精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2024-2025学年高二下学期期中质量调查数学试卷

天津市滨海新区大港第一中学2024-2025学年高二下学期期中质量调查数学试卷 一、单选题：本题共 12 小题、每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出不等式，再按照交集的概念运算即可. 详解】解不等式可得， 所以， 所以， 故选：C 2. “ ”是“” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算出，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得或，解得或， 所以由“ ”推得出“”，故充分性成立； 由“”推不出“ ”，故必要性不成立； 所以“ ”是“” 充分不必要条件. 故选：A 3. 若，则下列不等式成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质计算即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于CD，因为，所以，故C正确，D错误. 故选：C. 4. 观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是（ ） A. （1）为正相关，（2）不相关，（3）负相关 B. （1）为正相关，（2）负相关，（3）不相关 C. （1）为负相关，（2）不相关，（3）正相关 D. （1）负相关，（2）正相关，（3）不相关 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图的点的分布即可得到结论． 【详解】第一个图点的分布比较集中，且随的增加，而增加，是正相关． 第二个图点的分布比较分散，不相关． 第三个图点的分布比较集中，且随的增加，而减少，是负相关． 故选：A． 5. 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C. 甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好 D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】 根据回归直线过样本中心点可判断A选项的正误；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断B选项的正误；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C选项的正误；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，回归直线一定过样本中心，A选项正确； 对于B选项，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确； 对于C选项，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误； 对于D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D选项正确. 故选：C. 6. 为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3841 5.024 6.635 10.828 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与临界值的大小关系确定犯错误的概率的范围. 【详解】因为，结合表格可知，所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010. 故选：B． 7. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】 由随机变量,当,结合,即可求得,根据正态分布的对称性,即可求得答案. 【详解】 随机变量 当 又 ,可得 根据正态分布的对称性可得: 故选:B. 【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 8. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】因为，则. 故选：B 9. 已知函数，则曲线在点处切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 10. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可得函数单调性、极值与最值，解不等式即可得答案. 【详解】由题意得， 令得；令得或， 由此得函数在上是减函数，在上是增函数， 故函数在处取到极小值-2， 判断知此极小值必是区间上的最小值， 所以，解得； 又当时，，故有， 综上知实数的取值范围是， 故选：C． 11. 设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，构造函数，求导，可得在上的单调性，将a，b，c变形整理，结合单调性，即可得答案. 【详解】设函数，则， 因为，所以， 所以在上是增函数， ，，， 所以， 故选：A 12. 已知，若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数明确在上的单调性后根据最值的符号可得，在这个条件下可证在上无零点，故可得正确的选项. 【详解】由题设可得当时无零点， 此时， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故当时，， 故， 而为上的增函数，且， 故即. 当时，， 设，， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， ，，故， 故在上恒成立，故在上为减函数， 故即在上恒成立， 故在上无零点， 综上，， 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往需要根据导数讨论函数的单调性，结合最值的符号来判断，如果还涉及到分段函数，可以先求出一段上满足零点个数时参数的取值范围，再根据这个范围讨论余下一段即可. 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 13. 命题：，的否定是____________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题否定即可求解. 【详解】由题意得命题：，的否定是：，. 故答案为：，. 14. 在的展开式中，常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故答案为： 15. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为__________.（残差观测值-预测值） 【答案】 【解析】 【分析】首先求样本点中心，并代入回归方程，求，并代入后，即可求解残差. 【详解】， 因为回归直线过点，代入，可得， 当时，， 所以残差为. 故答案为： 16. 新冠肺炎侵袭，某医院派出5名医生支援､､三个国家，派往每个国家至少一名医生，共有______种安排方式；若甲､乙不去同一个国家，共有______种安排方式. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先将把人分成组，再分配到三个不同的国家去即可得到答案，先考虑甲､乙同去一个国家时的情况，再利用间接法即可得到甲､乙不去同一个国家的答案. 【详解】第一步，把人分成组，共有两类分法： ①一组人，其余两组各人，共有种分法， ②一组人，其余两组各人，共有种分法， 第二步，将这组分配到三个不同的国家去，共有种分法， 所以共有种安排方式. 当甲､乙同去一个国家时， ①分组为，，，共有， ②分组为，，，共有， 所以甲､乙同去一个国家共有种，即甲､乙不去同一个国家，共有种. 故答案为：； 【点睛】本题主要考查排均匀分组问题，间接法为解题的关键，属于中档题. 17. 甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球（除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同）．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以，，表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则_____，____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式先求出，，，然后利用相互独立事件的概率公式以及条件概率的概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ， 故， ，， 所以， ， 所以． 故答案为：；． 18. 若，且，则的最大值为_______，的最小值是___. 【答案】 ①. ## ②. 12 【解析】 【分析】由于，所以利用基本不等式直接求解的最大值即可，，再利用基本不等式可求得结果 【详解】因为，且， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是12， 故答案为：，12 三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分． 19. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【解析】 【详解】试题分析：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=, P()=P(A)P()P()= （2）ξ的可能值为0,1,2,3, P(ξ=k)=(k=0,1,2,3) 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P Eξ=0×+1×+2×+3×= 考点：分布列和数学期望 点评：解决的关键是根据独立事件的概率的乘法公式，以及分布列的概念来求解，属于基础题． 20. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率; （2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望. （注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）. 【答案】（1）（2）. 【解析】 【详解】（1） （2）的所有可能值为1，2，3，且 故的分布列为 1 2 3 从而 21. 已知函数，其中． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）不存在极大值；存在极小值，且极小值为； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由导数得出单调性，进而得出极值； （2）求导，讨论和的大小关系，得出函数的单调性． 【小问1详解】 若，则，， ，令，得． 当时，；当时，． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 不存在极大值；存在极小值，且极小值为． 【小问2详解】 ，． ①若，即，则令，得． 当时，；当时，． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增． ②若，即，则令，得或． 此时，的单调性如下表所示： x 1 + 0 0 + 极大值 极小值 ③若，则当时，，当且仅当时，等号成立． 此时，在区间上单调递增． ④若，即，则令，得或． 此时，的单调性如下表所示： x 1 + 0 0 + 极大值 极小值 综上：时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减； 时，在区间上单调递增 时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减； 【点睛】关键点睛：在判断函数的单调性时，关键在于讨论和的大小关系，利用导函数的正负来判断单调性. 22. 已知函数，其中（） . （1）当时，求在处的切线方程； （2）若存在唯一极值点，且极值为，求的值； （3）讨论在区间上的零点个数 . 【答案】（1） （2）或； （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数得导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值为0，得到关于的方程即可求解； （3）通过讨论的范围，讨论极值点与区间的位置关系，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理判断即可. 【小问1详解】 当时，，则， 因为，所以， 所以在处的切线方程为， 整理得. 【小问2详解】 ，定义域为， 所以， ①若，则当时，恒成立， 故在单调递增，与存在极值点矛盾； ②若时，则由解得， 所以时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以存在唯一极小值点， 所以， 解得或. 【小问3详解】 由题意可得， ①时，在上恒成立，故在上单调递增， 因为，， 所以由零点存在性定理可得在上有1个零点； ②当时，当时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时在上无零点； ③当时，在上恒成立，故在上单调递减， 因为，， 所以在上有1个零点； 综上：当时，在上无零点， 当或时，在上有1个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市滨海新区大港第一中学2024-2025学年高二下学期期中质量调查数学试卷 一、单选题：本题共 12 小题、每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “ ”是“” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则下列不等式成立的是 （ ） A. B. C. D. 4. 观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是（ ） A. （1）为正相关，（2）不相关，（3）负相关 B. （1）为正相关，（2）负相关，（3）不相关 C. （1）为负相关，（2）不相关，（3）正相关 D. （1）为负相关，（2）正相关，（3）不相关 5. 下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C. 甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好 D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 6. 为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5024 6635 10.828 A. B. C. D. 7. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 8. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是． A B. C. D. 11. 设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 13. 命题：，的否定是____________. 14. 在的展开式中，常数项为________.（用数字作答） 15. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为__________.（残差观测值-预测值） 16. 新冠肺炎侵袭，某医院派出5名医生支援､､三个国家，派往每个国家至少一名医生，共有______种安排方式；若甲､乙不去同一个国家，共有______种安排方式. 17. 甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球（除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同）．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以，，表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则_____，____． 18. 若，且，则的最大值为_______，的最小值是___. 三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分． 19. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 20. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率; （2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望. （注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）. 21. 已知函数，其中． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 22 已知函数，其中（） . （1）当时，求在处切线方程； （2）若存在唯一极值点，且极值为，求的值； （3）讨论在区间上的零点个数 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$