函数图象上； 当时，，点不在函数图象上； 故选：A． 【点睛】本题考查了点与函数图象的关系，判断点是否在函数图象上，只需把点的横坐标代入函数解析式中，求得的函数值等于点的纵坐标，则点在函数图象上，否则不在函数图象上． 题型三 函数解析式的实际应用 【例3】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量等于原蓄水量加注水量得出函数关系式即可，理解题意、明白等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水， ∴蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为， 故选：D． 【变式3-1】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）为迎接“创城活动”，银川市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元． (1)每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？ (2)需购买A、B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱a个，求购买垃圾箱的总费用（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式． 【答案】(1)每个A型垃圾箱30元，每个B型垃圾箱元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数.（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱元，根据等量关系：买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据总费用等于购买A、B两种垃圾箱费用的和，即可得到函数关系式． 【详解】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱元， 由题意，得：， 解得：； 答：每个A型垃圾箱30元，每个B型垃圾箱元； （2）解：由题意A型垃圾箱买a个，则B型垃圾箱买个， 则：； 答：购买垃圾箱的总费用（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式为． 【变式3-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准： 月用水量 水费 不超过5吨 每吨2.4元 超过5吨 超过的部分按每吨4元收费 (1)该市某户居民5月份用水吨，应交水费y元，写出y与x之间的关系式． (2)如果某户居民某月交了20元水费，你能算出该月这户居民用了多少吨水吗？ 【答案】(1) (2)7吨水 【分析】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、求自变量的值，理解用水收费标准，正确求出关系式是解题关键． （1）根据按不超过5吨每吨元收费，超过的部分按每吨4元收费即可得； （2）先判断出该户居民这个月用水量超过了5吨，再求出（1）关系式中，当时，x的值即可得． 【详解】（1）解：由题意，得当时，， 即与之间的关系式为 （2）， 该户居民这个月用水量超过了5吨， 由（1），得， 当时，， 解得， 答：该月这户居民用了7吨水． 题型四 图像信息题 【例4】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1)是 (2)①4；② 【分析】本题主要考查了函数的图象、函数的概念及函数值，熟知函数的定义及正确识别所给函数图象是解题的关键． （1）根据所给函数图象，结合函数的定义进行判断即可； （2）①观察图象时多对应的h值即可解答；②利用所给函数图象即可解决问题． 【详解】（1）解：由图象可知，对于每一个变化的t，h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h是关于t的函数． （2）解：①由图象可知：当时，， ②由图象可知：时，h随t的增大而增大． 【变式4-1】（24-25八年级上·浙江·期末）某校组织八年级学生前往劳动基地开展实践活动．现有甲，乙两辆旅游车同时从学校前往劳动基地，全程180千米．已知行驶过程中乙车全程以80千米/小时的速度驶向劳动基地，甲车因故停留一段时间后提高速度继续驶向劳动基地，最后两车同时到达劳动基地．若两辆车的行驶路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求甲车停车前与停车后的行驶速度． (2)两车何时相距25千米？ 【答案】(1)100千米/小时 (2)或时，两车相距25千米 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是数形结合思想的应用． （1） 由(千米/小时)，可知甲车停车前的行驶速度为60千米/小时；求出乙车从学校到劳动基地所需时间为(小时)，根据(千米/小时)，知停车后的行驶速度为100千米/小时； （2）①甲车停车时(小时)；②当甲车停车后，可得，可得当时，两车相距25千米． 【详解】（1）解：(千米/小时)， ∴甲车停车前的行驶速度为60千米/小时； 根据已知，乙车从学校到劳动基地所需时间为(小时)， 两车同时到达劳动基地，甲车出发后2.25小时到劳动基地， (千米/小时)，停车后的行驶速度为100千米/小时； （2）解：①甲车停车时，乙车行驶(千米)，两车相距25千米， (小时)， ∴当时，两车相距25千米； ②当甲车停车后，， 解得， ∴当时，两车相距25千米； 综上所述，或时，两车相距25千米． 【变式4-2】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）某工厂一车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的速度继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件如图，分别表示甲、乙两组加工的数量（个）与甲组加工时间为之间的关系． 根据图象回答下列问题： (1)甲组检修机器的时长为________h； (2)甲组在检修机器前平均每小时加工零件_______个，乙组平均每小时加工零件________个； (3)求a的值． 【答案】(1)1 (2)40；120 (3) 【分析】本题主要考查了根据函数图象获得信息，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）直接根据函数图象得出答案即可； （2）根据函数图象得出甲3个小时加工120个，乙3个小时加工360个，然后求出结果即可； （3）根据函数图象求出乙所加工总数量，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据图象可知：甲组检修机器的时长为； （2）解：甲组在检修机器前平均每小时加工零件： （个）， 乙组平均每小时加工零件： （个）； （3）解：∵甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的速度继续加工， ∴根据函数图象可知： ． 题型五 函数的图像识别 【例5】（2020·青海·中考真题）如图将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图像大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化 ，故B正确，C错误． 故选：B． 【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列图象中，不能表示函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的基本概念，函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值与之对应． 【详解】解：A、图象能表示函数，故不符合题意； B、图象能表示函数，故不符合题意； C、图象能表示函数，故不符合题意； D、一个自变量x对应两个函数值y，这与函数的概念矛盾，故图象不能表示函数，符合题意； 故选：D． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数； 而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个或多个交点，从而不能表示y是x的函数； 故选：C． 【变式5-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形的性质．根据题意，先得出y与x的函数关系式，再结合x的取值范围进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以， 即， 所以． 因为， 所以， 观察四个选项，D选项符合题意． 故选：D． 【变式5-4】（2024·江苏常州·二模）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【详解】解：加速行驶时，速度逐渐增加， 匀速行驶时，速度不变， 开到服务区时，速度逐渐减少， 加油时，速度为0， 加满油后开始加速行驶时，速度增加， 最后匀速行驶时，速度不变， 综上：只有C符合题意； 故选：C． 题型六 函数关系的规律探究 【例6】（22-23八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【分析】根据表格数据，自变量x所挂物体的重量与因变量y弹簧的长度的关系，依次判断正误即可． 【详解】解：根据条件，可列关系式为：． A、在没挂物体时，弹簧的长度为，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意； B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意； C、在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加，故此选项正确，不符合题意； D、由关系式，，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了函数关系式，主要考查了函数的定义和结合几何图形列函数关系式．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 【变式6-1】（13-14七年级下·全国·课后作业）弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间的关系如下表： 所挂物体的质量m/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y/cm 10 12.5 15 17.5 20 22.5 下列说法错误的是（    ） A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm B．弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，所挂物体的质量是因变量 C．弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间的关系可用关系式y＝2.5m＋10来表示 D．在弹簧能承受的范围内，当所挂物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm 【答案】B 【分析】因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的重量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；由已知表格得到弹簧的长度是y=10+2.5m，质量为mkg，y为弹簧长度；弹簧的长度有一定范围，不能超过． 【详解】解：A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm，根据图表，当质量m＝0时，y＝10，故此选项正确，不符合题意； B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意； C、当物体的质量为mkg时，弹簧的长度是y＝10＋2.5m，故此选项正确，不符合题意； D、由C中y＝10＋2.5m，m＝4，解得y＝20，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 【变式6-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（　　） x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8 A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm 【答案】C 【解析】略 题型七 函数中的新定义问题 【例7】（22-23八年级下·四川宜宾·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据新定义求得，分别计算验证即可． 【详解】解：由题意得，， A、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； B、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； C、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； D、时，，故在图象上，故本选项符合题意， 故选：D． 【变式7-1】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，求函数值，读懂题意是解题的关键．由可求得的值，从而得到，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（22-23八年级下·新疆巴音郭楞·期末）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式，可得，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式是解题的关键． 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）下列曲线中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意 D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是熟练掌握函数的定义，如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，y就叫做x的函数， x是这个函数的自变量，y是因变量． 3．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长与宽之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的周长得出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得： ∴长与宽之间的关系式为：， 故选：A． 【点睛】此题考查函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是，熟练掌握自变量和因变量，表中数据及变化． 根据题目中表格给出的数据逐一判断，即可． 【详解】A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； ∵海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量， ∴A正确，不符合题意； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； ∵，，，， ∴海拔高度每上升，空气含氧量减少值不都是， ∴B错误，符合题意． C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； ∵在海拔高度为的地方空气含氧量是， ∴C正确，不符合题意； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了； 由B知，当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 5．（21-22八年级下·甘肃天水·期末）如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=2BC，∠D=90°，动点M沿A→B→C→D的路线运动，到点D时停止．过点M作MN⊥AD，垂足为点N，设点M运动的路程为x，△AMN的面积y与x 之间的函数关系图象如图2所示，当x=10时，y的值是（    ） A．5 B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】分点M在BA上运动、点M在AD上运动、点M在DC上运动时的三种情况，进而求解； 【详解】解：由图2可知， ， 由函数图象可知，， 如图，当点M与点B重合时，， ∴， ∴， 如图，当时，，此时，点D与点N重合， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及三角形的面积等知识，此类问题关键是：由图2得出，是解题关键． 二、填空题 6．（22-23七年级上·广东深圳·期末）历史上，数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，多项式，例如时，，记为，那么等于 ． 【答案】 【分析】求已知函数的函数值，代入自变量计算求解即可． 【详解】∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查已知函数的函数值求解，掌握方法是关键． 7．（21-22八年级下·黑龙江绥化·期末）在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图，小莉打了8分钟需付费 元． 【答案】2.2 【分析】结合图象，可以发现在0~3分钟，付费0.7元；在3分钟以后，每分钟花费0.3元，代入即可算出答案． 【详解】解：由图可知， 在0~3分钟，付费0.7元；在3分钟以后，每分钟花费元， ∴小莉打了8分钟需付费：元， 故答案为：2.2． 【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，数形结合思想是本题的关键． 三、解答题 8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某县从2018年开始实施退耕还林，每年退耕还林的面积如表： 时间/年 2018 2019 2020 2021 2022 2023 面积/亩 360 390 430 520 610 730 (1)从上表可知，随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是什么？ (2)2022年和2023年这两年，该县完成退耕还林的面积共多少亩？ 【答案】(1)随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是逐年增加． (2)亩 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据规律即可得出结论； （2）由表格数据求和即可． 【详解】（1）解：从上表可知，随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是逐年增加． （2）（亩， 答：2022年和2023年这两年，该县已完成退耕还林的面积是亩． 提高训练场 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）在太阳和月球的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位．如图是某海港某天的实时潮位图．某海港某日0时到24时的水深随时间的变化如图所示．下列从图象中得到的信息正确的是（　　　） A．24时水深最高 B．两次最高水深的时间间隔12小时 C．12时的水深为 D．0时到12时之间水深持续上升 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象的运用，理解函数图象横轴、纵轴的信息，掌握函数图象的增减性是解题的关键． 根据横轴、纵轴表示的意义，确定函数图象的增减性，最值等信息进行判定即可． 【详解】解：A．由图象可知，3时和15时水深最高，故本选项不符合题意； B．两次最高水深的时间间隔为（小时），故本选项符合题意； C．由图象可知，12时的水深，故本选项不符合题意； D．由图象可知，0时到12时之间的水深先上升再下降，最后又上升，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（21-22八年级下·河南许昌·期末）如图1所示的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的函数关系如图2所示，则下列结论错误的是（　　） A．是的函数 B．摩天轮旋转一周所用的时间为 C．摩天轮旋转时，圆上这点离地面的高度是 D．摩天轮的半径是 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得： A、由图象可得：变量y是x的函数，说法正确，故本选项不合题意； B、由图象可得：摩天轮转一周所用的时间是，说法正确，故本选项不合题意； C、由图象可得：摩天轮旋转8分钟时，圆上这点离地面的高度是，说法正确，故本选项不合题意； D、摩天轮的半径是：，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图1，点从的顶点出发，沿方向匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点．若，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．15 D．16 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，把图形和图象结合理解得到线段长度是解题的关键．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出和的长度，由此得到答案． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为5，即， ∴， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小， 如图，即， ∴由勾股定理可知：， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 5．（2023·河南南阳·一模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化，已知硝酸钾和氯化钾的溶解度与温度T（℃）的关系如图①所示，溶液浓度的计算方法如图②，下列说法正确的是（    ）    信息窗 1.溶液百分比浓度； 2.溶质质量＋溶剂质量＝溶液质量； 3.在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 图② A．硝酸钾的溶解度随温度变化的情况没有氯化钾明显 B．当时，硝酸钾的溶解度大于氯化钾的溶解度 C．当时，50g氯化钾加入100g水中得到的是饱和氯化钾溶液 D．当时，100g硝酸钾加入100g水中得到的溶液浓度为50% 【答案】C 【分析】根据图象结合题目中给出的信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由图象，可知硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾明显，故选项A错误，不符合题意； B．当时，硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度，故选项B错误，不符合题意； C．当时，氯化钾的溶解度， ∴水中只能溶解氯化钾， ∴氯化钾加入水中得到的是饱和氯化钾溶液，故选项C正确，符合题意； D．当时，硝酸钾的溶解度， ∴水中只能溶解约硝酸钾， ∴此时得到的溶液浓度小于，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，数形结合． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和函数图像，根据题意结合图像得出、的长度，再求出面积即可．能根据图形得出正确信息，利用数形结合的思想方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，当点从点运动到点时，的面积不变，结合图像可知：， 当点从点运动到点时，的面积逐渐变小直到为，结合图像可知：， ∴长方形的面积为：． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，点P在边上从点A出发向终点B运动，连结．在运动过程中，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，P和A重合，可得；当时，y最小，可求得n的值；由图象可知P和B重合，最大即为5，利用勾股定理求得m，据此即可求解． 【详解】解：由图2知：当，P和A重合，则， 当时，y最小，最小值为n，此时，， ∴， 当时，P和B重合，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）某宾馆有位旅客要在当日上午点前到达火车站，他们上午点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆的地方，图中的折线表示与之间的函数关系，折线表示与之间的函数关系． (1)宾馆与火车站相距__________，第二批旅客的步行速度是__________； (2)解释图中点的实际意义； (3)司机在接到第二批旅客时发现已经不能在上午点前到达火车站，请说明理由； (4)汽车在接到第二批旅客后车速至少为__________，才能保证不晚于上午点到达． 【答案】(1)；； (2)点的实际意义为：汽车从宾馆出发后到再次到达距旅店处与第二批旅客相遇； (3)见解析； (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （）根据图象，结合题意解答即可； （）根据图象，结合题意解答即可； （）根据题意求出汽车的速度，进而判断第二批旅客能否在上午点前到达火车站； （）根据“路程÷时间速度”可得汽车的速度． 【详解】（1）解：根据题意可知宾馆与火车站相距， 第二批旅客的步行速度是：（）， 故答案为：；； （2）解：图中点的实际意义为：汽车从宾馆出发后到再次到达距旅店处与第二批旅客相遇； （3）解：汽车原来的速度为：（/）， ∵， ∴第二批旅客不能在上午点前到达火车站； （4）解：（/）， ∴车速至少为，才能保证不晚于上午点到达． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题7 函数 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量， （1）常量和变量是相对而言的，同一个量在某一变化过程中是常量,而在另一变化过程中可能是变量，所以常量和变量是由问题的条件决定的如在汽车行驶的过程中，有三个量：路程s行驶时间t速度v，当速度一定时，路程S与时间t是变量，速度v是常量；当汽车行驶的时间t一定时，路程s与速度v 是变量，时间t是常量；当路程s一定时，速度与时间t是变量，路程s是常量， （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如不是变量，而是常量. （3）变量、常量与字母的指数没有关系：如S=r2中，不能说r2是变量，也不能说2是常量. （4）在一个变化过程中，变量或常量有时不止一个 【例1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【变式1-1】．（23-24八年级下·广东韶关·期末）“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是 (   ) A．r是常量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S， π， r都是变量 【变式1-2】．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）下列说法不正确的是（    ） A．正方形面积公式中有两个变量：S，a B．圆的面积公式中的是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果，那么a，b都是常量 【点睛】本题考查常量、变量的定义；理解相关定义是解题的关键． 知 识知 点知 2.函数的概念与函数值 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是的函数.如果当x=a时y=b，那么b 叫做当自变量的值为a时的函数值. 理解函数的概念应重点把握以下几点： （1）函数描述的是一个变化过程，在这一过程中必须有且只有两个变量， （2）一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化. （3）函数的实质是两个变量之间的对应关系：x在允许的取值范围内每取一个值，y都有一个且只有一个确定的值与之对应，否则y就不是的函数，含有一个变量的代数式可以看成是这个变量的函数，如2x+1，我们可以将x和2x+1看做是两个变量，2x+1随x的变化而变化，在实数范围内x每取一个值，2x+1都有唯一确定的值与之对应，所以2x+1是x的函数 （1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是对变量而言的，函数值是对具体数值而言的。 （2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指是自变量为多少时的函数值。 （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可. （4）当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以有多个.如y=4x2中，当x=2时，y=0；而当 y=0时，x=±2. 【例2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【变式2-2】．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）在函数中，当函数值为时，自变量的值为 ． 【变式3-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）函数，当时，函数值 ． 知 识知 点知 3.函数中自变量的取值范围 在函数关系式中，自变量的取值要使函数关系式有意义.在实际同题中，自变量x的取值必须使实际问题有意义.如在圆的面积公式S=πr2中，r表示圆的半径，则r>0. （1）当函数关系式只含有关于自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数： （2）当函数关系式含有分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当函数关系式含有开平方时，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的实数； （4）当自变量出现在零次幂的底数中时，自变量的取值范围是使底数不为零的实数； （5）若函数关系式包含上述两种或两种以上情况，则分别求出使各式有意义的自变量的取值范围，再取这些“范围”的公共部分， 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式4-2】．（24-25八年级上·上海·期末）函数的定义域是 ． 故答案为：． 知 识知 点知 4.函数的表示方法 写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数，这三种表示函数的方法分别称为解析式法、列表法、图象法：解析式法应用较多，有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种表示. 解析式法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法叫做解析式法。这种式子叫做函数的解析式。在函数解析式中，把自变量的值代人后求得的结果叫做函数值。解析式法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算.在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来。 列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.列表法一目了然，可由表格中已有自变量的每一个值，不需计算直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便但列表法有一定的局限性，因为列出的对应值只能是有限对，而且在表格中也不容易看出函数值随自变量的变化而变化的规律 图象法：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象：这种表示函数的方法叫做图象法，函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线，它能够直观地表示自变量与函数的对应关系，从而便于我们直观地研究函数的一些性质，图象法虽然直观、形象，但不精确，只能反映变量间的部分对应关系而不是全体.对于函数图象，读图和识图的关键是弄清图象上的点的横、纵坐标的意义。 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法。 并不是所有的函数都可以用解析式法，列表法和图象法这三种方法表示出来. 例如，气温与时间的函数关系只可用列表法和图象法表示，而不能用解析式法表示。 【例5】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 高度（） 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度． 【变式5-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【变式5-2】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 知 识知 点知 5.函数图象的画法 通常用描点法来画函数图象，描点法画函数。 图象的一般步骤如下： （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； （2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点，描出的点大小要适中，位置要准确； （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用光滑曲线连接起来。 （1）列表时，自变量的取值应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况。 （2）通常判断一个点是否在某函数图象上的方法：将这个点的横坐标代入此函数的解析式，如果函数值与纵坐标相等，那么这个点就在此函数的图象上；如果不相等，那么这个点就不在此函数的图象上。 【例6】（23-24八年级上·江西萍乡·期末）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 0 k … （1）直接填空： ______； (2)描点并正确地画出该函数图象； (3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为______； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：______． 【变式6-1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： 0 1 3 2 1 0 1 2    (1)列表：直接填空：___________． (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：①___________________②________________________ (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为___________． 第2部分 题型透视镜 题型一 求自变量取值范围 【例1】（24-25八年级上·重庆巫山·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1-1】（2020·河南许昌·一模）函数中自变量x的取值范围是 ． 【变式1-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在函数中，自变量x的取值范围为 题型二 点与函数的关系 【例2】（21-22八年级下·湖北宜昌·期末）下列函数的图象，经过点的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·广东湛江·期末）下列函数中，经过点的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）下面各点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 题型三 函数解析式的实际应用 【例3】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）为迎接“创城活动”，银川市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元． (1)每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？ (2)需购买A、B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱a个，求购买垃圾箱的总费用（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式． 【变式3-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准： 月用水量 水费 不超过5吨 每吨2.4元 超过5吨 超过的部分按每吨4元收费 (1)该市某户居民5月份用水吨，应交水费y元，写出y与x之间的关系式． (2)如果某户居民某月交了20元水费，你能算出该月这户居民用了多少吨水吗？ 题型四 图像信息题 【例4】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 【变式4-1】（24-25八年级上·浙江·期末）某校组织八年级学生前往劳动基地开展实践活动．现有甲，乙两辆旅游车同时从学校前往劳动基地，全程180千米．已知行驶过程中乙车全程以80千米/小时的速度驶向劳动基地，甲车因故停留一段时间后提高速度继续驶向劳动基地，最后两车同时到达劳动基地．若两辆车的行驶路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求甲车停车前与停车后的行驶速度． (2)两车何时相距25千米？ 【变式4-2】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）某工厂一车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的速度继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件如图，分别表示甲、乙两组加工的数量（个）与甲组加工时间为之间的关系． 根据图象回答下列问题： (1)甲组检修机器的时长为________h； (2)甲组在检修机器前平均每小时加工零件_______个，乙组平均每小时加工零件________个； (3)求a的值． 题型五 函数的图像识别 【例5】（2020·青海·中考真题）如图将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图像大致为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列图象中，不能表示函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2024·江苏常州·二模）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．   B．   C．   D．   题型六 函数关系的规律探究 【例6】（22-23八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 【变式6-1】（13-14七年级下·全国·课后作业）弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间的关系如下表： 所挂物体的质量m/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y/cm 10 12.5 15 17.5 20 22.5 下列说法错误的是（    ） A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cm B．弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，所挂物体的质量是因变量 C．弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量m（kg）之间的关系可用关系式y＝2.5m＋10来表示 D．在弹簧能承受的范围内，当所挂物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm 【变式6-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（　　） x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8 A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm 题型七 函数中的新定义问题 【例7】（22-23八年级下·四川宜宾·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（22-23八年级下·新疆巴音郭楞·期末）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）下列曲线中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长与宽之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 5．（21-22八年级下·甘肃天水·期末）如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=2BC，∠D=90°，动点M沿A→B→C→D的路线运动，到点D时停止．过点M作MN⊥AD，垂足为点N，设点M运动的路程为x，△AMN的面积y与x 之间的函数关系图象如图2所示，当x=10时，y的值是（    ） A．5 B．6 C． D．8 二、填空题 6．（22-23七年级上·广东深圳·期末）历史上，数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，多项式，例如时，，记为，那么等于 ． 7．（21-22八年级下·黑龙江绥化·期末）在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图，小莉打了8分钟需付费 元． 三、解答题 8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某县从2018年开始实施退耕还林，每年退耕还林的面积如表： 时间/年 2018 2019 2020 2021 2022 2023 面积/亩 360 390 430 520 610 730 (1)从上表可知，随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是什么？ (2)2022年和2023年这两年，该县完成退耕还林的面积共多少亩？ 提高训练场 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）在太阳和月球的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位．如图是某海港某天的实时潮位图．某海港某日0时到24时的水深随时间的变化如图所示．下列从图象中得到的信息正确的是（　　　） A．24时水深最高 B．两次最高水深的时间间隔12小时 C．12时的水深为 D．0时到12时之间水深持续上升 2．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 3．（21-22八年级下·河南许昌·期末）如图1所示的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的函数关系如图2所示，则下列结论错误的是（　　） A．是的函数 B．摩天轮旋转一周所用的时间为 C．摩天轮旋转时，圆上这点离地面的高度是 D．摩天轮的半径是 4．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图1，点从的顶点出发，沿方向匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点．若，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．15 D．16 5．（2023·河南南阳·一模）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化，已知硝酸钾和氯化钾的溶解度与温度T（℃）的关系如图①所示，溶液浓度的计算方法如图②，下列说法正确的是（    ）    信息窗 1.溶液百分比浓度； 2.溶质质量＋溶剂质量＝溶液质量； 3.在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 图② A．硝酸钾的溶解度随温度变化的情况没有氯化钾明显 B．当时，硝酸钾的溶解度大于氯化钾的溶解度 C．当时，50g氯化钾加入100g水中得到的是饱和氯化钾溶液 D．当时，100g硝酸钾加入100g水中得到的溶液浓度为50% 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 ． 7．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，点P在边上从点A出发向终点B运动，连结．在运动过程中，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则 ． 三、解答题 8．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）某宾馆有位旅客要在当日上午点前到达火车站，他们上午点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆的地方，图中的折线表示与之间的函数关系，折线表示与之间的函数关系． (1)宾馆与火车站相距__________，第二批旅客的步行速度是__________； (2)解释图中点的实际意义； (3)司机在接到第二批旅客时发现已经不能在上午点前到达火车站，请说明理由； (4)汽车在接到第二批旅客后车速至少为__________，才能保证不晚于上午点到达． 学科网（北京）股份有限公司 $$