精品解析：云南省迪庆州藏文中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

迪庆州藏文中学2024-2025学年春季学期高一年级期中考试 数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模计算公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：D 3. 如图，是的边中点，则向量=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解. 【详解】 . 故选：D 4. 若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接求解即可. 【详解】若扇形的半径为，圆心角弧度数为， 则扇形的面积为. 故选：C. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 详解】由，得或，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 将函数的图象向右平移个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理可得，结合题意可知将位于y轴左侧的第一个对称轴平移至y轴即可，求的对称轴即可. 【详解】因为， 根据题意结合偶函数的对称性可知：将位于y轴左侧的第一个对称轴平移至y轴即可， 令，解得， 可知的对称轴为， 令，可得，所以的最小值是. 故选：A. 7. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由欧拉公式及复数相关概念逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， 由，其虚部，B错误； 对于C，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D， ，当时取等号，D正确， 故选：D. 8. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出，利用函数为奇函数，结合函数的部分解析式，即可计算得到. 【详解】因，是奇函数，且时，， 则. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，为的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项. 【详解】对于A，，复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点位于第四象限，故A错误； 对于B，根据复数模的公式，，则， 又，所以，故B正确； 对于C，因为则，又，故C错误； 对D，，， 所以为纯虚数，故D正确. 故选：BD. 10. 对于任意的实数，下列命题错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质可判断. 【详解】A选项：，若，则，选项错误; B选项：,，设，，，，则，选项错误; C选项：若，则，选项正确； D选项：，设，，则，选项错误. 故选：ABD. 11. 已知向量，，，则下列结论中正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算可求出、的值，可得出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项. 【详解】因为向量，，， 所以，，解得，则，， 对于A选项，， 因为，则与不共线，A错； 对于B选项，，则， 故，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，，故，D对. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是第二象限角，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角的象限确定角的余弦值的符号，再利用同角的三角函数关系式计算即得. 【详解】因是第二象限角，， 由，可得. 故答案为：. 13. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，构造，利用均值不等式，即得解 【详解】由题意，，且，由均值不等式 当且仅当，即时等号成立 故答案为： 14. 已知集合．若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、单调递增区间、对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值与最小值． 【答案】（1）；； （2）的最小值为，最大值为2 【解析】 【分析】（1）由周期公式及正弦函数的性质即可求解； （2）根据及正弦函数的图象，数形结合即可求解． 【小问1详解】 由题得，最小正周期为， 由，可得， ∴函数的单调递增区间为， 由可得，， ∴的对称轴方程为． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴当，即时，的最小值为， 当，即时，的最大值为2． 16. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角. （1）求B与D两点间的距离； （2）求塔高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【小问1详解】 在中，. 由正弦定理得， ， 【小问2详解】 . 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 17. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可； （2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 18. 已知单位向量与的夹角. （1）求与； （2）求与的夹角； （3）与垂直，求. 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用数量积的定义和模的定义即可求得； （2）利用向量的夹角公式直接求解； （3）利用向量垂直列方程即可求得. 【小问1详解】 对于单位向量与，由，. 所以. . 【小问2详解】 设与夹角为，则. 所以，所以. 【小问3详解】 因为与垂直，所以， 即，所以，解得：. 19. 已为分别为三内角的对边，且 （1）求； （2）若，角的平分线，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦及辅助角公式求解作答. （2）在中，用余弦定理求出，由角平分线及面积定理可得，再利用余弦定理求出即可计算作答. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及得：， 整理得，而，则，即， 又，有，解得，所以. 【小问2详解】 如图，在中，由余弦定理得：，即，解得， 因平分，， 即，在中，， 又，则， 即，而，解得：，有， 所以的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 迪庆州藏文中学2024-2025学年春季学期高一年级期中考试 数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，是的边中点，则向量=（ ） A B. C. D. 4. 若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 将函数的图象向右平移个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 虚部为 C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 的最大值为 8. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. 3 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，为的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 10. 对于任意的实数，下列命题错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是第二象限角，，则_________. 13. 已知正实数，满足，则最小值为______． 14. 已知集合．若，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、单调递增区间、对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值与最小值． 16. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角. （1）求B与D两点间的距离； （2）求塔高. 17. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 18. 已知单位向量与的夹角. （1）求与； （2）求与的夹角； （3）与垂直，求. 19. 已为分别为三内角的对边，且 （1）求； （2）若，角平分线，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$